Devoir surveillé — Topologie des espaces vectoriels normés

Une application continue définie sur une partie fermée a un graphe fermé. La réciproque est fausse, mais elle redevient vraie dès qu'on empêche le graphe de partir à l'infini : c'est ce que cet exercice met en place, avant d'en tirer une caractérisation de la compacité du graphe.

Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On munit ${\mathbb{R}}^n$ et ${\mathbb{R}}^p$ de normes notées toutes deux $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$, et l'on pose, pour $(x,y)\in {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^p$,

$$\mathcal{N}(x,y)=\max (\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel },\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel })\mathrm{.}$$

Pour une partie $A$ de ${\mathbb{R}}^n$ et une application $f:A\to {\mathbb{R}}^p$, on appelle graphe de $f$ la partie

$${\mathrm{\Gamma }}_f=\{(x,f(x));x\in A\}\subset {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^p\mathrm{.}$$

1. (0,25 pt) On admet que $\mathcal{N}$ est une norme sur ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^p$. Démontrer qu'une suite $((x_k,y_k))$ converge vers $(x,y)$ pour $\mathcal{N}$ si et seulement si $x_k\to x$ dans ${\mathbb{R}}^n$ et $y_k\to y$ dans ${\mathbb{R}}^p$.

2. (0,5 pt) On suppose $A$ fermée dans ${\mathbb{R}}^n$ et $f$ continue sur $A$. Démontrer que ${\mathrm{\Gamma }}_f$ est une partie fermée de ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^p$. Démontrer ensuite, à l'aide de $A=]0,+\mathrm{\infty }[$ et de $f(x)=x$, que l'hypothèse « $A$ fermée » ne peut pas être supprimée.

3. (0,5 pt) Réciproque : elle est fausse. On considère $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $g(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ si $x\mathrm{\ne }0$ et $g(0)=0$. Démontrer que ${\mathrm{\Gamma }}_g$ est fermé dans ${\mathbb{R}}^2$ alors que $g$ n'est pas continue en $0$.

4. (1 pt) Soient $A$ une partie de ${\mathbb{R}}^n$ et $f:A\to {\mathbb{R}}^p$ une application bornée dont le graphe est fermé dans ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^p$. Démontrer que $f$ est continue sur $A$. On raisonnera par l'absurde à partir d'une suite $(x_k)$ de $A$ convergeant vers $x\in A$ et telle que $\mathrm{\parallel }f(x_k)-f(x)\mathrm{\parallel }⩾\epsilon$ pour un $\epsilon >0$ fixé.

5. (0,75 pt) Démontrer que ${\mathrm{\Gamma }}_f$ est compact si et seulement si $A$ est compacte et $f$ est continue sur $A$.

Sur une partie quelconque, l'intérieur de l'adhérence n'a aucune raison de redonner l'intérieur : $\mathbb{Q}$ est d'intérieur vide et d'adhérence $\mathbb{R}$. L'exercice montre que la convexité rétablit l'ordre, à une condition qu'on identifiera. Cette condition n'est automatique dans aucune dimension, un segment du plan étant déjà convexe et d'intérieur vide ; la dimension infinie en fournit simplement l'exemple le plus spectaculaire, celui d'une partie dense et d'intérieur vide.

Dans tout l'exercice, $E$ désigne un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé et $C$ une partie convexe de $E$, c'est-à-dire vérifiant $(1-t)a+tb\in C$ pour tous $a,b\in C$ et tout $t\in [0,1]$. On note $\mathring{C}$ son intérieur et $\bar{C}$ son adhérence.

1. (1 pt) Soient $x\in \mathring{C}$, $y\in \bar{C}$ et $t\in [0,1[$. Démontrer que $(1-t)x+ty\in \mathring{C}$. On partira d'un réel $r>0$ tel que $B(x,r)\subset C$, on approchera $y$ par un point $y^{\mathrm{\prime }}$ de $C$ et l'on cherchera un rayon explicite autour de $(1-t)x+ty$.

2. (0,5 pt) Démontrer que $\bar{C}$ est convexe, puis que $\mathring{C}$ est convexe.

3. (1 pt) On suppose dans cette question $\mathring{C}\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$. Démontrer que $\overline{\stackrel{˚}{C}}=\bar{C}$, puis que l'intérieur de $\bar{C}$ est égal à $\mathring{C}$.

4. (0,5 pt) Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Démontrer que $F$ est d'intérieur vide si et seulement si $F\mathrm{\ne }E$.

5. (0,5 pt) L'hypothèse $\mathring{C}\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$ de la question 3 n'est pas décorative. On prend $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}={\sup }_{t\in [0,1]}\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }$ et pour $C$ l'ensemble $\mathcal{P}$ des restrictions à $[0,1]$ des fonctions polynomiales. On admet le théorème de Weierstrass : $\mathcal{P}$ est dense dans $E$. Démontrer que $\mathcal{P}$ est convexe, d'intérieur vide, et que pourtant l'intérieur de $\bar{\mathcal{P}}$ est $E$ tout entier.

Dans un ouvert, un chemin continu quelconque peut toujours être remplacé par un chemin fait d'un nombre fini de segments. La démonstration ne fait pas intervenir la forme de l'ouvert : elle repose entièrement sur la compacité du chemin et sur le théorème de Heine.

Soit $n⩾1$. L'espace ${\mathbb{R}}^n$ est muni d'une norme $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$. Pour $a,b\in {\mathbb{R}}^n$, on note $[a,b]=\{(1-s)a+sb;s\in [0,1]\}$. Étant donnée une partie $X$ de ${\mathbb{R}}^n$, on dit que $X$ est connexe par lignes brisées lorsque, pour tous $a,b\in X$, il existe un entier $N⩾1$ et des points $c_0=a,c_1,\dots ,c_N=b$ de $X$ tels que $[c_i,c_{i+1}]\subset X$ pour tout $i\in \{0,\dots ,N-1\}$.

1. (0,75 pt) Soient $U$ un ouvert de ${\mathbb{R}}^n$ distinct de ${\mathbb{R}}^n$ et $K$ une partie compacte non vide de ${\mathbb{R}}^n$ contenue dans $U$. Démontrer que

$$\rho =\inf \{\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel };x\in K,y\in {\mathbb{R}}^n\setminus U\}$$

est strictement positif. On pourra utiliser sans démonstration que $x\mapsto d(x,{\mathbb{R}}^n\setminus U)$ est $1$-lipschitzienne, où $d(x,A)={\inf }_{a\in A}\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }$.

2. (0,5 pt) Soit $\gamma :[0,1]\to U$ une application continue, où $U$ est un ouvert non vide de ${\mathbb{R}}^n$. Démontrer que $\mathrm{\Gamma }=\gamma ([0,1])$ est compact, puis qu'il existe $r>0$ tel que $B(\gamma (t),r)\subset U$ pour tout $t\in [0,1]$. On traitera à part le cas $U={\mathbb{R}}^n$.

3. (1 pt) Avec les notations de la question 2, démontrer qu'il existe une subdivision $0=t_0<t_1<\cdots <t_N=1$ de $[0,1]$ telle que

$$\bigcup _{i=0}^{N-1}[\gamma (t_i),\gamma (t_{i+1})]\subset U\mathrm{.}$$

On appliquera le théorème de Heine à $\gamma$ après en avoir vérifié les hypothèses, et l'on justifiera l'inclusion d'un segment dans une boule.

4. (0,75 pt) En déduire que tout ouvert connexe par arcs de ${\mathbb{R}}^n$ est connexe par lignes brisées. Démontrer ensuite que l'hypothèse « ouvert » n'est pas décorative : le cercle unité $S$ de ${\mathbb{R}}^2$, muni de la norme euclidienne, est connexe par arcs (résultat ADMIS, c'est l'exercice 21 de la fiche) et pourtant il n'est PAS connexe par lignes brisées. On établira qu'aucun segment non réduit à un point n'est inclus dans $S$.

Établir une inégalité $N^{\mathrm{\prime }}⩽CN$ demande en général de produire la constante. On montre ici qu'il suffit de savoir ce que devient une suite qui tend vers $0$, ce qui transforme une question de calcul en une question de convergence, et donne au passage un critère commode de non-équivalence.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et soient $N$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ deux normes sur $E$.

1. (1 pt) Démontrer l'équivalence des trois assertions suivantes.

(i) Il existe $C>0$ tel que $N^{\mathrm{\prime }}⩽CN$ sur $E$.

(ii) Toute suite de $E$ qui converge vers $0$ pour $N$ converge vers $0$ pour $N^{\mathrm{\prime }}$.

(iii) L'application identité de $(E,N)$ dans $(E,N^{\mathrm{\prime }})$ est continue en $0$.

Pour l'implication délicate, on raisonnera par contraposée : si aucune constante ne convient, on construira pour chaque $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ un vecteur $x_k$ tel que $N^{\mathrm{\prime }}(x_k)>kN(x_k)$, puis on le renormalisera.

2. (0,5 pt) En déduire que $N$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ sont équivalentes si et seulement si elles ont exactement les mêmes suites convergeant vers $0$.

3. (0,5 pt) Application. On pose $E={\mathcal{C}}^1([0,1],\mathbb{R})$ et, pour $f\in E$,

$$N(f)=\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }},N^{\mathrm{\prime }}(f)=\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}+\mathrm{\parallel }{f}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }},$$

où $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ désigne la borne supérieure de la valeur absolue sur $[0,1]$. On admet que $N$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ sont deux normes sur $E$. Vérifier que $N⩽N^{\mathrm{\prime }}$, puis démontrer, en considérant $f_k(t)={\displaystyle \frac{\sin (kt)}{k}}$ pour $k⩾1$, qu'il n'existe aucune constante $C>0$ telle que $N^{\mathrm{\prime }}⩽CN$.

4. (0,25 pt) En déduire que ${\mathcal{C}}^1([0,1],\mathbb{R})$ n'est pas de dimension finie.

5. (0,75 pt) Démontrer que s'il existe $C>0$ tel que $N^{\mathrm{\prime }}⩽CN$, alors tout ouvert de $(E,N^{\mathrm{\prime }})$ est un ouvert de $(E,N)$. En déduire que $N$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ sont équivalentes si et seulement si elles ont les mêmes ouverts.

Les coefficients d'un polynôme se lisent sur ses racines par des formules polynomiales : de ce côté-là, la dépendance est manifestement continue. Le problème établit le sens inverse, qui n'a même pas de sens tant qu'on n'a pas dit ce qu'on entend par « les racines varient peu » : elles forment un ensemble fini non ordonné, et rien ne permet de les numéroter de façon cohérente d'un polynôme à l'autre. La partie A construit trois outils, la partie B démontre le théorème sous la forme de deux inclusions, la partie C en tire une fonction continue, un contre-exemple réel et une étude explicite.

Dans tout le problème, $n$ est un entier supérieur ou égal à $1$. On note ${\mathcal{U}}_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ de $\mathbb{C}[X]$, c'est-à-dire des polynômes de la forme

$$P=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0,(a_0,\dots ,a_{n-1})\in {\mathbb{C}}^n\mathrm{.}$$

L'ensemble ${\mathcal{U}}_n$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}[X]$ et on ne cherchera pas à le normer : l'application $\pi$ qui à un tel $P$ associe le vecteur $(a_0,\dots ,a_{n-1})$ est une bijection de ${\mathcal{U}}_n$ sur ${\mathbb{C}}^n$, et c'est ELLE qui sert de dictionnaire. On munit ${\mathbb{C}}^n$ de la norme $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$, on dit qu'une suite $(P_k)$ de ${\mathcal{U}}_n$ converge vers $P\in {\mathcal{U}}_n$ lorsque $\pi (P_k)\to \pi (P)$ dans ${\mathbb{C}}^n$, on pose $\mathrm{\parallel }Q-P{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\parallel }\pi (Q)-\pi (P){\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ pour $P,Q\in {\mathcal{U}}_n$, et on appelle ouvert de ${\mathcal{U}}_n$ l'image réciproque par $\pi$ d'un ouvert de ${\mathbb{C}}^n$. On note enfin $\mathcal{R}(P)$ l'ensemble des racines de $P$ dans $\mathbb{C}$, qui est fini et non vide d'après le théorème de d'Alembert-Gauss, admis, et l'on pose

$$d(z,\mathcal{R}(P))=\underset{\lambda \in \mathcal{R}(P)}{\min }\mathrm{\mid }z-\lambda \mathrm{\mid }(z\in \mathbb{C})\mathrm{.}$$

Partie A — Trois outils

A.1 (0,5 pt) À tout $Z=(z_1,\dots ,z_n)\in {\mathbb{C}}^n$ on associe le polynôme $\mathrm{\Psi }(Z)={\prod }_{i=1}^n(X-z_i)$, qui appartient à ${\mathcal{U}}_n$, puis le vecteur $c(Z)=\pi (\mathrm{\Psi }(Z))\in {\mathbb{C}}^n$ de ses $n$ coefficients non dominants. Démontrer que $c:{\mathbb{C}}^n\to {\mathbb{C}}^n$ est continue. On pourra se contenter de constater que chaque coordonnée de $c(Z)$ est une fonction polynomiale des $2n$ parties réelles et imaginaires des $z_i$, sans expliciter les polynômes symétriques élémentaires.

A.2 (0,75 pt) Borne de Cauchy. Soit $P=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_0\in {\mathcal{U}}_n$ et soit $M={\max }_{0⩽k⩽n-1}\mathrm{\mid }{a}_k\mathrm{\mid }$. Démontrer que toute racine $z$ de $P$ vérifie $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }⩽1+M$. On distinguera les cas $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }⩽1$ et $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }>1$, et l'on sommera une progression géométrique.

A.3 (0,75 pt) On munit ${\mathbb{C}}_n[X]$ de la norme $N_{\mathrm{\infty }}\left({\sum }_{k=0}^n{b}_k{X}^k\right)={\max }_{0⩽k⩽n}\mathrm{\mid }{b}_k\mathrm{\mid }$. Démontrer que si une suite $(Q_k)$ de ${\mathbb{C}}_n[X]$ converge vers $Q$ pour $N_{\mathrm{\infty }}$ et si une suite $(w_k)$ de $\mathbb{C}$ converge vers $w$, alors $Q_k(w_k)\to Q(w)$. On commencera par se donner un majorant commun des $\mathrm{\mid }{w}_k\mathrm{\mid }$ et de $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }$.

Partie B — Les racines ne peuvent ni s'échapper, ni disparaître

Dans toute cette partie, $(P_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ est une suite d'éléments de ${\mathcal{U}}_n$ convergeant vers $P\in {\mathcal{U}}_n$, au sens précisé en préambule.

B.1 (0,25 pt) Démontrer qu'il existe $R>0$ tel que toute racine de $P$ et toute racine de tout $P_k$ soit de module inférieur ou égal à $R$.

B.2 (1 pt) Démontrer que

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }K\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }k⩾K,\mathrm{\forall }z\in \mathcal{R}(P_k),d(z,\mathcal{R}(P))<\epsilon \mathrm{.}$$

On raisonnera par l'absurde : on disposerait d'un $\epsilon >0$, d'une extractrice $\phi$ et, pour chaque $j$, d'une racine $w_j$ de $P_{\phi (j)}$ vérifiant $d(w_j,\mathcal{R}(P))⩾\epsilon$.

B.3 (1 pt) Démontrer que

$$\mathrm{\forall }\lambda \in \mathcal{R}(P),\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }K\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }k⩾K,\mathcal{R}(P_k)\cap B(\lambda ,\epsilon )\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }\mathrm{.}$$

On écrira $P_k=\mathrm{\Psi }(Z_k)$ avec $Z_k\in {\mathbb{C}}^n$, on montrera que la suite $(Z_k)$ est bornée, puis on identifiera $\mathrm{\Psi }(Z)$ pour toute valeur d'adhérence $Z$ de $(Z_k)$ ; on conclura à nouveau par l'absurde.

B.4 (0,25 pt) Énoncer en une phrase, sous forme de deux inclusions entre réunions finies de disques, le résultat démontré aux questions B.2 et B.3.

Partie C — Une fonction continue, un contre-exemple, une étude

C.1 (1 pt) Pour $P\in {\mathcal{U}}_n$, on pose $\mu (P)=\max \{\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid };\lambda \in \mathcal{R}(P)\}$, le plus grand module d'une racine de $P$. Démontrer que $\mu :{\mathcal{U}}_n\to \mathbb{R}$ est continue, c'est-à-dire que $\mu (P_k)\to \mu (P)$ dès que $P_k\to P$ dans ${\mathcal{U}}_n$. On majorera $\mu (P_k)$ à l'aide de B.2 et on la minorera à l'aide de B.3, en appliquant cette dernière à une racine de $P$ de module maximal.

C.2 (1 pt) Le cas réel. Dans cette question, on compte les racines réelles sans tenir compte de leur multiplicité. Démontrer, à l'aide des deux suites $(X^2-\frac{1}{k})$ et $(X^2+\frac{1}{k})$, que le nombre de racines réelles d'un polynôme réel unitaire de degré $2$ ne dépend pas continûment de ses coefficients. Démontrer en revanche que si $P\in \mathbb{R}[X]$ est unitaire de degré $n$ et admet une racine réelle simple $a$, alors il existe $\eta >0$ tel que tout $Q\in \mathbb{R}[X]$ unitaire de degré $n$ vérifiant $\mathrm{\parallel }Q-P{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}<\eta$ admette une racine réelle dans $]a-1,a+1[$. On utilisera le théorème des valeurs intermédiaires.

C.3 (1 pt) Étude explicite : à quelle VITESSE les racines se rejoignent. Pour $t\in \mathbb{R}$, on pose $P_t=X^3-3X+t$. On admet les deux faits suivants, qui relèvent de l'analyse de première année : la fonction polynomiale associée à $P_t$ décroît sur $[-1,1]$ et croît sur chacun des deux autres intervalles, de sorte que $P_t$ possède trois racines réelles distinctes lorsque $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<2$ et une seule lorsque $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }>2$ ; et $P_2=(X-1{)}^2(X+2)$, si bien que deux des trois racines se rejoignent en $1$ quand $t$ tend vers $2$.

Soit $t\in ]0,2[$.

a. Démontrer que $P_t$ admet exactement une racine $x(t)$ dans $]1,2[$, puis, en posant $h(t)=x(t)-1$, établir l'égalité $h(t{)}^2(3+h(t))=2-t$.

b. En déduire l'encadrement ${\displaystyle \frac{2-t}{4}}⩽h(t{)}^2⩽{\displaystyle \frac{2-t}{3}}$, puis que $x(t)\to 1$ lorsque $t\to 2^{-}$.

c. Démontrer qu'il n'existe AUCUN couple $(L,\delta )$ de réels strictement positifs tel que $x(t)-1⩽L(2-t)$ pour tout $t\in ]2-\delta ,2[$. Commenter : que dit ce résultat sur la manière dont les racines se rejoignent, comparée à ce que B.2 et B.3 garantissent ?