Devoir surveillé — Polynômes

Soit $P(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k}$ un polynôme de degré $n$, de sorte que $a_n\mathrm{\ne }0$. On appelle polynôme réciproque de $P$, et l'on note $P^{\ast }$, le polynôme obtenu en lisant les coefficients de $P$ dans l'ordre inverse :

$$P^{\ast }(x)=\sum _{k=0}^n{a}_{n-k}{x}^k\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Expliciter $P^{\ast }$ dans le cas où $P(x)=3x^4-x^3+5x-2$. Dans le cas général, justifier que $\mathrm{deg}{P}^{\ast }⩽n$, avec égalité si et seulement si $a_0\mathrm{\ne }0$.

2. (0,75 pt) Démontrer que $P^{\ast }(x)=x^{n}P\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ pour tout réel $x$ non nul. En déduire que, pour tout réel $a$ non nul, $a$ est racine de $P$ si et seulement si ${\displaystyle \frac{1}{a}}$ est racine de $P^{\ast }$.

3. (0,5 pt) On dit que $P$ est palindrome lorsque $P^{\ast }=P$. Démontrer que si $P$ est palindrome et de degré impair, alors $-1$ est racine de $P$.

4. (0,75 pt) On pose $A(x)=2x^3+3x^2+3x+2$. En déduire une racine de $A$ sans aucun calcul, puis factoriser complètement $A$ dans $\mathbb{R}[x]$.

5. (1,25 pt) On pose $B(x)=2x^4-5x^3+6x^2-5x+2$. Vérifier que $B$ est palindrome et que $0$ n'est pas racine de $B$, puis établir que, pour tout réel $x$ non nul,

$$\frac{B(x)}{x^2}=2(x^2+\frac{1}{x^2})-5(x+\frac{1}{x})+6.$$

En posant $u=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$, déterminer les racines réelles de $B$, puis factoriser $B$ dans $\mathbb{R}[x]$.

1. (0,5 pt) Soient $A$ et $B$ deux polynômes, et $\lambda$, $\mu$ deux réels. Démontrer que tout réel qui est racine à la fois de $A$ et de $B$ est racine de $\lambda A+\mu B$. La réciproque est-elle vraie ? Autrement dit, $\lambda$ et $\mu$ étant fixés, une racine de $\lambda A+\mu B$ est-elle nécessairement racine de $A$ et de $B$ ? Justifier.

Pour tout réel $m$, on pose dans la suite

$$A_m(x)=x^2+mx+6\text{et}{B}_m(x)=x^2+6x+m\mathrm{.}$$

2. (1,25 pt) Déterminer tous les réels $m$ pour lesquels $A_m$ et $B_m$ admettent au moins une racine réelle commune. Pour chacune des valeurs trouvées, préciser l'ensemble des racines communes.

3. (0,75 pt) Soient $b$ et $c$ deux réels distincts. Démontrer que les trinômes $U(x)=x^2+bx+c$ et $V(x)=x^2+cx+b$ admettent une racine réelle commune si et seulement si $b+c+1=0$, et que cette racine commune vaut alors $1$. Établir ensuite, sans résoudre aucune équation, que la somme des deux autres racines vaut $-1$. Appliquer enfin ce qui précède au cas $m=-7$ de la question 2. : en déduire les factorisations de $A_{-7}$ et de $B_{-7}$ dans $\mathbb{R}[x]$.

Dans les questions 1. à 3., on considère un polynôme unitaire de degré $3$

$$P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$$

dont on suppose qu'il possède trois racines réelles $x_1$, $x_2$, $x_3$ comptées avec leur multiplicité, c'est-à-dire que $P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$.

1. (0,5 pt) Développer $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$, puis exprimer $a$, $b$ et $c$ en fonction de $x_1$, $x_2$ et $x_3$.

2. (0,5 pt) Démontrer que

$${(x_1-x_2)}^2+{(x_2-x_3)}^2+{(x_3-x_1)}^2=2(a^2-3b),$$

puis en déduire que $a^2⩾3b$.

3. (0,5 pt) Application. On admet que $x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$. Contrôler sur cet exemple les trois relations de la question 1. ainsi que l'égalité et l'inégalité de la question 2.

4. (1,25 pt) Déterminer les réels $t$ pour lesquels il existe un réel $u$ et un réel $d⩾0$ tels que le polynôme

$$T(x)=x^3-9x^2+26x-t$$

s'écrive $T(x)=(x-(u-d))(x-u)(x-(u+d))$, c'est-à-dire pour lesquels $T$ possède trois racines réelles en progression arithmétique. Calculer ensuite ces trois racines. On n'oubliera pas de vérifier que la ou les valeurs de $t$ obtenues conviennent effectivement.

5. (0,5 pt) On considère de nouveau un polynôme unitaire $P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$, sans supposer cette fois qu'il possède trois racines réelles. Démontrer que si $a=0$ et $b>0$, alors il n'existe aucun triplet de réels $(x_1,x_2,x_3)$ tel que $P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$. Donner un exemple d'un tel polynôme et préciser son nombre de racines réelles.

On cherche tous les polynômes $P$ appartenant à ${\mathbb{R}}_5[x]$ tels que

$$(x-1{)}^3\text{ divise }P(x)+1\text{et}(x+1{)}^3\text{ divise }P(x)-1.$$

On admet le critère suivant, vu en cours : pour tout polynôme $A$ non nul, tout réel $\alpha$ et tout entier $m⩾1$, le polynôme $(x-\alpha {)}^m$ divise $A$ si et seulement si

$$A(\alpha )=A^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=\cdots =A^{(m-1)}(\alpha )=0.$$

1. (0,75 pt) Soit $P$ une solution du problème. Établir que

$$P(1)=-1,P^{\mathrm{\prime }}(1)=0,P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=0,P(-1)=1,P^{\mathrm{\prime }}(-1)=0,P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=0,$$

puis en déduire que $P^{\mathrm{\prime }}$ est divisible par $(x-1{)}^2$, par $(x+1{)}^2$, et enfin par ${(x^2-1)}^2$.

2. (0,75 pt) En déduire qu'il existe un réel $\lambda$ tel que $P^{\mathrm{\prime }}(x)=\lambda {(x^2-1)}^2$, puis déterminer tous les coefficients de $P$ en fonction de $\lambda$ et de son terme constant.

3. (1,25 pt) Achever la résolution : déterminer les valeurs de $\lambda$ et du terme constant, puis énoncer l'unique solution du problème. On vérifiera qu'elle convient.

4. (0,75 pt) Démontrer, sans calculer aucun coefficient, que la solution $P$ du problème est un polynôme impair. On pourra considérer le polynôme $R$ défini par $R(x)=-P(-x)$ et montrer qu'il est lui aussi solution du problème.

Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{R}[x]$. On appelle point fixe de $P$ tout réel $\alpha$ tel que $P(\alpha )=\alpha$, et l'on note $P\circ P$ le polynôme défini par $(P\circ P)(x)=P(P(x))$.

Une paire $\{\alpha ,\beta \}$ de réels distincts tels que $P(\alpha )=\beta$ et $P(\beta )=\alpha$ est appelée un cycle de longueur 2 de $P$ : chacun des deux réels est envoyé sur l'autre, et ils reviennent donc à leur point de départ au bout de deux applications de $P$.

L'objectif du problème est de comprendre le lien entre les points fixes de $P$ et ceux de $P\circ P$, puis de décrire complètement la situation pour la famille de polynômes $x^2+c$.

Partie A. Un exemple. Dans toute cette partie, $P(x)=x^2-1$.

1. (0,25 pt) Calculer $(P\circ P)(x)$ sous forme développée, et donner son degré.

2. (0,5 pt) Déterminer les points fixes de $P$.

3. (0,75 pt) Déterminer les points fixes de $P\circ P$. On écrira pour cela $(P\circ P)(x)-x$ comme un produit de deux polynômes de degré $2$, dont l'un est le polynôme $P(x)-x$ de la question 2.

4. (0,5 pt) Dans cette question, $P$ désigne d'abord un polynôme quelconque de $\mathbb{R}[x]$ : démontrer que tout point fixe de $P$ est un point fixe de $P\circ P$. Revenant ensuite à $P(x)=x^2-1$, calculer $P(0)$ et $P(-1)$, puis interpréter les deux points fixes de $P\circ P$ qui ne sont pas points fixes de $P$.

Partie B. Le résultat général. Dans cette partie, $P$ désigne un polynôme de degré $n⩾2$.

On admet le résultat suivant, établi en exercice : pour tous polynômes $A$ et $B$ et tout entier $k⩾1$, le polynôme $A-B$ divise $A^k-B^k$.

5. (0,75 pt) Soient $A$ et $B$ deux polynômes. Démontrer que, pour tout polynôme $S$, le polynôme $A-B$ divise $S(A)-S(B)$, où $S(A)$ désigne le polynôme composé $S\circ A$.

6. (0,75 pt) En déduire que le polynôme $P(x)-x$ divise le polynôme $(P\circ P)(x)-x$. Expliciter le quotient dans le cas $P(x)=x^2-1$, et vérifier qu'on retrouve la factorisation de la question 3.

7. On note $E$ l'ensemble des points fixes de $P\circ P$ qui ne sont pas points fixes de $P$.

a. (0,5 pt) Soit $\alpha$ un élément de $E$, et soit $\beta =P(\alpha )$. Démontrer que $\beta \mathrm{\ne }\alpha$, que $\beta$ appartient à $E$, et que $P(\beta )=\alpha$.

b. (0,25 pt) Justifier que $E$ est un ensemble fini.

c. (0,5 pt) Soient $\alpha$ et $\gamma$ deux éléments de $E$. Démontrer que les paires $\{\alpha ,P(\alpha )\}$ et $\{\gamma ,P(\gamma )\}$ sont confondues ou disjointes.

d. (0,25 pt) En déduire que le nombre d'éléments de $E$ est pair.

Partie C. La famille $x^2+c$. Pour tout réel $c$, on pose $P_c(x)=x^2+c$. On admet l'identité, valable pour tout réel $c$ et tout réel $x$,

$$(P_c\circ P_c)(x)-x=(x^2-x+c)(x^2+x+c+1)\mathrm{.}$$

8. (0,5 pt) Discuter, suivant les valeurs de $c$, le nombre de points fixes de $P_c$.

9. (1,5 pt) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $c$ pour que $P_c$ possède un cycle de longueur 2, et donner alors les deux éléments de ce cycle. On traitera avec soin le cas limite, et l'on expliquera en quoi il est cohérent avec la question 7.d. Retrouver enfin l'exemple de la partie A.