Devoir surveillé — Endomorphismes d'un espace euclidien

Consignes valables pour tout le sujet. Calculatrice interdite. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; l'exercice 5 est un problème en trois parties, dont la partie C utilise les parties A et B. Chaque fois que l'on écrit une matrice, c'est dans une base explicitement précisée, et l'adjoint est toujours celui du produit scalaire de l'espace considéré : l'exercice 3 travaille délibérément dans une base qui n'est pas orthonormée pour son produit scalaire, et les résultats du cours valables « en base orthonormée » n'y sont donc pas applicables tels quels. Toute utilisation d'un théorème doit être précédée de la vérification explicite de ses hypothèses : c'est cette vérification, autant que le résultat, qui est notée. Un résultat annoncé sans démonstration ne rapporte aucun point.

Dans cet exercice, $E$ désigne un espace euclidien de dimension $n⩾1$ et ${\mathbb{R}}^n$ est muni de son produit scalaire canonique, pour lequel la base canonique est orthonormée. Chacune des six affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? On attend une démonstration complète, ou un contre-exemple explicite accompagné de sa vérification.

1. (0,5 pt) Si $u\in \mathcal{L}(E)$ vérifie $\parallel u(x)\parallel ⩽\parallel x\parallel$ pour tout $x\in E$ et $\det u=1$, alors $u\in \mathrm{O}(E)$.

2. (0,5 pt) Si $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ vérifie $A^3=A^2$, alors $A$ est la matrice, dans la base canonique de ${\mathbb{R}}^n$, d'un projecteur orthogonal.

3. (0,5 pt) Si $A$ et $B$ appartiennent à ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, alors $AB$ est diagonalisable et toutes ses valeurs propres sont strictement positives.

4. (0,5 pt) Si $u\in \mathcal{L}(E)$ vérifie $u\circ u^{\ast }=u^{\ast }\circ u$, alors $u$ est autoadjoint.

5. (0,5 pt) Si $u$ et $v$ sont deux endomorphismes antisymétriques de $E$, alors $u\circ v$ est antisymétrique.

6. (0,5 pt) Deux matrices de ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ semblables sont orthogonalement semblables.

Pour $n⩾1$, on note

$${\mathrm{G}}_n={\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})\cap {\mathcal{M}}_n(\mathbb{Z})$$

l'ensemble des matrices orthogonales dont tous les coefficients sont entiers. L'espace ${\mathbb{R}}^n$ est muni de son produit scalaire canonique et de sa base canonique $(e_1,\dots ,e_n)$, qui est orthonormée. On rappelle que pour $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$, la matrice de permutation $P_{\sigma }$ est définie par $P_{\sigma }{e}_j=e_{\sigma (j)}$ pour tout $j$, et que $\det P_{\sigma }=\mathrm{sgn}(\sigma )$.

1. (0,75 pt) Soit $\mathrm{\Omega }=({\omega }_{ij})\in {\mathrm{G}}_n$. Démontrer que chaque colonne de $\mathrm{\Omega }$ possède exactement un coefficient non nul, et que ce coefficient vaut $1$ ou $-1$. Qu'en est-il des lignes ?

2. (0,75 pt) En déduire que pour toute $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{G}}_n$, il existe un unique couple formé d'une permutation $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$ et d'une famille de signes $({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)\in \{-1,1{\}}^n$ tel que $\mathrm{\Omega }{e}_j={\epsilon }_j{e}_{\sigma (j)}$ pour tout $j$. Démontrer que ${\mathrm{G}}_n$ est un sous-groupe de ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ de cardinal $2^{n}n!$, puis que ${\mathrm{G}}_3\cap {\mathrm{S}\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$ possède $24$ éléments.

3. (1 pt) Soit $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{G}}_3\cap {\mathrm{S}\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$ et soit $r$ la rotation de ${\mathbb{R}}^3$ associée. Démontrer que $\mathrm{tr}(\mathrm{\Omega })\in \{-1,0,1,3\}$, puis que l'angle de $r$ appartient, au signe près, à

$$\{0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},\pi \}\mathrm{.}$$

4. (1 pt) Dénombrer, dans ${\mathrm{G}}_3\cap {\mathrm{S}\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$, les rotations correspondant à chacun de ces quatre angles, en précisant leur axe lorsqu'elles en ont un. Contrôler que le total vaut bien $24$, et interpréter le résultat sur le cube $\mathcal{C}=[-1,1{]}^3$.

Soit $n⩾1$. On identifie ${\mathbb{R}}^n$ à ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ et l'on note $⟨X,Y⟩=X^{\mathrm{\top }}Y$ son produit scalaire canonique. Pour $A\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, on pose

$$⟨X,Y{⟩}_A=X^{\mathrm{\top }}AY(X,Y\in {\mathbb{R}}^n)\mathrm{.}$$

À toute matrice $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ on associe l'endomorphisme $u_M:X⟼MX$ de ${\mathbb{R}}^n$. Dans les questions 3. et 5., on prendra

$$n=2,A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 5\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. (0,25 pt) Vérifier que $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_A$ est un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}^n$, et que le produit scalaire canonique correspond au choix $A=I_n$.

2. (0,75 pt) Démontrer que l'adjoint de $u_M$ pour $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_A$ est $u_N$, où $N=A^{-1}{M}^{\mathrm{\top }}A$. Contrôler la cohérence avec le cas $A=I_n$.

3. (0,75 pt) En déduire que $u_M$ est autoadjoint pour $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_A$ si et seulement si $AM\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$. Avec la matrice $A$ ci-dessus, donner une matrice $M$ symétrique telle que $u_M$ ne soit pas $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_A$-autoadjoint, et une matrice $M$ non symétrique telle que $u_M$ le soit.

4. (0,5 pt) Démontrer que si $u_M$ est $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_A$-autoadjoint, alors $M$ est diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, toutes ses valeurs propres sont réelles, et il existe une base de vecteurs propres de $M$ qui est orthonormée pour $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_A$. Traduire matriciellement à l'aide de la matrice $P$ formée de ces vecteurs.

5. (1 pt) Application. On prend $A$ comme ci-dessus et

$$M=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 4\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Vérifier que $A\in {\mathcal{S}}_2^{++}(\mathbb{R})$ et que $AM$ est symétrique. Déterminer $\mathrm{Sp}(M)$, puis une base de vecteurs propres de $M$ orthonormée pour $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_A$. Contrôler les relations de la question 4., et constater que cette base n'est pas orthogonale pour le produit scalaire canonique.

6. (0,75 pt) Réciproquement, soit $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Démontrer qu'il existe $A\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ telle que $u_M$ soit $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_A$-autoadjoint. Que peut-on alors dire de l'ensemble des endomorphismes de ${\mathbb{R}}^n$ qui sont autoadjoints pour au moins un produit scalaire ?

Un tableau de mesures donne les distances mutuelles de plusieurs objets, sans donner leurs positions. On se demande si ces distances sont réalisables par des points d'un espace euclidien, et dans quelle dimension minimale.

Soit $E$ un espace euclidien et soient $A_0,A_1,\dots ,A_p$ des points de $E$ (avec $p⩾1$). On note $d_{ij}=\parallel A_i-A_j\parallel$ et $v_i=A_i-A_0$ pour $1⩽i⩽p$. On appelle matrice de configuration de la famille la matrice $G=(g_{ij}{)}_{1⩽i,j⩽p}$ de ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$ définie par

$$g_{ij}={\displaystyle \frac{1}{2}}(d_{0i}^2+d_{0j}^2-d_{ij}^2)\mathrm{.}$$

On admet le résultat de l'exercice 17 de la fiche : le rang d'une matrice de Gram est le rang de la famille de vecteurs dont elle provient.

1. (0,5 pt) Démontrer que $g_{ij}=⟨v_i,v_j⟩$, autrement dit que $G$ est la matrice de Gram de la famille $(v_1,\dots ,v_p)$.

2. (0,5 pt) En déduire que $G\in {\mathcal{S}}_p^{+}(\mathbb{R})$ et que $\mathrm{rg}G$ est la dimension de $\mathrm{Vect}(v_1,\dots ,v_p)$, c'est-à-dire du plus petit sous-espace affine de $E$ contenant les $p+1$ points.

3. (1 pt) Réciproquement, on se donne $G\in {\mathcal{S}}_p^{+}(\mathbb{R})$, de rang $r$, et l'on pose $d_{0i}=\sqrt{g_{ii}}$ et $d_{ij}=\sqrt{g_{ii}+g_{jj}-2g_{ij}}$. Démontrer qu'il existe $p+1$ points de ${\mathbb{R}}^r$ réalisant exactement ces distances, mais qu'il n'en existe aucun dans un espace euclidien de dimension strictement inférieure à $r$.

4. (0,75 pt) Application. Quatre objets sont mesurés deux à deux et l'on obtient

$$d_{01}=3,d_{02}=4,d_{03}=5,d_{12}=5,d_{13}=4,d_{23}=3.$$

Calculer $G$, déterminer son rang, puis reconstituer explicitement une configuration de quatre points du plan réalisant ces six distances. Vérifier les six distances obtenues.

5. (0,75 pt) Application. Soit $d>0$. Pour quelles valeurs de $d$ existe-t-il quatre points $A_0,A_1,A_2,A_3$ d'un espace euclidien tels que $d_{0i}=1$ pour $i\in \{1,2,3\}$ et $d_{ij}=d$ pour $1⩽i<j⩽3$ ? Traiter en particulier le cas $d=2$ et conclure sur la portée des inégalités triangulaires.

Une matrice de rotation calculée numériquement cesse, au fil des arrondis, d'être exactement orthogonale. On souhaite la remplacer par la matrice orthogonale qui s'en écarte le moins. Le problème montre que cette meilleure approximation existe, qu'elle est unique, et qu'elle se lit sur la décomposition polaire de la matrice de départ.

Soit $n⩾1$. On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ du produit scalaire

$$⟨U,V⟩=\mathrm{tr}\left(U^{\mathrm{\top }}V\right),$$

dont on note $\parallel \cdot \parallel$ la norme associée (c'est un produit scalaire, cf. exercice 36 de la fiche). On admet le théorème de décomposition polaire : toute matrice $A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$ s'écrit de manière unique $A=\mathrm{\Omega }S$ avec $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ et $S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$.

L'objectif est de déterminer

$$d(A,{\mathrm{O}}_n(\mathbb{R}))=\inf \{\parallel A-U\parallel ;U\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})\}$$

et les matrices $U$ qui réalisent cette borne inférieure.

Partie A. Préliminaires.

1. (0,5 pt) Démontrer que $\parallel \mathrm{\Omega }\parallel =\sqrt{n}$ pour toute $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$, puis que $⟨\mathrm{\Omega }U,\mathrm{\Omega }V⟩=⟨U,V⟩$ pour tous $U,V\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

2. (0,5 pt) Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Démontrer que pour toute $U\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$,

$$\parallel A-U{\parallel }^2=\parallel A{\parallel }^2+n-2\mathrm{tr}\left(A^{\mathrm{\top }}U\right)\mathrm{.}$$

En déduire que minimiser $\parallel A-U\parallel$ sur ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ revient à maximiser $\mathrm{tr}\left(A^{\mathrm{\top }}U\right)$.

Partie B. Une inégalité de trace.

3. (1,25 pt) Soient $S\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ et $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$. Démontrer que

$$\mathrm{tr}(S\mathrm{\Omega })⩽\mathrm{tr}(S)\mathrm{.}$$

On pourra diagonaliser $S$ en base orthonormée et majorer les coefficients diagonaux d'une matrice orthogonale.

4. (1 pt) On suppose de plus $S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. Démontrer que $\mathrm{tr}(S\mathrm{\Omega })=\mathrm{tr}(S)$ si et seulement si $\mathrm{\Omega }=I_n$. L'hypothèse « définie positive » est-elle nécessaire ?

Partie C. La meilleure approximation orthogonale.

5. (1 pt) Soit $A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$, de décomposition polaire $A=\mathrm{\Omega }S$. Démontrer que pour toute $U\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$,

$$\mathrm{tr}\left(A^{\mathrm{\top }}U\right)⩽\mathrm{tr}(S),$$

avec égalité si et seulement si $U=\mathrm{\Omega }$.

6. (1 pt) En déduire que la borne inférieure $d(A,{\mathrm{O}}_n(\mathbb{R}))$ est un minimum, atteint en l'unique matrice $U=\mathrm{\Omega }$, et que

$$d(A,{\mathrm{O}}_n(\mathbb{R}))=\parallel S-I_n\parallel =\sqrt{\sum _{i=1}^n{({\sigma }_i-1)}^2},$$

où ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n$ désignent les valeurs propres de $S$ comptées avec multiplicité.

7. (0,75 pt) Application numérique. On prend

$$n=2,A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 4& 5\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Calculer $A^{\mathrm{\top }}A$, en déduire $S$ puis $\mathrm{\Omega }$. Vérifier que $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{S}\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ et donner l'angle de la rotation correspondante. Calculer enfin $d(A,{\mathrm{O}}_2(\mathbb{R}){)}^2$.