Devoir surveillé — Probabilités sur un ensemble quelconque

Les sept questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres. Tous les espaces probabilisés considérés sont notés $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$.

1. (0,5 point) On prend $\mathrm{\Omega }={\mathbb{N}}^{\ast }$. On note $D$ l'ensemble des entiers pairs de ${\mathbb{N}}^{\ast }$ et $I$ l'ensemble des entiers impairs de ${\mathbb{N}}^{\ast }$. Les deux familles suivantes sont-elles des tribus sur $\mathrm{\Omega }$ ? Justifier dans chaque cas.

2. (0,5 point) Soit ${\left(A_n\right)}_{n⩾1}$ une suite croissante d'événements telle que, pour tout $n⩾1$,

$$P\left(A_n\right)=1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\mathrm{.}$$

Déterminer $P\left({\bigcup }_{n⩾1}{A}_n\right)$, puis $P\left({\bigcap }_{n⩾1}\overline{A_n}\right)$. On citera précisément le théorème utilisé.

3. (0,5 point) Soit $a$ un réel. Déterminer $a$ pour que la famille ${\left({\displaystyle \frac{a}{k(k+1)}}\right)}_{k⩾1}$ soit la loi d'une variable aléatoire $U$ à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$. On pourra remarquer que ${\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}={\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$.

4. (0,25 point) La variable $U$ de la question 3. admet-elle une espérance ? Justifier.

5. (0,5 point) Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique $\mathcal{G}\left(\frac{1}{2}\right)$. Justifier l'existence de $E\left(2^{-X}\right)$, puis calculer cette espérance.

6. (0,5 point) Soit $T$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique $\mathcal{G}\left(\frac{1}{4}\right)$. Écrire la fonction de répartition $F_T$ de $T$ en tout réel $x$, puis calculer $P(2<T⩽5)$ (valeur exacte, puis valeur approchée à ${10}^{-4}$ près).

7. (0,25 point) Soit $W$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson $\mathcal{P}(3)$. Calculer $P(W⩽1)$ à ${10}^{-3}$ près. On donne $e^{-3}\approx \mathrm{0,0498}$.

Dans un jeu vidéo en ligne, le joueur ouvre un coffre à la fin de chaque partie. Chaque coffre contient un objet légendaire avec la probabilité $p=\mathrm{0,05}$, indépendamment de tous les autres coffres. Le joueur enchaîne les parties et ouvre les coffres les uns après les autres jusqu'à obtenir un objet légendaire. On note $X$ le rang du premier coffre contenant un objet légendaire.

On donne les valeurs approchées suivantes :

$${\mathrm{0,95}}^2=\mathrm{0,9025};{\mathrm{0,95}}^3=\mathrm{0,857375};{\mathrm{0,95}}^{20}\approx \mathrm{0,3585};{\mathrm{0,95}}^{40}\approx \mathrm{0,1285};$$ $${\mathrm{0,95}}^{44}\approx \mathrm{0,1047};{\mathrm{0,95}}^{45}\approx \mathrm{0,0994};\ln (\mathrm{0,95})\approx -\mathrm{0,051293};\ln (10)\approx \mathrm{2,302585};\sqrt{380}\approx \mathrm{19,4936.}$$

1. (0,25 point) Justifier que $X$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. Donner $X(\mathrm{\Omega })$ et l'expression de $P(X=k)$.

2. (0,5 point) Calculer les probabilités suivantes (valeurs exactes, puis approchées à ${10}^{-4}$ près).

3. (0,5 point) Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $P(X>n)={\mathrm{0,95}}^n$. En déduire, à l'aide du théorème de la limite monotone, que la probabilité que le joueur n'obtienne jamais d'objet légendaire est nulle.

4. (0,75 point) Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls. Montrer que

$$P_{(X>m)}(X>m+n)=P(X>n)\mathrm{.}$$

Interpréter ce résultat en une ou deux phrases dans le contexte du jeu.

5. (0,75 point) Justifier l'existence de $E(X)$ et de $V(X)$, puis les calculer. En déduire $\sigma (X)$ à ${10}^{-2}$ près, et commenter la dispersion obtenue.

6. (0,5 point) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X⩽n)⩾\mathrm{0,9}$. Interpréter.

7. (0,25 point) Calculer $P(20<X⩽40)$ à ${10}^{-4}$ près.

8. (0,5 point) Le studio propose un mode « coffre premium » : chaque coffre premium coûte $\mathrm{0,50}$ euro et contient un objet légendaire avec la probabilité $\mathrm{0,25}$, indépendamment des autres. Un joueur achète des coffres premium jusqu'à obtenir un objet légendaire, et l'on note $X^{\mathrm{\prime }}$ le rang du premier coffre premium gagnant, puis $C=\mathrm{0,5}{X}^{\mathrm{\prime }}$ la dépense totale en euros. Calculer $E\left(X^{\mathrm{\prime }}\right)$ et $E(C)$. Sachant qu'une partie du mode gratuit dure en moyenne $12$ minutes, comparer chiffrément les deux stratégies.

Une entreprise héberge son application sur un serveur. On appelle requête lourde une requête qui déclenche un calcul long. Le nombre $X$ de requêtes lourdes reçues par le serveur au cours d'une minute est modélisé par une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda =2$.

On donne les valeurs approchées suivantes :

$$e^{-2}\approx \mathrm{0,135335};e^{-3}\approx \mathrm{0,049787};e^{-5}\approx \mathrm{0,006738};{\mathrm{0,996}}^{500}\approx \mathrm{0,1348};\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4142.}$$

1. (0,5 point) Vérifier que la famille ${\left(e^{-2}{\displaystyle \frac{2^k}{k!}}\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ définit bien une loi de probabilité sur $\mathbb{N}$.

2. (0,5 point) Calculer les probabilités suivantes à ${10}^{-4}$ près.

3. (0,5 point) Justifier l'existence de $E(X)$ et la calculer par le calcul direct de la série. On admet que $V(X)=\lambda$ ; en déduire $\sigma (X)$ à ${10}^{-4}$ près.

4. (0,75 point) Le site reçoit $500$ visiteurs au cours d'une minute. Chacun d'eux déclenche une requête lourde avec la probabilité $\mathrm{0,004}$, indépendamment des autres visiteurs. On note $Y$ le nombre de requêtes lourdes ainsi déclenchées. Déterminer la loi exacte de $Y$, vérifier que les conditions usuelles d'approximation par une loi de Poisson sont remplies et préciser le paramètre de cette loi. Comparer enfin la valeur exacte de $P(Y=0)$ et sa valeur approchée par la loi de Poisson.

5. (0,25 point) En utilisant l'approximation précédente, estimer $P(Y⩾3)$ et interpréter le résultat.

6. (0,75 point) L'entreprise ajoute un second serveur. Le nombre $Z$ de requêtes lourdes qu'il reçoit en une minute suit la loi $\mathcal{P}(3)$, et $Z$ est indépendante de $X$. On pose $S=X+Z$. Déterminer la loi de $S$.

7. (0,25 point) Calculer $P(S=0)$ et $P(S⩽1)$ à ${10}^{-4}$ près.

8. (0,5 point) L'entreprise envisage de traiter les deux flux sur une seule machine mutualisée, capable de traiter au plus $3$ requêtes lourdes par minute. On dit qu'il y a saturation lorsque la machine reçoit plus de requêtes lourdes qu'elle ne peut en traiter. Calculer la probabilité de saturation à ${10}^{-4}$ près, puis commenter le projet.

Une bibliothèque universitaire possède un très grand nombre d'exemplaires d'un même manuel, rangés dans un rayon et numérotés $1$, $2$, $3$, et ainsi de suite. Un étudiant les examine un par un dans l'ordre des numéros. Indépendamment les uns des autres, chaque exemplaire est :

• déjà emprunté, avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ;
• disponible mais abîmé, avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ ;
• disponible et en bon état, avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.

On note $X$ le numéro du premier exemplaire disponible rencontré, et $Y$ le numéro du premier exemplaire disponible et en bon état rencontré. On admet que ces deux variables sont bien définies, la probabilité de ne jamais rencontrer un tel exemplaire étant nulle.

On donne $\sqrt{6}\approx \mathrm{2,4495}$.

1. (0,5 point) Reconnaître la loi de $X$ et celle de $Y$, en justifiant. Donner $E(X)$, $V(X)$, $E(Y)$ et $V(Y)$.

2. (0,5 point) Justifier que $Y⩾X$, puis déterminer $P(X=i,Y=j)$ pour tout couple $(i,j)$ de ${\left({\mathbb{N}}^{\ast }\right)}^2$, en distinguant les cas $j<i$, $j=i$ et $j>i$.

3. (0,25 point) Retrouver la loi marginale de $X$ à partir de la loi conjointe obtenue à la question 2.

4. (0,5 point) Déterminer la loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X=1)$, et vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$. Que vaut $P_{(Y=1)}(X=1)$ ?

5. (0,25 point) Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Justifier.

6. (0,75 point) On pose $Z=Y-X$. Déterminer $Z(\mathrm{\Omega })$ et la loi de $Z$, puis montrer que $X$ et $Z$ sont indépendantes.

7. (0,75 point) En utilisant l'écriture $Y=X+Z$ et la formule donnant la loi de la somme de deux variables indépendantes, retrouver la loi de $Y$.

8. (0,5 point) Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$, puis $\rho (X,Y)$ à ${10}^{-3}$ près. Interpréter le signe obtenu. En déduire enfin $V(Z)$ sans calculer de série.

Partie A. Une tournée de nuit

Dans un centre de tri postal, une machine traite chaque nuit les colis d'une tournée. Le nombre $N$ de colis d'une tournée est modélisé par une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ (il y a donc au moins un colis par tournée). Chaque colis traité est correctement orienté avec la probabilité ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, indépendamment des autres colis et du nombre total de colis. On note $M$ le nombre de colis mal orientés de la tournée et $A$ l'événement « tous les colis de la tournée sont correctement orientés ».

1. (0,25 point) Justifier que la famille ${((N=n))}_{n⩾1}$ est un système complet d'événements dénombrable.

2. (0,25 point) Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Déterminer $P_{(N=n)}(A)$, ainsi que la loi conditionnelle de $M$ sachant $(N=n)$.

3. (0,5 point) Calculer $P(A)$. On précisera le théorème utilisé et la convergence de la série obtenue.

4. (0,5 point) Calculer $P_A(N=1)$ et comparer cette valeur à $P(N=1)$. Interpréter.

5. (0,5 point) Calculer $P(M=1)$, puis $P(M⩾2)$.

Partie B. Les bourrages de la machine

Le service de maintenance relève chaque nuit le nombre $X$ de bourrages de la machine de tri. La loi de $X$ est donnée par le tableau suivant.

6. (0,5 point) Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$.

7. (0,25 point) Majorer $P(X⩾2)$ à l'aide de l'inégalité de Markov, puis comparer le majorant à la valeur exacte.

8. (0,5 point) Majorer $P(\mid X-\mathrm{0,7}\mid ⩾\mathrm{1,5})$ à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, puis comparer le majorant à la valeur exacte. Commenter.

Partie C. Sur un grand nombre de nuits

On observe $n$ nuits consécutives. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $X_i$ le nombre de bourrages de la $i$-ième nuit. Les variables $X_1,\dots ,X_n$ sont supposées mutuellement indépendantes et de même loi que $X$. On pose

$$M_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\mathrm{.}$$

9. (0,5 point) Calculer $E\left(M_n\right)$ et $V\left(M_n\right)$ en précisant les propriétés utilisées.

10. (0,5 point) Majorer $P(\mid M_n-\mathrm{0,7}\mid ⩾\mathrm{0,1})$ à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, puis déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel ce majorant est inférieur ou égal à $\mathrm{0,05}$.

11. (0,25 point) Énoncer la loi faible des grands nombres et l'appliquer à la suite $\left(M_n\right)$.

12. (0,5 point) Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $Y_i={\mathbf{1}}_{(X_i=0)}$ l'indicatrice de l'événement « la $i$-ième nuit se passe sans bourrage », et l'on pose $F_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\sum }_{i=1}^n{Y}_i$. Reconnaître la loi de $Y_i$, montrer que, pour tout $\epsilon >0$, la probabilité $P(\mid F_n-\mathrm{\ell }\mid ⩾\epsilon )$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, la constante $\mathrm{\ell }$ étant à préciser, puis déterminer le nombre de nuits d'observation garantissant

$$P(\mid F_n-\mathrm{0,55}\mid ⩾\mathrm{0,05})⩽\mathrm{0,05.}$$