Devoir surveillé — Fonctions réelles de n variables sur un ouvert de Rⁿ : recherche d'extrema

Les sept questions sont indépendantes ; une justification d'une ou deux lignes suffit.

1. Soit $f(x,y)=x{y}^2+e^{xy}$, définie sur ${\mathbb{R}}^2$. Calculer les deux dérivées croisées ${\mathrm{\partial }}_{1,2}^{2}f$ et ${\mathrm{\partial }}_{2,1}^{2}f$, et vérifier sur le résultat le théorème de Schwarz. (0,5 point)

2. Soit $g(x,y)=x^4+3x^{2}y-y^3+5y$, définie sur ${\mathbb{R}}^2$. Écrire la matrice hessienne ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(x,y)$ en un point quelconque, puis ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(1,1)$. (0,5 point)

3. Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et soit $a$ un point critique de $f$. Dans chacun des cas suivants, la hessienne ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)$ est donnée : préciser la nature de $a$ (minimum local, maximum local, point selle, ou cas douteux). (0,5 point)

4. Écrire le développement limité d'ordre $2$ en $(0,0)$ de la fonction $h(x,y)=e^{2x+y}$. (0,5 point)

5. On pose $M=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$. Expliciter la forme quadratique $q(u)={}^{t}uMu$ pour $u=(u_1,u_2)$, puis déterminer son signe. (0,25 point)

6. Vrai ou faux ? Démontrer si l'affirmation est vraie, donner un contre-exemple si elle est fausse. (0,5 point)

7. Déterminer le minimum de $x^2+y^2$ sous la contrainte $x+3y=10$, ainsi que le point où il est atteint. (0,25 point)

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^3+3x{y}^2-15x-12y\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$, et montrer que $(x,y)$ est un point critique de $f$ si et seulement si

$$x^2+y^2=5\text{et}xy=2.$$

(0,5 point)

2. Résoudre ce système. On pourra poser $s=x+y$ et $p=xy$, et montrer que $f$ admet exactement quatre points critiques. (1 point)

3. Calculer ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$ en un point quelconque, puis donner son déterminant et sa trace en fonction de $x$ et $y$. (0,5 point)

4. Déterminer la nature de chacun des quatre points critiques et calculer la valeur de $f$ en chacun d'eux. On présentera les résultats dans un tableau. (1,25 point)

5. Étudier la fonction $t⟼f(t,0)$ sur $\mathbb{R}$. La fonction $f$ admet-elle un maximum global sur ${\mathbb{R}}^2$ ? Un minimum global ? Le résultat est-il compatible avec la question 4. ? (0,75 point)

Pour tout réel $m$, on définit la fonction $f_m$ sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f_m(x,y)=x^2+mxy+y^2-2x-2y\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f_m$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, calculer $\mathrm{\nabla }{f}_m(x,y)$, puis écrire le système des points critiques sous la forme matricielle $A_{m}X=B$. Pour quelles valeurs de $m$ la matrice $A_m$ est-elle inversible ? (0,75 point)

2. On suppose $m\mathrm{\notin }\{-2,2\}$. Montrer que $f_m$ admet un unique point critique $a_m$, que l'on déterminera, et calculer $f_m(a_m)$. (0,75 point)

3. Déterminer l'ensemble des points critiques de $f_m$ dans les deux cas restants, $m=2$ puis $m=-2$. (0,5 point)

4. Écrire ${\mathrm{\nabla }}^2{f}_m(x,y)$ et constater qu'elle ne dépend pas du point. Déterminer ses valeurs propres. En posant $u=x-x_a$ et $v=y-y_a$, où $a_m=(x_a,y_a)$, montrer que pour $m\mathrm{\notin }\{-2,2\}$

$$f_m(x,y)-f_m(a_m)=u^2+muv+v^2,$$

puis conclure sur la nature de $a_m$ et sur son caractère global, en discutant selon $m$. (1,25 point)

5. Étudier directement les deux cas dégénérés : pour $m=2$, factoriser $f_2$ à l'aide de $s=x+y$ ; pour $m=-2$, étudier la restriction de $f_{-2}$ à la droite d'équation $y=x$. Conclure dans chaque cas. (0,5 point)

6. Rassembler les résultats dans un tableau récapitulatif. (0,25 point)

Une agence dispose d'un budget publicitaire de $S$ milliers d'euros, où $S$ est un réel strictement positif fixé. Elle le répartit intégralement entre trois canaux, en quantités $x$, $y$ et $z$ strictement positives exprimées en milliers d'euros, soumises à la contrainte $x+y+z=S$. L'audience atteinte, exprimée en unités arbitraires, est modélisée sur $U={]0,+\mathrm{\infty }[}^3$ par

$$A(x,y,z)=\ln x+2\ln y+3\ln z\mathrm{.}$$

On pose $g(x,y,z)=x+y+z-S$, de sorte que la contrainte s'écrit $g(x,y,z)=0$, et l'on note $\mathcal{D}=\{(x,y,z)\in U;g(x,y,z)=0\}$ l'ensemble des répartitions admissibles.

1. Montrer que $U$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^3$ et que $A$ y est de classe ${\mathcal{C}}^1$. Vérifier que la contrainte est linéaire et que $\mathrm{\nabla }g$ ne s'annule pas. Expliquer pourquoi le théorème d'existence des extrema sur un fermé borné ne s'applique pas à $\mathcal{D}$. (0,75 point)

2. Écrire la condition nécessaire d'ordre $1$ sous contrainte, puis le système de quatre équations qu'elle fournit, contrainte comprise. (0,75 point)

3. Résoudre ce système. Donner le seul candidat $(x^{\ast },y^{\ast },z^{\ast })$ et la valeur du multiplicateur $\lambda$, et vérifier que le candidat appartient bien à $\mathcal{D}$. (0,75 point)

4. Démontrer que $\ln t⩽t-1$ pour tout $t>0$, avec égalité si et seulement si $t=1$. (0,75 point)

5. En appliquant l'inégalité précédente aux trois rapports ${\displaystyle \frac{x}{x^{\ast }}}$, ${\displaystyle \frac{y}{y^{\ast }}}$ et ${\displaystyle \frac{z}{z^{\ast }}}$, démontrer que $A$ admet un maximum global sous la contrainte, atteint en $(x^{\ast },y^{\ast },z^{\ast })$ et en ce point seulement. (1,25 point)

6. Donner la valeur de ce maximum en fonction de $S$, interpréter la répartition optimale, puis traiter le cas $S=60$. (0,75 point)

On considère la fonction $g$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$g(x,y)=x^2+y^2+2x-4y,$$

et le domaine

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;0⩽x⩽3\text{ et }0⩽y⩽1\}\mathrm{.}$$

1. Montrer que $D$ est une partie fermée et bornée de ${\mathbb{R}}^2$, et en déduire que $g$ admet un maximum et un minimum globaux sur $D$. (0,75 point)

2. Déterminer les points critiques de $g$ sur ${\mathbb{R}}^2$. Appartiennent-ils à l'intérieur de $D$ ? Qu'en conclut-on sur la localisation des extrema ? (0,75 point)

3. Étudier $g$ sur chacun des quatre côtés de $D$, en précisant à chaque fois les valeurs extrêmes atteintes et les points correspondants. (1,25 point)

4. Rassembler les valeurs candidates dans un tableau, puis conclure : donner le maximum global et le minimum global de $g$ sur $D$, ainsi que les points où ils sont atteints. (0,75 point)

5. Calculer $\mathrm{\nabla }g$ au point où le maximum est atteint. Pourquoi le gradient n'a-t-il aucune raison de s'y annuler ? (0,5 point)