Exercices — Polynômes

On rappelle qu'un polynôme non nul est dit unitaire lorsque son coefficient dominant vaut $1$, et que par convention $\mathrm{deg}0=-\mathrm{\infty }$.

1. Pour chacun des polynômes suivants, donner le degré, le coefficient dominant, et dire s'il est unitaire.

   a. $A(x)=3x^4-5x^2+x-7$

   b. $B(x)=-8$

   c. $C(x)=0$

   d. $D(x)=(2x-1{)}^3(x^2+4)$

   e. $E(x)=(x-3{)}^2(x+1)$

   f. $F(x)=5x^2-(x+1)(5x-2)$

2. On pose $U(x)=4x^3-x+5$ et $V(x)=2x^3+x^2-3$. Déterminer le degré et le coefficient dominant de $U+V$, de $U-2V$ et de $UV$.

3. a. Donner deux polynômes de degré $5$ dont la somme est de degré $2$.

   b. Le produit de deux polynômes de degré $5$ peut-il être de degré strictement inférieur à $10$ ? Justifier.

Dans tout l'exercice, $P(x)=2x^3-x+1$ et $Q(x)=-x^2+4x$.

1. Donner le degré et le coefficient dominant de $P$ et de $Q$.

2. Pour chacun des polynômes suivants, déterminer le degré et le coefficient dominant, en évitant autant que possible de développer.

   a. $P\circ Q$

   b. $Q\circ P$

   c. $P^3$

   d. $P(x^2)$

   e. $P(x{)}^2-Q(x)$

   f. $P(x)Q(x)+2x^5$

3. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non constants quelconques. Justifier que $\mathrm{deg}(P\circ Q)=\mathrm{deg}P\times \mathrm{deg}Q$, et préciser le coefficient dominant de $P\circ Q$.

On rappelle que deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients. Une égalité valable pour tout $x$ réel se traduit donc par un système d'équations portant sur les coefficients : c'est ce qu'on appelle identifier.

1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\in \mathbb{R}$,

2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in \mathbb{R}$,

3. Montrer qu'il n'existe aucun couple de réels $(a,b)$ tel que, pour tout $x\in \mathbb{R}$,

Pour chacun des couples suivants, effectuer la division euclidienne de $A$ par $B$ : déterminer le quotient $Q$ et le reste $R$ tels que $A=BQ+R$ avec $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B$, puis vérifier le résultat en développant.

Dans le cas où le reste est nul, préciser la relation de divisibilité obtenue.

On rappelle que si $a$ est une racine d'un polynôme $P$, alors $P$ se factorise sous la forme $P(x)=(x-a)Q(x)$, où $Q$ est le quotient de la division euclidienne de $P$ par $x-a$.

Pour chacun des trois polynômes ci-dessous : chercher une racine évidente parmi $-3$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $3$, en déduire une factorisation par $(x-a)$ en posant la division, puis factoriser le quotient autant que possible dans $\mathbb{R}[x]$.

1. $A(x)=x^3-2x^2-5x+6$

2. $B(x)=2x^3-3x^2-11x+6$

3. $C(x)=x^3-x^2+x-6$

1. Pour chacun des trinômes suivants, calculer le discriminant, donner les racines réelles éventuelles, et écrire la forme factorisée lorsqu'elle existe.

   a. $P_1(x)=x^2-5x+6$

   b. $P_2(x)=2x^2-4x+5$

   c. $P_3(x)=9x^2-6x+1$

   d. $P_4(x)=-x^2+4x-3$

   e. $P_5(x)=x^2-4x+1$

   f. $P_6(x)=3x^2+5x-2$

2. Écrire $P_2$ sous forme canonique et en déduire son signe sur $\mathbb{R}$.

3. Retrouver les racines de $P_1$ à l'aide de leur somme et de leur produit.

1. On pose $P(x)=(x+2)(x-1{)}^2(x^2+x+1)$.

   a. Justifier que le facteur $x^2+x+1$ garde un signe constant sur $\mathbb{R}$, et préciser ce signe.

   b. Dresser le tableau de signes de $P$ sur $\mathbb{R}$.

   c. Résoudre l'inéquation $P(x)⩾0$.

2. On pose $Q(x)=(1-2x)(x+3{)}^2(x^2-x+1)$.

   a. Donner le degré et le coefficient dominant de $Q$, sans développer.

   b. Dresser le tableau de signes de $Q$ sur $\mathbb{R}$.

   c. Résoudre l'inéquation $Q(x)⩾0$.

On rappelle la formule de Taylor pour un polynôme : si $P$ est de degré $n$ et si $a\in \mathbb{R}$, alors

Soit $P(x)=x^4-3x^3+2x^2+x-5$.

1. Calculer $P^{\mathrm{\prime }}$, $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, $P^{(4)}$ et $P^{(5)}$.

2. Calculer $P(1)$, $P^{\mathrm{\prime }}(1)$, $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)$, $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)$ et $P^{(4)}(1)$.

3. Écrire la formule de Taylor de $P$ au point $a=1$, c'est-à-dire l'expression de $P$ suivant les puissances de $(x-1)$.

4. Vérifier le résultat obtenu en redéveloppant.

5. En déduire le quotient et le reste de la division euclidienne de $P$ par $(x-1{)}^3$.

1. Soient $P\in \mathbb{R}[x]$ et $a\in \mathbb{R}$. Montrer que le reste de la division euclidienne de $P$ par $x-a$ est le polynôme constant égal à $P(a)$. En déduire que $a$ est racine de $P$ si et seulement si $(x-a)\mid P$.

2. On pose $P(x)=x^5-3x^3+2x-7$. Déterminer, sans poser la division, le reste de la division euclidienne de $P$ par :

   a. $x-1$

   b. $x+2$

   c. $2x-1$

   Pour c., on justifiera soigneusement le passage par la valeur ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

3. Le polynôme $x-3$ divise-t-il $B(x)=x^4-4x^3+2x^2+5x-6$ ? Et $C(x)=x^4-4x^3+2x^2+5x-1$ ?

4. Déterminer le réel $a$ pour que $x+1$ divise $D(x)=x^3+a{x}^2-x+2$, puis factoriser complètement le polynôme obtenu.

Pour évaluer un polynôme en un point avec le moins de multiplications possible, on le réécrit « en cascade ». Par exemple, en degré $3$,

Dérouler ce calcul de l'intérieur vers l'extérieur, c'est le schéma de Horner : on part du coefficient dominant, et à chaque étape on multiplie par $a$ puis on ajoute le coefficient suivant.

1. Soit $P(x)=2x^5-3x^4+x^3-4x^2+5x-6$. Compléter le schéma ci-dessous pour $a=2$, chaque case de la dernière ligne s'obtenant en ajoutant au coefficient du haut le double de la case précédente.

En déduire $P(2)$, puis le quotient et le reste de la division euclidienne de $P$ par $x-2$.

2. Vérifier ce résultat en développant $(x-2)Q(x)+R$.

3. Factoriser complètement $A(x)=x^4-2x^3-7x^2+20x-12$ en enchaînant deux schémas de Horner (les racines sont à chercher parmi $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$).

4. Combien de multiplications le schéma de Horner demande-t-il pour évaluer un polynôme de degré $n$ ? Comparer au calcul direct.

On rappelle que $a$ est racine de multiplicité $m⩾1$ d'un polynôme $P$ lorsque $P$ s'écrit $P(x)=(x-a{)}^{m}Q(x)$ avec $Q(a)\mathrm{\ne }0$. En pratique, on divise donc $P$ par $(x-a)$ autant de fois que possible : la multiplicité est le nombre de divisions à reste nul effectuées avant de tomber sur un quotient qui ne s'annule plus en $a$.

1. Soit $P(x)=x^5-3x^4-x^3+11x^2-12x+4$.

   a. Vérifier que $1$ est racine de $P$.

   b. Diviser successivement par $x-1$ jusqu'à obtenir un quotient qui ne s'annule pas en $1$, et en déduire la multiplicité de la racine $1$.

   c. Donner la factorisation complète de $P$ dans $\mathbb{R}[x]$.

2. Soit $B(x)=2x^4+9x^3+x^2-21x+9$. Déterminer la multiplicité de la racine $-3$, puis factoriser complètement $B$.

On rappelle la caractérisation de la multiplicité par les dérivées : si $P$ est un polynôme non nul et $a$ un réel, alors $a$ est racine de $P$ d'ordre de multiplicité exactement $m$ si et seulement si

1. On pose $P(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8$. Déterminer l'ordre de multiplicité de $2$ comme racine de $P$, puis en déduire la factorisation de $P$ dans $\mathbb{R}[x]$.

2. On pose $Q(x)=x^6-3x^4+3x^2-1$. Déterminer l'ordre de multiplicité de $1$, puis celui de $-1$, et en déduire la factorisation de $Q$ dans $\mathbb{R}[x]$.

3. Comparer en une phrase cette méthode avec celle des divisions euclidiennes successives.

1. On pose $T(x)=2x^2-7x+3$. Vérifier que $T$ admet deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$, puis calculer les quantités suivantes sans déterminer ces racines :

2. Pour chacun des trinômes suivants, dire, en utilisant uniquement le discriminant, la somme $s$ et le produit $p$ des racines, si les racines sont toutes deux strictement positives, toutes deux strictement négatives ou de signes contraires. On ne calculera pas les racines.

1. Soient $s$ et $p$ deux réels. Démontrer que deux réels $u$ et $v$ vérifient

si et seulement si $u$ et $v$ sont les racines du trinôme $x^2-sx+p$. En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur $s$ et $p$ pour qu'un tel couple de réels existe.

2. Déterminer deux réels de somme $7$ et de produit $12$.

3. Existe-t-il deux réels de somme $3$ et de produit $5$ ?

4. Un rectangle a pour périmètre $26$ cm et pour aire $40$ cm${}^2$. Déterminer ses dimensions.

Factoriser dans $\mathbb{R}[x]$, aussi loin que possible, les deux polynômes suivants. On cherchera d'abord une racine évidente parmi les entiers simples, puis on effectuera la division correspondante avant de recommencer.

1. $A(x)=x^4-4x^3-x^2+16x-12$.

2. $C(x)=x^4+x^2-6x-8$.

Factoriser dans $\mathbb{R}[x]$, aussi loin que possible, les polynômes suivants. Pour les trois premiers, on posera un changement de variable bien choisi ; pour le dernier, on fera apparaître une différence de deux carrés.

On considère le polynôme $P(x)=x^4-3x^3+2x^2-x+5$. On cherche à l'écrire sous la forme

c'est-à-dire suivant les puissances de $x-2$.

1. Déterminer les coefficients $c_0,\dots ,c_4$ à l'aide de la formule de Taylor.

2. Retrouver ces mêmes coefficients en divisant successivement par $x-2$ : on divise $P$ par $x-2$, puis le quotient obtenu par $x-2$, et ainsi de suite.

3. En déduire une valeur approchée de $P(\mathrm{2,01})$, puis un polynôme admettant $2$ comme racine de multiplicité exactement $2$.

1. Déterminer un polynôme $P\in {\mathbb{R}}_3[x]$ vérifiant les quatre conditions

2. Démontrer qu'il n'en existe qu'un seul. Plus généralement, démontrer que deux polynômes de ${\mathbb{R}}_3[x]$ qui prennent les mêmes valeurs en quatre réels distincts sont égaux.

3. Existe-t-il un polynôme $P\in {\mathbb{R}}_2[x]$ tel que $P(1)=P(2)=P(3)=0$ et $P(4)=5$ ?

1. Déterminer les réels $a$ et $b$ pour lesquels le polynôme

est divisible par $(x-1{)}^2$.

2. Pour ces valeurs de $a$ et de $b$, déterminer le quotient de $P$ par $(x-1{)}^2$, puis factoriser $P$ dans $\mathbb{R}[x]$.

3. Même travail pour la divisibilité de $Q(x)=x^4+\alpha x+\beta$ par $(x+2{)}^2$ : déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$, puis factoriser $Q$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$,

2. En déduire que, pour tout réel $a$ et tout réel $x$,

3. Factoriser $x^5-1$ et $x^3-8$ dans $\mathbb{R}[x]$, en extrayant tous les facteurs de la forme $(x-a)$ possibles.

4. Que peut-on en déduire sur la divisibilité de $x^n-a^n$ par $x-a$ ?

5. Pour quelles valeurs de $n$ le réel $-1$ est-il racine de $x^n-1$ ?

Dans cet exercice, on demande le reste d'une division euclidienne, sans jamais poser cette division.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $P(x)=x^5-3x^3+2x^2-x+4$ par $(x-1)(x+2)$.

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $T(x)=x^5+2x^4-x^2+3$ par $(x-1{)}^2$. On justifiera soigneusement la relation utilisée entre $T^{\mathrm{\prime }}(1)$ et le reste.

3. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $1$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $x^n-1$ par $(x-1{)}^2$.

Soit $P(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k}$ un polynôme de $\mathbb{R}[x]$. On dit que $P$ est pair lorsque $P(-x)=P(x)$ pour tout réel $x$, et qu'il est impair lorsque $P(-x)=-P(x)$ pour tout réel $x$.

1. Démontrer que $P$ est pair si et seulement si $a_k=0$ pour tout indice $k$ impair.

2. Énoncer et démontrer le résultat analogue pour les polynômes impairs. En déduire qu'un polynôme impair est divisible par $x$.

3. Démontrer que tout polynôme de $\mathbb{R}[x]$ s'écrit de manière unique comme somme d'un polynôme pair et d'un polynôme impair.

4. Expliciter cette décomposition pour $P(x)=x^4-3x^3+2x^2+5x-1$.

Pour tout réel $m$, on définit le polynôme

1. Déterminer le degré de $P_m$ suivant les valeurs de $m$.

2. On suppose $m\mathrm{\ne }1$. Calculer le discriminant $\mathrm{\Delta }(m)$ de $P_m$, puis étudier son signe suivant $m$.

3. Discuter, suivant les valeurs de $m$, le nombre de racines réelles de $P_m$, et donner ces racines lorsqu'elles existent.

4. Discuter, suivant les valeurs de $m$, le signe de $P_m(x)$ sur $\mathbb{R}$.

5. En déduire l'ensemble des réels $m$ tels que $P_m(x)>0$ pour tout réel $x$, puis l'ensemble des réels $m$ tels que $P_m(x)⩾0$ pour tout réel $x$.

6. Récapituler l'étude dans un tableau.

Partie A. Une inégalité obtenue par un discriminant

Soient $a$, $b$, $c$, $d$ quatre réels. On définit, pour tout réel $t$,

1. Développer $f(t)$ et l'écrire sous la forme $f(t)=A{t}^2+2Bt+C$, où l'on exprimera $A$, $B$ et $C$ en fonction de $a$, $b$, $c$, $d$.

2. Justifier que $f(t)⩾0$ pour tout réel $t$.

3. On suppose dans cette question que $(a,b)\mathrm{\ne }(0,0)$. Justifier que $f$ est un polynôme de degré $2$, que son discriminant est négatif ou nul, puis en déduire l'inégalité

4. Vérifier que cette inégalité reste vraie lorsque $a=b=0$. Conclure.

5. On suppose encore $(a,b)\mathrm{\ne }(0,0)$. Montrer qu'il y a égalité si et seulement s'il existe un réel $\lambda$ tel que $c=\lambda a$ et $d=\lambda b$.

Partie B. Un trinôme strictement positif

6. Déterminer tous les réels $m$ tels que $x^2+mx+m>0$ pour tout réel $x$.

7. Contrôler le résultat en examinant les cas $m=2$, $m=0$ et $m=4$.

L'objectif est de démontrer, puis d'exploiter, le résultat suivant : un polynôme de ${\mathbb{R}}_n[x]$ qui s'annule en $n+1$ points distincts est le polynôme nul.

On utilisera librement le résultat du cours : si $r$ est une racine du polynôme $P$, alors il existe un polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x-r)Q(x)$, avec $\mathrm{deg}Q=\mathrm{deg}P-1$.

1. Démontrer par récurrence sur $n$ la propriété suivante : pour tout $n\in \mathbb{N}$, tout polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines réelles distinctes.

2. En déduire qu'un polynôme non nul admet un nombre fini de racines. Que peut-on dire d'un polynôme admettant une infinité de racines ?

3. En déduire qu'un polynôme de ${\mathbb{R}}_n[x]$ admettant $n+1$ racines distinctes est le polynôme nul.

4. En déduire que deux polynômes de ${\mathbb{R}}_n[x]$ qui prennent les mêmes valeurs en $n+1$ points distincts sont égaux.

5. Application. Soit $P\in {\mathbb{R}}_3[x]$ tel que $P(0)=0$, $P(1)=1$, $P(2)=4$ et $P(3)=9$. Montrer que $P(x)=x^2$.

6. Application. Soit $P$ un polynôme tel que $P(x+1)=P(x)$ pour tout réel $x$. Montrer que $P$ est constant.

Partie A. Un diviseur à deux racines distinctes

On pose $B(x)=x^2-3x+2$ et, pour tout entier $n⩾1$, on note $R_n$ le reste de la division euclidienne de $x^n$ par $B$.

1. Factoriser $B$.

2. Justifier que $R_n$ s'écrit $R_n(x)=a_{n}x+b_n$, où $a_n$ et $b_n$ sont deux réels.

3. En évaluant l'égalité de la division euclidienne en deux valeurs bien choisies, déterminer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.

4. Vérifier le résultat pour $n=2$ et $n=3$ en effectuant les divisions euclidiennes.

Partie B. Un diviseur à racine double

On pose maintenant $C(x)=x^2-2x+1$ et, pour $n⩾1$, on note $\alpha x+\beta$ le reste de la division euclidienne de $x^n$ par $C$.

5. Factoriser $C$ et expliquer pourquoi la méthode de la partie A ne fournit ici qu'une seule équation.

6. En dérivant l'égalité de la division euclidienne, obtenir une seconde équation, puis déterminer $\alpha$ et $\beta$.

7. Vérifier le résultat pour $n=3$.

Soit $P$ un polynôme non nul et $r$ un réel. On dit que $r$ est une racine multiple de $P$ lorsque sa multiplicité est au moins égale à $2$, c'est-à-dire lorsqu'il existe un polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x-r{)}^{2}Q(x)$.

1. Montrer que si $r$ est une racine multiple de $P$, alors $P(r)=P^{\mathrm{\prime }}(r)=0$.

2. Montrer la réciproque : si $P(r)=P^{\mathrm{\prime }}(r)=0$, alors $r$ est une racine multiple de $P$.

3. Retrouver ce critère à l'aide de la formule de Taylor.

4. Application. Pour tout réel $a$, on pose $P_a(x)=x^3+3x^2+a$. Déterminer tous les réels $a$ pour lesquels $P_a$ admet une racine multiple.

5. Pour chacune des valeurs de $a$ trouvées, préciser la multiplicité exacte de cette racine et factoriser $P_a$.

On cherche un polynôme $P$ de degré $3$ vérifiant les deux conditions

1. Analyse. On écrit $P(x)=\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta$. Montrer que les deux conditions imposent

2. Synthèse. Vérifier que le polynôme obtenu convient, et le factoriser.

3. En déduire, par télescopage, la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{k}^2}$ pour tout entier $n⩾1$.

4. Vérifier la formule obtenue pour $n=4$.

5. En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2}$.

On cherche tous les polynômes $P$ vérifiant

Dans les questions 1 à 4, on suppose que $P$ est un polynôme vérifiant $(\star )$.

1. En évaluant $(\star )$ en $x=0$, puis en $x=2$, montrer que $P(0)=0$ et $P(1)=0$.

2. En déduire qu'il existe un polynôme $Q$ tel que $P(x)=x(x-1)Q(x)$.

3. Reporter cette écriture dans $(\star )$ et en déduire que $Q(x-1)=Q(x)$ pour tout réel $x$. On prendra garde au fait que l'on ne peut pas simplifier par un facteur qui s'annule.

4. En déduire que $Q$ est un polynôme constant. On pourra utiliser qu'un polynôme admettant une infinité de racines est le polynôme nul.

5. Synthèse. Déterminer l'ensemble des solutions de $(\star )$.

6. Contrôler le résultat en vérifiant $(\star )$ pour $P(x)=3x(x-1)$ et $x=5$.

Soit $P$ un polynôme non constant, de degré $n$, tel que $P^{\mathrm{\prime }}$ divise $P$. On note $a_n$ le coefficient dominant de $P$.

1. Justifier que $\mathrm{deg}{P}^{\mathrm{\prime }}=n-1$, puis montrer qu'il existe un réel $r$ tel que

2. Montrer que $r$ est une racine de $P$. On note $m$ sa multiplicité et l'on écrit $P(x)=(x-r{)}^{m}R(x)$ avec $R(r)\mathrm{\ne }0$. Calculer $P^{\mathrm{\prime }}$, reporter dans l'égalité de la question 1, et en déduire

3. En évaluant en $r$, montrer que $m=n$, puis conclure que $P(x)=\lambda (x-r{)}^n$ avec $\lambda \mathrm{\ne }0$.

4. Réciproquement, montrer que tout polynôme de cette forme est divisible par sa dérivée. Énoncer le résultat obtenu.

5. Application. Vérifier le résultat sur $P(x)=2x^3+6x^2+6x+2$, en explicitant $\lambda$ et $r$. Expliquer ensuite pourquoi le polynôme $x^3-x$ n'est pas divisible par sa dérivée.

Soit $P$ un polynôme non nul tel que $P(x)⩾0$ pour tout réel $x$. On note $n=\mathrm{deg}P$ et $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$ avec $a_n\mathrm{\ne }0$, et l'on pose

Le but de l'exercice est de montrer que $Q(x)⩾0$ pour tout réel $x$.

1. Traiter le cas $n=0$.

On suppose désormais $n⩾1$, et l'on pose $M=\mathrm{\mid }{a}_0\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{a}_1\mathrm{\mid }+\cdots +\mathrm{\mid }{a}_{n-1}\mathrm{\mid }$ puis $c=\max (1,{\displaystyle \frac{2M}{\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }}})$.

2. a. Montrer que pour tout réel $x$ tel que $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩾1$, on a $\mid P(x)-a_n{x}^n\mid ⩽M\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{n-1}$.

2. b. En déduire que pour tout réel $x$ tel que $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩾c$, on a $a_n{x}^n>0$.

2. c. En déduire que $a_n>0$, puis que $n$ est pair.

3. Montrer que $Q-Q^{\mathrm{\prime }}=P$.

4. Montrer que $Q$ a le même degré et le même coefficient dominant que $P$.

5. On admet que $Q$ atteint un minimum sur $\mathbb{R}$, c'est-à-dire qu'il existe un réel $x_0$ tel que $Q(x)⩾Q(x_0)$ pour tout réel $x$. Montrer que $Q^{\mathrm{\prime }}(x_0)=0$, puis conclure.

6. Illustrer l'ensemble du raisonnement sur l'exemple $P(x)=x^2$.

On définit une suite de polynômes $(P_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par

1. Calculer $P_2$, $P_3$ et $P_4$.

2. Montrer par récurrence double que, pour tout entier $n⩾1$, $\mathrm{deg}{P}_n=n$ et le coefficient dominant de $P_n$ vaut $2^{n-1}$. Pourquoi faut-il exclure le rang $n=0$ ?

3. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout réel $x$, $P_n(-x)=(-1{)}^n{P}_n(x)$.

4. Calculer $P_n(1)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

5. En déduire $P_n(-1)$, puis déterminer le terme constant de $P_n$.