Exercices — Suites et séries de fonctions, séries entières

Étudier la convergence simple d'une suite de fonctions $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sur une partie $A$, c'est figer $x$ dans $A$ et étudier la suite numérique $(f_n(x){)}_{n\in \mathbb{N}}$ avec les seuls outils de première année. Le résultat dépend en général de la valeur de $x$ : c'est la discussion des cas qui fait tout l'exercice.

Dans tout l'exercice, les suites de fonctions sont indexées par $n⩾1$.

1. Étudier la convergence simple de chacune des suites de fonctions suivantes sur la partie indiquée, et expliciter la fonction limite $f$.

2. Pour les suites a. et c., la fonction limite est-elle continue ? Qu'en déduire, sans calculer aucune norme, sur la convergence uniforme ?

C'est l'exemple à connaître par coeur : il montre en trois lignes qu'une suite de fonctions continues peut converger simplement vers une fonction discontinue, et il sert de contre-exemple à presque toutes les fausses idées du chapitre.

Pour $n⩾1$ et $x\in [0,1]$, on pose $f_n(x)=x^n$.

1. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $[0,1]$ et expliciter sa limite $f$.

2. La fonction $f$ est-elle continue sur $[0,1]$ ? Qu'en déduire sur la convergence uniforme de $(f_n)$ sur $[0,1]$ ?

3. Calculer $\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[0,1]}$ et retrouver directement la conclusion de la question précédente.

4. Soit $a\in ]0,1[$. Calculer $\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[0,a]}$ et en déduire que $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,a]$.

5. Conclure par une phrase sur la dépendance de la convergence uniforme vis-à-vis de la partie choisie.

La méthode est toujours la même, en trois temps : on détermine d'abord la limite simple $f$, puis on étudie la fonction $\mathrm{\mid }{f}_n-f\mathrm{\mid }$ à $n$ fixé pour calculer $\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}={\sup }_{x\in A}\mathrm{\mid }{f}_n(x)-f(x)\mathrm{\mid }$, et enfin on regarde si cette suite de réels tend vers $0$. C'est une étude de fonction de première année, où $n$ joue le rôle d'un paramètre.

Pour chacune des suites de fonctions suivantes, définies sur $[0,1]$ pour $n⩾1$ :

• déterminer la limite simple $f$ ;
• calculer $\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[0,1]}$ par une étude de fonction complète (dérivée, point où le maximum est atteint, valeur du maximum) ;
• conclure quant à la convergence uniforme sur $[0,1]$.

a. $f_n(x)=nx{\mathrm{e}}^{-nx}$

b. $f_n(x)=x^n(1-x)$

c. $f_n(x)={\displaystyle \frac{x}{1+n{x}^2}}$

Une série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur une partie $A$ lorsque chaque $f_n$ est bornée sur $A$ et que la série numérique à termes positifs $\sum \mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}$ converge. C'est le mode de convergence le plus simple à établir, et il entraîne les autres : convergence normale $⟹$ convergence uniforme $⟹$ convergence simple.

Étudier la convergence normale de chacune des séries de fonctions suivantes sur la partie indiquée.

On s'intéresse à la fonction définie par

$$S(x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+x^2}\mathrm{.}$$

1. Montrer que $S$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

2. Montrer que la série de fonctions converge normalement sur $\mathbb{R}$, et en déduire que $S$ est continue sur $\mathbb{R}$.

3. Montrer que $S$ est paire, puis qu'elle est décroissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }S(x)}$, en justifiant soigneusement l'emploi du théorème de la double limite.

La règle de d'Alembert est un critère pour les séries numériques, pas pour les séries entières : on l'applique donc à $z$ fixé, à la série numérique $\sum a_n{z}^n$, en formant le quotient de deux termes consécutifs

$$\mid \frac{a_{n+1}{z}^{n+1}}{a_n{z}^n}\mid =\mid \frac{a_{n+1}}{a_n}\mid \times \mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Si cette quantité tend vers une limite $L$, on sait conclure : la série converge absolument si $L<1$ et diverge grossièrement si $L>1$. On en déduit le rayon $R$ en cherchant pour quelles valeurs de $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ on est dans l'un ou l'autre cas.

Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes.

Les développements en série entière usuels se lisent dans les deux sens. On sait écrire la série à partir de la fonction ; il faut aussi savoir reconnaître la fonction quand on ne vous donne que la série, éventuellement déguisée par un changement de variable, un décalage d'indice ou la disparition des premiers termes.

Exprimer chacune des sommes suivantes à l'aide des fonctions usuelles, en précisant l'intervalle de validité et le rayon de convergence.

Tout repose sur un seul développement, celui de la série géométrique :

$$\frac{1}{1-u}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}^n\text{pour }\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }<1.$$

Développer une fraction rationnelle simple, c'est se ramener à cette forme par une factorisation ou un changement de variable, puis vérifier la condition $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }<1$ pour en déduire le rayon.

Développer en série entière au voisinage de $0$ les fonctions suivantes, en précisant à chaque fois le rayon de convergence.

1. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2-x}}$

2. $g(x)={\displaystyle \frac{1}{1+3x}}$

3. $h(x)={\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}$

4. $k(x)={\displaystyle \frac{1}{(1-x{)}^2}}$, en dérivant le développement de ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ et en justifiant la dérivation terme à terme.

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ un paramètre fixé. Pour $n⩾1$, on définit une fonction $f_n$ sur $A=[0,1]$ par

$$f_n(x)=n^{\alpha }x(1-x{)}^n$$

1. Montrer que la suite $(f_n{)}_{n⩾1}$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,1]$, et ce quelle que soit la valeur de $\alpha$.

2. Étudier les variations de $f_n$ sur $[0,1]$ et calculer $\mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[0,1]}$. En donner un équivalent simple quand $n\to +\mathrm{\infty }$.

3. Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la convergence est uniforme sur $[0,1]$.

4. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1{f}_n(x)\mathrm{d}x}$.

5. Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles

$${\int }_0^1{f}_n(x)\mathrm{d}x\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_0^1\left(\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n\right)\text{\hspace{0.17em}⁣}(x)\mathrm{d}x$$

Comparer avec la réponse de la question 3 et commenter.

Pour $n⩾1$, on définit une fonction $f_n$ sur $A=[0,1]$ par

$$f_n(x)=n^{2}x{e}^{-nx}$$

1. Déterminer la limite simple de la suite $(f_n{)}_{n⩾1}$ sur $[0,1]$.

2. La convergence est-elle uniforme sur $[0,1]$ ? Est-elle uniforme sur $[a,1]$, où $a$ est un réel fixé tel que $0<a<1$ ?

3. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1{f}_n(x)\mathrm{d}x}$ à l'aide d'une intégration par parties, puis déterminer la limite de cette intégrale.

4. Conclure sur le rôle de l'hypothèse de convergence uniforme dans le théorème d'intégration sur un segment. Expliquer, en décrivant le graphe de $f_n$, où passe la « masse » de l'intégrale.

Pour $n⩾1$, on définit une fonction $f_n$ sur $A=[0,+\mathrm{\infty }[$ par

$$f_n(x)=\frac{(-1{)}^n}{n+x}$$

1. Montrer que la série de fonctions ${\sum }_{n⩾1}{f}_n$ converge simplement sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

2. Montrer qu'elle ne converge pas normalement sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

3. Montrer qu'elle converge uniformément sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, en majorant le reste $R_n={\sum }_{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{f}_k$ par le premier terme négligé.

4. En déduire que la somme $S={\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{f}_n$ est continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, puis calculer $S(0)$ en fonction de $\ln 2$.

Pour $n⩾1$, on définit une fonction $f_n$ sur $A=[0,+\mathrm{\infty }[$ par

$$f_n(x)={(1+\frac{x}{n})}^n$$

1. Montrer que la suite $(f_n{)}_{n⩾1}$ converge simplement sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ vers la fonction $x\mapsto e^x$.

2. Montrer que pour tout $x⩾0$ et tout $n⩾1$, $f_n(x)⩽e^x$. On pourra utiliser l'inégalité $\ln (1+u)⩽u$.

3. Soit $b>0$. Montrer que la convergence est uniforme sur $[0,b]$. On pourra écrire

$$0⩽e^x-f_n(x)=e^x(1-e^{n\ln (1+\frac{x}{n})-x})$$

puis majorer $x-n\ln (1+{\displaystyle \frac{x}{n}})$ par ${\displaystyle \frac{x^2}{2n}}$.

4. Montrer que la convergence n'est pas uniforme sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. On pourra considérer la suite de points $x_n=n$.

On considère la série de fonctions ${\sum }_{n⩾1}{u}_n$, où pour $n⩾1$ on pose

$$u_n(x)=\frac{e^{-nx}}{n^2}$$

et l'on note $S(x)={\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^{-nx}}{n^2}}$ la somme de cette série.

1. Déterminer le domaine de définition de $S$, et montrer que la série $\sum u_n$ converge normalement sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

2. En déduire que $S$ est continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

3. Montrer que $S$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, puis donner $S^{\mathrm{\prime }}(x)$ d'abord sous forme de série, ensuite sous forme close.

4. Montrer que $S$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

5. Déterminer ${\lim }_{x\to 0^{+}}{S}^{\mathrm{\prime }}(x)$ et interpréter le résultat : la fonction $S$ est-elle dérivable en $0$ ?

1. Justifier que pour tout $t\in [0,{\displaystyle \frac{1}{2}}]$,

$$\frac{1}{1-t^3}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{t}^{3n}$$

et montrer que cette série de fonctions converge normalement sur $[0,{\displaystyle \frac{1}{2}}]$.

2. En déduire que

$${\int }_0^{1\mathrm{/}2}\frac{\mathrm{d}t}{1-t^3}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(3n+1)2^{3n+1}}$$

3. Donner une valeur approchée de cette intégrale à ${10}^{-3}$ près, en justifiant le nombre de termes retenus.

4. Mener le même travail pour l'intégrale

$${\int }_0^{1\mathrm{/}2}\frac{\ln (1-t)}{t}\mathrm{d}t$$

dont l'intégrande est prolongé par continuité en $0$ : montrer qu'elle vaut $-{\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2{2}^n}}$, puis en donner une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

Pour $x>0$, on pose

$$F(x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(1+nx)}$$

1. Montrer que $F$ est bien définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

2. Montrer que la série converge normalement sur $[a,+\mathrm{\infty }[$ pour tout $a>0$, et en déduire que $F$ est continue sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

3. Montrer que $F$ est décroissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Déterminer ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}F(x)$, en justifiant soigneusement l'emploi du théorème de la double limite.

5. Montrer que $F(x)\to +\mathrm{\infty }$ quand $x\to 0^{+}$. On pourra minorer $F$ par une somme partielle et faire tendre $x$ vers $0$ à rang fixé.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $P_n$ la fonction polynomiale définie sur $\mathbb{R}$ par

$$P_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$$

1. Soit $b>0$. Montrer que la série de fonctions ${\sum }_{k⩾0}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}$ converge normalement sur $[-b,b]$, et en déduire que la suite $(P_n)$ converge uniformément vers $\exp$ sur $[-b,b]$.

2. Majorer ${\parallel \exp -P_n\parallel }_{\mathrm{\infty },[-b,b]}$ par une expression simple. Pour $b=1$, déterminer le plus petit entier $n$ garantissant une erreur inférieure à ${10}^{-6}$.

3. Montrer que la convergence n'est pas uniforme sur $\mathbb{R}$.

4. Comparer ce résultat au théorème de Weierstrass : que dit-il exactement, et pourquoi ne dit-il rien sur $\mathbb{R}$ tout entier ?

On rappelle que le rayon de convergence $R$ d'une série entière $\sum a_n{z}^n$ est la borne supérieure, dans $[0,+\mathrm{\infty }]$, de l'ensemble des réels $r⩾0$ pour lesquels la suite ${\left(\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }{r}^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est bornée.

0. Expliquer pourquoi, pour chacune des quatre séries entières ci-dessous, la règle de d'Alembert appliquée à la suite des coefficients $\left(a_n\right)$ ne permet pas de conclure.

Déterminer ensuite le rayon de convergence des séries entières suivantes.

1. ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{z}^{n^2}}$

2. ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{2}^n{z}^{2n}}$

3. ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{a}_n{z}^n}$, où $a_n=1$ si $n$ est pair et $a_n=3^n$ si $n$ est impair

4. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{(2+(-1{)}^n)}^n{z}^n}$

Pour une suite complexe $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, on note $R_a\in [0,+\mathrm{\infty }]$ le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n{z}^n$.

1. Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites de nombres complexes telles que $a_n=O(b_n)$. Montrer que $R_a⩾R_b$.

2. En déduire que si $a_n\sim b_n$, alors $R_a=R_b$.

3. Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes.

4. Montrer sur un exemple explicite que l'hypothèse $a_n=O(b_n)$ n'entraîne pas $R_a=R_b$.

1. Rappeler le rayon de convergence de la série entière ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{x}^n}$ et la valeur de sa somme.

2. En dérivant terme à terme, et en justifiant soigneusement cette dérivation, calculer pour $x\in ]-1,1[$ les sommes

$$\sum _{n⩾1}n{x}^n\text{puis}\sum _{n⩾1}{n}^2{x}^n$$

3. En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{n⩾0}(n+1)(n+2)x^n}$ pour $x\in ]-1,1[$.

4. Applications numériques : calculer ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{n}{2^n}}$ et ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{n^2}{3^n}}$.

On pose, lorsque cela a un sens, ${\displaystyle S(x)=\sum _{n⩾1}\frac{x^n}{n(n+1)}}$.

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{x^n}{n(n+1)}}$.

2. Décomposer ${\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$ en éléments simples, puis calculer séparément, pour $x\in ]-1,1[$, les sommes

$$\sum _{n⩾1}\frac{x^n}{n}\text{et}\sum _{n⩾1}\frac{x^n}{n+1}$$

en justifiant chaque primitivation terme à terme.

3. En déduire une expression close de $S(x)$ pour $x\in ]-1,1[\setminus \{0\}$, puis la valeur de $S(0)$.

4. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }S(x)}$ et vérifier la cohérence du résultat.

Développer en série entière au voisinage de $0$ chacune des fonctions suivantes. On précisera à chaque fois le rayon de convergence et l'expression explicite du coefficient général $a_n$.

1. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2-3x+2}}$

2. $g(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}}$

3. $h(x)={\displaystyle \frac{1}{(1-x)(1-2x)}}$

4. $k(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2-x-2}}$

On considère la suite de Fibonacci, définie par

$$F_0=0,F_1=1,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$$

1. Montrer par récurrence que $F_n⩽2^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et en déduire que le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum F_n{x}^n$ vérifie $R⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

2. On note ${\displaystyle f(x)=\sum _{n⩾0}{F}_n{x}^n}$ pour $x\in ]-R,R[$. En utilisant la relation de récurrence, montrer que

$$(1-x-x^2)f(x)=x$$

3. En déduire une expression close de $f(x)$, puis la valeur exacte de $R$ (on déterminera les racines de $1-x-x^2$).

4. Décomposer $f$ en éléments simples et retrouver la formule de Binet

$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}({\phi }^n-{\psi }^n),\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\psi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

5. Vérifier cette formule pour $n=0$, $n=1$, $n=2$ et $n=3$.

On pose, lorsque la série converge, ${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^x}}$, où pour $n⩾1$ et $x\in \mathbb{R}$ on note $n^x={\mathrm{e}}^{x\ln n}$.

1. Déterminer le domaine de définition de $\zeta$.

2. Montrer que la série de fonctions converge normalement sur $[a,+\mathrm{\infty }[$ pour tout $a>1$, et en déduire que $\zeta$ est continue sur $]1,+\mathrm{\infty }[$. Expliquer pourquoi il n'y a pas convergence normale sur $]1,+\mathrm{\infty }[$ tout entier.

3. Montrer que $\zeta$ est de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur $]1,+\mathrm{\infty }[$ et donner ${\zeta }^{(k)}(x)$ sous forme de série. En déduire le sens de variation et la convexité de $\zeta$.

4. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\zeta (x)}$ à l'aide du théorème de la double limite.

5. Par comparaison série-intégrale, établir l'encadrement

$$\frac{1}{x-1}⩽\zeta (x)⩽1+\frac{1}{x-1}(x>1)$$

et en déduire un équivalent de $\zeta (x)$ quand $x\to 1^{+}$, ainsi que ${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\zeta (x)}$.

On pose, lorsque la série converge, ${\displaystyle S(x)=\sum _{n⩾0}\frac{(-1{)}^n}{n+x}}$.

1. Montrer que $S$ est définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

2. Montrer que la série de fonctions converge uniformément sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et en déduire que $S$ est continue sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

3. Montrer que $S$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, donner $S^{\mathrm{\prime }}$ sous forme de série et en déduire le sens de variation de $S$.

4. Établir la relation fonctionnelle

$$\mathrm{\forall }x>0,S(x)+S(x+1)=\frac{1}{x}$$

5. En déduire ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }xS(x)}$, puis un équivalent de $S(x)$ quand $x\to 0^{+}$.

6. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }S(x)}$, puis montrer que $S(x)\sim {\displaystyle \frac{1}{2x}}$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$. On pourra regrouper les termes deux par deux.

Soit $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ une fonction continue telle que

$${\int }_0^{1}f(t)t^n\mathrm{d}t=0\text{pour tout }n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

Les nombres $m_n(f)={\int }_0^{1}f(t)t^n\mathrm{d}t$ sont appelés les moments de $f$ : l'hypothèse dit que tous les moments de $f$ sont nuls. On note $\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[0,1]}={\sup }_{t\in [0,1]}\mathrm{\mid }g(t)\mathrm{\mid }$ la norme de la convergence uniforme sur $[0,1]$.

1. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)P(t)\mathrm{d}t=0}$ pour toute fonction polynomiale $P$.

2. Justifier l'existence d'une suite $(P_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers $f$ sur $[0,1]$, puis montrer que

$${\int }_0^{1}f(t)P_k(t)\mathrm{d}t\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_0^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

3. En déduire que ${\displaystyle {\int }_0^1{f}^2=0}$, puis que $f$ est identiquement nulle sur $[0,1]$.

4. Application : montrer que si $g$ et $h$ sont continues sur $[0,1]$ et ont les mêmes moments à tout ordre, alors $g=h$.

5. L'hypothèse « $f$ continue » est-elle nécessaire pour conclure $f=0$ ? Discuter brièvement le cas d'une fonction continue par morceaux.

Pour $n\in \mathbb{N}$ et $x\in [0,1]$, on pose $f_n(x)={\displaystyle \frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}}$.

1. Développer $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}$ en série entière et préciser le rayon de convergence.

2. En intégrant terme à terme sur le segment d'extrémités $0$ et $x$, pour $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ et en justifiant l'interversion, montrer que

$$\mathrm{Arctan}(x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}\text{pour tout }x\in ]-1,1[\mathrm{.}$$

3. Montrer que la série de fonctions $\sum f_n$ converge uniformément sur le segment $[0,1]$, et en déduire que sa somme $g$ est continue sur $[0,1]$. La convergence est-elle normale sur $[0,1]$ ?

4. En déduire la formule de Leibniz

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$

5. Combien de termes faut-il sommer pour obtenir $\pi$ avec une erreur inférieure à ${10}^{-3}$ ? Commenter la qualité de cette méthode de calcul de $\pi$.

On cherche les solutions développables en série entière au voisinage de $0$ du problème

$$(E):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-x{y}^{\mathrm{\prime }}-y=0,y(0)=1,y^{\mathrm{\prime }}(0)=0.$$

1. On suppose qu'il existe une solution $y(x)={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ de rayon de convergence $R>0$. Écrire $y^{\mathrm{\prime }}$ et $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ sous forme de séries entières, puis établir la relation de récurrence

$$(n+2)(n+1)a_{n+2}=(n+1)a_n,\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}{a}_{n+2}=\frac{a_n}{n+2}(n\in \mathbb{N})\mathrm{.}$$

2. Avec les conditions initiales, calculer $a_n$ pour tout $n$ : montrer que $a_{2k+1}=0$ et $a_{2k}={\displaystyle \frac{1}{2^{k}k!}}$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.

3. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ainsi obtenue.

4. Reconnaître sa somme et vérifier directement qu'elle est bien solution de $(E)$ avec les bonnes conditions initiales.

5. Retrouver ce résultat sans les séries entières, en résolvant d'abord l'équation du premier ordre vérifiée par $z=y^{\mathrm{\prime }}-xy$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)=e^{-1\mathrm{/}{x}^2}\text{si }x\mathrm{\ne }0,f(0)=0.$$

1. Montrer que $f$ est de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ et que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, il existe un polynôme $P_n$ tel que

$$f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}{e}^{-1\mathrm{/}{x}^2}\text{pour tout }x\in {\mathbb{R}}^{\ast }\mathrm{.}$$

On raisonnera par récurrence et on donnera la relation liant $P_{n+1}$ à $P_n$.

2. Montrer que pour tout polynôme $P$ et tout $k\in \mathbb{N}$, ${\displaystyle \frac{P(x)}{x^k}}{e}^{-1\mathrm{/}{x}^2}\underset{x\to 0}{\overset{}{\to }}0$.

3. En déduire par récurrence que $f$ est de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}$ et que $f^{(n)}(0)=0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. On utilisera le théorème de la limite de la dérivée, dont on énoncera précisément les hypothèses.

4. En déduire que $f$ n'est développable en série entière sur aucun voisinage de $0$, bien qu'elle soit de classe $C^{\mathrm{\infty }}$.

5. Conclure sur ce que cet exemple apprend de la différence entre « série de Taylor convergente » et « série de Taylor qui converge vers la fonction ».

Soit $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ une fonction continue. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose

$$I_n={\int }_0^{1}n{x}^{n}f(x)\mathrm{d}x\mathrm{.}$$

On note $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[0,1]}={\sup }_{x\in [0,1]}\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }$.

1. Calculer $I_n$ lorsque $f$ est la fonction constante égale à $1$, puis lorsque $f(x)=x$. Conjecturer la limite de $I_n$.

2. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{1}n{x}^n\mathrm{d}x=\frac{n}{n+1}}$, puis en déduire que

$$I_n-\frac{n}{n+1}f(1)={\int }_0^{1}n{x}^n(f(x)-f(1))\mathrm{d}x\mathrm{.}$$

3. Soit $\epsilon >0$. En utilisant la continuité de $f$ en $1$, choisir $\delta >0$ convenable, découper l'intégrale précédente en ${\displaystyle {\int }_0^{1-\delta }+{\int }_{1-\delta }^1}$ et majorer chacun des deux morceaux.

4. Conclure que $I_n\to f(1)$.

5. La suite de fonctions $g_n:x\mapsto n{x}^n$ converge-t-elle uniformément sur $[0,1]$ ? Le résultat démontré contredit-il le théorème d'interversion limite et intégrale ?

On pose $H_0=0$ et, pour $n⩾1$,

$$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\mathrm{.}$$

1. Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\sum H_n{x}^n$ vaut $1$ (on pourra encadrer $H_n$).

2. Calculer le produit de Cauchy des deux séries entières ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{x^n}{n}}$ et ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{x}^n}$, et en déduire que

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{H}_n{x}^n=\frac{-\ln (1-x)}{1-x}\text{pour tout }x\in ]-1,1[\mathrm{.}$$

3. En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{H_n}{2^n}}$.

4. Par dérivation, calculer ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{H}_n{x}^n}$ sur $]-1,1[$.

5. Retrouver le résultat de la question 2 en partant de la relation $H_n-H_{n-1}={\displaystyle \frac{1}{n}}$, c'est-à-dire en multipliant la série $\sum H_n{x}^n$ par $(1-x)$.

On pose, pour $n⩾1$, $f_n(x)={\displaystyle \frac{x^n}{n^2}}$, et l'on note

$$S(x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^2}\mathrm{.}$$

1. Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.

2. Montrer que la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur le segment $[-1,1]$, et en déduire que $S$ est définie et continue sur $[-1,1]$.

3. Montrer que $S$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$ et que $S^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-\ln (1-x)}{x}}$ pour $x\mathrm{\ne }0$, en précisant la valeur de $S^{\mathrm{\prime }}(0)$.

4. En déduire que $S(x)=-{\displaystyle {\int }_0^x\frac{\ln (1-t)}{t}\mathrm{d}t}$ pour tout $x\in ]-1,1[$, l'intégrande étant prolongé par continuité en $0$.

5. Montrer que $S$ n'est pas dérivable en $1$.

6. Montrer que $S(1)+S(-1)={\displaystyle \frac{1}{2}}S(1)$, et en déduire $S(-1)$ en fonction de $S(1)$.

On se propose de démontrer le théorème de Weierstrass (toute fonction continue sur un segment y est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales) sans recourir aux polynômes de Bernstein, donc sans aucun outil probabiliste. Le fil directeur est le suivant : on construit d'abord une approximation polynomiale de la racine carrée, on en déduit une approximation de la valeur absolue, puis des fonctions affines par morceaux, et l'on conclut en approchant une fonction continue quelconque par une ligne brisée.

Pour une fonction $g$ bornée sur une partie $A$ de $\mathbb{R}$, on note $\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}={\sup }_{x\in A}\mathrm{\mid }g(x)\mathrm{\mid }$. On note $r$ la fonction racine carrée restreinte à $[0,1]$, c'est-à-dire $r(t)=\sqrt{t}$ pour $t\in [0,1]$. On utilisera librement le théorème de Heine, acquis de première année : une fonction continue sur un segment y est uniformément continue.

Partie A. La racine carrée

On définit la suite de fonctions $(P_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sur $[0,1]$ par $P_0=0$ et

$$P_{n+1}(t)=P_n(t)+\frac{1}{2}(t-P_n(t{)}^2)$$

1. Montrer que chaque $P_n$ est une fonction polynomiale, puis établir par récurrence que

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }t\in [0,1],0⩽P_n(t)⩽\sqrt{t}$$

On pourra commencer par vérifier l'identité $\sqrt{t}-P_{n+1}(t)=(\sqrt{t}-P_n(t))(1-{\displaystyle \frac{\sqrt{t}+P_n(t)}{2}})$.

2. En déduire que, pour tout $t\in [0,1]$, la suite numérique $(P_n(t){)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge, et déterminer sa limite.

3. Montrer que

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }t\in [0,1],0⩽\sqrt{t}-P_n(t)⩽\sqrt{t}{(1-\frac{\sqrt{t}}{2})}^n$$

puis, à l'aide de l'inégalité $1-v⩽{\mathrm{e}}^{-v}$ et de l'étude de la fonction $u\mapsto u{\mathrm{e}}^{-nu\mathrm{/}2}$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, que

$$\mathrm{\forall }n⩾1,\mathrm{\parallel }r-P_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[0,1]}⩽\frac{2}{\mathrm{e}n}⩽\frac{1}{n}$$

Conclure que $(P_n)$ converge uniformément vers $r$ sur $[0,1]$.

Partie B. La valeur absolue

4. En déduire que $x\mapsto \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ est limite uniforme sur $[-1,1]$ d'une suite de fonctions polynomiales, puis que c'est encore le cas sur tout segment $[-a,a]$ avec $a>0$.

5. Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un segment $[a,b]$, chacune limite uniforme sur $[a,b]$ d'une suite de fonctions polynomiales. Établir les identités

$$\max (u,v)=\frac{u+v+\mathrm{\mid }u-v\mathrm{\mid }}{2},\min (u,v)=\frac{u+v-\mathrm{\mid }u-v\mathrm{\mid }}{2}$$

puis montrer que $\max (u,v)$ et $\min (u,v)$ sont encore limites uniformes sur $[a,b]$ de suites de fonctions polynomiales.

6. Soit $\phi :[a,b]\to \mathbb{R}$ une fonction continue et affine par morceaux, associée à une subdivision $a=x_0<x_1<\cdots <x_N=b$. Montrer qu'il existe une fonction affine $\mathrm{\ell }$ et des réels $c_1,\dots ,c_{N-1}$ tels que

$$\mathrm{\forall }x\in [a,b],\phi (x)=\mathrm{\ell }(x)+\sum _{k=1}^{N-1}{c}_k\max (x-x_k,0)$$

En déduire que $\phi$ est limite uniforme sur $[a,b]$ d'une suite de fonctions polynomiales.

Partie C. Le théorème

7. Soient $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ une fonction continue et $\epsilon >0$. Montrer qu'il existe une fonction $\phi$ continue et affine par morceaux sur $[a,b]$ telle que $\mathrm{\parallel }f-\phi {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[a,b]}⩽\epsilon$. Conclure en démontrant le théorème de Weierstrass.

On pose, pour $x>0$,

$$F(x)=\sum _{n⩾1}{\mathrm{e}}^{-n^{2}x}$$

Cette fonction, appelée fonction thêta, apparaît en théorie des nombres comme en physique statistique. Son comportement au voisinage de $0^{+}$ n'est pas lisible sur la formule : chaque terme tend vers $1$, mais la série diverge en $0$. L'objet de l'exercice est de déterminer précisément la vitesse d'explosion.

1. Montrer que $F$ est définie exactement sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, qu'elle y est de classe $C^{\mathrm{\infty }}$, qu'elle est strictement décroissante, et déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)}$.

2. Soit $x>0$. On admet la convergence des intégrales ci-dessous. Montrer, par comparaison série-intégrale, que

$${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^{2}x}\mathrm{d}t⩽F(x)⩽{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^{2}x}\mathrm{d}t$$

3. À l'aide du changement de variable $u=t\sqrt{x}$ et en admettant la valeur de l'intégrale de Gauss ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u={\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{2}}}$, en déduire

$$F(x)⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{x}}}\text{ainsi qu’une minoration de la forme}F(x)⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{x}}}-1$$

4. Conclure que $F(x)\sim {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{x}}}$ lorsque $x\to 0^{+}$.

5. En déduire ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x}F(x)}$, puis donner une valeur approchée de $F(\mathrm{0,01})$ en précisant l'incertitude garantie par l'encadrement de la question 3.

On définit la suite $(C_n{)}_{n⩾0}$ des nombres de Catalan par

$$C_0=1\text{et}\mathrm{\forall }n⩾0,C_{n+1}=\sum _{k=0}^n{C}_k{C}_{n-k}$$

Cette récurrence quadratique ne se résout par aucune technique élémentaire. La méthode de la série génératrice consiste à coder toute la suite dans une seule fonction, $f(x)={\sum }_{n⩾0}{C}_n{x}^n$, à traduire la récurrence en une équation sur $f$, à résoudre cette équation, puis à relire les coefficients. C'est l'un des plus beaux usages du produit de Cauchy.

1. Calculer $C_1$, $C_2$, $C_3$ et $C_4$.

2. On pose $u_n={\displaystyle \frac{C_n}{4^n}}$ pour $n⩾0$, et $T_N={\displaystyle \sum _{n=0}^N{u}_n}$ pour $N⩾0$.

a. Montrer que $u_n>0$ pour tout $n$, que $u_0=1$, et que

$$\mathrm{\forall }n⩾0,u_{n+1}=\frac{1}{4}\sum _{k=0}^n{u}_k{u}_{n-k}$$

b. Montrer que $T_{N+1}⩽1+{\displaystyle \frac{T_N^2}{4}}$ pour tout $N⩾0$, puis en déduire par récurrence que $T_N⩽2$ pour tout $N⩾0$.

c. En déduire que $C_n⩽4^n$ pour tout $n⩾0$, puis que le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum C_n{x}^n$ vérifie $R⩾{\displaystyle \frac{1}{4}}$.

3. On note $f(x)={\displaystyle \sum _{n⩾0}{C}_n{x}^n}$ pour $x\in ]-R,R[$. À l'aide du produit de Cauchy, montrer que

$$\mathrm{\forall }x\in ]-R,R[,xf(x{)}^2=f(x)-1$$

4. Soit $x\in ]0,{\displaystyle \frac{1}{4}}[$.

a. Montrer que $0<f(x)⩽2$.

b. Montrer que $f(x)$ est racine du trinôme $X\mapsto x{X}^2-X+1$ et calculer les deux racines de ce trinôme.

c. En déduire que $f(x)={\displaystyle \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}}$. On justifiera le choix de la racine à la fois par le comportement de $f$ en $0$ (continuité, $f(0)=1$) et par la majoration de la question a.

5. a. Rappeler le développement en série entière de $(1+u{)}^{1\mathrm{/}2}$ et calculer explicitement le coefficient ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{1\mathrm{/}2}{n}\right)}$ pour $n⩾1$.

b. En déduire le développement en série entière de $\sqrt{1-4x}$ sur $]-{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{4}}[$.

c. Conclure que $C_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}$ pour tout $n⩾0$.

6. Vérifier cette formule pour $n⩽4$ et déterminer la valeur exacte de $R$.

On se propose d'établir la formule

$${\int }_0^1{x}^{-x}\mathrm{d}x=\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^n}$$

surnommée le « rêve du sophomore » (Johann Bernoulli, 1697) : une intégrale sans primitive élémentaire vaut exactement une série d'une simplicité désarmante. La stratégie est celle de l'interversion somme-intégrale sur un segment.

1. Montrer que la fonction $\phi :x\mapsto x^{-x}={\mathrm{e}}^{-x\ln x}$, prolongée par la valeur $1$ en $0$, est continue sur $[0,1]$. En particulier, ${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{-x}\mathrm{d}x}$ est une intégrale ordinaire sur un segment.

2. Montrer que $0⩽-x\ln x⩽{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$ pour tout $x\in ]0,1]$. En déduire que la série de fonctions ${\sum }_{n⩾0}{g}_n$, où

$$g_n(x)=\frac{{(-x\ln x)}^n}{n!}\text{pour }x\in ]0,1],g_0(0)=1\text{ et }{g}_n(0)=0\text{ pour }n⩾1$$

est une série de fonctions continues sur $[0,1]$ qui converge normalement sur $[0,1]$, de somme $\phi$.

3. Pour $p⩾1$ et $n⩾0$ entiers, on pose $J_{p,n}={\displaystyle {\int }_0^1{x}^p(\ln x{)}^n\mathrm{d}x}$.

a. Justifier que la fonction intégrée se prolonge par continuité en $0$, de sorte que $J_{p,n}$ est une intégrale sur un segment. Pourquoi impose-t-on $p⩾1$ ?

b. Calculer $J_{p,0}$, puis établir par intégration par parties la relation $J_{p,n}=-{\displaystyle \frac{n}{p+1}}{J}_{p,n-1}$ pour $n⩾1$.

c. En déduire que $J_{p,n}={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n}n!}{(p+1{)}^{n+1}}}$.

4. En intégrant terme à terme sur le segment $[0,1]$, et en justifiant soigneusement l'interversion, conclure que

$${\int }_0^1{x}^{-x}\mathrm{d}x=\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^n}$$

5. Donner une valeur approchée de cette intégrale à ${10}^{-4}$ près, en justifiant le nombre de termes conservés.

On pose $f(x)=\mathrm{Arcsin}(x)$ pour $x\in ]-1,1[$. Le développement en série entière de cette fonction est l'un des grands classiques : les dérivées successives de $\mathrm{Arcsin}$ en $0$ sont inaccessibles au calcul direct, mais l'équation différentielle qu'elle vérifie livre les coefficients sans effort. On confrontera ensuite cette méthode à la méthode directe par primitivation.

1. Montrer que $f$ est de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur $]-1,1[$ et qu'elle vérifie le problème de Cauchy

$$(1-x^2)y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-x{y}^{\mathrm{\prime }}=0,y(0)=0,y^{\mathrm{\prime }}(0)=1$$

2. On cherche une solution développable en série entière $y(x)={\displaystyle \sum _{n⩾0}{a}_n{x}^n}$, de rayon de convergence $R>0$. Montrer que l'équation différentielle équivaut à la relation de récurrence

$$\mathrm{\forall }n⩾0,(n+2)(n+1)a_{n+2}=n^2{a}_n$$

3. Avec les conditions initiales, montrer que $a_{2k}=0$ pour tout $k⩾0$, puis que

$$\mathrm{\forall }k⩾0,a_{2k+1}=\frac{(2k)!}{4^k(k!{)}^2(2k+1)}=\frac{1}{4^k(2k+1)}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2k}{k}\right)$$

4. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ainsi obtenue.

5. Justifier que la somme de cette série est bien $\mathrm{Arcsin}$ sur $]-1,1[$. On pourra remarquer que $y^{\mathrm{\prime }}$ vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre et invoquer l'unicité de la solution d'un problème de Cauchy sur $]-1,1[$.

6. Retrouver le résultat par une seconde méthode : développer ${(1-t^2)}^{-1\mathrm{/}2}$ en série entière à l'aide du développement usuel de $(1+u{)}^{\alpha }$, puis primitiver terme à terme.

7. En déduire une expression simple de

$$\sum _{k⩾0}\frac{1}{4^k(2k+1)}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2k}{k}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{2k+1}$$