Exercices — Séries numériques et vectorielles

Déterminer la nature de chacune des séries suivantes. Toutes sont à termes positifs : on précisera à chaque fois l'équivalent, la majoration ou la minoration utilisée, ainsi que la série de référence invoquée.

Déterminer la nature de chacune des séries suivantes, dont le terme général est strictement positif, en appliquant la règle de d'Alembert. On calculera à chaque fois le rapport ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ sous forme simplifiée avant d'en chercher la limite.

1. Rappeler la condition nécessaire de convergence d'une série, et définir la divergence grossière.

2. Montrer que chacune des séries suivantes diverge grossièrement.

3. Cas vectoriel. Soit $u_n=({\displaystyle \frac{1}{2^n}},{\displaystyle \frac{n}{n+1}})\in {\mathbb{R}}^2$. Montrer que $\sum u_n$ diverge grossièrement, en précisant quelle propriété de la dimension finie on utilise.

4. Montrer que la condition de la question 1 n'est pas suffisante : étudier la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\ln (1+\frac{1}{n})}$ en calculant explicitement ses sommes partielles.

5. Que peut-on dire d'une série dont le terme général tend vers $0$ ?

Dans les questions 1 à 4, montrer que la série proposée converge et calculer sa somme. On écrira à chaque fois explicitement la somme partielle de rang $N$ avant de passer à la limite.

1. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n(n+1)}}$

2. ${\displaystyle \sum _{n⩾2}\ln (1-\frac{1}{n^2})}$. On écrira la somme partielle sous forme d'un produit télescopé.

3. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})}$

4. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}(\mathrm{Arctan}(n+1)-\mathrm{Arctan}(n))}$

5. Énoncer le principe du lien suite-série. L'illustrer en montrant que la suite $t_n=H_n-\ln n$ converge, où $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$, par l'étude de la série $\sum (t_{n+1}-t_n)$.

1. Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, muni d'une base $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_p)$. Rappeler pourquoi la convergence d'une série $\sum u_n$ d'éléments de $E$ équivaut à la convergence de chacune des séries de coordonnées dans $\mathcal{B}$.

2. Étudier la convergence et la convergence absolue de $\sum u_n$, où $u_n=({\displaystyle \frac{1}{2^n}},{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n^2}})\in {\mathbb{R}}^2$ pour $n⩾1$, puis calculer la première coordonnée de sa somme.

3. Étudier ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{z}_n}$, où $z_n={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n}}{n^2}}\in \mathbb{C}$.

4. Étudier ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{A}_n}$, où $A_n=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}& {\displaystyle \frac{1}{3^n}}\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. On calculera les coefficients de la somme qui peuvent l'être exactement.

5. Donner un exemple de série à valeurs dans ${\mathbb{R}}^2$ qui converge sans converger absolument.

Soit $f$ une fonction continue, positive et décroissante sur $[1,+\mathrm{\infty }[$.

1. Établir, pour tout entier $k⩾2$, l'encadrement

2. En déduire que, pour tout $n⩾1$, $\ln (n+1)⩽H_n⩽1+\ln n$, où $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$. En déduire $H_n\sim \ln n$.

3. Par la même méthode, encadrer ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}}$ et en déduire que ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\sim 2\sqrt{n}}$.

4. Retrouver, par comparaison série-intégrale, la nature de la série de Riemann ${\displaystyle \sum \frac{1}{n^{\alpha }}}$ pour $\alpha >0$. On traitera séparément les cas $\alpha =1$ et $\alpha \mathrm{\ne }1$.

5. Vérifier numériquement l'encadrement de la question 2 pour $n=10$ et $n=1000$.

Pour chacune des séries suivantes, justifier la convergence puis calculer la somme exacte.

1. ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{n}{2^n}}$. On raisonnera uniquement sur les sommes partielles, dont on donnera une expression close.

2. ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{n^2}{2^n}}$

3. ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{n+1}{n!}}$

4. ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{n^2+1}{n!}}$

5. ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{(-1{)}^n}{n!}}$

1. Énoncer le théorème de Cesàro.

2. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\cos \frac{1}{k}}$.

3. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\ln (1+\frac{1}{k})}$.

4. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt[k]{k}}$.

5. Montrer que la réciproque du théorème de Cesàro est fausse, en traitant le cas $u_n=(-1{)}^n$. On calculera explicitement la moyenne selon la parité de $n$.

6. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k{\mathrm{e}}^{1\mathrm{/}k}}$.

Déterminer la nature de chacune des séries suivantes. Dans chaque cas, on écrira explicitement le développement limité du terme général qui permet de conclure.

1. Rappeler l'énoncé du théorème d'équivalence pour les séries à termes positifs, et souligner le rôle exact joué par l'hypothèse de signe.

2. Pour $n⩾1$, on pose

Montrer que $u_n\sim v_n$.

3. Montrer que $\sum u_n$ converge et que $\sum v_n$ diverge. Que peut-on en conclure sur la portée du théorème de la question 1 ?

4. Étudier de la même manière la série ${\displaystyle \sum _{n⩾2}\ln (1+\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}})}$ : écrire le développement limité du terme général, séparer la partie alternée de la partie de signe constant, puis conclure.

5. Énoncer la règle pratique à retenir : avec quel outil traite-t-on une série dont le terme général n'est pas de signe constant ?

Pour $n⩾1$, on note $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$ la somme partielle de la série harmonique, et l'on pose $t_n=H_n-\ln n$.

1. Pour $n⩾2$, on pose $w_n={\displaystyle \frac{1}{n}}-\ln \left({\displaystyle \frac{n}{n-1}}\right)$. Montrer que $w_n=\mathcal{O}\left({\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)$ et que la série $\sum w_n$ converge.

2. En déduire, par le lien suite-série, l'existence d'un réel $\gamma$ tel que

3. Retrouver ce résultat par comparaison série-intégrale : encadrer $t_n=H_n-\ln n$, puis montrer que la suite $(t_n)$ est décroissante et minorée.

4. Déduire de la question 3 un encadrement numérique de $\gamma$, et le comparer à la valeur $\gamma =\mathrm{0,5772}\dots$

5. Déterminer un équivalent, puis la limite, de $H_{2n}-H_n$. Déterminer enfin la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n}(H_n-\ln n-\gamma )}$.

1. Soit $\alpha >1$. Montrer par comparaison série-intégrale que

2. Soit $0<\alpha <1$. Montrer de même que

3. Applications numériques. Donner un équivalent de ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}}$, de ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3}}$ et de ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}}$.

4. En déduire la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{R}_n}$, où $R_n={\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}}$.

5. Déterminer un équivalent de ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2+k}}$, en vérifiant explicitement les hypothèses du théorème de sommation des relations de comparaison.

Soit $p⩾1$. On munit ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$ de l'application

1. Montrer que $N$ est une norme sur ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$, puis qu'elle est sous-multiplicative : $N(AB)⩽N(A)N(B)$ pour toutes matrices $A$ et $B$.

2. Soit $A\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$ telle que $N(A)<1$. Montrer que la série ${\displaystyle \sum _{k⩾0}{A}^k}$ converge absolument, donc converge.

3. Montrer que $I_p-A$ est inversible et que

On passera à la limite dans l'identité $(I_p-A){\displaystyle \sum _{k=0}^n{A}^k=I_p-A^{n+1}}$.

4. Application numérique complète avec

Vérifier que $N(A)<1$, calculer ${(I_2-A)}^{-1}$, puis contrôler le résultat sur les premières sommes partielles.

5. Montrer sur un exemple que la condition $N(A)<1$ n'est pas nécessaire : on prendra pour $A$ une matrice nilpotente non nulle.

On munit ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$ de la norme $N(A)=p{\max }_{i,j}\mid a_{i,j}\mid$ de l'exercice précédent, dont on admettra qu'elle est sous-multiplicative : $N(AB)⩽N(A)N(B)$.

1. Montrer que pour toute matrice $A\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$, la série ${\displaystyle \sum _{k⩾0}\frac{A^k}{k!}}$ converge absolument. On note $\exp (A)$ sa somme.

2. Calculer $\exp (A)$ pour $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$.

3. Calculer $\exp (J)$ pour $J=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 0& 0\end{array}\right)$, puis $\exp (tJ)$ pour $t\in \mathbb{R}$.

4. Montrer que pour toute matrice inversible $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_p(\mathbb{R})$ et toute matrice $A\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$,

5. Application. Calculer $\exp (A)$ pour $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ en la diagonalisant. On donnera $P$, $P^{-1}$, et l'on vérifiera les produits matriciels.

(La matrice nilpotente de la question 3 est notée $J$ et non $N$ pour ne pas entrer en conflit avec la norme $N$.)

1. Énoncer précisément le théorème de sommation des relations de comparaison dans le cas d'une série de référence convergente à termes positifs, dans ses trois versions : $\mathrm{o}$, $\mathcal{O}$ et $\sim$.

2. Application. Soit $u_n={\displaystyle \frac{1}{n^2+\sqrt{n}}}$. Donner un équivalent du reste ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k}$.

3. Application. Même question pour $u_n=\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{n^2}})$.

4. Application. Soit $u_n={\displaystyle \frac{1}{n^2}}\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})$. Montrer que le reste ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k}$ est un $\mathrm{o}\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)$, puis en donner un équivalent.

5. Contre-exemple. Montrer sur un exemple que la conclusion tombe si la série de référence n'est pas à termes positifs.

Dans chaque application, on vérifiera explicitement les hypothèses du théorème.

1. Énoncer précisément le théorème de sommation des relations de comparaison dans le cas d'une série de référence divergente à termes positifs, dans ses trois versions : $\mathrm{o}$, $\mathcal{O}$ et $\sim$.

2. Application. Montrer que ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}+\ln k}\sim 2\sqrt{n}}$.

3. Application. Montrer que ${\displaystyle \sum _{k=2}^n\frac{1}{k\ln k}\sim \ln (\ln n)}$.

4. Application. Montrer que ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\ln k\sim n\ln n}$.

5. Contre-exemple. Montrer que la conclusion tombe si la suite de référence n'est pas de signe constant.

Dans chaque application, on vérifiera explicitement les hypothèses du théorème.

On rappelle le théorème de Cesàro : si $(a_n{)}_{n⩾1}$ est une suite de réels convergeant vers $\mathrm{\ell }\in \mathbb{R}$, alors la suite des moyennes arithmétiques converge vers la même limite,

L'objet de l'exercice est d'exploiter ce théorème sous ses deux formes usuelles.

1. Soit $(u_n{)}_{n⩾0}$ une suite réelle telle que $u_{n+1}-u_n\to \mathrm{\ell }$. Montrer que ${\displaystyle \frac{u_n}{n}}\to \mathrm{\ell }$.

2. Version multiplicative. Soit $(u_n{)}_{n⩾0}$ une suite de réels strictement positifs telle que ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}\to \mathrm{\ell }$ avec $\mathrm{\ell }>0$. Montrer que $\sqrt[n]{u_n}\to \mathrm{\ell }$.

3. Application : montrer que ${\displaystyle \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}}\to {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$.

4. Application : déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}}$.

5. Montrer que la réciproque de la question 2 est fausse : exhiber une suite $(u_n)$ de réels strictement positifs telle que $\sqrt[n]{u_n}$ converge sans que ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ converge.

Pour chacune des quatre séries suivantes, justifier la convergence, puis calculer la somme exacte en décomposant le terme général en éléments simples et en télescopant.

1. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}$

2. ${\displaystyle \sum _{n⩾2}\frac{1}{n^2-1}}$

3. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{2n+1}{n^2(n+1{)}^2}}$

4. ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{1}{(3n+1)(3n+4)}}$

On rappelle la règle de d'Alembert : si $(u_n)$ est une suite de réels strictement positifs telle que ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}\to L$, alors $\sum u_n$ converge si $L<1$, et $\sum u_n$ diverge grossièrement si $L>1$. Le cas $L=1$ est un cas douteux : la règle ne conclut pas.

1. Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ et $u_n={\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}$. Calculer $\lim {\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$. Qu'en déduit-on sur la capacité de la règle de d'Alembert à distinguer les séries de Riemann les unes des autres ?

2. Soient $x>0$ et $\alpha \in \mathbb{R}$. Étudier la nature de ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{n}^{\alpha }{x}^n}$ en discutant selon $x$, sans oublier le cas limite $x=1$.

3. Soit $x>0$. Étudier la nature de ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{n!x^n}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}}$, cas limite compris.

4. On pose, pour $n⩾1$, $u_n={\displaystyle \frac{(3n)!}{(n!{)}^3{27}^n}}$.

   a. Montrer que ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}\to 1$ : la règle de d'Alembert ne conclut pas.

   b. Montrer que la suite $(n{u}_n)$ est croissante et que la suite $\left((n+\frac{1}{3})u_n\right)$ est décroissante. En déduire un encadrement de $u_n$ de la forme ${\displaystyle \frac{c}{n}}⩽u_n⩽{\displaystyle \frac{c^{\mathrm{\prime }}}{n}}$.

   c. En déduire la nature de $\sum u_n$. La série est-elle grossièrement divergente ?

5. Énoncer une règle pratique : dans quelles situations la règle de d'Alembert est-elle l'outil pertinent, et dans lesquelles faut-il l'écarter d'emblée ?

Soient $(u_n{)}_{n⩾1}$ et $(v_n{)}_{n⩾1}$ deux suites de réels positifs telles que les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent. Pour chacune des affirmations suivantes, donner une démonstration ou un contre-exemple.

1. $\sum u_n^2$ converge.

2. $\sum u_n{v}_n$ converge.

3. $\sum \sqrt{u_n{u}_{n+1}}$ converge.

4. $\sum {\displaystyle \frac{u_n}{1+u_n}}$ converge.

5. $\sum {\displaystyle \frac{\sqrt{u_n}}{n}}$ converge.

6. $\sum \sqrt{u_n}$ converge.

7. Question ouverte. On suppose maintenant que $\sum u_n$ diverge (les $u_n$ restant positifs). Que peut-on dire de $\sum {\displaystyle \frac{u_n}{1+u_n}}$ ? Démontrer complètement la réponse.

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels. On appelle série de Bertrand la série

Ce résultat n'est pas exigible : il doit être redémontré à chaque utilisation, ce que fait cet exercice.

1. On suppose $\alpha >1$. En comparant à une série de Riemann d'exposant intermédiaire bien choisi entre $1$ et $\alpha$, montrer que la série converge, et ceci quel que soit $\beta$.

2. On suppose $\alpha <1$. Par une comparaison analogue, montrer que la série diverge, quel que soit $\beta$.

3. On suppose $\alpha =1$.

   a. Traiter d'abord le cas $\beta ⩽0$ par comparaison directe avec la série harmonique.

   b. On suppose $\beta >0$. Montrer que la fonction $f:t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{t{(\ln t)}^{\beta }}}$ est continue, positive et décroissante sur $[2,+\mathrm{\infty }[$, puis calculer ${\displaystyle {\int }_2^{N}f(t)\mathrm{d}t}$ pour tout entier $N⩾3$, en distinguant $\beta =1$ et $\beta \mathrm{\ne }1$.

   c. En déduire la nature de la série selon la valeur de $\beta$.

4. Énoncer le résultat complet sous forme de synthèse.

5. Déterminer la nature des quatre séries suivantes.

On note $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$ la somme partielle de la série harmonique. On admet l'existence d'un réel $\gamma$ (la constante d'Euler) tel que

L'objet de l'exercice est d'obtenir le terme suivant de ce développement asymptotique.

1. On pose ${\epsilon }_n=H_n-\ln n-\gamma$ pour $n⩾1$. Justifier que ${\epsilon }_n\to 0$, puis montrer que, pour tout $n⩾2$,

2. Développer cette différence à l'ordre utile et montrer que ${\epsilon }_n-{\epsilon }_{n-1}\sim -{\displaystyle \frac{1}{2n^2}}$.

3. Par sommation des relations de comparaison dans le cas convergent (dont on vérifiera soigneusement les hypothèses), en déduire que ${\epsilon }_n\sim {\displaystyle \frac{1}{2n}}$. On établira au passage que ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}\sim \frac{1}{n}}$.

4. Conclure, puis vérifier numériquement la précision du résultat pour $n=10$ et $n=100$.

5. En déduire un développement asymptotique à deux termes de $H_{2n}-H_n$.

Le but de l'exercice est de démontrer entièrement la formule de Stirling. On pose, pour $n⩾1$,

1. Montrer que $a_{n+1}-a_n=1-(n+\frac{1}{2})\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1+\frac{1}{n})$, puis, par un développement limité soigné, que $a_{n+1}-a_n=\mathcal{O}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)$.

2. En déduire, par le lien suite-série, que la suite $(a_n)$ converge, puis qu'il existe une constante $C>0$ telle que

3. On admet le résultat de première année sur les intégrales de Wallis : la suite $W_n={\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n}t\mathrm{d}t}$ vérifie $W_n\sim \sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2n}}}$. Exprimer $W_{2n}$ à l'aide de factorielles, puis en déduire que $C=\sqrt{2\pi }$.

4. Énoncer la formule de Stirling et vérifier numériquement sa précision pour $n=10$.

5. Applications. Donner un équivalent de ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}$, puis déterminer, selon le réel $\beta$, la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}{4^n{n}^{\beta }}}$.

Soit $u_0\in ]0,\frac{\pi }{2}]$ et soit $(u_n{)}_{n⩾0}$ la suite définie par la relation de récurrence

1. Montrer que la suite est bien définie, à valeurs dans $]0,\frac{\pi }{2}]$, décroissante, et qu'elle converge vers $0$.

2. On pose $v_n={\displaystyle \frac{1}{u_n^2}}$. Montrer que $v_{n+1}-v_n\to {\displaystyle \frac{1}{3}}$. On détaillera entièrement le développement limité utilisé.

3. En déduire que $v_n\sim {\displaystyle \frac{n}{3}}$, puis que $u_n\sim \sqrt{{\displaystyle \frac{3}{n}}}$.

4. En déduire la nature des séries $\sum u_n$, $\sum u_n^2$ et $\sum u_n^3$.

5. Vérifier numériquement l'équivalent obtenu, pour $u_0=1$ et $n=1000$.

Soit $(u_n{)}_{n⩾1}$ une suite de réels positifs telle que la série $\sum u_n$ converge. On note $S={\sum }_{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k$ et, pour $n\in \mathbb{N}$, on pose

1. Justifier que $R_n$ est bien défini, que $R_n⩾0$, et que $R_n\to 0$.

2. Montrer que pour tout $N⩾1$ :

On détaillera soigneusement l'interversion des deux sommes finies.

3. En déduire que ${\sum }_{n⩾0}{R}_n$ converge si et seulement si ${\sum }_{n⩾1}n{u}_n$ converge, et qu'en cas de convergence

4. Application. Calculer ${\sum }_{n⩾0}{R}_n$ pour $u_k={\displaystyle \frac{1}{2^k}}$, et en déduire la valeur de ${\sum }_{k⩾1}{\displaystyle \frac{k}{2^k}}$.

5. Application. Montrer que pour $u_k={\displaystyle \frac{1}{k^3}}$ la série $\sum R_n$ converge, alors que pour $u_k={\displaystyle \frac{1}{k^2}}$ elle diverge.

Soit $E$ un espace vectoriel normé sur $\mathbb{R}$, de dimension finie $p⩾1$, dont la norme est notée $\parallel \cdot \parallel$. Soit $(u_n{)}_{n⩾0}$ une suite d'éléments de $E$.

1. Montrer que si la série numérique $\sum \parallel u_n\parallel$ converge, alors la série $\sum u_n$ converge dans $E$. On raisonnera sur les coordonnées dans une base de $E$, en s'appuyant sur l'équivalence des normes en dimension finie.

2. Sous cette hypothèse, montrer l'inégalité triangulaire infinie

3. Donner un exemple de série de vecteurs de ${\mathbb{R}}^2$ qui converge sans converger absolument. La réciproque de la question 1 est donc fausse.

4. Soit, pour $n⩾1$,

Étudier la convergence et la convergence absolue de $\sum u_n$, puis donner la troisième coordonnée de la somme.

5. Soit $f\in \mathcal{L}(E)$ tel qu'il existe $M>0$ et $r\in ]0,1[$ vérifiant $\parallel f^k\parallel ⩽M{r}^k$ pour tout $k\in \mathbb{N}$ (la norme utilisée sur $\mathcal{L}(E)$ est quelconque). Montrer que la série $\sum f^k$ converge dans $\mathcal{L}(E)$ et que sa somme est l'inverse de ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E-f$.

Soit $(u_n{)}_{n⩾1}$ une suite de réels positifs et décroissante.

1. Montrer que pour tout $p\in \mathbb{N}$ :

2. En déduire le critère de condensation : la série ${\sum }_{n⩾1}{u}_n$ converge si et seulement si la série ${\sum }_{p⩾0}{2}^p{u}_{2^p}$ converge.

3. Retrouver par ce critère la nature des séries de Riemann ${\sum }_{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}$ selon $\alpha \in \mathbb{R}$.

4. Déterminer de même la nature de ${\sum }_{n⩾2}{\displaystyle \frac{1}{n(\ln n{)}^{\beta }}}$ selon $\beta \in \mathbb{R}$.

5. Montrer sur un contre-exemple explicite que l'hypothèse de décroissance est indispensable.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels. Montrer que si $1+ab>0$, alors

On énoncera précisément l'hypothèse qui rend la formule valable et on expliquera pourquoi elle est indispensable.

2. En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

3. En déduire la convergence et la somme de ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)}$.

4. Sur le même principe, calculer ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\mathrm{Arctan}\left(\frac{2}{n^2}\right)}$. Indication : ${\displaystyle \frac{2}{n^2}}={\displaystyle \frac{(n+1)-(n-1)}{1+(n+1)(n-1)}}$. On calculera la somme partielle d'ordre $N$ de façon exacte.

5. Vérifier numériquement les deux résultats sur les premiers termes.

Soit $(u_n{)}_{n⩾1}$ une suite de réels strictement positifs telle qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ vérifiant

Ce résultat, connu sous le nom de règle de Raabe-Duhamel, n'est pas au programme : l'exercice le fait démontrer entièrement.

1. Pourquoi la règle de d'Alembert ne permet-elle pas de conclure ?

2. On pose $v_n=\ln \left(n^{\alpha }{u}_n\right)$. Montrer que $v_n$ est bien défini et que $v_{n+1}-v_n=\mathcal{O}\left({\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)$.

3. En déduire qu'il existe une constante $C>0$ telle que $u_n\sim {\displaystyle \frac{C}{n^{\alpha }}}$.

4. Conclure : la série $\sum u_n$ converge si et seulement si $\alpha >1$.

5. Application. Étudier la nature de

puis celle de la même série dont le terme général est divisé par $n^{\beta }$, en discutant selon $\beta \in \mathbb{R}$.

Soit $u_0\in ]0,1[$ et soit $(u_n)$ la suite définie par la relation de récurrence

1. Montrer que $(u_n)$ est bien définie, à valeurs dans $]0,1[$, décroissante, et qu'elle converge vers $0$.

2. Montrer que ${\displaystyle \frac{1}{u_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{u_n}}\to 1$, puis en déduire $u_n\sim {\displaystyle \frac{1}{n}}$.

3. Montrer que ${\displaystyle \frac{1}{u_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{u_n}}=1+u_n+\mathcal{O}\left(u_n^2\right)$, puis que

On utilisera la sommation des relations de comparaison dans le cas divergent, dont on vérifiera explicitement les hypothèses.

4. En déduire que $u_n={\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{\ln n}{n^2}}+\mathrm{o}\left({\displaystyle \frac{\ln n}{n^2}}\right)$.

5. Déterminer la nature des séries $\sum u_n$, $\sum u_n^2$ et ${\sum }_{n⩾1}(u_n-{\displaystyle \frac{1}{n}})$.

On munit ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$ de

dont on admettra qu'elle est sous-multiplicative : $N(AB)⩽N(A)N(B)$. On munit ${\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{R})$ de $\parallel X{\parallel }_{\mathrm{\infty }}={\max }_{1⩽i⩽p}\mid x_i\mid$.

Soient $A\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$ telle que $N(A)<1$, $B\in {\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{R})$ et $X_0\in {\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{R})$. On définit la suite de vecteurs $(X_n)$ par

1. Montrer que $I_p-A$ est inversible. On pose alors $X_{\mathrm{\infty }}={(I_p-A)}^{-1}B$. Montrer que $X_n-X_{\mathrm{\infty }}=A^n(X_0-X_{\mathrm{\infty }})$.

2. En déduire que $X_n\to X_{\mathrm{\infty }}$, que la série $\sum (X_n-X_{\mathrm{\infty }})$ converge, et calculer sa somme en fonction de $A$, $X_0$ et $X_{\mathrm{\infty }}$.

3. Application numérique. On prend $p=2$ et

Vérifier que $N(A)<1$, calculer $X_{\mathrm{\infty }}$, puis la somme de la série. Tous les calculs matriciels seront détaillés et contrôlés.

4. Montrer que la convergence est géométrique : majorer $\parallel X_n-X_{\mathrm{\infty }}{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ par $CN(A{)}^n$ pour une constante $C$ que l'on précisera.

5. Que devient l'étude si l'on remplace l'hypothèse $N(A)<1$ par « $A$ est nilpotente » ? Traiter complètement ce cas.

Pour $n⩾1$, on pose

et on admet le développement asymptotique $H_n=\ln n+\gamma +\mathrm{o}(1)$, où $\gamma$ désigne la constante d'Euler.

1. Montrer que $S_{2n}=H_{2n}-H_n$, puis que $S_{2n}\to \ln 2$.

2. En déduire que la série ${\sum }_{k⩾1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^{k+1}}{k}}$ converge et que sa somme vaut $\ln 2$.

3. On note $R_n$ le reste d'ordre $n$ de cette série. Montrer que $\mid R_n\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$, puis, plus finement, que

Indication : grouper les termes deux par deux pour se ramener à une série à termes de signe constant.

4. En déduire un développement asymptotique à deux termes de $S_n$.

5. Applications. Déterminer la nature des séries ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^n}{n}\ln (1+\frac{1}{n})}$ et ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{R}_n}$.