Exercices — Probabilités sur un ensemble quelconque

Partie A. On pose $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$. Pour chacune des familles suivantes, dire si elle est une tribu sur $\mathrm{\Omega }$. Lorsque la réponse est négative, préciser quel axiome est en défaut et donner un contre-exemple explicite.

Partie B. Soit $\mathrm{\Omega }$ un univers quelconque.

1. Soit $A$ une partie de $\mathrm{\Omega }$ telle que $A\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$ et $A\mathrm{\ne }\mathrm{\Omega }$. Déterminer la plus petite tribu sur $\mathrm{\Omega }$ contenant $A$, et donner son nombre d'éléments.

2. Soit $(A_1,A_2,A_3)$ une partition de $\mathrm{\Omega }$ en trois parties non vides. Déterminer la plus petite tribu sur $\mathrm{\Omega }$ contenant $A_1$, $A_2$ et $A_3$ : en lister tous les éléments, vérifier les axiomes, et compter. Conjecturer le résultat pour une partition en $n$ parties non vides.

Partie C. On reprend $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$ et on pose

$$\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2,3,4\},\mathrm{\Omega }\}\text{et}\mathcal{B}=\{\mathrm{\varnothing },\{2\},\{1,3,4\},\mathrm{\Omega }\}$$

3. Vérifier que $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ sont deux tribus sur $\mathrm{\Omega }$, puis montrer que $\mathcal{A}\cup \mathcal{B}$ n'en est pas une.

Partie D. On prend maintenant $\mathrm{\Omega }={\mathbb{N}}^{\ast }$ et on note $\mathcal{F}$ l'ensemble des parties $A$ de ${\mathbb{N}}^{\ast }$ telles que $A$ soit finie ou que $\bar{A}$ soit finie.

4. Montrer que $\mathcal{F}$ contient $\mathrm{\Omega }$, qu'elle est stable par passage au complémentaire, et qu'elle est stable par réunion de deux de ses éléments.

5. Pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $A_k=\{2k\}$. Montrer que $A_k\in \mathcal{F}$ pour tout $k$, mais que ${\displaystyle \bigcup _{k⩾1}{A}_k\mathrm{\notin }\mathcal{F}}$. Conclure.

On travaille sur l'univers dénombrable $\mathrm{\Omega }={\mathbb{N}}^{\ast }$, muni de la tribu $\mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$.

1. Pour chacune des trois familles ${\left(p_k\right)}_{k\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ suivantes, déterminer s'il existe un réel $c$ pour lequel la famille définit une probabilité $P$ sur $(\mathrm{\Omega },\mathcal{P}(\mathrm{\Omega }))$ vérifiant $P(\{k\})=p_k$ pour tout $k$. Lorsque c'est le cas, donner la valeur exacte de $c$.

Dans toute la suite, $P$ désigne la probabilité obtenue à la question 1. a.

2. Calculer la probabilité des deux événements suivants.

3. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $B_n$ l'événement « le résultat est supérieur ou égal à $n$ ». Calculer $P\left(B_n\right)$, vérifier que la suite ${\left(B_n\right)}_{n⩾1}$ est décroissante pour l'inclusion, et retrouver de deux façons que $P\left(B_n\right)$ tend vers $0$.

Partie A. On pose $\mathrm{\Omega }={\mathbb{N}}^{\ast }$. Pour chacune des familles d'événements suivantes, dire si elle constitue un système complet dénombrable d'événements de $\mathrm{\Omega }$, en examinant séparément les deux conditions de la définition. Lorsque la réponse est négative, proposer une modification qui en fasse un système complet.

Partie B. Une machine automatique conditionne des lots de pièces. Le nombre $N$ de pièces d'un lot suit la loi géométrique de paramètre $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Chaque pièce produite est conforme avec la probabilité $\mathrm{0,9}$, indépendamment des autres pièces et indépendamment de $N$. On note $C$ l'événement « toutes les pièces du lot sont conformes ».

1. Rappeler la loi de $N$ et vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

2. Justifier que la famille $((N=n){)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est un système complet dénombrable d'événements, dont aucun n'est de probabilité nulle.

3. Donner $P_{(N=n)}(C)$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, puis calculer $P(C)$.

4. Sachant que le lot ne contient que des pièces conformes, quelle est la probabilité qu'il n'ait été constitué que d'une seule pièce ?

On lance indéfiniment un dé équilibré à six faces, les lancers étant mutuellement indépendants. On note $X$ le rang du premier six obtenu, et pour $i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ on note $S_i$ l'événement « le $i$-ième lancer donne un six ».

1. Exprimer l'événement $(X=k)$, pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, à l'aide des événements $S_i$ et de leurs contraires. En déduire la loi de $X$ et reconnaître une loi usuelle.

2. Vérifier que la somme des probabilités $P(X=k)$ vaut $1$. Qu'en déduit-on pour l'événement $J$ : « on n'obtient jamais de six » ?

3. Montrer que $P(X>n)={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis calculer les probabilités suivantes, en valeur exacte et en valeur approchée à quatre décimales.

4. Justifier l'existence de $E(X)$ et de $V(X)$, donner leurs valeurs en citant le cours, puis interpréter $E(X)$.

5. Un joueur affirme : « puisqu'il faut six lancers en moyenne, j'obtiendrai presque sûrement un six en six lancers ». Calculer $P(X⩽6)$ et commenter.

Le standard téléphonique d'une petite entreprise reçoit en moyenne trois appels par minute. On note $X$ le nombre d'appels reçus au cours d'une minute donnée, et on admet que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda =3$.

Dans tout l'exercice, on utilisera $e^{-3}\approx \mathrm{0,0498}$ et on donnera les valeurs approchées à quatre décimales.

1. Rappeler $X(\mathrm{\Omega })$ et la loi de $X$, puis vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

2. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants, en valeur exacte puis en valeur approchée.

3. Justifier l'existence de $E(X)$, puis donner $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$.

4. Déterminer la ou les valeurs les plus probables de $X$, en comparant $P(X=k+1)$ et $P(X=k)$.

Partie A. Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1$, $2$, $3$, $5$ et $7$, avec les probabilités suivantes.

1. Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité.

2. Déterminer la fonction de répartition $F$ de $X$, en donnant sa valeur sur chacun des intervalles où elle est constante.

3. À l'aide de $F$, calculer les probabilités suivantes, puis contrôler chaque résultat directement sur la loi.

Partie B. Soit $p\in ]0,1[$ et soit $X\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$. On pose $q=1-p$ et on note $F$ la fonction de répartition de $X$.

4. Montrer que $F(n)=1-q^n$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. En déduire $P(X>n)$ et interpréter ce résultat sans calcul.

5. Donner l'expression de $F(x)$ pour un réel $x$ quelconque.

6. Vérifier que $F(n)-F(n-1)=P(X=n)$ pour $n⩾2$, et que $F(n)$ tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

7. On prend $p=\mathrm{0,2}$. Calculer $P(X>10)$ et $F(10)$, en valeur exacte et en valeur approchée à quatre décimales.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$, dont la loi est donnée par

$$\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{\ast },P(X=k)={\displaystyle \frac{1}{2^k}}$$

On rappelle que, pour tout réel $x$ vérifiant $\mid x\mid <1$, les trois séries suivantes convergent et

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{x}^k}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{1-x}}}\\ {\displaystyle \sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}k{x}^{k-1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{(1-x{)}^2}}}\\ {\displaystyle \sum _{k=2}^{+\mathrm{\infty }}k(k-1)x^{k-2}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{(1-x{)}^3}}}\end{array}$$

1. Vérifier que la formule ci-dessus définit bien une loi de probabilité, puis calculer :

2. Justifier que $X$ admet une espérance, puis calculer $E(X)$.

3. Justifier que la variable $X(X-1)$ admet une espérance, puis calculer $E(X(X-1))$.

4. En déduire $E\left(X^2\right)$, puis $V(X)$ et $\sigma (X)$.

5. Reconnaître la loi de $X$ et contrôler avec elle tous les résultats précédents.

Dans un petit atelier, deux machines $A$ et $B$ tournent côte à côte. On observe une journée de production tirée au hasard dans l'année et l'on note $X$ le nombre de pannes de la machine $A$ ce jour-là, $Y$ le nombre de pannes de la machine $B$. Les deux machines subissent les mêmes conditions de chaleur et de poussière, si bien qu'aucune hypothèse d'indépendance n'est faite. Un relevé statistique fournit la loi conjointe du couple $(X,Y)$, dont les deux variables prennent leurs valeurs dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,2]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. La case située à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$ donne $P(X=i,Y=j)$.

1. Vérifier que ce tableau définit bien la loi d'un couple de variables aléatoires.

2. Déterminer la loi marginale de $X$ et celle de $Y$, puis calculer $E(X)$, $V(X)$, $E(Y)$ et $V(Y)$.

3. Déterminer la loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X=2)$, c'est-à-dire les probabilités $P_{(X=2)}(Y=j)$ pour $j\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,2]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Comparer cette loi à la loi de $Y$.

4. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

5. Calculer $E(XY)$, puis $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$ et $\rho (X,Y)$.

6. Calculer $V(X+Y)$ à l'aide de la formule générale, puis contrôler le résultat en déterminant la loi de $S=X+Y$.

Sur un univers fini, toute variable aléatoire admet une espérance : la somme qui la définit ne comporte qu'un nombre fini de termes. Dès que la variable prend une infinité de valeurs, il n'en va plus de même, et l'existence de l'espérance devient une question à part entière. Cet exercice construit une famille d'exemples où l'on voit précisément la frontière.

Soit $\alpha$ un réel. On cherche à savoir s'il existe une constante $c>0$ et une variable aléatoire discrète $X$, définie sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ et à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$, telles que

$$\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{\ast },P(X=k)={\displaystyle \frac{c}{k^{\alpha }}}$$

On rappelle le résultat sur les séries de Riemann : pour $\beta$ réel, la série ${\displaystyle \sum _{k⩾1}{\displaystyle \frac{1}{k^{\beta }}}}$ converge si et seulement si $\beta >1$. Pour tout réel $\beta >1$, on note alors

$$S_{\beta }=\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{k^{\beta }}}$$

1. Montrer qu'une telle constante $c$ existe si et seulement si $\alpha >1$, et donner alors son expression.

2. On se place dans le cas $\alpha =2$. En comparant, pour $k⩾2$, le terme ${\displaystyle \frac{1}{k^2}}$ au terme ${\displaystyle \frac{1}{k(k-1)}}$, montrer que $\mathrm{1,25}⩽S_2⩽2$. En déduire un encadrement de $c$.

3. Pour quelles valeurs de $\alpha$ la variable $X$ admet-elle une espérance ? Donner alors l'expression de $E(X)$ à l'aide des $S_{\beta }$.

4. Pour quelles valeurs de $\alpha$ la variable $X$ admet-elle un moment d'ordre $2$, et donc une variance ?

5. Détailler les deux cas suivants : $\alpha =2$, puis $\alpha ={\displaystyle \frac{5}{2}}$.

6. Récapituler la discussion dans un tableau, et commenter.

Soit $\lambda >0$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, c'est-à-dire $X(\mathrm{\Omega })=\mathbb{N}$ et

$$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},P(X=k)=e^{-\lambda }{\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}$$

On rappelle que la série exponentielle ${\displaystyle \sum _{k⩾0}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}}$ converge pour tout réel $x$, de somme $e^x$.

L'objectif est de calculer plusieurs espérances de la forme $E(g(X))$ sans jamais déterminer la loi de $g(X)$, grâce au théorème de transfert.

1. Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

2. Justifier que la variable ${\displaystyle \frac{1}{X+1}}$ admet une espérance, puis montrer que

$$E\left({\displaystyle \frac{1}{X+1}}\right)={\displaystyle \frac{1-e^{-\lambda }}{\lambda }}$$

3. Justifier que la variable $2^X$ admet une espérance, puis la calculer.

4. Calculer $E(X)$, puis $E(X(X-1))$. En déduire $E\left(X^2\right)$ et $V(X)$.

5. On prend $\lambda =2$. Donner une valeur approchée des espérances précédentes, en utilisant $e^{-2}\approx \mathrm{0,1353}$ et $e^2\approx \mathrm{7,389}$. Comparer $E\left(\frac{1}{X+1}\right)$ à ${\displaystyle \frac{1}{E(X)+1}}$, puis $E\left(2^X\right)$ à $2^{E(X)}$. Commenter.

Une machine est mise en service le premier jour d'un mois. Chaque jour de fonctionnement, indépendamment de ce qui s'est passé les jours précédents, elle tombe en panne avec la probabilité $p$, où $0<p<1$. On note $X$ le rang du premier jour de panne. La variable $X$ suit alors la loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ :

$$X(\mathrm{\Omega })={\mathbb{N}}^{\ast }\text{et}\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{\ast },P(X=k)=p(1-p{)}^{k-1}$$

Pour alléger les écritures, on pose $q=1-p$, de sorte que $0<q<1$.

1. Vérifier que ${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}P(X=k)=1}$.

2. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $P(X>n)=q^n$. On donnera deux justifications : l'une par le calcul de la série, l'autre par une lecture directe de l'événement.

3. Soient $n\in \mathbb{N}$ et $k\in \mathbb{N}$. Montrer que

$$P_{(X>n)}(X>n+k)=P(X>k)$$

Interpréter concrètement ce résultat.

4. Application numérique. On prend $p=\mathrm{0,02}$. Calculer $P(X>100)$ et $P_{(X>100)}(X>150)$. On utilisera $\ln (\mathrm{0,98})\approx -\mathrm{0,0202}$, $e^{-\mathrm{1,01}}\approx \mathrm{0,364}$ et $e^{-\mathrm{2,02}}\approx \mathrm{0,133}$.

5. Soient $n\in \mathbb{N}$ et $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Montrer que

$$P_{(X>n)}(X=n+k)=P(X=k)$$

Vérifier que les nombres ainsi obtenus définissent bien une loi de probabilité, et l'identifier.

6. Rappeler $E(X)$ et $V(X)$, et les calculer pour $p=\mathrm{0,02}$. Sachant que la machine a fonctionné $100$ jours sans panne, que peut-on dire du nombre de jours qu'il lui reste à tenir avant sa première panne ?

Dans une agence bancaire, deux guichets $A$ et $B$ accueillent le public. On observe une tranche de cinq minutes prise au hasard dans la journée et l'on note $X$ le nombre de clients qui se présentent au guichet $A$ pendant cette tranche, $Y$ le nombre de clients qui se présentent au guichet $B$.

On admet que $X$ suit la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda )$, que $Y$ suit la loi de Poisson $\mathcal{P}(\mu )$ avec $\lambda >0$ et $\mu >0$, et que les deux variables sont indépendantes, les deux files n'ayant aucune raison de communiquer. On pose $S=X+Y$, nombre total de clients accueillis pendant la tranche.

On rappelle que ${\displaystyle \sum _{k⩾0}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}}$ converge pour tout réel $x$, de somme $e^x$, et que la formule du binôme de Newton s'écrit ${\displaystyle (a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)a^k{b}^{n-k}}$.

1. Préciser $S(\mathrm{\Omega })$. Pour $n\in \mathbb{N}$, écrire l'événement $(S=n)$ comme une réunion d'événements deux à deux incompatibles, en utilisant le système complet ${((X=k))}_{k\in \mathbb{N}}$, et justifier que la réunion obtenue est finie.

2. En déduire $P(S=n)$ et reconnaître la loi de $S$.

3. Vérifier que la somme des $P(S=n)$ vaut $1$.

4. Contrôler la cohérence du résultat sur $E(S)$ et sur $V(S)$.

5. Application numérique. Le guichet $A$ reçoit en moyenne $3$ clients par tranche de cinq minutes, le guichet $B$ en reçoit $2$. Calculer $P(S=4)$ et $P(S⩾4)$. On prendra $e^{-5}\approx \mathrm{0,006738}$.

6. On suppose maintenant, par erreur de modélisation, que le même flux a été compté deux fois, c'est-à-dire que $Y=X$. Vérifier que $Y$ suit toujours la loi $\mathcal{P}(\lambda )$, montrer que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes, puis montrer que $S=X+Y$ ne suit pas la loi $\mathcal{P}(2\lambda )$. Conclure.

Un atelier fait tourner deux machines $A$ et $B$, mises en service le même jour. Chaque jour d'utilisation, indépendamment des autres jours et de l'autre machine, la machine $A$ tombe en panne avec la probabilité $p$ et la machine $B$ avec la probabilité $q$, où $p$ et $q$ appartiennent à $]0,1[$.

On note $X$ le rang du premier jour de panne de $A$ et $Y$ le rang du premier jour de panne de $B$. Ainsi $X$ suit la loi $\mathcal{G}(p)$, $Y$ suit la loi $\mathcal{G}(q)$, et les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes. La chaîne de production s'arrête dès que l'une des deux machines tombe en panne : on pose donc

$$M=\min (X,Y)$$

1. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $P(X>n)=(1-p{)}^n$. En déduire la fonction de répartition $F_X$ de $X$.

2. Justifier que $M(\mathrm{\Omega })={\mathbb{N}}^{\ast }$, puis calculer $P(M>n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. En déduire la loi de $M$ et reconnaître une loi usuelle. Vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$.

4. Justifier l'existence de $E(M)$ et calculer cette espérance. Application numérique avec $p=\mathrm{0,2}$ et $q=\mathrm{0,1}$ : comparer $E(M)$ à $E(X)$ et à $E(Y)$, puis commenter.

5. À l'aide du système complet d'événements ${((X=k))}_{k\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$, calculer $P(X<Y)$. On justifiera la convergence de la série obtenue.

6. Calculer de même $P(Y<X)$ et $P(X=Y)$, puis vérifier que ces trois probabilités ont pour somme $1$. Donner leurs valeurs numériques pour $p=\mathrm{0,2}$ et $q=\mathrm{0,1}$.

Un joueur répète indéfiniment la même partie. Les parties sont mutuellement indépendantes et, à chaque partie, le joueur gagne avec la probabilité $p\in ]0,1[$. On admet l'existence d'un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ sur lequel tous les événements ci-dessous sont définis.

Pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $G_k$ l'événement « le joueur gagne la $k$-ième partie ». Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose

$$A_n=\bigcup _{k=1}^n{G}_k\text{et}{B}_n=\bigcap _{k=1}^n\overline{G_k}$$

Enfin, on note $A$ l'événement « le joueur gagne au moins une fois » et $B$ l'événement « le joueur ne gagne jamais ».

Partie A. Le joueur gagne presque sûrement.

1. Interpréter $A_n$ et $B_n$ en français, montrer que la suite $(A_n)$ est croissante et que $A={\bigcup }_{n⩾1}{A}_n$.

2. Calculer $P(A_n)$ en précisant la propriété d'indépendance utilisée.

3. En appliquant le théorème de la limite monotone, calculer $P(A)$.

4. Retrouver $P(B)$ en travaillant cette fois avec la suite $(B_n)$, dont on montrera qu'elle est décroissante et d'intersection $B$. Expliquer pourquoi l'événement $B$ n'est pas l'événement impossible, et dire ce qui change par rapport au cadre d'un univers fini.

5. Application numérique avec $p=\mathrm{0,05}$ : calculer $P(A_{20})$, puis déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(A_n)⩾\mathrm{0,99}$. On donne ${\mathrm{0,95}}^{20}\approx \mathrm{0,3585}$, $\ln (\mathrm{0,01})\approx -\mathrm{4,605}$, $\ln (\mathrm{0,95})\approx -\mathrm{0,0513}$, ${\mathrm{0,95}}^{89}\approx \mathrm{0,0104}$ et ${\mathrm{0,95}}^{90}\approx \mathrm{0,0099}$.

Partie B. Des parties de plus en plus difficiles.

Le joueur affronte maintenant des adversaires de mieux en mieux classés : à la $k$-ième partie, il gagne avec la probabilité $p_k$, les parties restant mutuellement indépendantes. Les événements $G_k$, $A_n$, $B_n$, $A$ et $B$ gardent le même sens.

6. On suppose $p_k={\displaystyle \frac{1}{k+1}}$ pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Calculer $P(B_n)$ à l'aide d'un produit télescopique, en déduire $P(A_n)$, puis $P(B)$ et $P(A)$.

7. On suppose maintenant $p_k={\displaystyle \frac{1}{2^k}}$ pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Montrer que $\ln (1-x)⩾-2x$ pour tout $x\in [0,\frac{1}{2}]$, en déduire que $P(B_n)⩾e^{-2}$ pour tout $n$, puis que $P(B)⩾e^{-2}$. On donne $e^{-2}\approx \mathrm{0,1353}$. Comparer avec la question 6. et conclure.

Un atelier fabrique des pièces à la main. Le nombre $N$ de pièces terminées au cours d'une heure de travail suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$. Chaque pièce terminée présente un défaut avec la probabilité $p\in ]0,1[$, indépendamment des autres pièces.

On note $D$ l'événement « aucune pièce produite pendant cette heure ne présente de défaut ». Le modèle se traduit par la donnée suivante : pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$P_{(N=n)}(D)=(1-p{)}^n$$

Une heure sans production est donc comptée comme une heure sans défaut, ce qui correspond bien à $P_{(N=0)}(D)=1$.

1. Justifier que la famille ${((N=n))}_{n\in \mathbb{N}}$ est un système complet dénombrable d'événements, et que chacune des probabilités conditionnelles $P_{(N=n)}$ est bien définie.

2. Calculer $P(D)$ en fonction de $\lambda$ et de $p$. On justifiera la convergence de la série utilisée.

3. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, calculer $P_D(N=n)$. Reconnaître une loi usuelle et vérifier que la somme de ces probabilités vaut $1$.

4. Application numérique avec $\lambda =4$ et $p=\mathrm{0,25}$ : calculer $P(D)$, puis comparer $P(N=0)$ à $P_D(N=0)$ et $P(N=3)$ à $P_D(N=3)$. Commenter. On donne $e^{-1}\approx \mathrm{0,3679}$, $e^{-3}\approx \mathrm{0,04979}$ et $e^{-4}\approx \mathrm{0,01832}$.

5. Toujours avec $\lambda =4$ et $p=\mathrm{0,25}$ : si l'on ne retient que les heures sans aucun défaut, quel est le nombre moyen de pièces produites pendant une telle heure ? Comparer à $E(N)$ et interpréter.

On répète indéfiniment une même épreuve, dont la probabilité de succès vaut $p\in ]0,1[$, les épreuves étant mutuellement indépendantes. On admet l'existence d'un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ sur lequel tous les événements ci-dessous sont définis. Pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $S_k$ l'événement « l'épreuve numéro $k$ est un succès ».

Partie A. Traduire, puis calculer.

1. Exprimer à l'aide des événements $S_k$ et de leurs contraires :

2. Calculer $P(D_n)$, $P(E_n)$ et $P(F)$ en fonction de $p$ et de $n$, en précisant à chaque fois la propriété utilisée.

3. Application numérique avec $p=\mathrm{0,3}$ : calculer $P(D_3)$, $P(E_3)$ et $P(F)$. Contrôler le résultat en calculant les probabilités d'obtenir exactement $0$, $1$, $2$ puis $3$ succès au cours des trois premières épreuves, et en vérifiant que leur somme vaut $1$.

Partie B. Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle.

Dans cette partie seulement, $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : l'épreuve est le lancer d'une pièce équilibrée et le succès est l'obtention de pile. On pose

$$U=S_1,V=S_2,W=\text{« les deux premiers lancers donnent le m}\hat{\text{e}}\text{me r}\acute{\text{e}}\text{sultat »}$$

4. Exprimer $W$ à l'aide de $S_1$ et $S_2$, puis calculer $P(U)$, $P(V)$ et $P(W)$.

5. Montrer que les événements $U$, $V$ et $W$ sont deux à deux indépendants.

6. Calculer $P(U\cap V\cap W)$ et conclure.

Partie C. Le rang du premier succès.

On revient à un $p\in ]0,1[$ quelconque.

7. Montrer que ${\sum }_{n⩾1}P(D_n)=1$, et en déduire que l'événement « aucun succès n'est jamais obtenu » est négligeable.

8. On note $T$ le rang du premier succès. Donner la loi de $T$, puis son espérance et sa variance en justifiant leur existence. Vérifier enfin que $P(T>n)=P(E_n)$. Application numérique avec $p=\mathrm{0,3}$.

À l'ouverture d'un guichet, le temps d'attente d'un client, arrondi à la minute, est modélisé par une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$. Le gestionnaire du service connaît seulement la moyenne observée sur l'année :

$$E(X)=4\text{ minutes}$$

Partie A. Avec la seule espérance.

1. Énoncer l'inégalité de Markov et l'utiliser pour majorer $P(X⩾10)$.

2. Que donne la même inégalité pour $P(X⩾20)$ ? Pour quelles valeurs du seuil l'inégalité de Markov apporte-t-elle une information utile ?

Partie B. Avec la variance. On suppose désormais connue la variance $V(X)=4$.

3. Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et l'utiliser pour majorer $P(\mid X-4\mid ⩾6)$.

4. Montrer que $(\mid X-4\mid ⩾6)=(X⩾10)$, puis comparer les deux majorations obtenues pour $P(X⩾10)$.

5. Déterminer le plus petit entier $t⩾1$ pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit $P(\mid X-4\mid ⩾t)⩽\mathrm{0,05}$. En déduire une garantie de service de la forme « l'attente ne dépasse pas $\dots$ minutes dans au moins $95\mathrm{\%}$ des cas ». On donne $\sqrt{80}\approx \mathrm{8,94}$.

Partie C. Quand on connaît la loi. On suppose maintenant que $X$ suit la loi $\mathcal{P}(4)$.

6. Vérifier que cette hypothèse est compatible avec les données des parties A et B.

7. Calculer une valeur approchée de $P(X⩾10)$ à ${10}^{-4}$ près. On donne $e^{-4}\approx \mathrm{0,01831564}$ et l'on pourra utiliser la relation $P(X=k+1)={\displaystyle \frac{4}{k+1}}P(X=k)$.

8. Comparer cette valeur exacte aux deux majorations des parties A et B, et commenter l'intérêt de ces inégalités.

Une usine expédie un lot de $2000$ pièces. Chaque pièce, indépendamment des autres, est défectueuse avec la probabilité $\mathrm{0,001}$. On note $X$ le nombre de pièces défectueuses du lot.

1. Donner la loi exacte de $X$, ainsi que son espérance et sa variance.

2. Rappeler les conditions usuelles d'application de l'approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson, vérifier qu'elles sont remplies ici et préciser le paramètre à retenir.

3. Dresser un tableau donnant, pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, la valeur exacte de $P(X=k)$ et sa valeur approchée par la loi de Poisson, toutes deux à ${10}^{-4}$ près. On donne $\ln (\mathrm{0,999})\approx -\mathrm{0,0010005}$ et $e^{-2}\approx \mathrm{0,1353}$, valeur que l'on remplacera par $e^{-2}\approx \mathrm{0,1353353}$ dans les calculs intermédiaires pour contrôler la quatrième décimale. On pourra utiliser la relation

$$P(X=k+1)={\displaystyle \frac{n-k}{k+1}}\times {\displaystyle \frac{p}{1-p}}\times P(X=k)$$

4. Calculer, à l'aide de l'approximation, la probabilité qu'il y ait au moins trois pièces défectueuses dans le lot. Comparer à la valeur exacte déduite du tableau.

5. Conclure sur l'erreur commise et sur l'intérêt de l'approximation.

Les deux parties sont indépendantes l'une de l'autre. Dans chacune, $(X,Y)$ désigne un couple de variables aléatoires discrètes définies sur un même espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Partie A : une loi conjointe qui se factorise.

La loi conjointe de $(X,Y)$ est donnée par

$$\mathrm{\forall }(i,j)\in {\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast },P(X=i,Y=j)={\displaystyle \frac{c}{2^{i+j}}}$$

où $c$ est un réel que l'on va déterminer.

1. Soit $i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ fixé. Justifier que la série ${\sum }_{j⩾1}P(X=i,Y=j)$ converge, calculer sa somme, et en déduire l'expression de $P(X=i)$ en fonction de $c$ et de $i$.

2. Déterminer la valeur de $c$.

3. Reconnaître la loi de $X$ et celle de $Y$. Donner $E(X)$ et $V(X)$.

4. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Partie B : une loi conjointe à support triangulaire.

Le couple $(X,Y)$ de cette partie n'a aucun rapport avec celui de la partie A. Sa loi conjointe est donnée par

$$P(X=i,Y=j)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{c^{\mathrm{\prime }}}{2^j}}& \text{si }1⩽i⩽j\\ 0& \text{sinon}\end{array}$$

où $c^{\mathrm{\prime }}$ est un réel que l'on va déterminer.

5. Soit $j\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ fixé. Calculer $P(Y=j)$ en fonction de $c^{\mathrm{\prime }}$ et de $j$. On remarquera que la somme à calculer comporte un nombre fini de termes.

6. En déduire la valeur de $c^{\mathrm{\prime }}$, puis la loi de $Y$. Vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut bien $1$.

7. Soit $i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ fixé. Déterminer $P(X=i)$ et reconnaître la loi de $X$.

8. Soit $j\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $(Y=j)$ et la reconnaître.

9. Soit $i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Déterminer la loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X=i)$. Que peut-on dire de la variable $Y-i+1$ dans cette situation conditionnelle ?

10. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Donner deux arguments distincts.

Dans une boulangerie, on observe un client au hasard le matin. On note $X$ le nombre de viennoiseries qu'il achète et $Y$ le nombre de boissons chaudes qu'il achète, ces deux nombres valant $0$, $1$ ou $2$. Une étude sur les tickets de caisse conduit à la loi conjointe suivante, où chaque case donne $P(X=i,Y=j)$.

1. Vérifier que ce tableau définit bien une loi conjointe, puis déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$.

2. Calculer $E(X)$, $E(Y)$, $E\left(X^2\right)$, $E\left(Y^2\right)$, puis $V(X)$ et $V(Y)$.

3. Calculer $E(XY)$, puis $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$ à l'aide de la formule de König-Huygens pour la covariance. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

4. Calculer le coefficient de corrélation linéaire $\rho (X,Y)$ et l'interpréter.

5. En utilisant la formule générale de la variance d'une somme, calculer $V(X+Y)$ et $V(X-Y)$.

6. Déterminer la loi de $S=X+Y$, puis recalculer $E(S)$ et $V(S)$ directement à partir de cette loi. Comparer avec la question 5.

7. Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(2X-1,3Y+4)$ en utilisant les propriétés de la covariance, sans aucun nouveau calcul de somme.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$, et admettant une espérance. L'objectif de l'exercice est d'établir la formule

$$E(X)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}P(X⩾n)$$

qui exprime l'espérance de $X$ à partir de ses « queues de distribution » $P(X⩾n)$, puis de l'exploiter.

Partie A : démonstration de la formule. Dans toute cette partie, $N$ désigne un entier de ${\mathbb{N}}^{\ast }$.

1. Justifier que, pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on a $k={\sum }_{n=1}^{k}1$. En déduire l'égalité

$$\sum _{k=1}^{N}kP(X=k)=\sum _{k=1}^N\sum _{n=1}^{k}P(X=k)$$

puis, en décrivant l'ensemble des couples $(n,k)$ concernés et en échangeant l'ordre de sommation de cette somme finie,

$$\sum _{k=1}^{N}kP(X=k)=\sum _{n=1}^N\sum _{k=n}^{N}P(X=k)$$

2. Soit $n\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. En écrivant l'événement $(X⩾n)$ comme une réunion d'événements deux à deux incompatibles, montrer que

$$\sum _{k=n}^{N}P(X=k)=P(X⩾n)-P(X⩾N+1)$$

3. Déduire des questions 1. et 2. la relation

$$\sum _{n=1}^{N}P(X⩾n)=\sum _{k=1}^{N}kP(X=k)+NP(X⩾N+1)$$

4. Montrer l'encadrement

$$0⩽NP(X⩾N+1)⩽\sum _{k=N+1}^{+\mathrm{\infty }}kP(X=k)$$

puis que le majorant tend vers $0$ quand $N$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Conclure que $NP(X⩾N+1)$ tend vers $0$.

5. En déduire que la série ${\sum }_{n⩾1}P(X⩾n)$ converge et que sa somme vaut $E(X)$.

Partie B : deux applications.

6. Soit $p\in ]0,1[$ et $X$ une variable suivant la loi géométrique $\mathcal{G}(p)$. Calculer $P(X⩾n)$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, de deux façons : par une interprétation directe, puis par le calcul de la somme d'une série. Retrouver alors $E(X)=\frac{1}{p}$.

7. Soit $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $X$ une variable suivant la loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,m]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Calculer $P(X⩾n)$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, puis vérifier que la formule redonne bien $E(X)=\frac{m+1}{2}$.

8. Application numérique : une machine tombe en panne le jour $X$, où $X$ suit la loi $\mathcal{G}(\mathrm{0,05})$. Calculer la probabilité qu'elle fonctionne encore au début du jour $21$, c'est-à-dire $P(X⩾21)$, et donner la durée de vie moyenne de la machine.

Un joueur entre dans un casino avec $k$ euros en poche. Il joue une suite de parties identiques et indépendantes : à chaque partie, il gagne $1$ euro avec la probabilité $p$ et il perd $1$ euro avec la probabilité $q=1-p$, où $p\in ]0,1[$. Il s'est fixé un objectif : un entier $N⩾2$. Il arrête de jouer dès que sa fortune atteint $0$ euro (il est alors ruiné) ou $N$ euros (il a atteint son objectif).

L'entier $N$ est fixé et $k$ décrit $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Pour chaque valeur de $k$, on note $u_k$ la probabilité que le joueur soit ruiné lorsqu'il commence avec $k$ euros. On note $T$ le numéro de la partie à l'issue de laquelle le jeu s'arrête, et on admet que le jeu s'arrête presque sûrement, c'est-à-dire que l'événement « le joueur joue indéfiniment » est de probabilité nulle.

1. Justifier que la famille formée des événements $(T=n)$, pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, et de l'événement « le joueur joue indéfiniment » est un système complet dénombrable d'événements. Que dit l'hypothèse admise à son sujet ?

2. Déterminer $u_0$ et $u_N$.

3. Soit $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,N-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. En conditionnant par le résultat de la première partie, établir la relation

$$u_k=p{u}_{k+1}+q{u}_{k-1}$$

4. Cas équilibré. On suppose dans cette question $p=\frac{1}{2}$. Montrer que la suite ${(u_{k+1}-u_k)}_{0⩽k⩽N-1}$ est constante, puis en déduire que

$$u_k=1-{\displaystyle \frac{k}{N}}$$

5. Cas général. On suppose désormais $p\mathrm{\ne }\frac{1}{2}$ et on pose $r={\displaystyle \frac{q}{p}}$. Montrer que l'équation caractéristique associée à la relation de la question 3. admet les deux racines réelles distinctes $1$ et $r$, puis en déduire que

$$u_k={\displaystyle \frac{r^k-r^N}{1-r^N}}$$

6. Vérifier la cohérence de ce résultat : pour $k=0$ et $k=N$, puis dans le cas particulier $N=2$ et $k=1$, en recalculant $u_1$ directement.

7. Application numérique. On prend $p=\mathrm{0,4}$ et $N=10$. Calculer $u_1$, $u_5$ et $u_9$, et comparer aux valeurs obtenues dans le cas équilibré $p=\frac{1}{2}$.

8. Un adversaire de fortune illimitée. On note désormais $u_k^{(N)}$ la probabilité de ruine précédente, pour rappeler qu'elle dépend de $N$. On considère maintenant un joueur de fortune initiale $k$ qui joue indéfiniment, sans objectif, et qui n'est arrêté que par sa ruine. On note $R$ l'événement « le joueur est ruiné au bout d'un nombre fini de parties » et, pour $N>k$, on note $R_N$ l'événement « le joueur atteint la fortune $0$ avant d'atteindre la fortune $N$ ».

   a. Justifier que la suite d'événements ${\left(R_N\right)}_{N>k}$ est croissante pour l'inclusion et que sa réunion est $R$.

   b. En déduire $P(R)$ à l'aide du théorème de la limite monotone, en distinguant les cas $p<\frac{1}{2}$, $p=\frac{1}{2}$ et $p>\frac{1}{2}$.

   c. Interpréter. Que vaut $P(R)$ pour un joueur qui arrive au casino avec $5$ euros et joue à un jeu tel que $p=\mathrm{0,4}$ ? Et à un jeu tel que $p=\mathrm{0,6}$ ?

Une marque de céréales glisse dans chaque paquet une vignette, choisie au hasard parmi $n$ modèles différents, de façon équiprobable et indépendamment d'un paquet à l'autre. Un collectionneur achète des paquets un par un et s'arrête dès qu'il possède les $n$ modèles.

Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $T_i$ le nombre de paquets qu'il achète pour passer de $i-1$ modèles distincts à $i$ modèles distincts, le comptage recommençant à chaque étape. On note $T$ le nombre total de paquets achetés jusqu'à l'obtention de la collection complète. Enfin, on pose

$$H_n=\sum _{m=1}^n{\displaystyle \frac{1}{m}}=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}$$

1. Justifier que $T_1$ est une variable certaine égale à $1$.

2. Soit $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[2,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Montrer que $T_i$ suit la loi géométrique de paramètre ${\displaystyle \frac{n-i+1}{n}}$. Vérifier que le résultat reste cohérent pour $i=1$.

3. Justifier que $T_i$ admet une espérance et donner sa valeur.

4. Justifier l'égalité $T=T_1+T_2+\cdots +T_n$, puis montrer que $T$ admet une espérance et que

$$E(T)=n{H}_n$$

5. Applications numériques. On donne $H_6=\mathrm{2,45}$ et $H_{50}\approx \mathrm{4,4992}$. Calculer $E(T)$ pour $n=6$, en détaillant les espérances de chaque étape, puis pour $n=50$.

6. L'énoncé n'a jamais supposé que les variables $T_1,\dots ,T_n$ étaient indépendantes. Expliquer pourquoi cela n'empêche pas le calcul de $E(T)$, alors qu'un calcul de $V(T)$ demanderait davantage.

7. Sachant que $H_n$ est équivalent à $\ln n$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, donner un équivalent de $E(T)$. Calculer $E\left(T_n\right)$ et $E\left(T_{n-1}\right)$, et commenter la part que représentent les deux dernières vignettes dans l'effort total, pour $n=50$.

Dans un élevage, le nombre $N$ d'œufs pondus par une femelle au cours d'une saison suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$. Chaque œuf pondu éclôt avec la probabilité $p\in ]0,1[$, indépendamment des autres œufs et du nombre total d'œufs pondus.

On note $X$ le nombre d'œufs éclos et $Y=N-X$ le nombre d'œufs non éclos. La modélisation se traduit par l'hypothèse suivante : pour tout $n\in \mathbb{N}$, conditionnellement à l'événement $(N=n)$, la variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, c'est-à-dire

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}],P_{(N=n)}(X=i)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{i}\right)p^i(1-p{)}^{n-i}$$

et $P_{(N=n)}(X=i)=0$ dès que $i>n$.

1. Justifier que la famille ${((N=n))}_{n\in \mathbb{N}}$ est un système complet dénombrable d'événements et que chacun de ces événements est de probabilité non nulle.

2. Soit $i\in \mathbb{N}$. Déterminer $P(X=i)$ par la formule des probabilités totales, en détaillant le calcul de la somme de la série obtenue. Reconnaître la loi de $X$ et vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

3. Déterminer de la même façon la loi de $Y$.

4. Soit $(i,j)\in {\mathbb{N}}^2$. Calculer $P(X=i,Y=j)$ et en déduire que $X$ et $Y$ sont indépendantes. Commenter ce résultat.

5. En déduire $E(X)$, $V(X)$, puis $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,N)$ et $\rho (X,N)$. Vérifier la cohérence de $V(X)+V(Y)$ avec la loi de $N$.

6. Application numérique : $\lambda =10$ et $p=\mathrm{0,8}$. Donner la loi de $X$, son espérance, son écart-type, puis calculer $P(X=8)$, $P(X=0)$ et $P(Y=0)$. On utilisera $e^{-8}\approx \mathrm{3,3546}\times {10}^{-4}$ et $e^{-2}\approx \mathrm{0,1353}$.

Un atelier met au point un procédé encore mal maîtrisé : chaque essai réussit avec la probabilité $p\in ]0,1[$, indépendamment de tous les autres. On pose $q=1-p$. L'atelier enchaîne les essais et souhaite en obtenir deux réussis.

On admet l'existence d'un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ modélisant cette suite infinie d'essais mutuellement indépendants. On note :

• $X_1$ le rang du premier essai réussi ;
• $X_2$ le nombre d'essais effectués après le premier succès jusqu'au deuxième essai réussi, celui-ci compris ;
• $S=X_1+X_2$ le rang du deuxième essai réussi.

1. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $R_n$ l'événement « aucun des $n$ premiers essais ne réussit ». Calculer $P\left(R_n\right)$, puis montrer que la probabilité de ne jamais obtenir de succès est nulle. On convient dans toute la suite que $X_1$ et $X_2$ valent $0$ sur cet événement négligeable ; justifier alors que la famille ${\left((X_1=k)\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ est un système complet d'événements.

2. Reconnaître la loi de $X_1$, et rappeler son espérance et sa variance.

3. Soit $(k,j)\in {\left({\mathbb{N}}^{\ast }\right)}^2$. Calculer $P(X_1=k,X_2=j)$. En déduire la loi de $X_2$, puis montrer que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes.

4. Déterminer $S(\mathrm{\Omega })$, puis la loi de $S$.

5. Vérifier que la somme des probabilités trouvées à la question précédente vaut $1$.

6. Justifier que $S$ admet une espérance et une variance, puis les calculer. L'espérance sera obtenue de deux façons différentes.

7. Application numérique : on prend $p=\mathrm{0,2}$.

L'objet de cet exercice est de préciser exactement ce que mesure la covariance, en séparant soigneusement ce qui est vrai de ce qui ne l'est pas.

Partie A. Un contre-exemple.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\{-1,0,1\}$, et $Y=X^2$.

1. Déterminer la loi de $Y$, puis dresser le tableau de la loi conjointe du couple $(X,Y)$.

2. Calculer $E(X)$, $E(Y)$ et $E(XY)$, puis en déduire $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$.

3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Justifier en exhibant un couple de valeurs pour lequel l'égalité caractéristique est mise en défaut.

4. Un second contre-exemple, dans lequel aucune des deux variables n'est fonction de l'autre. Le couple $(U,V)$ a pour loi conjointe :

Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité, déterminer les lois marginales, montrer que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(U,V)=0$ et que $U$ et $V$ ne sont pas indépendantes.

5. Que mesure donc réellement la covariance ?

Partie B. La réciproque, elle, est vraie.

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé, à valeurs dans des ensembles finis $X(\mathrm{\Omega })=\{x_1,\dots ,x_r\}$ et $Y(\mathrm{\Omega })=\{y_1,\dots ,y_s\}$.

6. Démontrer que $E(XY)=E(X)E(Y)$, puis que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=0$.

7. Quelle information utile la contraposée de ce résultat fournit-elle en pratique ?

Partie C. Le cas d'une dépendance affine.

Soit $X$ une variable aléatoire admettant une variance non nulle, et $Y=aX+b$ avec $(a,b)\in {\mathbb{R}}^{\ast }\times \mathbb{R}$.

8. Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$, $V(Y)$ et $\sigma (Y)$ en fonction de $a$, $b$ et des caractéristiques de $X$. En déduire $\rho (X,Y)$.

9. Application numérique : $X$ suit la loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ et $Y=-3X+5$. Calculer explicitement $E(X)$, $V(X)$, $E(Y)$, $V(Y)$, $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$ et $\rho (X,Y)$, en retrouvant la covariance par un calcul direct.

10. Conclure : que faut-il retenir de la valeur de $\rho (X,Y)$ ?

Dans une très grande population, une proportion inconnue $p\in ]0,1[$ des habitants soutient un projet d'aménagement. Un institut interroge $n$ personnes tirées au hasard, indépendamment les unes des autres. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $X_i$ la variable valant $1$ si la $i$-ième personne interrogée soutient le projet, et $0$ sinon. On pose

$$S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i\text{et}{F}_n={\displaystyle \frac{S_n}{n}}$$

de sorte que $F_n$ est la fréquence de soutien observée dans l'échantillon. L'institut souhaite que cette fréquence soit proche de $p$, et cherche combien de personnes il doit interroger pour cela.

1. Reconnaître la loi de $X_i$, puis celle de $S_n$. Donner $E\left(S_n\right)$ et $V\left(S_n\right)$.

2. Calculer $E\left(F_n\right)$ et $V\left(F_n\right)$. Commenter chacun des deux résultats.

3. Démontrer que pour tout $t\in [0,1]$, $t(1-t)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$. En déduire une majoration de $V\left(F_n\right)$ ne faisant plus intervenir $p$.

4. Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, puis l'appliquer pour montrer que

$$P(\mid F_n-p\mid ⩾\mathrm{0,02})⩽{\displaystyle \frac{625}{n}}$$

5. En déduire le nombre minimal de personnes à interroger pour que la fréquence observée s'écarte de $p$ de plus de $2$ points avec une probabilité au plus égale à $5\mathrm{\%}$.

6. Un institut interroge $1000$ personnes. Que garantit l'inégalité précédente pour un écart de $2$ points ? Quelle précision $\epsilon$ cette même inégalité garantit-elle, pour cette taille d'échantillon, avec une probabilité au moins égale à $\mathrm{0,95}$ ?

7. Reprendre la question 5. en exigeant cette fois une précision de $1$ point. Commenter.

8. Une étude antérieure permet d'affirmer que $p⩽\mathrm{0,1}$. Reprendre la question 5. en exploitant cette information.

9. Commenter l'ordre de grandeur obtenu à la question 5., sachant que les sondages réels portent le plus souvent sur $1000$ personnes environ.

10. Montrer que, pour tout $\epsilon >0$, $P(\mid F_n-p\mid ⩾\epsilon )$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, et énoncer le théorème du cours dont il s'agit.

Partie A. Le cadre général.

Soit ${\left(X_k\right)}_{k⩾1}$ une suite de variables aléatoires discrètes définies sur un même espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, mutuellement indépendantes et de même loi, admettant une espérance $m$ et une variance ${\sigma }^2>0$. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note

$$M_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n{X}_k$$

la moyenne des $n$ premières variables, appelée moyenne empirique.

1. Justifier l'existence de $E\left(M_n\right)$ et de $V\left(M_n\right)$, puis les calculer. Préciser à quel endroit exactement l'hypothèse d'indépendance intervient.

2. Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, puis en déduire que pour tout $\epsilon >0$,

$$P(\mid M_n-m\mid ⩾\epsilon )⩽{\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}}$$

3. En déduire la loi faible des grands nombres : pour tout $\epsilon >0$,

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }P(\mid M_n-m\mid ⩾\epsilon )=0$$

4. Soit $\epsilon >0$ et $\alpha \in ]0,1[$. Déterminer une condition suffisante sur $n$ pour que $P(\mid M_n-m\mid ⩾\epsilon )⩽\alpha$.

Partie B. Un dé équilibré.

On lance indéfiniment un dé équilibré à six faces, les lancers étant indépendants. Pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $X_k$ désigne le résultat du $k$-ième lancer, et $M_n$ la moyenne des $n$ premiers résultats.

5. Déterminer la loi de $X_k$, puis démontrer que $E\left(X_k\right)=\mathrm{3,5}$ et $V\left(X_k\right)={\displaystyle \frac{35}{12}}$.

6. Combien de lancers faut-il effectuer pour garantir que la moyenne empirique s'écarte de $\mathrm{3,5}$ de moins de $\mathrm{0,1}$ avec une probabilité au moins égale à $\mathrm{0,95}$ ?

7. Pour $n=1000$ lancers, quelle probabilité minimale l'inégalité garantit-elle pour l'événement $(\mid M_n-\mathrm{3,5}\mid <\mathrm{0,2})$ ?

Partie C. Des durées de service.

Dans une agence, la durée de service d'un client, exprimée en minutes entières, suit la loi géométrique de paramètre $p=\mathrm{0,25}$. Les durées $T_1,T_2,\dots$ des clients successifs sont mutuellement indépendantes et de même loi.

8. Donner $E\left(T_k\right)$ et $V\left(T_k\right)$. Combien de clients faut-il observer pour que la durée moyenne de service s'écarte de son espérance de moins de $\mathrm{0,5}$ minute avec une probabilité au moins égale à $\mathrm{0,9}$ ?

Partie D. Ce que la loi faible des grands nombres ne dit pas.

9. Pour le dé de la partie B, calculer $P(M_n=6)$, puis $\sigma \left(S_n\right)$ où $S_n={\sum }_{k=1}^n{X}_k$, pour $n=100$ et $n=10000$. Qu'en déduire sur ce que garantit, ou non, la loi faible des grands nombres pour une suite de lancers effectivement observée ?