Exercices — Endomorphismes d'un espace euclidien

1. Pour chacune des matrices suivantes, dire si elle appartient à ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$. Lorsqu'elle n'est pas orthogonale mais que ses colonnes sont deux à deux orthogonales, indiquer comment la modifier pour qu'elle le devienne.

2. Montrer que si $A\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$, alors $\det (A)\in \{-1,1\}$. Donner ensuite une matrice de déterminant $1$ qui n'est pas orthogonale : la réciproque est donc fausse.

3. Soit $A\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$. Montrer que les lignes de $A$ forment elles aussi une famille orthonormée de ${\mathbb{R}}^n$.

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et de sa base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$, qui est orthonormée. On pose

$$u_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),u_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)\mathrm{.}$$

1. Vérifier que la famille $(u_1,u_2)$ est orthonormée, puis la compléter en une base orthonormée ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(u_1,u_2,u_3)$ de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Écrire la matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ à ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ et vérifier que $P^{\mathrm{\top }}P=I_3$.

3. Soit $x=(1,2,3)$. Calculer ses coordonnées dans ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ de deux façons : par le produit $P^{\mathrm{\top }}X$, puis par les produits scalaires $⟨x,u_i⟩$. Vérifier enfin que la norme de $x$ se lit de la même manière dans les deux bases.

4. Soient $\mathcal{B}$ et ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ deux bases orthonormées quelconques d'un espace euclidien $E$ de dimension $n$. Montrer que la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ est orthogonale.

1. On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et on note $u$ l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Donner la matrice de $u^{\ast }$, déterminer $\mathrm{Ker}{u}^{\ast }$ et $\mathrm{Im}u$, puis vérifier sur cet exemple que $\mathrm{Ker}{u}^{\ast }=(\mathrm{Im}u{)}^{\perp }$.

2. Soit $E$ un espace euclidien et $a,b\in E$ deux vecteurs non nuls. On pose $u:x\mapsto ⟨x,a⟩b$. Déterminer $u^{\ast }$ à partir de la définition de l'adjoint, puis dire à quelle condition sur $a$ et $b$ l'endomorphisme $u$ est autoadjoint.

3. On munit $E={\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ du produit scalaire $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}\left(A^{\mathrm{\top }}B\right)$. Pour $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ fixée, on note ${\mathrm{\Phi }}_A:M\mapsto AM$. Montrer que ${\mathrm{\Phi }}_A^{\ast }={\mathrm{\Phi }}_{A^{\mathrm{\top }}}$, sans écrire aucune matrice d'ordre $4$.

Soit $E$ un espace euclidien. On note $\mathcal{S}(E)=\{u\in \mathcal{L}(E);u^{\ast }=u\}$ l'ensemble des endomorphismes autoadjoints et $\mathcal{A}(E)=\{u\in \mathcal{L}(E);u^{\ast }=-u\}$ celui des endomorphismes antisymétriques.

1. Dire, pour chacun des endomorphismes suivants, s'il est autoadjoint, antisymétrique, ou ni l'un ni l'autre.

e. L'endomorphisme $w$ de ${\mathbb{R}}^2$ (muni du produit scalaire canonique) dont la matrice dans la base $\mathcal{C}=(f_1,f_2)$, où $f_1=(1,0)$ et $f_2=(1,1)$, est $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

2. Montrer que $\mathcal{L}(E)=\mathcal{S}(E)\oplus \mathcal{A}(E)$, en écrivant $u={\displaystyle \frac{u+u^{\ast }}{2}}+{\displaystyle \frac{u-u^{\ast }}{2}}$. Appliquer à l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ de matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$ dans une base orthonormée.

3. Soient $u,v\in \mathcal{S}(E)$. Montrer que $u^k\in \mathcal{S}(E)$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, puis que $u\circ v\in \mathcal{S}(E)$ si et seulement si $u\circ v=v\circ u$.

On munit ${\mathbb{R}}^n$ de son produit scalaire canonique et l'on note ${\chi }_M(X)=\det (X{I}_n-M)$.

1. Soit $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$. Déterminer $\mathrm{Sp}(A)$, une base orthonormée de vecteurs propres, puis écrire $A=PD{P}^{\mathrm{\top }}$ avec $P\in {\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ et $D$ diagonale. Vérifier l'égalité en effectuant le produit.

2. Mêmes questions pour $B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$, dont on calculera le polynôme caractéristique. On écrira $B=QD{Q}^{\mathrm{\top }}$ avec $Q\in {\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$.

3. Question de méthode : pourquoi n'a-t-on jamais eu besoin de vérifier que $A$ et $B$ étaient diagonalisables ?

On munit ${\mathbb{R}}^2$ de son produit scalaire canonique et de sa base canonique, qui est orthonormée. On note

$$R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right),S_{\alpha }=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Les quatre matrices suivantes sont orthogonales. Pour chacune, dire si l'endomorphisme associé est une rotation (on donnera son angle) ou une réflexion (on donnera son axe).

2. Montrer par le calcul matriciel que la composée de deux réflexions du plan est une rotation, et que la composée d'une rotation et d'une réflexion est une réflexion.

3. Montrer que ${\mathrm{S}\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ est commutatif, puis donner un contre-exemple explicite montrant que ${\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ ne l'est pas.

1. Pour chacune des matrices symétriques suivantes, calculer le spectre, puis dire si la matrice appartient à ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$, à ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, ou à aucun des deux.

2. Retrouver la positivité de $A_4$ sans calculer son spectre, en écrivant $X^{\mathrm{\top }}{A}_{4}X$ comme une somme de carrés.

3. Soit $A\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ est inversible, que $A^{-1}\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, et que les coefficients diagonaux de $A$ sont strictement positifs. Que penser de la réciproque : « tous les coefficients de $A$ sont strictement positifs, donc $A$ est positive » ?

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et de sa base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$, qui est orthonormée. On note $F$ le plan d'équation $x+y+z=0$ et $D=F^{\perp }$.

1. Déterminer $D$, puis la matrice $P$ de la projection orthogonale $p_F$ dans la base $\mathcal{B}$.

2. Vérifier que $P$ est symétrique, que $\mathrm{tr}(P)=2$ et que $P^2=P$. Interpréter la trace.

3. Donner la matrice $S$ de la symétrie orthogonale $s_F=2p_F-{\mathrm{Id}}_{{\mathbb{R}}^3}$. Vérifier qu'elle est symétrique et orthogonale, calculer $\det (S)$ et préciser la nature de $s_F$.

4. Calculer $d(x,F)$ pour $x=(1,2,3)$ de deux façons : par $p_F$, puis par la formule de la distance à un hyperplan.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$.

1. Montrer que $\mathrm{O}(E)$ est un sous-groupe de $\mathrm{G}\mathrm{L}(E)$, puis que $\mathrm{S}\mathrm{O}(E)$ est un sous-groupe de $\mathrm{O}(E)$.

2. Soit $u\in \mathrm{O}(E)$. Montrer que les valeurs propres réelles de $u$ appartiennent à $\{-1,1\}$, et que $\mathrm{Ker}(u-{\mathrm{Id}}_E)$ et $\mathrm{Ker}(u+{\mathrm{Id}}_E)$ sont orthogonaux.

3. Soit $u\in \mathrm{O}(E)$ et $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$. Montrer que $u_{\mathrm{\mid }F}\in \mathrm{O}(F)$, puis que $F^{\perp }$ est également stable par $u$.

4. Montrer que la composée de deux isométries de déterminant $-1$ appartient à $\mathrm{S}\mathrm{O}(E)$. En déduire que $\mathrm{O}(E)\setminus \mathrm{S}\mathrm{O}(E)$ n'est pas un sous-groupe de $\mathrm{O}(E)$.

5. Déterminer tous les $u\in \mathrm{O}(E)$ qui sont aussi des projecteurs.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$ et $u\in \mathcal{L}(E)$.

1. Démontrer l'équivalence des cinq assertions suivantes.

• (i) pour tous $x,y\in E$, $⟨u(x),u(y)⟩=⟨x,y⟩$ ;
• (ii) pour tout $x\in E$, $\parallel u(x)\parallel =\parallel x\parallel$ ;
• (iii) $u^{\ast }\circ u={\mathrm{Id}}_E$ ;
• (iv) l'image par $u$ d'une base orthonormée de $E$ est une base orthonormée ;
• (v) l'image par $u$ de toute base orthonormée de $E$ est une base orthonormée.

On organisera la preuve en cycle $\text{(i)}\Rightarrow \text{(v)}\Rightarrow \text{(iv)}\Rightarrow \text{(iii)}\Rightarrow \text{(ii)}\Rightarrow \text{(i)}$.

2. Soit $f:E\to E$ une application non supposée linéaire, telle que $f(0)=0$ et que, pour tous $x,y\in E$, $\parallel f(x)-f(y)\parallel =\parallel x-y\parallel$. Montrer que $f$ est linéaire, donc que $f\in \mathrm{O}(E)$.

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et on l'oriente par sa base canonique ${\mathcal{B}}_0$, qui est donc une base orthonormée directe. À chaque matrice ci-dessous on associe l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont elle est la matrice dans ${\mathcal{B}}_0$.

1. Soit $A={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 2& 2& -1\\ -1& 2& 2\end{array}\right)$. Vérifier que $A\in {\mathrm{S}\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$. Déterminer l'axe en résolvant $(A-I_3)X=0$, puis l'angle à l'aide de $\mathrm{tr}(A)=1+2\cos \theta$, et enfin le signe de l'angle par un déterminant $\det (a,x,u(x))$ bien choisi. Conclure par une phrase complète.

2. Soit $B={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 2& -1& 2\\ 2& 2& -1\end{array}\right)$. Montrer que $B$ est symétrique et orthogonale, et en déduire sa nature sans aucun calcul d'angle.

3. Soit $C=-A$. Montrer que $\det (C)=-1$ et identifier $C$ comme une antirotation, dont on précisera l'axe et l'angle.

Partie A : dans le plan

Le plan ${\mathbb{R}}^2$ est muni de son produit scalaire canonique et orienté par sa base canonique. Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, on note $D_{\alpha }$ la droite $\mathrm{Vect}((\cos \alpha ,\sin \alpha ))$, c'est-à-dire la droite faisant l'angle $\alpha$ avec l'axe des abscisses, et $s_{D_{\alpha }}$ la réflexion par rapport à $D_{\alpha }$.

1. Déterminer la matrice de $s_{D_{\alpha }}$ dans la base canonique.

2. Montrer que $s_{D_{{\alpha }_1}}\circ s_{D_{{\alpha }_2}}=R_{2({\alpha }_1-{\alpha }_2)}$, puis que toute rotation du plan est la composée de deux réflexions, de façon non unique.

3. En déduire une description de ${\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ comme groupe engendré par les réflexions.

Partie B : dans l'espace

L'espace ${\mathbb{R}}^3$ est muni de son produit scalaire canonique. Soient $P_1$ et $P_2$ deux plans vectoriels distincts de ${\mathbb{R}}^3$, et $D=P_1\cap P_2$.

4. Montrer que $s_{P_1}\circ s_{P_2}$ est une rotation d'axe $D$, dont l'angle vaut le double de l'angle des deux plans.

5. Traiter l'exemple $P_1:z=0$ et $P_2:y=0$ : calculer la matrice du composé et identifier la rotation obtenue.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$ et soit $u\in \mathcal{L}(E)$, d'adjoint $u^{\ast }$.

1. Démontrer que $\mathrm{Ker}{u}^{\ast }=(\mathrm{Im}u{)}^{\perp }$, puis que $\mathrm{Im}{u}^{\ast }=(\mathrm{Ker}u{)}^{\perp }$. On justifiera au passage l'égalité $(F^{\perp }{)}^{\perp }=F$, valable pour tout sous-espace $F$ de $E$.

2. En déduire que $\mathrm{rg}(u^{\ast })=\mathrm{rg}(u)$, ainsi que les deux décompositions orthogonales

$$E=\mathrm{Ker}u{\oplus }^{\perp }\mathrm{Im}{u}^{\ast }\text{et}E=\mathrm{Ker}{u}^{\ast }{\oplus }^{\perp }\mathrm{Im}u\mathrm{.}$$

3. On suppose ici $u$ autoadjoint. Montrer que $E=\mathrm{Ker}u{\oplus }^{\perp }\mathrm{Im}u$ et que $\mathrm{Ker}u$ et $\mathrm{Im}u$ sont stables par $u$.

4. Application. On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et on note $u$ l'endomorphisme de matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$$

dans la base canonique. Vérifier que $\mathrm{rg}(A)=1$, déterminer $\mathrm{Ker}u$, $\mathrm{Im}u$, $\mathrm{Ker}{u}^{\ast }$ et $\mathrm{Im}{u}^{\ast }$, puis contrôler sur cet exemple les quatre relations précédentes.

5. Montrer que $u$ et $u^{\ast }$ ont le même polynôme caractéristique, donc le même spectre.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$, soit $u\in \mathcal{L}(E)$ d'adjoint $u^{\ast }$, et soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.

1. Démontrer que $F$ est stable par $u$ si et seulement si $F^{\perp }$ est stable par $u^{\ast }$.

2. En déduire les deux résultats suivants. a. Si $u$ est autoadjoint et si $F$ est stable par $u$, alors $F^{\perp }$ est stable par $u$ et l'endomorphisme induit $u_{\mathrm{\mid }F}$ est un endomorphisme autoadjoint de l'espace euclidien $F$. b. Si $u$ est une isométrie vectorielle et si $F$ est stable par $u$, alors $F^{\perp }$ est stable par $u$. On utilisera $u^{\ast }=u^{-1}$ et la dimension finie.

3. Montrer que tout sous-espace propre de $u$ est stable par tout endomorphisme qui commute avec $u$. En déduire que si $u$ est autoadjoint et si $v\in \mathcal{L}(E)$ commute avec $u$, alors $v$ stabilise chacun des sous-espaces propres de $u$.

4. Application. Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint de l'espace euclidien $E={\mathbb{R}}^3$, de spectre $\mathrm{Sp}(u)=\{1,3\}$, avec $\dim E_1(u)=2$ et $\dim E_3(u)=1$. Déterminer tous les sous-espaces de $E$ stables par $u$.

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et on pose

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 1\\ 1& 4& 1\\ 1& 1& 4\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Calculer le polynôme caractéristique de $A$ et montrer que $\mathrm{Sp}(A)=\{5,-1\}$, la valeur propre $-1$ étant double. Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de $A$, puis écrire $A=PD{P}^{\mathrm{\top }}$ avec $P\in {\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$ et $D$ diagonale. Vérifier le produit.

2. Montrer que $B=3I_3+J$, où $J$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$. En déduire le spectre de $B$ sans aucun calcul de déterminant, ainsi qu'une base orthonormée de vecteurs propres de $B$.

3. À l'aide de la question 1, calculer $A^k$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, en explicitant ses coefficients en fonction de $5^k$ et $(-1{)}^k$.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$.

1. Soit $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$, vue comme élément de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Démontrer que toute racine complexe de ${\chi }_A$ est réelle. On pourra prendre un vecteur colonne $X\in {\mathbb{C}}^n$ non nul tel que $AX=\lambda X$ et calculer ${\bar{X}}^{\mathrm{\top }}AX$ de deux manières.

2. Soit $u\in \mathcal{L}(E)$ autoadjoint. Démontrer que deux sous-espaces propres de $u$ associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

3. En déduire, sans utiliser le théorème spectral, que si un endomorphisme autoadjoint de $E$ admet $n$ valeurs propres distinctes, alors il existe une base orthonormée de $E$ formée de vecteurs propres de cet endomorphisme.

4. Montrer, à l'aide de deux matrices de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ bien choisies, que l'hypothèse « autoadjoint » est indispensable : l'une aura deux valeurs propres réelles distinctes mais des sous-espaces propres non orthogonaux, l'autre n'aura aucune valeur propre réelle.

5. Soit $u\in \mathcal{L}(E)$ autoadjoint tel que $u^2={\mathrm{Id}}_E$. Montrer que $u$ est une symétrie orthogonale.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$ et soit $(x_1,\dots ,x_p)$ une famille de vecteurs de $E$. On appelle matrice de Gram de cette famille la matrice

$$G=G(x_1,\dots ,x_p)=(⟨x_i,x_j⟩{)}_{1⩽i,j⩽p}\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R}),$$

et déterminant de Gram le réel $\gamma (x_1,\dots ,x_p)=\det G$.

1. Montrer que $G\in {\mathcal{S}}_p^{+}(\mathbb{R})$, et que $G\in {\mathcal{S}}_p^{++}(\mathbb{R})$ si et seulement si la famille $(x_1,\dots ,x_p)$ est libre. On explicitera le calcul de $X^{\mathrm{\top }}GX$ pour $X\in {\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{R})$.

2. Montrer que $\mathrm{rg}G=\mathrm{rg}(x_1,\dots ,x_p)$. On pourra introduire la matrice $A$ des coordonnées des $x_i$ dans une base orthonormée de $E$, vérifier que $G=A^{\mathrm{\top }}A$, et démontrer que $\mathrm{Ker}(A^{\mathrm{\top }}A)=\mathrm{Ker}A$.

3. Application. Dans ${\mathbb{R}}^3$ muni du produit scalaire canonique, calculer $G(x_1,x_2,x_3)$ et $\gamma (x_1,x_2,x_3)$ pour $x_1=(1,0,1)$, $x_2=(1,1,0)$ et $x_3=(0,1,1)$, puis dire si la famille est libre. On contrôlera le résultat en comparant avec $(\det A{)}^2$.

4. Montrer que toute matrice de ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ est la matrice de Gram d'une famille de $n$ vecteurs de ${\mathbb{R}}^n$.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$ et soit $u\in \mathcal{L}(E)$, d'adjoint $u^{\ast }$.

1. Montrer que $u^{\ast }\circ u$ est autoadjoint positif, et qu'il est défini positif si et seulement si $u$ est bijectif.

2. Démontrer que $\mathrm{Ker}(u^{\ast }\circ u)=\mathrm{Ker}u$, puis que $\mathrm{rg}(u^{\ast }\circ u)=\mathrm{rg}(u)$ et $\mathrm{rg}(u\circ u^{\ast })=\mathrm{rg}(u)$.

3. Montrer que, pour toute base orthonormée $(e_1,\dots ,e_n)$ de $E$,

$$\mathrm{tr}(u^{\ast }\circ u)=\sum _{i=1}^n\parallel u(e_i){\parallel }^2,$$

et en déduire que $\mathrm{tr}(u^{\ast }\circ u)=0$ entraîne $u=0$. Écrire la version matricielle de cette formule.

4. Montrer que $u^{\ast }\circ u$ et $u\circ u^{\ast }$ ont le même spectre, et que les sous-espaces propres associés à une même valeur propre non nulle ont la même dimension.

5. Application. On pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Calculer $A^{\mathrm{\top }}A$ et $A{A}^{\mathrm{\top }}$, déterminer leurs spectres, et vérifier sur cet exemple les résultats des questions 2 et 4.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$ et soit $p\in \mathcal{L}(E)$ un projecteur, c'est-à-dire un endomorphisme vérifiant $p^2=p$. On dit que $p$ est un projecteur orthogonal lorsque $\mathrm{Ker}p=(\mathrm{Im}p{)}^{\perp }$.

1. Montrer que $p$ est un projecteur orthogonal si et seulement si $p^{\ast }=p$.

2. Montrer que $p$ est un projecteur orthogonal si et seulement si $\parallel p(x)\parallel ⩽\parallel x\parallel$ pour tout $x\in E$. Pour le sens réciproque, on prendra $x\in \mathrm{Ker}p$ et $y\in \mathrm{Im}p$, et on étudiera le trinôme $t⟼\parallel y+tx{\parallel }^2-\parallel p(y+tx){\parallel }^2$.

3. La matrice

$$P=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}5& -2& 1\\ -2& 2& 2\\ 1& 2& 5\end{array}\right)$$

est-elle la matrice, dans la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$, d'un projecteur orthogonal ? Le cas échéant, déterminer $\mathrm{Im}p$ et $\mathrm{Ker}p$, et contrôler la réponse par la trace.

4. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux de $E$. Montrer que $p\circ q$ est un projecteur orthogonal si et seulement si $p\circ q=q\circ p$.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$.

1. Soit $u\in \mathrm{O}(E)$ un endomorphisme autoadjoint. Montrer que $u^2={\mathrm{Id}}_E$, que $\mathrm{Sp}(u)\subset \{-1,1\}$, puis que $E=E_1{\oplus }^{\perp }{E}_{-1}$. En déduire que $u$ est la symétrie orthogonale par rapport à $E_1$.

2. Réciproquement, montrer que toute symétrie orthogonale de $E$ est un endomorphisme autoadjoint et une isométrie vectorielle.

3. Traduire matriciellement : montrer que $A\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})\cap {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ si et seulement si $A=2P-I_n$, où $P$ est la matrice d'un projecteur orthogonal, et que dans ce cas $\det A=(-1{)}^{\dim E_{-1}}$.

4. Identifier complètement l'isométrie de ${\mathbb{R}}^3$ de matrice

$$B=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 2& -1& 2\\ 2& 2& -1\end{array}\right)$$

dans la base canonique : spectre, sous-espaces propres, déterminant, nature géométrique.

5. Combien existe-t-il de matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ qui soient à la fois orthogonales, symétriques et diagonales ? Justifier.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$ et soit $u\in \mathcal{L}(E)$. On dit que $u$ est antisymétrique lorsque $u^{\ast }=-u$.

1. Montrer que $u$ est antisymétrique si et seulement si $⟨u(x),x⟩=0$ pour tout $x\in E$. Pour le sens réciproque, développer $⟨u(x+y),x+y⟩=0$.

2. Montrer que la matrice de $u$ dans une base orthonormée est antisymétrique, que $\mathrm{tr}(u)=0$, et que $\mathrm{Ker}u=(\mathrm{Im}u{)}^{\perp }$.

3. Montrer que la seule valeur propre réelle possible de $u$ est $0$, que $0$ est valeur propre lorsque $n$ est impair, et que $\det u⩾0$ en toute dimension. On traitera explicitement les dimensions $2$ et $3$.

4. Montrer que $u^2$ est autoadjoint et que $⟨u^2(x),x⟩⩽0$ pour tout $x\in E$. En déduire que les valeurs propres de $u^2$ sont négatives ou nulles.

5. Application. Soit $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ de matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -3& 2\\ 3& 0& -1\\ -2& 1& 0\end{array}\right)$$

dans la base canonique. Déterminer $\mathrm{Ker}u$ et $\mathrm{Im}u$, vérifier leur orthogonalité, et calculer $\mathrm{Sp}(A^2)$.

Partie A. Le théorème de réduction. Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$ et soit $u\in \mathrm{O}(E)$.

1. Montrer que $u$ admet une droite stable ou un plan stable. On pourra utiliser un facteur irréductible du polynôme minimal, qui est aussi un facteur irréductible du polynôme caractéristique, et se souvenir que les polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont de degré $1$ ou $2$.

2. Montrer que si $F$ est un sous-espace stable par $u$, alors $F^{\perp }$ l'est aussi, et que les endomorphismes induits par $u$ sur $F$ et sur $F^{\perp }$ sont des isométries.

3. En déduire, par récurrence sur $n$, qu'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs, de la forme

$$\mathrm{diag}(I_p,-I_q,R_{{\theta }_1},\dots ,R_{{\theta }_r}),{\theta }_i\in ]0,\pi [,p+q+2r=n\mathrm{.}$$

Préciser ce que valent $\det u$ et $\mathrm{tr}u$ en fonction de ces blocs.

Partie B. Une permutation circulaire. Soit $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^4$, muni du produit scalaire canonique, défini sur la base canonique par $u(e_1)=e_2$, $u(e_2)=e_3$, $u(e_3)=e_4$ et $u(e_4)=e_1$. On note $A$ sa matrice dans cette base.

4. Écrire $A$, vérifier que $A\in {\mathrm{O}}_4(\mathbb{R})$ et calculer $\det A$.

5. Déterminer le polynôme caractéristique de $A$, les sous-espaces propres réels de $u$, puis une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^4$ dans laquelle la matrice de $u$ est de la forme réduite de la question 3.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$. On rappelle qu'un endomorphisme $u\in \mathcal{L}(E)$ est dit autoadjoint positif lorsque $u^{\ast }=u$ et $⟨u(x),x⟩⩾0$ pour tout $x\in E$, et autoadjoint défini positif lorsque de plus $⟨u(x),x⟩>0$ pour tout $x\mathrm{\ne }0$.

1. Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint positif. Construire un endomorphisme $v$ autoadjoint positif tel que $v^2=u$.

2. Montrer l'unicité : si $v$ et $w$ sont autoadjoints positifs et vérifient $v^2=w^2=u$, alors $v=w$. On montrera que $w$ stabilise chaque sous-espace propre de $u$, et on étudiera l'endomorphisme induit.

3. Montrer que $v$ est un polynôme en $u$, et que $v$ est défini positif si et seulement si $u$ l'est.

4. Calculer la racine carrée de $A=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$ dans ${\mathcal{S}}_2^{+}(\mathbb{R})$, et vérifier le résultat.

5. Montrer que la matrice $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ n'admet aucune racine carrée dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

On munit ${\mathbb{R}}^n$, identifié à ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$, de son produit scalaire canonique $⟨X,Y⟩=X^{\mathrm{\top }}Y$. On admet le théorème de la racine carrée : toute matrice de ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ possède une unique racine carrée dans ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$, notée $M^{1\mathrm{/}2}$, et cette racine est dans ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ lorsque $M$ l'est.

1. Soit $A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A^{\mathrm{\top }}A\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. On pose $S=(A^{\mathrm{\top }}A{)}^{1\mathrm{/}2}$ et $\mathrm{\Omega }=A{S}^{-1}$. Montrer que $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$, et conclure à l'existence d'une décomposition $A=\mathrm{\Omega }S$ avec $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ et $S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$.

2. Montrer l'unicité d'une telle décomposition.

3. Déterminer la décomposition polaire de $A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$, et vérifier le produit obtenu.

4. Montrer qu'il existe aussi une décomposition $A=S^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\Omega }$ avec $S^{\mathrm{\prime }}\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, et exprimer $S^{\mathrm{\prime }}$ en fonction de $S$ et $\mathrm{\Omega }$.

5. Montrer que $A\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ si et seulement si $S=I_n$, et que $A\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ si et seulement si $\mathrm{\Omega }=I_n$.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$ et soit $u\in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme autoadjoint. On note ${\lambda }_1⩽{\lambda }_2⩽\cdots ⩽{\lambda }_n$ ses valeurs propres, comptées avec multiplicité.

1. Montrer que pour tout $x\in E$,

$${\lambda }_1\parallel x{\parallel }^2⩽⟨u(x),x⟩⩽{\lambda }_n\parallel x{\parallel }^2,$$

en décomposant $x$ dans une base orthonormée de vecteurs propres de $u$.

2. Montrer que ces deux bornes sont atteintes, et déterminer exactement les cas d'égalité.

3. En déduire que

$${\lambda }_n=\underset{\parallel x\parallel =1}{\max }⟨u(x),x⟩,{\lambda }_1=\underset{\parallel x\parallel =1}{\min }⟨u(x),x⟩,$$

puis l'encadrement ${\lambda }_1⩽{\displaystyle \frac{\mathrm{tr}(u)}{n}}⩽{\lambda }_n$.

4. Application. Déterminer le maximum et le minimum de $f(x,y,z)=4xy-2yz$ sur la sphère unité de ${\mathbb{R}}^3$ muni de son produit scalaire canonique, en précisant les vecteurs en lesquels ces extremums sont atteints.

5. Montrer que si $u$ est autoadjoint et vérifie $⟨u(x),x⟩=0$ pour tout $x\in E$, alors $u=0$. Donner ensuite un endomorphisme non nul de ${\mathbb{R}}^2$ vérifiant $⟨u(x),x⟩=0$ pour tout $x$ : l'hypothèse d'autoadjonction est donc essentielle.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$. Pour une famille $(x_1,\dots ,x_p)$ de vecteurs de $E$, on note

$$G(x_1,\dots ,x_p)=(⟨x_i,x_j⟩{)}_{1⩽i,j⩽p}\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$$

sa matrice de Gram, et $\gamma (x_1,\dots ,x_p)=\det G(x_1,\dots ,x_p)$ son déterminant de Gram.

1. Montrer que $\gamma (x_1,\dots ,x_p)⩾0$, avec égalité si et seulement si la famille $(x_1,\dots ,x_p)$ est liée.

2. On suppose la famille $(x_1,\dots ,x_p)$ libre et on pose $F=\mathrm{Vect}(x_1,\dots ,x_p)$. Montrer que pour tout $x\in E$,

$$d(x,F{)}^2=\frac{\gamma (x_1,\dots ,x_p,x)}{\gamma (x_1,\dots ,x_p)}\mathrm{.}$$

3. Montrer que $\gamma$ est invariant par le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt, puis en déduire l'inégalité de Hadamard

$$\gamma (x_1,\dots ,x_p)⩽\prod _{i=1}^p\parallel x_i{\parallel }^2\mathrm{.}$$

4. Application. On munit ${\mathbb{R}}_2[X]$ du produit scalaire $⟨P,Q⟩={\displaystyle {\int }_0^{1}P(t)Q(t)\mathrm{d}t}$. Calculer $\gamma (1,X)$, $\gamma (1,X,X^2)$, puis la distance de $X^2$ au sous-espace ${\mathbb{R}}_1[X]$. Retrouver le résultat en calculant directement le projeté orthogonal de $X^2$ sur ${\mathbb{R}}_1[X]$.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$.

1. Soient $u,v\in \mathcal{L}(E)$ deux endomorphismes autoadjoints tels que $u\circ v=v\circ u$. Montrer que chaque sous-espace propre de $u$ est stable par $v$, que l'endomorphisme induit par $v$ sur ce sous-espace y est autoadjoint, puis en déduire qu'il existe une base orthonormée de $E$ diagonalisant simultanément $u$ et $v$.

2. Établir la réciproque : s'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle les matrices de $u$ et de $v$ sont diagonales, alors $u$ et $v$ commutent.

3. En déduire que si $A,B\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ commutent, alors $AB\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$. Donner un contre-exemple explicite de deux matrices symétriques dont le produit n'est pas symétrique.

4. Montrer que si $A,B\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ commutent, alors $AB\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$.

5. Application. Soient $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$. Vérifier qu'elles commutent, puis donner une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^2$ qui les diagonalise toutes les deux.

On munit ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique $⟨X,Y⟩=X^{\mathrm{\top }}Y$, et l'on rappelle que $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ est dite positive lorsque $X^{\mathrm{\top }}AX⩾0$ pour toute colonne $X$, définie positive lorsque de plus $X^{\mathrm{\top }}AX>0$ pour $X\mathrm{\ne }0$.

1. Montrer que pour $A\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$, on a $\mathrm{tr}(A)⩾0$, avec égalité si et seulement si $A=0$.

2. Soient $A,B\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$. Montrer que $\mathrm{tr}(AB)⩾0$. On pourra écrire $A=R^2$ avec $R\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ et utiliser $\mathrm{tr}(R^{2}B)=\mathrm{tr}(RBR)$.

3. Montrer que $\mathrm{tr}(AB)⩽\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)$ pour $A,B\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$. On diagonalisera $A$ en base orthonormée, en justifiant que les coefficients diagonaux de $B$ dans cette base sont positifs.

4. Montrer que pour $A\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, on a $\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}\left(A^{-1}\right)⩾n^2$, et préciser le cas d'égalité.

5. Montrer que si $A\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ vérifie $\mathrm{tr}(AB)=0$ pour toute $B\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$, alors $A=0$.

6. Application. Illustrer les questions 3 et 4 avec $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, après avoir vérifié que $B$ est définie positive.

On note ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices antisymétriques réelles d'ordre $n$, et l'on munit ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique.

1. Soit $A\in {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $X^{\mathrm{\top }}(I_n+A)X=\parallel X{\parallel }^2$ pour toute colonne $X$, puis que $I_n+A$ est inversible.

2. On pose $\mathrm{\Omega }=(I_n-A)(I_n+A{)}^{-1}$. Montrer que $I_n-A$ et $(I_n+A{)}^{-1}$ commutent, que $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$, et que $-1\mathrm{\notin }\mathrm{Sp}(\mathrm{\Omega })$.

3. Réciproquement, soit $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ telle que $-1\mathrm{\notin }\mathrm{Sp}(\mathrm{\Omega })$. Montrer que $A=(I_n-\mathrm{\Omega })(I_n+\mathrm{\Omega }{)}^{-1}$ est antisymétrique, puis que la transformation de Cayley réalise une bijection de ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ sur

$$\mathcal{U}=\{\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R});-1\mathrm{\notin }\mathrm{Sp}(\mathrm{\Omega })\}\mathrm{.}$$

4. Montrer que $\det \mathrm{\Omega }=1$, donc que l'image de la transformation de Cayley est contenue dans ${\mathrm{S}\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$.

5. Cas $n=2$. On prend $A=\left(\begin{array}{cc}0& -t\\ t& 0\end{array}\right)$ avec $t\in \mathbb{R}$. Calculer $\mathrm{\Omega }$, l'identifier comme une rotation dont on donnera l'angle en fonction de $\mathrm{Arctan}t$, et commenter le fait que la rotation d'angle $\pi$ n'est jamais atteinte.

On munit ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique. Soient $A\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $B\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$.

1. Montrer qu'il existe $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$ telle que $P^{\mathrm{\top }}AP=I_n$ et $P^{\mathrm{\top }}BP=D$ soit diagonale. On posera $R=A^{1\mathrm{/}2}$, on considérera $C=R^{-1}B{R}^{-1}$, on la diagonalisera en base orthonormée, puis on conclura.

2. Montrer que les coefficients diagonaux ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_n$ de $D$ sont les racines de $\lambda \mapsto \det (B-\lambda A)$. Vérifier sur un exemple que ce ne sont pas, en général, les valeurs propres de $B$.

3. Montrer que si de plus $B\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, alors les ${\mu }_i$ sont strictement positifs.

4. Déterminer ${\displaystyle \underset{X\mathrm{\ne }0}{\max }\frac{X^{\mathrm{\top }}BX}{X^{\mathrm{\top }}AX}}$ en fonction des ${\mu }_i$, et préciser les colonnes qui réalisent ce maximum.

5. Exemple. Avec $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, vérifier que $A\in {\mathcal{S}}_2^{++}(\mathbb{R})$, calculer les racines de $\det (B-\lambda A)=0$ et le maximum du quotient, puis contrôler la valeur trouvée sur quelques colonnes particulières.

Soient $n,p⩾1$, $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$ et $b\in {\mathbb{R}}^n$. Les espaces ${\mathbb{R}}^n$ et ${\mathbb{R}}^p$ sont munis de leur produit scalaire canonique, et pour un sous-espace $F$ on note $p_F$ la projection orthogonale sur $F$. On cherche à rendre $\parallel AX-b\parallel$ le plus petit possible lorsque $X$ décrit ${\mathbb{R}}^p$ : un tel $X$ est appelé solution au sens des moindres carrés du système $AX=b$.

1. Montrer que ce minimum existe, qu'il vaut $d(b,\mathrm{Im}A)$, et qu'il est atteint exactement pour les $X$ vérifiant $AX=p_{\mathrm{Im}A}(b)$.

2. Montrer que $\mathrm{Ker}\left(A^{\mathrm{\top }}\right)={(\mathrm{Im}A)}^{\perp }$, puis que $X$ est solution au sens des moindres carrés si et seulement si

$$A^{\mathrm{\top }}AX=A^{\mathrm{\top }}b\text{(equations normales)}\mathrm{.}$$

3. Montrer que le système normal est toujours compatible, et qu'il admet une solution unique si et seulement si $\mathrm{rg}A=p$.

4. Application. Ajuster aux quatre points $(0,1)$, $(1,2)$, $(2,2)$, $(3,4)$ une droite d'équation $y=\alpha +\beta x$, c'est-à-dire rendre minimale la somme des carrés des écarts verticaux. Calculer $A^{\mathrm{\top }}A$, $A^{\mathrm{\top }}b$, la droite obtenue, puis la somme des carrés des résidus.

5. Montrer que le vecteur résidu $b-AX$ est orthogonal à $\mathrm{Im}A$ pour toute solution $X$, et vérifier cette propriété sur l'exemple de la question 4.

Soient $n⩾1$ et $A,B\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. On se propose de comparer $\det (A+B)$ à $\det A+\det B$.

1. Montrer que $A+B\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$.

2. On note $R=A^{1\mathrm{/}2}$ la racine carrée de $A$ (résultat du cours) et l'on pose $C=R^{-1}B{R}^{-1}$. Montrer que $R\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, que $R$ est inversible d'inverse symétrique, puis que $C\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ et

$$\det (A+B)=\det (A)\det (I_n+C)\mathrm{.}$$

3. On note ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_n>0$ les valeurs propres de $C$, comptées avec multiplicité. Montrer que $\det (I_n+C)={\prod }_{i=1}^n(1+{\mu }_i)$, puis établir, pour des réels ${\mu }_i>0$ quelconques,

$$\prod _{i=1}^n(1+{\mu }_i)⩾1+\prod _{i=1}^n{\mu }_i\mathrm{.}$$

4. En déduire $\det (A+B)⩾\det A+\det B$, et préciser le cas d'égalité lorsque $n⩾2$.

5. Renforcement (inégalité de Minkowski). En appliquant l'inégalité arithmético-géométrique aux deux familles ${\left({\displaystyle \frac{1}{1+{\mu }_i}}\right)}_{1⩽i⩽n}$ et ${\left({\displaystyle \frac{{\mu }_i}{1+{\mu }_i}}\right)}_{1⩽i⩽n}$, montrer

$${\left(\prod _{i=1}^n(1+{\mu }_i)\right)}^{1\mathrm{/}n}⩾1+{\left(\prod _{i=1}^n{\mu }_i\right)}^{1\mathrm{/}n},$$

puis en déduire ${(\det (A+B))}^{1\mathrm{/}n}⩾{(\det A)}^{1\mathrm{/}n}+{(\det B)}^{1\mathrm{/}n}$.

6. Vérification numérique avec $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$. Contrôler d'abord que $B\in {\mathcal{S}}_2^{++}(\mathbb{R})$, puis calculer $C$, ses valeurs propres, et comparer $\det (A+B)$, $\det A+\det B$ ainsi que les deux membres de l'inégalité de Minkowski.

L'objectif est de majorer le déterminant d'une matrice réelle par le produit des normes de ses colonnes. Dans tout l'exercice, ${\mathbb{R}}^n$ est muni de son produit scalaire canonique et $({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)$ désigne sa base canonique.

1. Soit $A=\left(a_{ij}\right)\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. Montrer que $a_{ii}>0$ pour tout $i$. On pose alors $D=\mathrm{diag}(a_{11}^{-1\mathrm{/}2},\dots ,a_{nn}^{-1\mathrm{/}2})$ et $B=DAD$. Montrer que $B\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, que tous ses coefficients diagonaux valent $1$, et que

$$\det B={\displaystyle \frac{\det A}{\prod _{i=1}^n{a}_{ii}}}\mathrm{.}$$

2. En appliquant l'inégalité arithmético-géométrique aux valeurs propres de $B$, montrer que $\det B⩽1$, puis que $\det A⩽{\prod }_{i=1}^n{a}_{ii}$. Préciser le cas d'égalité.

3. En déduire l'inégalité de Hadamard : pour toute $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ de colonnes $C_1,\dots ,C_n$,

$$\mid \det M\mid ⩽\prod _{j=1}^n\parallel C_j\parallel \mathrm{.}$$

On traitera d'abord le cas où $M$ n'est pas inversible, puis on appliquera la question 2 à $A=M^{\mathrm{\top }}M$.

4. Montrer qu'il y a égalité dans l'inégalité de Hadamard si et seulement si l'une des colonnes de $M$ est nulle ou les colonnes sont deux à deux orthogonales.

5. Interpréter géométriquement le résultat en dimension $3$, et le vérifier sur la matrice

$$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

6. Application : majorer $\mid \det M\mid$ lorsque tous les coefficients de $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ appartiennent à $[-1,1]$.

Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint de $E$, espace euclidien de dimension $n⩾1$. Le théorème spectral fournit une base orthonormée $(e_1,\dots ,e_n)$ de vecteurs propres de $u$ ; on note ${\lambda }_1⩽{\lambda }_2⩽\cdots ⩽{\lambda }_n$ les valeurs propres associées, comptées avec multiplicité et rangées dans l'ordre croissant, de sorte que $u(e_i)={\lambda }_i{e}_i$. Pour tout sous-espace $F\mathrm{\ne }\{0\}$ de $E$, on pose

$$M(F)=\max \{⟨u(x),x⟩;x\in F,\parallel x\parallel =1\}\mathrm{.}$$

1. Justifier l'existence de ce maximum par un argument purement algébrique. On montrera que $v=p_F\circ u_{\mathrm{\mid }F}$ est un endomorphisme autoadjoint de $F$, que $⟨u(x),x⟩=⟨v(x),x⟩$ pour tout $x\in F$, et l'on appliquera le théorème spectral à $v$ dans $F$.

2. Pour $1⩽k⩽n$, on pose $F_k=\mathrm{Vect}(e_1,\dots ,e_k)$. Montrer que $M\left(F_k\right)={\lambda }_k$.

3. Soit $F$ un sous-espace de dimension $k$. Montrer que $M(F)⩾{\lambda }_k$. On pourra vérifier que $F\cap \mathrm{Vect}(e_k,\dots ,e_n)$ contient un vecteur unitaire.

4. En déduire le théorème de Courant-Fischer :

$${\lambda }_k=\min \{M(F);\dim F=k\},$$

puis énoncer et démontrer la formule duale, où un maximum porte sur des minimums.

5. Application 1 (monotonie). Soit $w$ un endomorphisme autoadjoint positif de $E$. En notant ${\lambda }_k(u)$ la $k$-ième valeur propre de $u$ dans l'ordre croissant, montrer que ${\lambda }_k(u+w)⩾{\lambda }_k(u)$ pour tout $k$.

6. Application 2 (entrelacement). Soit $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et soit $B\in {\mathcal{S}}_{n-1}(\mathbb{R})$ la matrice obtenue en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne de $A$. Montrer que

$${\lambda }_k(A)⩽{\lambda }_k(B)⩽{\lambda }_{k+1}(A)\text{pour }1⩽k⩽n-1,$$

puis vérifier ces inégalités sur la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$.