Exercices — Fonctions réelles de n variables sur un ouvert de Rⁿ : recherche d'extrema

Soit $f$ une fonction de deux variables de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^2$. Ses dérivées partielles d'ordre $2$ s'obtiennent en dérivant une seconde fois ses dérivées partielles d'ordre $1$. On note ${\mathrm{\partial }}_{1,1}^{2}f={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}}$ et ${\mathrm{\partial }}_{2,2}^{2}f={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}}$ les deux dérivées secondes pures, et

$${\mathrm{\partial }}_{1,2}^{2}f=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left(\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}\right),{\mathrm{\partial }}_{2,1}^{2}f=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }y\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}\left(\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}\right)$$

les deux dérivées croisées : dans chacune, on dérive d'abord par rapport à la variable écrite à droite.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, calculer les deux dérivées partielles d'ordre $1$, puis les quatre dérivées partielles d'ordre $2$, et vérifier sur le résultat l'égalité des deux dérivées croisées.

2. Soit $k(x,y,z)=x^{2}y+y{z}^3-xz$, définie sur ${\mathbb{R}}^3$. Calculer les trois dérivées partielles d'ordre $1$ de $k$, puis les trois dérivées croisées ${\mathrm{\partial }}_{1,2}^{2}k$, ${\mathrm{\partial }}_{1,3}^{2}k$ et ${\mathrm{\partial }}_{2,3}^{2}k$, en vérifiant à chaque fois l'égalité avec la croisée symétrique.

3. Question de cours. Énoncer précisément le théorème de Schwarz, hypothèses comprises. Expliquer pourquoi, en pratique, on ne vérifie jamais l'égalité des dérivées croisées sur les fonctions usuelles.

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^n$ et soit $a\in U$. On rappelle que le gradient de $f$ en $a$ est le vecteur des dérivées partielles d'ordre $1$,

$$\mathrm{\nabla }f(a)=({\mathrm{\partial }}_{1}f(a),\dots ,{\mathrm{\partial }}_{n}f(a))$$

et que la matrice hessienne de $f$ en $a$ est la matrice carrée d'ordre $n$ des dérivées partielles d'ordre $2$,

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)={({\mathrm{\partial }}_{i,j}^{2}f(a))}_{1⩽i,j⩽n}$$

Elle est symétrique d'après le théorème de Schwarz.

1. Soit $f(x,y)=x^3+2x{y}^2-3y$. Déterminer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$ et ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$ en tout point de ${\mathbb{R}}^2$, puis les évaluer en $(1,-1)$.

2. Soit $g(x,y)=x{e}^y$. Déterminer $\mathrm{\nabla }g(x,y)$ et ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(x,y)$ en tout point de ${\mathbb{R}}^2$, puis les évaluer en $(2,0)$.

3. Soit $h(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2-2xz+4y$. Déterminer $\mathrm{\nabla }h(x,y,z)$ et ${\mathrm{\nabla }}^{2}h(x,y,z)$, puis les évaluer en $(1,1,1)$. Que remarque-t-on sur la hessienne ?

4. On pose $a=(2,0)$ et, pour tout $u=(u_1,u_2)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$q_a(u)={}^{t}u{\mathrm{\nabla }}^{2}g(a)u$$

où $u$ est identifié à la matrice colonne de ses coordonnées. Expliciter $q_a(u)$ en fonction de $u_1$ et $u_2$, puis calculer $q_a(1,1)$.

On rappelle la condition nécessaire d'ordre $1$. Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^n$. Si $f$ admet un extremum local en un point $a\in U$, alors

$$\mathrm{\nabla }f(a)=0$$

Un point de $U$ en lequel le gradient s'annule est appelé point critique de $f$. Chercher les extrema d'une fonction sur un ouvert commence donc toujours par la résolution du système $\mathrm{\nabla }f(a)=0$.

1. Déterminer tous les points critiques des fonctions suivantes, définies et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ pour les trois premières et sur ${\mathbb{R}}^3$ pour la dernière. On donnera aussi la valeur de la fonction en chacun d'eux.

2. Question de cours. Pourquoi la condition nécessaire d'ordre $1$ exige-t-elle de travailler sur un ouvert ? Un point critique est-il nécessairement un extremum ? On illustrera la réponse à l'aide de la fonction $f_3$.

On rappelle la condition d'ordre $2$. Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^n$ et soit $a$ un point critique de $f$. La matrice ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)$ est symétrique réelle, donc ses valeurs propres sont réelles, et :

• si elles sont toutes strictement positives, $f$ admet en $a$ un minimum local strict ;
• si elles sont toutes strictement négatives, $f$ admet en $a$ un maximum local strict ;
• s'il en existe deux de signes contraires, $f$ n'admet en $a$ aucun extremum local : $a$ est un point selle ;
• si $0$ est valeur propre et que les autres sont de même signe, le théorème ne conclut pas (cas douteux).

Dans chacun des cinq cas ci-dessous, $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert, $a$ est un point critique de $f$, et on donne la matrice hessienne ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)$.

1. Pour chaque matrice, calculer les valeurs propres, puis conclure sur la nature du point critique $a$ en justifiant par le théorème rappelé ci-dessus.

2. Dans le cas d, que peut-on malgré tout affirmer, et que reste-t-il à étudier ?

Partie A. Le critère.

Soit $S=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \beta & \gamma \end{array}\right)$ une matrice symétrique réelle d'ordre $2$.

1. Calculer le polynôme caractéristique $\lambda ⟼\det (S-\lambda I_2)$ et montrer que son discriminant est positif ou nul. Que peut-on en déduire sur les valeurs propres de $S$ ?

2. En notant ${\lambda }_1$ et ${\lambda }_2$ ces deux valeurs propres, établir les relations

$${\lambda }_1{\lambda }_2=\det (S)\text{et}{\lambda }_1+{\lambda }_2=\mathrm{tr}(S)$$

3. Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et $a$ un point critique de $f$. On pose $S={\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)$. En utilisant la condition d'ordre $2$, dire ce que l'on peut affirmer sur la nature de $a$ dans chacun des quatre cas suivants, sans calculer aucune valeur propre : $\det (S)>0$ avec $\mathrm{tr}(S)>0$ ; $\det (S)>0$ avec $\mathrm{tr}(S)<0$ ; $\det (S)<0$ ; $\det (S)=0$. Trois de ces cas donnent une conclusion : préciser lequel n'en donne aucune, et pourquoi.

Partie B. Applications.

4. Pour chacune des fonctions suivantes, définies et de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, on admet la liste de points critiques indiquée. Déterminer la nature de chaque point critique à l'aide du critère de la partie A.

5. Conclure le cas d par une étude directe du signe de $k$.

Partie A. Lecture graphique.

La figure ci-dessous donne quelques lignes de niveau de la fonction $g$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $g(x,y)=xy$, au voisinage de l'origine : les niveaux $-4$, $-1$, $1$ et $4$, ainsi que les deux axes de coordonnées.

1. Déterminer la ligne de niveau $0$ de $g$ et décrire son allure. Retrouver ce résultat sur la figure.

2. Préciser le signe de $g$ dans chacun des quatre quadrants ouverts du plan, et dire dans quels quadrants se trouvent les niveaux $1$ et $4$, puis les niveaux $-1$ et $-4$.

3. En exhibant deux directions issues de l'origine, montrer que $g$ n'admet pas d'extremum local en $(0,0)$.

Partie B. Par le calcul.

On considère les deux fonctions définies sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2-y^2\text{et}g(x,y)=xy$$

4. Vérifier que $(0,0)$ est un point critique de $f$, écrire ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(0,0)$, calculer ses valeurs propres et conclure sur la nature de ce point critique.

5. Mêmes questions pour $g$.

6. Retrouver la conclusion pour $f$ sans utiliser la hessienne, en étudiant les deux fonctions $t⟼f(t,0)$ et $t⟼f(0,t)$. Expliquer pourquoi ces deux directions ne conviennent pas pour $g$, et en proposer deux autres.

On rappelle la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$, admise dans le cours. Si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^n$ et si $a\in U$, alors, pour $u=(u_1,\dots ,u_n)$ au voisinage de $0$,

$$f(a+u)=f(a)+⟨\mathrm{\nabla }f(a),u⟩+\frac{1}{2}{}^{t}u{\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)u+o(\parallel u{\parallel }^2)$$

Le polynôme de degré $2$ obtenu en supprimant le reste s'appelle l'approximation quadratique de $f$ au voisinage de $a$.

1. Écrire le développement limité à l'ordre $2$ de $f(x,y)=e^{2x+y}$ au point $(0,0)$.

2. Écrire le développement limité à l'ordre $2$ de $g(x,y)=x^{2}y$ au point $(1,2)$.

3. Écrire le développement limité à l'ordre $2$ de $h(x,y)=\ln (1+x+2y)$ au point $(0,0)$.

Dans les trois cas, on calculera d'abord le gradient et la matrice hessienne au point considéré.

4. Applications numériques. À l'aide du développement de la question 1, donner une valeur approchée de $e^{\mathrm{0,06}}$ en prenant $(x,y)=(\mathrm{0,02};\mathrm{0,02})$. À l'aide de celui de la question 3, donner une valeur approchée de $\ln (\mathrm{1,05})$ en prenant $(x,y)=(\mathrm{0,01};\mathrm{0,02})$. Comparer chaque fois à la valeur donnée par la calculatrice.

Optimiser une fonction $f$ sous une contrainte consiste à chercher les extrema de $f$ non pas sur ${\mathbb{R}}^n$ tout entier, mais sur l'ensemble $C$ des points qui vérifient la contrainte. Lorsque celle-ci est une équation linéaire, la méthode de substitution consiste à exprimer une variable en fonction des autres, à la remplacer dans $f$, et à étudier la fonction obtenue, qui a une variable de moins et n'est plus soumise à aucune contrainte.

1. Déterminer le minimum de $f(x,y)=x^2+y^2$ sous la contrainte $x+y=4$.

2. Déterminer le maximum de $f(x,y)=xy$ sous la contrainte $2x+y=8$.

3. Déterminer le minimum de $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ sous la contrainte $x+y+z=6$. On substituera $z$.

Dans les trois cas, on précisera si l'extremum trouvé est local ou global, et pourquoi.

4. Remarque de cours. Qu'exige la méthode de substitution pour pouvoir être appliquée ? Pourquoi est-ce toujours possible lorsque la contrainte est une équation linéaire non triviale ?

On rappelle le théorème d'existence des extrema, admis dans le cours. Soit $K$ une partie fermée, bornée et non vide de ${\mathbb{R}}^n$ et soit $f:K⟶\mathbb{R}$ une fonction continue sur $K$. Alors $f$ est bornée sur $K$ et elle atteint ses bornes : il existe deux points $a$ et $b$ de $K$ tels que, pour tout $x\in K$,

$$f(a)⩽f(x)⩽f(b)$$

On utilisera librement les résultats du cours de topologie : si $\phi$ est continue sur ${\mathbb{R}}^n$ et $c$ un réel, alors $\{x;\phi (x)⩽c\}$, $\{x;\phi (x)⩾c\}$ et $\{x;\phi (x)=c\}$ sont fermés, et une intersection de fermés est fermée.

Partie A.

1. Pour chacune des six parties suivantes de ${\mathbb{R}}^2$, dire si elle est fermée, si elle est bornée, et si le théorème ci-dessus s'y applique pour une fonction continue. Chaque réponse sera justifiée.

Partie B.

2. Donner une fonction continue sur le disque ouvert $K_2$ qui n'y est pas bornée.

3. Donner une fonction continue et bornée sur $K_2$ qui n'y admet pas de maximum.

4. Donner une fonction continue sur le quart de plan $K_6$, qui est fermé, et qui n'y admet pas de maximum.

Partie C.

5. Question de cours. Le théorème indique-t-il où se trouvent les extrema ? Comment les détermine-t-on en pratique sur un fermé borné ?

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^3+y^3-3xy\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur l'ouvert ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$.

2. Déterminer tous les points critiques de $f$. On pourra tirer $y$ de l'équation ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)=0$, puis reporter dans la seconde équation.

3. Calculer les dérivées partielles d'ordre $2$ de $f$ et écrire la matrice hessienne ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$ en un point quelconque.

4. Déterminer la nature du point critique $(0,0)$. Confirmer le résultat en étudiant les signes de $f(t,t)$ et de $f(t,-t)$ pour $t$ réel non nul et petit.

5. Déterminer la nature du point critique $(1,1)$ de deux manières : par le critère du déterminant et de la trace, puis par le calcul des valeurs propres de ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(1,1)$. Préciser la valeur de $f$ en ce point.

6. La fonction $f$ admet-elle un maximum global sur ${\mathbb{R}}^2$ ? Un minimum global ? On étudiera la fonction $t\mapsto f(t,0)$.

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x-6y\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$ et montrer que $f$ admet un unique point critique $a$, que l'on déterminera. Calculer $f(a)$.

2. Écrire la matrice hessienne ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$ et constater qu'elle ne dépend pas du point. Déterminer ses valeurs propres, puis conclure sur la nature du point critique $a$.

3. On pose $u=x$ et $v=y-3$. Montrer que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$f(x,y)-f(a)=u^2+uv+v^2\mathrm{.}$$

4. Établir l'identité $u^2+uv+v^2={(u+{\displaystyle \frac{v}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3v^2}{4}}$, puis en déduire que $f$ admet un minimum global sur ${\mathbb{R}}^2$, atteint en un unique point.

5. Soit plus généralement $f=q+\mathrm{\ell }$, où $q$ est une forme quadratique définie positive sur ${\mathbb{R}}^2$ et $\mathrm{\ell }$ une forme linéaire. Que peut-on dire de la hessienne de $f$, du nombre de ses points critiques et de la nature de l'extremum, sans refaire aucun calcul de dérivée ?

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^3$ par

$$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-x\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^3$ et calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y,z)$.

2. Déterminer les points critiques de $f$ en résolvant le système linéaire obtenu, puis calculer la valeur de $f$ en ce point sous forme de fraction irréductible.

3. Calculer les dérivées partielles d'ordre $2$ de $f$ et vérifier que

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y,z)=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

4. Déterminer le polynôme caractéristique de cette matrice, puis ses trois valeurs propres. Conclure sur la nature du point critique.

5. Montrer que, si $a$ désigne le point critique, on a pour tout $h\in {\mathbb{R}}^3$ l'identité exacte

$$f(a+h)=f(a)+\frac{1}{2}⟨{\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)h,h⟩\mathrm{.}$$

6. En déduire que l'extremum trouvé est global et strict.

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=(x^2+y^2)e^{-x}\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)$ en factorisant chaque expression par $e^{-x}$.

2. Montrer que $f$ admet exactement deux points critiques : $(0,0)$ et $(2,0)$.

3. Calculer les dérivées partielles d'ordre $2$ de $f$ et écrire ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$.

4. Déterminer la nature de chacun des deux points critiques.

5. Montrer que $f$ admet un minimum global sur ${\mathbb{R}}^2$, atteint en un unique point que l'on précisera.

6. Le point $(2,0)$ est-il un extremum global de $f$ ? On étudiera la fonction $\phi :x\mapsto f(x,0)$ sur $\mathbb{R}$, et notamment sa limite en $-\mathrm{\infty }$.

On pose $U={]0,+\mathrm{\infty }[}^2$ et l'on considère la fonction $f$ définie sur $U$ par

$$f(x,y)=x+y-\ln (xy)\mathrm{.}$$

1. Déterminer l'ensemble des couples $(x,y)$ pour lesquels l'expression $\ln (xy)$ a un sens, puis justifier que $U$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ inclus dans cet ensemble. Simplifier $\ln (xy)$ sur $U$ et justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $U$.

2. Calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$ et montrer que $f$ admet un unique point critique sur $U$.

3. Calculer ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$ en tout point de $U$, puis déterminer la nature du point critique.

4. Soit $g$ la fonction définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)=x-\ln x$. Dresser son tableau de variations et en déduire que

$$\mathrm{\forall }x>0,x-\ln x⩾1,$$

avec égalité si et seulement si $x=1$.

5. En déduire que $f$ admet un minimum global sur $U$, en préciser la valeur, et montrer qu'il est atteint en un unique point.

6. Quel est le signe de ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$ en un point quelconque de $U$ ? Quel lien avec la structure « à variables séparées » de $f$ et avec le résultat de la question précédente ?

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2+y^2-xy-2x,$$

et soit $D=[0,2]\times [0,2]$.

1. Justifier que $f$ admet sur $D$ un maximum global et un minimum global.

2. Déterminer les points critiques de $f$ appartenant à l'intérieur ${]0,2[}^2$ de $D$, et calculer la valeur de $f$ en un tel point.

3. Étudier séparément la restriction de $f$ à chacun des quatre côtés de $D$. Dans chaque cas, on se ramènera à une fonction d'une seule variable sur un segment, dont on déterminera le maximum et le minimum.

4. Rassembler dans un tableau toutes les valeurs candidates obtenues aux questions 2. et 3., puis conclure : donner le maximum global et le minimum global de $f$ sur $D$, ainsi que les points où ils sont atteints.

5. Calculer $\mathrm{\nabla }f$ au point où le maximum global est atteint. Le résultat contredit-il la condition nécessaire d'ordre $1$ ?

On note $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^3$ par $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, et

$$\mathcal{P}=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;x+2y+3z=14\}\mathrm{.}$$

On cherche le minimum de $f$ sur $\mathcal{P}$.

1. Interpréter géométriquement la quantité $f(M)$ pour un point $M=(x,y,z)$, puis reformuler le problème posé.

2. Écrire la contrainte sous la forme $g(x,y,z)=14$, où $g$ est une forme linéaire que l'on précisera. Calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y,z)$ et $\mathrm{\nabla }g(x,y,z)$, et vérifier que $\mathrm{\nabla }g$ ne s'annule en aucun point.

3. Énoncer la condition nécessaire d'ordre $1$ pour ce problème d'optimisation sous contrainte d'égalité linéaire, puis résoudre le système de quatre équations aux quatre inconnues $x$, $y$, $z$ et $\lambda$ qu'elle fournit.

4. Démontrer, à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que $f(M)⩾14$ pour tout $M\in \mathcal{P}$. Étudier le cas d'égalité, conclure, et en déduire la distance de l'origine au plan $\mathcal{P}$.

5. Si l'on avait cherché le maximum de $f$ sur $\mathcal{P}$, quel système la condition d'ordre $1$ aurait-elle donné ? Un tel maximum existe-t-il ? Qu'en conclure sur la portée de cette condition ?

Une entreprise fabrique deux biens, notés A et B, en quantités respectives $x$ et $y$ exprimées en milliers d'unités. Son profit, exprimé en milliers d'euros, est donné sur l'ouvert $U={]0,+\mathrm{\infty }[}^2$ par

$$\pi (x,y)=60x+80y-2x^2-3y^2-2xy-150.$$

Cette fonction est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $U$.

1. Interpréter économiquement chacun des quatre groupes de termes : $60x+80y$, puis $-2x^2-3y^2$, puis $-2xy$, puis $-150$.

2. Calculer $\mathrm{\nabla }\pi (x,y)$ et déterminer l'unique point critique de $\pi$ sur $U$. Vérifier le résultat obtenu.

3. Calculer la matrice hessienne ${\mathrm{\nabla }}^2\pi (x,y)$ et constater qu'elle ne dépend pas du point. Déterminer la nature du point critique à l'aide du déterminant et de la trace, puis confirmer en calculant les valeurs propres.

4. Calculer le profit correspondant, en euros.

5. Établir que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$\pi (x,y)=550-{\displaystyle \frac{1}{2}}{(2x+y-30)}^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}{(y-10)}^2,$$

et en déduire que le maximum trouvé est global sur $U$ et atteint en un seul point.

6. On suppose que l'entreprise réorganise ses ateliers de sorte que le terme croisé $-2xy$ disparaisse : le profit devient ${\pi }_0(x,y)=60x+80y-2x^2-3y^2-150$. Déterminer le nouveau plan de production optimal et le nouveau profit maximal, puis commenter.

Une entreprise doit honorer une commande de $30$ unités d'un même bien. Elle dispose de deux ateliers, A et B, qui en produisent respectivement $x$ et $y$ unités. Le coût total de fabrication, exprimé en euros, est donné sur l'ouvert $U={]0,+\mathrm{\infty }[}^2$ par

$$C(x,y)=x^2+2y^2,$$

et la commande impose la contrainte $g(x,y)=0$, où $g(x,y)=x+y-30$.

1. Interpréter le modèle : pourquoi les coûts sont-ils quadratiques, et que signifie le coefficient $2$ devant $y^2$ ?

2. (Substitution.) Exprimer $y$ en fonction de $x$ grâce à la contrainte, et montrer que le problème revient à minimiser sur $]0,30[$ la fonction $\phi (x)=3x^2-120x+1800$.

3. Mettre $\phi$ sous forme canonique et en déduire la répartition optimale ainsi que le coût minimal. Justifier soigneusement qu'il s'agit d'un minimum global sous la contrainte.

4. (Multiplicateur.) Écrire la condition nécessaire d'ordre $1$ sous contrainte, c'est-à-dire l'existence d'un réel $\lambda$ tel que $\mathrm{\nabla }C(x,y)=\lambda \mathrm{\nabla }g(x,y)$, et résoudre le système obtenu en y adjoignant la contrainte. Donner la valeur de $\lambda$.

5. Vérifier que les deux méthodes donnent le même point, et rappeler ce que chacune démontre exactement.

6. Calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}C$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}C$ au point optimal, et interpréter $\lambda$ comme un coût marginal commun aux deux ateliers. Vérifier enfin que si la commande portait sur $b$ unités au lieu de $30$, le coût minimal serait ${\displaystyle \frac{2b^2}{3}}$, dont la dérivée en $b=30$ vaut précisément $\lambda$.

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=2x^2+y^2+xy,$$

et l'on cherche à minimiser $f$ sur la droite $D$ d'équation $x+y=6$. On pose $g(x,y)=x+y-6$, de sorte que la contrainte s'écrit $g(x,y)=0$.

Partie A — Par substitution

1. Justifier que tout point de $D$ s'écrit $(x,6-x)$ avec $x\in \mathbb{R}$, et montrer que le problème revient à minimiser sur $\mathbb{R}$ la fonction $\phi (x)=2x^2-6x+36$.

2. Mettre $\phi$ sous forme canonique. En déduire le point de $D$ où $f$ atteint son minimum, ainsi que la valeur de ce minimum. Justifier qu'il est global sur $D$ et strict.

3. La fonction $f$ admet-elle un maximum sur $D$ ?

Partie B — Par le multiplicateur

4. Calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$ et $\mathrm{\nabla }g(x,y)$. Écrire la condition nécessaire d'ordre $1$ sous contrainte et le système de trois équations qu'elle fournit, contrainte comprise.

5. Résoudre ce système. Donner le point obtenu et la valeur du multiplicateur $\lambda$. Vérifier le résultat.

Partie C — Comparaison des deux méthodes

6. Comparer le coût des deux méthodes : quels calculs chacune demande-t-elle ?

7. Comparer ce que chacune démontre. Laquelle permet de conclure ? Que manque-t-il à l'autre ?

8. Citer trois situations dans lesquelles la substitution devient impraticable, alors que le multiplicateur reste utilisable.

On considère les quatre fonctions suivantes, définies sur ${\mathbb{R}}^2$.

Elles sont toutes polynomiales, donc de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, et toutes nulles en $(0,0)$.

1. Vérifier que $(0,0)$ est un point critique de chacune de ces quatre fonctions.

2. Calculer les quatre matrices hessiennes en $(0,0)$. Montrer que trois d'entre elles sont la matrice nulle, et que celle de $h$ vaut $\mathrm{diag}(2,0)$.

3. Expliquer pourquoi, dans les quatre cas, la condition d'ordre $2$ ne permet aucune conclusion. On traitera à part le cas de $h$, dont la hessienne n'est pas nulle mais dégénérée.

4. Déterminer la nature du point critique $(0,0)$ de $f$ par une étude directe du signe de $f(x,y)-f(0,0)$.

5. Même question pour $g$. On pourra examiner séparément ce qui se passe le long de chacun des deux axes.

6. Même question pour $h$.

7. Même question pour $k$. Déterminer de plus l'ensemble de tous les points où $k$ atteint son minimum, ainsi que l'ensemble de tous les points critiques de $k$.

8. Leçon de méthode. Que faire, en pratique, lorsqu'une valeur propre de la hessienne est nulle ? Que montrent précisément les quatre exemples réunis ?

Trois fonctions, trois façons d'obtenir un minimum global. Toutes les fonctions de cet exercice sont de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ par opérations usuelles.

Partie A — Quand le développement limité est exact

Soit $f(x,y)=x^2+2y^2+2x-4y+8$.

1. Déterminer l'unique point critique $a$ de $f$, puis calculer la matrice hessienne ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$.

2. Écrire le développement limité d'ordre $2$ de $f$ en $a$, c'est-à-dire l'expression de $f(a+u)$ pour $u=(u_1,u_2)$. Montrer par un calcul direct que le reste est identiquement nul, et expliquer pourquoi c'était prévisible.

3. En déduire, sans utiliser les valeurs propres, que $f$ admet un minimum global strict, et préciser le point et la valeur.

Partie B — Quand une seule variable suffit

Soit $g(x,y)=e^{x^2+y^2}-x^2-y^2$.

4. Montrer que $g(x,y)=\psi \text{\hspace{0.17em}⁣}(x^2+y^2)$, où $\psi (s)=e^s-s$. Étudier les variations de $\psi$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et préciser sa valeur en $0$ ainsi que sa limite en $+\mathrm{\infty }$.

5. En déduire le minimum global de $g$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et le point où il est atteint, sans jamais calculer de hessienne.

Partie C — Quand l'ordre 2 ne suffit pas

Soit $h(x,y)={(x^2+y^2)}^2-2x^2+2y^2$.

6. Vérifier que $(0,0)$ est un point critique de $h$, calculer ${\mathrm{\nabla }}^{2}h(0,0)$ et écrire le développement limité d'ordre $2$ de $h$ en $(0,0)$. Que permet de conclure la condition d'ordre $2$ en ce point, et pourquoi cela ne renseigne-t-il pas sur le minimum global de $h$ ?

7. On pose $r^2=x^2+y^2$. Démontrer que pour tous réels $x$ et $y$, $h(x,y)⩾r^4-2r^2$, puis que $h(x,y)⩾-1$. Déterminer tous les cas d'égalité.

8. Conclure quant au minimum global de $h$, et dresser le bilan de ce que chacun des trois outils rencontrés apporte.

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire usuel et l'on considère la fonction

$$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,$$

que l'on cherche à minimiser sous les deux contraintes linéaires

$$g_1(x,y,z)=x+y+z-3=0\text{et}{g}_2(x,y,z)=x-y-1=0.$$

On note $S$ l'ensemble des points de ${\mathbb{R}}^3$ vérifiant ces deux contraintes.

1. Montrer que $S$ est une droite de l'espace : résoudre le système en prenant $y=t$ comme paramètre, puis donner un point $A$ de $S$ et un vecteur directeur $u$ de cette droite.

2. En déduire que le problème revient à minimiser sur $\mathbb{R}$ la fonction $\phi (t)=6t^2-6t+5$.

3. Mettre $\phi$ sous forme canonique et conclure : donner le point $M$ de $S$ où $f$ atteint son minimum, la valeur de ce minimum, et justifier qu'il est global sur $S$ et strict. Vérifier que $M$ satisfait bien les deux contraintes.

4. Retrouver le point $M$ par la condition nécessaire d'ordre $1$ sous contraintes, c'est-à-dire l'existence de deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que

$$\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=\lambda \mathrm{\nabla }{g}_1(x,y,z)+\mu \mathrm{\nabla }{g}_2(x,y,z)\mathrm{.}$$

Préciser les valeurs de $\lambda$ et $\mu$, et vérifier le résultat.

5. Interprétation géométrique. Que représente $f(x,y,z)$ pour le point de coordonnées $(x,y,z)$ ? En déduire ce qu'est le point $M$ pour la droite $S$, et le vérifier en calculant le produit scalaire $⟨\overrightarrow{OM},u⟩$. Donner enfin la distance de l'origine à la droite $S$.

On étudie sur ${\mathbb{R}}^2$ la fonction définie par

$$f(x,y)=x^4+y^4-4xy\mathrm{.}$$

Partie A. Les points critiques.

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$.

2. Montrer que $(x,y)$ est un point critique de $f$ si et seulement si $y=x^3$ et $x^9=x$. Résoudre complètement cette dernière équation et en déduire que $f$ possède exactement trois points critiques.

3. Vérifier les deux invariances $f(-x,-y)=f(x,y)$ et $f(y,x)=f(x,y)$. Expliquer pourquoi la première permet de déduire la nature de $(-1,-1)$ de celle de $(1,1)$, sans aucun calcul supplémentaire.

Partie B. La nature de chaque point critique.

4. Calculer ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$ en un point quelconque de ${\mathbb{R}}^2$.

5. Déterminer la nature du point critique $(0,0)$. Confirmer la conclusion en étudiant le signe de $f(t,t)$ et celui de $f(t,-t)$ pour $t$ réel non nul et proche de $0$.

6. Déterminer la nature de $(1,1)$, en précisant les valeurs propres de la hessienne en ce point. Conclure pour $(-1,-1)$ à l'aide de la question 3.

Partie C. Du local au global.

Pour $u=(x,y)$, on note $\parallel u\parallel =\sqrt{x^2+y^2}$.

7. Démontrer que pour tous réels $x$ et $y$ :

$$4xy⩽2(x^2+y^2)\text{et}{(x^2+y^2)}^2⩽2(x^4+y^4)\mathrm{.}$$

8. En déduire la minoration $f(u)⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}\parallel u{\parallel }^4-2\parallel u{\parallel }^2$, puis que $f(u)$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $\parallel u\parallel$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

9. Montrer que $f(u)⩾0$ dès que $\parallel u\parallel ⩾2$. En travaillant sur le disque fermé de centre l'origine et de rayon $2$, démontrer que $f$ admet un minimum global sur ${\mathbb{R}}^2$, que ce minimum vaut $-2$ et qu'il est atteint en exactement deux points.

10. Retrouver instantanément le résultat de la question 9 en établissant l'identité

$$f(x,y)={(x^2-1)}^2+{(y^2-1)}^2+2{(x-y)}^2-2.$$

La condition d'ordre $2$ ne donne jamais qu'un renseignement local. Cet exercice établit le théorème qui permet de passer au global, puis l'applique.

Partie A. La méthode.

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, soit $a$ un point critique de $f$ et soit $h\in {\mathbb{R}}^2$. On pose, pour tout réel $t$,

$$\phi (t)=f(a+th)\mathrm{.}$$

On admet que $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$ et que, pour tout réel $t$,

$${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)=⟨\mathrm{\nabla }f(a+th),h⟩\text{et}{\phi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)={}^{t}h{\mathrm{\nabla }}^{2}f(a+th)h\mathrm{.}$$

On suppose de plus que la forme quadratique associée à la hessienne est positive en tout point :

$$\text{(H)}\text{pour tout }m\in {\mathbb{R}}^2\text{ et tout }u\in {\mathbb{R}}^2,{}^{t}u{\mathrm{\nabla }}^{2}f(m)u⩾0.$$

1. Calculer $\phi (0)$ et $\phi (1)$, et montrer que ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(0)=0$.

2. Montrer que ${\phi }^{\mathrm{\prime }}$ est croissante sur $\mathbb{R}$, puis que ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)⩾0$ pour tout $t⩾0$.

3. En déduire que $f(a+h)⩾f(a)$, et conclure : sous l'hypothèse (H), tout point critique de $f$ est un minimum global.

4. Redémontrer la question 3 à l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral appliquée à $\phi$ entre $0$ et $1$.

5. On renforce (H) en supposant ${}^{t}u{\mathrm{\nabla }}^{2}f(m)u>0$ pour tout $m$ et tout $u\mathrm{\ne }0$. Montrer qu'alors le minimum est strict, et que $f$ admet au plus un point critique.

Partie B. L'application.

On pose, pour $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ : $g(x,y)=e^{x+y}-x-2y+x^2$.

6. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et calculer $\mathrm{\nabla }g(x,y)$ puis ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(x,y)$.

7. Calculer le déterminant et la trace de ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(x,y)$ et en déduire que cette hessienne est définie positive en tout point de ${\mathbb{R}}^2$.

8. Déterminer l'unique point critique de $g$ (on montrera d'abord que $e^{x+y}=2$).

9. Conclure et donner la valeur exacte du minimum global de $g$.

Partie C. Le contre-exemple.

On pose $k(x,y)=x^3+y^2$.

10. Vérifier que $(0,0)$ est un point critique de $k$ et que la forme quadratique associée à ${\mathrm{\nabla }}^{2}k(0,0)$ est positive. Montrer pourtant que $(0,0)$ n'est pas un minimum local de $k$. Où l'hypothèse (H) est-elle mise en défaut ?

On identifie ${\mathbb{R}}^n$ à l'ensemble ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ des matrices colonnes à $n$ lignes, et on note $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ \mathrm{⋮}\\ x_n\end{array}\right)$ le vecteur des variables.

Soit $A=\left(a_{i,j}\right)$ une matrice symétrique réelle d'ordre $n$ dont toutes les valeurs propres sont strictement positives, et soit $b\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$. On pose

$$f(X)={}^{t}XAX-2{}^{t}bX\mathrm{.}$$

Partie A. Étude générale.

1. Montrer que ${\displaystyle f(X)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{x}_i{x}_j-2\sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i}$, et en déduire que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^n$.

2. Soit $k\in \{1,\dots ,n\}$. En isolant dans la double somme les termes contenant $x_k$, montrer que

$${\mathrm{\partial }}_{k}f(X)=2\sum _{j=1}^n{a}_{k,j}{x}_j-2b_k,\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}\mathrm{\nabla }f(X)=2AX-2b\mathrm{.}$$

On précisera où l'on utilise la symétrie de $A$.

3. En déduire que ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(X)=2A$ pour tout $X$ : la hessienne est constante.

4. Justifier que $A$ est inversible, puis montrer que $f$ admet un unique point critique $X^{\ast }=A^{-1}b$.

5. Démontrer l'identité, valable pour tout $X\in {\mathbb{R}}^n$ :

$$f(X)-f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(X^{\ast }\right)={}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}(X-X^{\ast })A(X-X^{\ast })\mathrm{.}$$

6. À l'aide du théorème spectral, montrer que ${}^{t}YAY>0$ pour tout $Y\mathrm{\ne }0$. Conclure que $X^{\ast }$ est le minimum global strict de $f$ sur ${\mathbb{R}}^n$.

7. Montrer que la valeur de ce minimum est $f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(X^{\ast }\right)=-{}^{t}b{A}^{-1}b=-{}^{t}b{X}^{\ast }$.

Partie B. Application numérique en dimension $2$.

On prend $n=2$, $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$ et $b=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)$.

8. Vérifier que les valeurs propres de $A$ sont strictement positives, sans les calculer explicitement.

9. Expliciter $f(x,y)$, calculer $A^{-1}$ puis $X^{\ast }=A^{-1}b$, et donner la valeur du minimum.

10. Contrôler le résultat en calculant directement $\mathrm{\nabla }f(x,y)$ et $f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(X^{\ast }\right)$ à partir de l'expression développée.

Une entreprise relève son chiffre d'affaires annuel. On dispose de $n$ couples de réels $(x_i,y_i)$, où $x_i$ est le rang de l'année et $y_i$ le chiffre d'affaires correspondant, et on cherche la droite d'équation $y=ax+b$ qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux

$$S(a,b)=\sum _{i=1}^n{(y_i-a{x}_i-b)}^2,(a,b)\in {\mathbb{R}}^2\mathrm{.}$$

On note $\bar{x}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}$ et $\bar{y}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{y}_i}$ les moyennes, puis

$$V=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2\text{(variance empirique)},C=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\text{(covariance empirique)}\mathrm{.}$$

Dans toute la partie A, $n⩾2$ et les $x_i$ ne sont pas tous égaux.

Partie A. Le cas général.

1. Justifier que $S$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et montrer que

$${\mathrm{\partial }}_{1}S(a,b)=-2\sum _{i=1}^n{x}_i(y_i-a{x}_i-b),{\mathrm{\partial }}_{2}S(a,b)=-2\sum _{i=1}^n(y_i-a{x}_i-b)\mathrm{.}$$

2. En déduire que $(a,b)$ est un point critique de $S$ si et seulement s'il vérifie le système des équations normales

$$a\sum _{i=1}^n{x}_i^2+b\sum _{i=1}^n{x}_i=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\text{et}a\sum _{i=1}^n{x}_i+nb=\sum _{i=1}^n{y}_i\mathrm{.}$$

3. Démontrer les deux identités ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\bar{x}}^2}$ et ${\displaystyle \sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}}$.

4. Résoudre le système de la question 2 et montrer qu'il admet l'unique solution

$$a_0=\frac{C}{V},b_0=\bar{y}-a_0\bar{x}\mathrm{.}$$

5. Calculer ${\mathrm{\nabla }}^{2}S(a,b)$, montrer que $\det {\mathrm{\nabla }}^{2}S(a,b)=4n^{2}V$ et en déduire que la hessienne est définie positive. Que peut-on déjà conclure sur $(a_0,b_0)$ ?

6. On pose $r_i=y_i-a_0{x}_i-b_0$. En écrivant $y_i-a{x}_i-b=r_i-\alpha x_i-\beta$ avec $\alpha =a-a_0$ et $\beta =b-b_0$, démontrer l'identité

$$S(a,b)=S\text{\hspace{0.17em}⁣}(a_0,b_0)+\sum _{i=1}^n{(\alpha x_i+\beta )}^2,$$

et conclure que le minimum est global et atteint en un unique point.

Partie B. Application numérique.

Le chiffre d'affaires (en milliers d'euros) des quatre dernières années est le suivant.

7. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $V$ et $C$, puis l'équation de la droite d'ajustement.

8. Calculer les quatre écarts $r_i$ et la valeur de $S$ à l'optimum. Vérifier la valeur du déterminant de la hessienne.

9. Estimer le chiffre d'affaires de la cinquième année et commenter.

Un consommateur achète les quantités $x$ et $y$, strictement positives, de deux biens dont les prix unitaires sont $p>0$ et $q>0$. Son revenu $R>0$ est entièrement dépensé, ce qui impose la contrainte linéaire

$$px+qy=R\mathrm{.}$$

Sa satisfaction est mesurée par la fonction d'utilité de Cobb-Douglas

$$U(x,y)=x^{\alpha }{y}^{\beta },\alpha >0,\beta >0,$$

définie sur l'ouvert $\mathrm{\Omega }=]0,+\mathrm{\infty }[\times ]0,+\mathrm{\infty }[$. On note $\mathcal{B}=\{(x,y)\in \mathrm{\Omega };px+qy=R\}$ l'ensemble des paniers accessibles.

Partie A. Réduction du problème et substitution.

1. Justifier que $U$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathrm{\Omega }$ et que $U$ y est strictement positive. En utilisant la stricte croissance du logarithme, montrer que maximiser $U$ sur $\mathcal{B}$ revient exactement à y maximiser

$$V(x,y)=\ln U(x,y)=\alpha \ln x+\beta \ln y\mathrm{.}$$

2. Montrer que $(x,y)\in \mathcal{B}$ si et seulement si $x\in ]0,{\displaystyle \frac{R}{p}}[$ et $y={\displaystyle \frac{R-px}{q}}$.

3. On pose, pour $x\in ]0,{\displaystyle \frac{R}{p}}[$, $g(x)=V\text{\hspace{0.17em}⁣}(x,{\displaystyle \frac{R-px}{q}})$. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ et montrer que

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{\alpha R-(\alpha +\beta )px}{x(R-px)}\mathrm{.}$$

4. Étudier le signe de $g^{\mathrm{\prime }}$, dresser le tableau de variations de $g$ (limites aux bornes comprises) et en déduire que $U$ admet sur $\mathcal{B}$ un maximum global, atteint en un unique point

$$x^{\ast }=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }\cdot \frac{R}{p},y^{\ast }=\frac{\beta }{\alpha +\beta }\cdot \frac{R}{q}\mathrm{.}$$

Partie B. Par la condition nécessaire d'ordre 1 sous contrainte linéaire.

5. Écrire la condition nécessaire d'ordre $1$ pour $V$ sous la contrainte linéaire $px+qy=R$, sous la forme $\mathrm{\nabla }V(x,y)=\lambda (p,q)$.

6. Résoudre le système obtenu, en déterminant d'abord $\lambda$, et retrouver $(x^{\ast },y^{\ast })$. Pourquoi cette méthode seule ne suffit-elle pas à conclure ?

Partie C. Interprétation et application.

7. Calculer les parts de budget ${\displaystyle \frac{p{x}^{\ast }}{R}}$ et ${\displaystyle \frac{q{y}^{\ast }}{R}}$ et commenter.

8. Application numérique : $\alpha =1$, $\beta =2$, $p=2$, $q=3$, $R=90$. Calculer $x^{\ast }$, $y^{\ast }$, l'utilité maximale, et comparer avec les paniers $(30,10)$ et $(18,18)$.

On considère la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+1,$$

et le disque fermé $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2+y^2⩽9\}$. On note $\mathrm{\Gamma }=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2+y^2=9\}$ sa frontière.

Partie A. Existence et étude de l'intérieur.

1. Montrer que $D$ est une partie fermée et bornée de ${\mathbb{R}}^2$, et que $f$ y est continue. Qu'en déduit-on ?

2. Vérifier l'identité $f(x,y)=(x-1{)}^2+(y-2{)}^2-4$.

3. Déterminer les points critiques de $f$ situés dans l'intérieur de $D$, c'est-à-dire dans l'ouvert $\{(x,y);x^2+y^2<9\}$. Préciser la nature du point trouvé à l'aide de ${\mathrm{\nabla }}^{2}f$, et donner la valeur de $f$ en ce point.

Partie B. Étude de la frontière par Cauchy-Schwarz.

4. Montrer que pour tout $(x,y)\in \mathrm{\Gamma }$, on a $f(x,y)=10-2x-4y$. Le problème sur le bord est donc l'optimisation d'une expression affine.

5. En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz au produit scalaire $⟨(x,y),(2,4)⟩$, montrer que pour tout $(x,y)\in \mathrm{\Gamma }$ :

$$-6\sqrt{5}⩽2x+4y⩽6\sqrt{5},\text{donc}10-6\sqrt{5}⩽f(x,y)⩽10+6\sqrt{5}\mathrm{.}$$

6. Écrire le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz et en déduire les coordonnées exactes des deux points de $\mathrm{\Gamma }$ où ces bornes sont atteintes.

Partie C. Conclusion et méthode.

7. Comparer toutes les valeurs candidates, en justifiant l'inégalité $-4<10-6\sqrt{5}$, et conclure : donner le minimum global et le maximum global de $f$ sur $D$, ainsi que les points où ils sont atteints.

8. Retrouver géométriquement ces deux résultats à l'aide de l'identité de la question 2.

9. Question de méthode. Pourquoi n'a-t-on pas utilisé de multiplicateur de Lagrange pour traiter la frontière ? Quelle autre méthode, au programme, aurait permis de conclure ? En décrire le déroulement, sans faire les calculs.