Devoir surveillé — Séries numériques et vectorielles

Consignes valables pour tout le sujet, à lire avant de commencer. La durée est de 3 h 30 et la calculatrice n'est pas autorisée. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; l'exercice 5 est un problème en trois parties, dont les parties B et C reposent toutes deux sur le résultat établi en A.1. Chaque application d'un théorème du chapitre (comparaison, équivalence, règle de d'Alembert, sommation des relations de comparaison, théorème spécial des séries alternées) doit être précédée de la vérification EXPLICITE de ses hypothèses, en particulier de l'hypothèse de signe : c'est cette vérification, autant que le résultat, qui est notée. Un résultat admis peut être utilisé dans la suite à condition de le signaler. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Chacune des six assertions suivantes est-elle vraie ou fausse ? Si elle est vraie, la démontrer ; si elle est fausse, la réfuter par un contre-exemple explicite, dont on vérifiera toutes les propriétés annoncées. (0,5 pt par assertion.)

a. Si la série $\sum u_n$ converge et si la suite réelle $(v_n)$ est bornée, alors la série $\sum u_n{v}_n$ converge.

b. Si $(u_n{)}_{n⩾2}$ est une suite réelle positive décroissante telle que $n{u}_n⟶0$, alors la série $\sum u_n$ converge.

c. Si $(u_n{)}_{n⩾1}$ est une suite réelle positive telle que $\sum u_n$ converge, alors $n{u}_n⟶0$.

d. Si $(u_n{)}_{n⩾1}$ est une suite de réels strictement positifs telle que ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}<1$ pour tout $n⩾1$, alors la série $\sum u_n$ converge.

e. Soient $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $(u_n)$ une suite d'éléments de $E$ telle que $\sum u_n$ converge, et $f\in \mathcal{L}(E)$. Alors la série $\sum f(u_n)$ converge et sa somme vaut $f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n\right)$.

f. Soit $(M_n{)}_{n⩾1}$ une suite de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telle que la série $\sum M_n$ converge. Alors la série numérique $\sum \det (M_n)$ converge.

Le cours donne une condition SUFFISANTE de convergence pour la série des puissances d'une matrice : $N(A)<1$. On sait déjà qu'elle n'est pas nécessaire : la matrice $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, de norme $N=2$, a toutes ses puissances nulles à partir de la seconde, donc sa série converge. L'exercice ne revient pas là-dessus : il construit une condition nécessaire ET suffisante, et découvre au passage que la condition du cours redevient exacte si on l'autorise à porter sur une puissance de $A$.

Dans tout l'exercice, $p⩾1$ est un entier et l'espace ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$, de dimension finie $p^2$, est muni de la norme sous-multiplicative du cours

$$N(M)=p\underset{1⩽i,j⩽p}{\max }\mid m_{i,j}\mid ,\text{qui v}\acute{\text{e}}\text{rifie}N(M{M}^{\mathrm{\prime }})⩽N(M)N(M^{\mathrm{\prime }})\mathrm{.}$$

1. (1,25 pt) Soit $A\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$. Montrer que la série ${\sum }_{k⩾0}{A}^k$ converge si et seulement si $A^k⟶0$, et qu'en cas de convergence la matrice $I_p-A$ est inversible et

$$\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{A}^k={(I_p-A)}^{-1}\mathrm{.}$$

2. (0,5 pt) Soit $\lambda$ une valeur propre réelle de $A$. Montrer que si $\sum A^k$ converge, alors $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }<1$. En déduire, sans calculer aucune puissance, la nature de $\sum A^k$ pour

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

3. (0,75 pt) Montrer que s'il existe un entier $m⩾1$ tel que $N(A^m)<1$, alors la série $\sum A^k$ converge.

4. (0,5 pt) On pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -\frac{5}{12}& -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Calculer $N(A)$ et $A^2$. En déduire, par le critère de la question 3., que $\sum A^k$ converge, puis calculer sa somme et contrôler le résultat.

5. (0,5 pt) Établir la réciproque de la question 3. : si $\sum A^k$ converge, alors il existe $m⩾1$ tel que $N(A^m)<1$. Énoncer le critère complet obtenu et le comparer à celui du cours.

La moyenne de Cesàro donne le même poids à tous les termes. On étudie ici ce qu'il advient lorsque les termes sont pondérés, et l'on découvre que la démonstration ne coûte que trois lignes si l'on fait appel au bon théorème du chapitre.

Soit $(p_n{)}_{n⩾1}$ une suite de réels strictement positifs telle que

$$P_n=\sum _{k=1}^n{p}_k\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

À toute suite réelle $(a_n{)}_{n⩾1}$ on associe la suite des moyennes pondérées

$$M_n={\displaystyle \frac{1}{P_n}}\sum _{k=1}^n{p}_k{a}_k\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Justifier que $M_n$ est bien défini pour tout $n⩾1$. Que devient $M_n$ lorsque $p_k=1$ pour tout $k$ ? Calculer $M_n$ lorsque la suite $(a_n)$ est constante égale à un réel $c$.

2. (1 pt) On suppose que $a_n⟶\mathrm{\ell }\in \mathbb{R}$. Montrer que $M_n⟶\mathrm{\ell }$. On appliquera le théorème de sommation des relations de comparaison à la suite $b_k=p_k(a_k-\mathrm{\ell })$, dont on vérifiera explicitement toutes les hypothèses.

3. (0,75 pt) On prend $p_k={\displaystyle \frac{1}{k}}$, ce qui définit la moyenne logarithmique. Montrer que si $a_n\to \mathrm{\ell }$, alors

$${\displaystyle \frac{1}{\ln n}}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{a_k}{k}}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mathrm{\ell }\mathrm{.}$$

En déduire un équivalent de ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}{(1+{\displaystyle \frac{1}{k}})}^k}$.

4. (0,5 pt) Montrer que l'hypothèse $P_n\to +\mathrm{\infty }$ ne peut pas être supprimée : construire une suite de poids $(p_k)$ strictement positifs et une suite $(a_n)$ convergente pour lesquelles $(M_n)$ converge vers une limite différente de $\lim a_n$.

5. (0,75 pt) On suppose maintenant $a_n⟶+\mathrm{\infty }$. Montrer que $M_n⟶+\mathrm{\infty }$.

Une suite n'est pas toujours donnée par une formule ou par une récurrence : elle peut être définie, terme par terme, comme la solution d'une équation qui dépend de $n$. Tout se lit alors sur l'équation, y compris le comportement asymptotique, qu'on obtient ici en prenant deux fois le logarithme.

Pour tout entier $n⩾2$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0,1]$ par

$$f_n(x)=x^n+x-1.$$

1. (0,75 pt) Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $u_n$ dans $[0,1]$, et que $u_n\in ]0,1[$. Calculer $u_2$ sous forme exacte.

2. (0,75 pt) Montrer que la suite $(u_n{)}_{n⩾2}$ est strictement croissante, puis qu'elle converge vers $1$.

3. (0,75 pt) On pose $v_n=1-u_n$. Vérifier que $v_n=u_n^n$, puis que $\ln v_n\sim -n{v}_n$. En posant $w_n=-\ln v_n$, montrer que $\ln n=w_n+\ln w_n+\mathrm{o}(1)$, et en déduire

$$v_n\sim {\displaystyle \frac{\ln n}{n}}\mathrm{.}$$

4. (0,75 pt) Trois questions indépendantes sur les séries construites à partir de $(u_n)$.

a. Déterminer, selon le réel $\alpha >0$, la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾2}{v}_n^{\alpha }}$.

b. Déterminer la nature de ${\displaystyle \sum _{n⩾2}(-1{)}^n{v}_n}$. Cette série est-elle absolument convergente ?

c. Déterminer la nature de ${\displaystyle \sum _{n⩾2}(u_{n+1}-u_n)}$ et calculer sa somme.

La série harmonique diverge. On en retire les termes $\frac{1}{n}$ dont le dénominateur s'écrit avec un $9$ : $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{19}$, $\frac{1}{29}$, $\frac{1}{90}$, et ainsi de suite. Il en reste manifestement l'immense majorité, puisqu'on n'a rien enlevé avant $9$, et seulement dix-neuf termes avant $100$. Ce problème établit que la série qui reste converge, puis détermine à partir de quel exposant ce phénomène cesse.

On note $\mathcal{K}$ l'ensemble des entiers $n⩾1$ dont l'écriture décimale (sans zéro initial) ne comporte aucun chiffre égal à $9$. Ainsi $1,2,\dots ,8,10,\dots ,18,20,\dots$ appartiennent à $\mathcal{K}$, tandis que $9$, $19$, $91$ et $290$ n'y appartiennent pas. Pour $p⩾1$, on note ${\mathcal{K}}_p$ l'ensemble des éléments de $\mathcal{K}$ dont l'écriture décimale comporte exactement $p$ chiffres. On étudie la série

$$\sum _{n\in \mathcal{K}}{\displaystyle \frac{1}{n}},$$

c'est-à-dire la série ${\sum }_{n⩾1}\frac{{\epsilon }_n}{n}$, où ${\epsilon }_n$ vaut $1$ si $n\in \mathcal{K}$ et $0$ sinon.

Partie A. Sommer par paquets.

A.1 (0,75 pt) Soit $(u_n{)}_{n⩾1}$ une suite réelle positive et soit $(N_p{)}_{p⩾0}$ une suite strictement croissante d'entiers naturels avec $N_0=0$. Pour $p⩾1$, on pose

$$T_p=\sum _{k=N_{p-1}+1}^{N_p}{u}_k\mathrm{.}$$

Montrer que la série ${\sum }_{n⩾1}{u}_n$ converge si et seulement si la série ${\sum }_{p⩾1}{T}_p$ converge, et qu'en cas de convergence les deux sommes sont égales.

A.2 (0,5 pt) Montrer, par un contre-exemple explicite, que l'hypothèse de positivité ne peut pas être supprimée dans A.1.

A.3 (0,5 pt) Soit $p⩾1$. Montrer que $\mathrm{card}{\mathcal{K}}_p=8\times 9^{p-1}$, et que tout $n\in {\mathcal{K}}_p$ vérifie ${10}^{p-1}⩽n<{10}^p$.

Partie B. La série converge.

B.1 (1 pt) En appliquant A.1 avec $N_p={10}^p-1$, montrer que la série ${\sum }_{n\in \mathcal{K}}\frac{1}{n}$ converge, et que sa somme $K$ vérifie $K⩽80$.

B.2 (0,75 pt) Montrer de même que $K⩾8$.

B.3 (0,5 pt) En déduire que la série des inverses des entiers dont l'écriture décimale contient au moins un $9$ diverge. On minorera ${\sum }_{n⩽N,n\mathrm{\notin }\mathcal{K}}\frac{1}{n}$ par une quantité explicite tendant vers $+\mathrm{\infty }$.

B.4 (0,5 pt) Montrer que $\mathrm{card}(\mathcal{K}\cap [1,{10}^p])=9^p$, et en déduire la limite de la proportion d'entiers de $[1,{10}^p]$ qui appartiennent à $\mathcal{K}$. Commenter au vu de B.1 et B.3.

Partie C. Le seuil.

C.1 (1,25 pt) Soit $\alpha >0$. Déterminer, selon $\alpha$, la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n\in \mathcal{K}}{\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}}$. On fera apparaître le réel

$${\alpha }_0={\displaystyle \frac{\ln 9}{\ln 10}}\mathrm{.}$$

C.2 (0,5 pt) Comparer ${\alpha }_0$ à $1$ et retrouver le résultat de B.1. Pour quelles valeurs de $\alpha$ la série ${\sum }_{n⩾1}\frac{1}{n^{\alpha }}$ et la série ${\sum }_{n\in \mathcal{K}}\frac{1}{n^{\alpha }}$ n'ont-elles pas la même nature ?

C.3 (0,75 pt) Deux généralisations.

a. Soit $c$ un chiffre de $0$ à $9$. Montrer que la série des inverses des entiers dont l'écriture décimale ne comporte aucun chiffre égal à $c$ converge. On traitera séparément le cas $c=0$.

b. Montrer que la série des inverses des entiers dont l'écriture décimale ne comporte pas le bloc de quatre chiffres consécutifs $2026$ converge. On découpera les $p$ chiffres en paquets de quatre.