Devoir surveillé — Suites et séries de fonctions, séries entières

Chacune des cinq assertions suivantes est obtenue en ajoutant ou en retirant une hypothèse à un théorème du chapitre. Dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la démontrer. Si elle est fausse, produire un contre-exemple explicite, dont on vérifiera une par une toutes les hypothèses de l'assertion : un contre-exemple qui n'en satisfait pas une ne réfute rien.

Dans tout l'exercice, $A$ désigne une partie de $\mathbb{R}$ et, pour une fonction $g$ de $A$ dans $\mathbb{R}$, on note $\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}={\sup }_{x\in A}\mathrm{\mid }g(x)\mathrm{\mid }$, avec la convention $\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}=+\mathrm{\infty }$ si $g$ n'est pas bornée sur $A$.

a. (0,5 pt) Si $(f_n)$ et $(g_n)$ convergent uniformément sur $A$ vers $f$ et $g$ respectivement, et si les deux limites $f$ et $g$ sont bornées sur $A$, alors $(f_n{g}_n)$ converge uniformément sur $A$ vers $fg$.

b. (0,5 pt) Si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ et si chaque $f_n$ est bornée sur $A$, alors $f$ est bornée sur $A$ et $\mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}⟶\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}$.

c. (0,5 pt) Si une suite de fonctions continues sur $[0,1]$ converge simplement sur $[0,1]$ vers une fonction continue sur $[0,1]$, alors la convergence est uniforme sur $[0,1]$.

d. (0,5 pt) Si $(f_n)$ est une suite de fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,1]$ telle que $(f_n^{\mathrm{\prime }})$ converge uniformément sur $[0,1]$, et s'il existe un réel $M$ tel que $\mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[0,1]}⩽M$ pour tout $n$, alors $(f_n)$ converge simplement sur $[0,1]$.

e. (0,5 pt) Si $(a_n{)}_{n⩾1}$ est une suite de réels strictement positifs telle que le rayon de convergence de la série entière ${\sum }_{n⩾1}{a}_n{x}^n$ vaut $1$, alors la série numérique $\sum a_n$ diverge.

Pour lisser un signal, on remplace sa valeur en $x$ par sa moyenne sur une fenêtre de largeur $\frac{1}{n}$ située juste après $x$ ; on étudie ici ce que devient le signal lorsque la fenêtre se referme.

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction continue. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on définit la fonction $f_n$ sur $\mathbb{R}$ par

$$f_n(x)=n{\int }_x^{x+1\mathrm{/}n}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

On pourra utiliser librement le théorème de Heine, acquis de première année : une fonction continue sur un segment y est uniformément continue.

1. (0,5 pt) Montrer que $f_n$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $f_n^{\mathrm{\prime }}$.

2. (0,5 pt) Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. (0,75 pt) Soient $a<b$ deux réels. Montrer d'abord que $f_n(x)-f(x)=n{\int }_x^{x+1\mathrm{/}n}(f(t)-f(x))\mathrm{d}t$ pour tout $x$ réel (identité qui resservira à la question 5.), puis que la convergence est uniforme sur $[a,b]$. On prendra garde au segment sur lequel appliquer le théorème de Heine : pour $x\in [a,b]$, la variable $t$ décrit $[x,x+\frac{1}{n}]$, qui n'est pas inclus dans $[a,b]$.

4. (0,5 pt) Dans cette question, on prend $f(t)=t^2$. Calculer $f_n(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, puis montrer que la convergence n'est pas uniforme sur $\mathbb{R}$.

5. (0,75 pt) On revient à une fonction $f$ quelconque, que l'on suppose maintenant de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$, de dérivée bornée, et l'on pose $M={\sup }_{t\in \mathbb{R}}\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\mid }$. Montrer que

$$\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },\mathbb{R}}⩽{\displaystyle \frac{M}{2n}}\mathrm{.}$$

6. (0,5 pt) On revient au cas général, où $f$ est seulement supposée continue. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^1{f}_n(x)\mathrm{d}x⟶{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x}$, puis vérifier ce résultat par un calcul direct dans le cas $f(t)=t^2$ de la question 4.

Cet exercice étudie une fonction définie par une série qui ne converge uniformément sur aucun voisinage de $+\mathrm{\infty }$, alors que sa série dérivée, elle, converge normalement sur $\mathbb{R}$ tout entier. Chaque théorème du chapitre devra donc être appliqué exactement sur la partie où ses hypothèses sont vérifiées, ni plus ni moins : c'est cette délimitation, autant que le résultat, qui est notée.

Pour $n⩾1$, on note $u_n$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$u_n(x)=\mathrm{Arctan}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x}{n^2}\right),$$

et l'on pose, sous réserve de convergence,

$$f(x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{Arctan}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x}{n^2}\right)\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Établir que $0⩽\mathrm{Arctan}u⩽u$ pour tout $u⩾0$ (cette inégalité resservira). En déduire que la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur tout segment de $\mathbb{R}$, puis que $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$, et qu'elle est impaire.

2. (0,75 pt) Montrer qu'il n'y a convergence ni normale ni uniforme sur $\mathbb{R}$.

3. (0,75 pt) Montrer que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$, exprimer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ comme somme d'une série, et en déduire que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

4. (0,5 pt) Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$, et expliquer pourquoi le théorème de la double limite ne permet pas de l'obtenir.

5. (1 pt) Montrer que, pour tout $x⩾4$,

$$\frac{\pi }{4}(\sqrt{x}-1)⩽f(x)⩽(\frac{\pi }{2}+2)\sqrt{x}\mathrm{.}$$

Indication : on coupera la somme au rang $N=\lfloor \sqrt{x}\rfloor$ et l'on traitera séparément les deux paquets, en majorant chaque arc tangente par $\frac{\pi }{2}$ dans l'un et par son argument dans l'autre.

6. (0,5 pt) En déduire que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, et que ${\displaystyle \frac{f(x)}{x}}⟶0$ lorsque $x\to +\mathrm{\infty }$.

Une série entière dont on ne garde qu'un exposant sur trois ne se traite pas comme les autres : la règle de d'Alembert refuse de s'appliquer aux coefficients, et la somme ne se reconnaît dans aucun développement usuel. L'exercice met en place le procédé de filtrage par les racines de l'unité, qui reconstitue la somme cherchée à partir de trois exponentielles, puis il en tire une équation différentielle et une valeur numérique.

On pose, pour $x\in \mathbb{R}$,

$$S(x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^{3n}}{(3n)!},$$

et l'on note $j={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi \mathrm{/}3}$. On rappelle que, pour tout $z\in \mathbb{C}$,

$${\mathrm{e}}^z=\sum _{m=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^m}{m!},$$

série entière de rayon de convergence infini.

1. (0,5 pt) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant $S$. Expliquer pourquoi la règle de d'Alembert appliquée à la suite des coefficients ne s'applique pas telle quelle.

2. (0,75 pt) Montrer que, pour tout $m\in \mathbb{N}$, le nombre $1+j^m+j^{2m}$ vaut $3$ si $m$ est multiple de $3$, et $0$ sinon. En déduire que, pour tout $x\in \mathbb{R}$,

$$S(x)=\frac{1}{3}({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{jx}+{\mathrm{e}}^{j^{2}x})\mathrm{.}$$

3. (0,75 pt) En déduire que, pour tout $x\in \mathbb{R}$,

$$S(x)=\frac{1}{3}({\mathrm{e}}^x+2{\mathrm{e}}^{-x\mathrm{/}2}\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right))\mathrm{.}$$

4. (0,5 pt) Montrer que $S$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}$ et qu'elle est solution du problème

$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=y,y(0)=1,y^{\mathrm{\prime }}(0)=y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0.$$

5. (0,5 pt) En déduire la valeur exacte de ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(3n)!}}$. Montrer ensuite que la somme partielle ${\displaystyle \sum _{n=0}^2\frac{1}{(3n)!}=\frac{841}{720}}$ en est une valeur approchée à mieux que ${10}^{-4}$ près, et qu'un terme de moins n'y suffirait pas. Aucune écriture décimale n'est demandée.

Ce problème est la pièce maîtresse du sujet et ses trois parties s'enchaînent. La partie A démontre un théorème, la partie B en tire un second, la partie C les applique à une identité que rien, dans les deux premières parties, ne laisse deviner. Les résultats de A.1, A.4 et A.5 sont admis pour la suite si l'on n'a pas su les démontrer, à condition de le signaler : la partie B et la partie C restent entièrement traitables sans eux.

Tout le chapitre décrit ce qui se passe à l'intérieur de l'intervalle ouvert de convergence d'une série entière. Au bord, plus rien n'est garanti : la série $\sum x^n$ et la série $\sum \frac{x^n}{n^2}$ ont le même rayon de convergence $1$ et des comportements opposés en $x=1$. Le cours en tire une consigne de méthode explicite : « aucun théorème du programme ne permet de prolonger automatiquement une égalité de sommes jusqu'au bord », et il traite le cas de $\ln 2$ à la main, par majoration du reste d'une série alternée. La partie A construit le théorème qui manque, la partie B en tire un résultat sur les produits, et la partie C montre que le couple des deux atteint une valeur que la méthode « à la main » du cours ne donne pas.

Partie A. Le théorème d'Abel.

Dans toute cette partie, $(a_n{)}_{n⩾0}$ est une suite réelle telle que la série $\sum a_n$ converge. On note

$$S=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_k,R_n=\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_k(n⩾0),R_{-1}=S\mathrm{.}$$

A.1 (0,5 pt) Montrer que le rayon de convergence $\rho$ de la série entière $\sum a_n{x}^n$ vérifie $\rho ⩾1$, et que la fonction

$$f:x⟼\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$$

est définie et continue sur $]-1,1[$.

A.2 (0,5 pt) Montrer que la série entière $\sum R_n{x}^n$ a un rayon de convergence supérieur ou égal à $1$, puis établir que pour tout $x\in ]-1,1[$ et tout $N\in \mathbb{N}$ :

$$\sum _{n=0}^N{a}_n{x}^n=S-(1-x)\sum _{n=0}^{N-1}{R}_n{x}^n-R_N{x}^N$$

(avec la convention que la somme vide, obtenue pour $N=0$, est nulle).

A.3 (0,5 pt) En déduire que pour tout $x\in ]-1,1[$ :

$$f(x)=S-(1-x)\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{R}_n{x}^n\mathrm{.}$$

A.4 (1 pt) Démontrer le théorème d'Abel : ${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=S}$. On pourra, $\epsilon >0$ étant fixé, choisir un rang $N_0$ tel que $\mathrm{\mid }{R}_n\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour tout $n>N_0$, puis couper la somme de A.3 en deux.

A.5 (0,5 pt) On rappelle que pour tout $x\in ]-1,1[$, $\ln (1+x)={\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n$. Le cours établit l'identité ci-dessous à la main, en majorant le reste d'une série alternée sur $[0,1]$ ; il s'agit ici de retrouver

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}=\ln 2$$

sans aucun calcul de reste, comme simple corollaire de A.4, en vérifiant soigneusement les hypothèses du théorème d'Abel. La démonstration du cours, par convergence uniforme sur $[0,1]$, est une autre preuve du même résultat : elle ne rapporte pas les points de cette question.

Partie B. Le produit de deux séries convergentes.

Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites réelles telles que les séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent, de sommes respectives $S_a$ et $S_b$ (la lettre $A$ restant réservée au nom de la partie). On pose

$$c_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}(n\in \mathbb{N})\mathrm{.}$$

Le théorème du cours sur le produit de Cauchy de deux séries numériques exige leur convergence absolue, hypothèse dont on ne dispose pas ici : rien ne garantit a priori que la série $\sum c_n$ converge, ni, si elle converge, que sa somme vaille $S_a{S}_b$.

B.1 (0,75 pt) Montrer que pour tout $x\in ]-1,1[$, les trois séries $\sum a_n{x}^n$, $\sum b_n{x}^n$ et $\sum c_n{x}^n$ convergent, et que

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n{x}^n=\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right)\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{b}_n{x}^n\right)\mathrm{.}$$

B.2 (0,75 pt) On suppose de plus que la série $\sum c_n$ converge. Montrer qu'alors

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n=S_a{S}_b\mathrm{.}$$

B.3 (0,5 pt) Montrer que l'hypothèse de convergence de $\sum c_n$ faite en B.2 ne peut pas être supprimée, en étudiant l'exemple $a_n=b_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+1}}$. On pourra utiliser l'inégalité $\sqrt{uv}⩽\frac{u+v}{2}$, valable pour tous réels positifs $u$ et $v$.

Partie C. L'identité.

On applique maintenant la partie B à la suite de la partie A.5. On pose donc, pour $n\in \mathbb{N}$,

$$a_n=b_n=\frac{(-1{)}^n}{n+1},c_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{a}_{n-k},H_m=\sum _{k=1}^m\frac{1}{k}(m⩾1)\mathrm{.}$$

C.1 (0,75 pt) Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

$$c_n=(-1{)}^n\frac{2H_{n+1}}{n+2}\mathrm{.}$$

Indication : décomposer ${\displaystyle \frac{1}{(k+1)(n-k+1)}}$ en éléments simples par rapport à $k$.

C.2 (0,5 pt) Montrer que la série $\sum c_n$ converge, et qu'elle ne converge pas absolument.

C.3 (0,75 pt) En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{2H_{n+1}}{n+2}}$, puis celle de ${\displaystyle \sum _{m=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{m-1}{H}_m}{m+1}}$.