Exercices — Probabilités : convergences et estimation

Un service de livraison relève chaque jour le nombre de colis livrés en retard. On modélise ce nombre par une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$, dont on ne connaît qu'une seule caractéristique, la moyenne relevée sur l'année écoulée :

$$E(X)=6$$

1. Énoncer l'inégalité de Markov, puis vérifier que $X$ en satisfait toutes les hypothèses.

2. Majorer les deux probabilités suivantes :

   a. $P(X⩾20)$

   b. $P(X⩾30)$

3. Déterminer les réels $a>0$ pour lesquels l'inégalité de Markov apporte une information sur $P(X⩾a)$.

4. Le responsable du service affirme : « il est impossible qu'une journée compte $30$ colis en retard ou davantage ». Que peut-on lui répondre à l'aide de la seule inégalité de Markov ?

5. On s'intéresse maintenant à la durée d'attente $T$, exprimée en minutes, d'un client au service après-vente. C'est une variable aléatoire à densité, positive, d'espérance $E(T)=3$. Majorer $P(T⩾15)$.

6. Commenter le fait que l'inégalité de Markov n'exige à aucun moment de connaître la loi de la variable. Que faudrait-il savoir de plus pour améliorer ces majorations ?

Une machine remplit des sachets de café. On note $X$ la masse, en grammes, d'un sachet pris au hasard en fin de chaîne. Le service qualité a relevé sur un an

$$E(X)=250\text{et}V(X)=4$$

et ne dispose d'aucune autre information sur la loi de $X$.

1. Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et vérifier que $X$ en satisfait les hypothèses.

2. Majorer $P(\mid X-250\mid ⩾5)$.

3. En déduire une minoration de $P(245<X<255)$ et l'interpréter pour le service qualité.

4. Déterminer le plus petit entier $\epsilon ⩾1$ pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit $P(\mid X-250\mid ⩾\epsilon )⩽\mathrm{0,01}$.

5. Écrire l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev sous la forme « à $k$ écarts-types », c'est-à-dire pour un écart $\epsilon =k\sigma$ avec $k>0$, puis l'appliquer au cas $k=3$.

6. On suppose dans cette question, et dans cette question seulement, que $X$ suit la loi $\mathcal{N}(250,4)$. Calculer la valeur exacte de $P(\mid X-250\mid ⩾5)$, la comparer à la majoration de la question 2. et commenter. On donne $\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,5})\approx \mathrm{0,9938}$.

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes les unes des autres. Dans chacune d'elles, $n$ désigne un entier naturel non nul.

Partie A. Soit $(X_n{)}_{n⩾1}$ une suite de variables aléatoires telle que, pour tout $n⩾1$,

$$P(X_n=0)=1-{\displaystyle \frac{1}{n}}\text{et}P(X_n=n)={\displaystyle \frac{1}{n}}$$

1. Montrer, en revenant à la définition, que $(X_n{)}_{n⩾1}$ converge en probabilité vers $0$.

2. Calculer $E(X_n)$. La suite ${(E(X_n))}_{n⩾1}$ converge-t-elle vers $0$ ? Qu'en conclure sur le lien entre convergence en probabilité et convergence des espérances ?

Partie B. Soit $(Y_n{)}_{n⩾1}$ une suite de variables aléatoires telle que, pour tout $n⩾1$, $Y_n$ suit la loi uniforme $\mathcal{U}\left([0,{\displaystyle \frac{1}{n}}]\right)$.

3. Soit $\epsilon >0$. Calculer $P(\mid Y_n\mid ⩾\epsilon )$ en distinguant les cas $\epsilon ⩾{\displaystyle \frac{1}{n}}$ et $\epsilon <{\displaystyle \frac{1}{n}}$, puis en déduire que $(Y_n{)}_{n⩾1}$ converge en probabilité vers $0$.

Partie C. Soit $(Z_n{)}_{n⩾1}$ une suite de variables aléatoires admettant une espérance et une variance, telles que, pour tout $n⩾1$,

$$E(Z_n)=2+{\displaystyle \frac{1}{n}}\text{et}V(Z_n)={\displaystyle \frac{5}{n}}$$

4. Énoncer le critère du cours qui permet de prouver une convergence en probabilité à partir de l'espérance et de la variance.

5. Rédiger la majoration correspondante et conclure que $(Z_n{)}_{n⩾1}$ converge en probabilité vers $2$.

On lance $n$ fois de suite un dé équilibré à six faces, les lancers étant indépendants. Pour tout $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $X_i$ le résultat du $i$-ème lancer, et l'on pose

$$\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}$$

1. Déterminer $E(X_1)$ et $V(X_1)$ en détaillant les calculs.

2. Énoncer la loi faible des grands nombres, vérifier que ses hypothèses sont satisfaites ici, et écrire ce qu'elle affirme pour $\overline{X_n}$.

3. Majorer $P(\mid \overline{X_n}-\mathrm{3,5}\mid ⩾\mathrm{0,1})$, d'abord pour $n$ quelconque, puis pour $n=1000$.

4. On note désormais $F_n$ la fréquence d'apparition du $6$ au cours des $n$ lancers, c'est-à-dire le nombre de $6$ obtenus divisé par $n$. Justifier que $n{F}_n$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres, puis en déduire $E(F_n)$ et $V(F_n)$.

5. Majorer $P(\mid F_n-{\displaystyle \frac{1}{6}}\mid ⩾\mathrm{0,01})$ pour $n=10000$.

6. Un joueur observe que le $6$ n'est pas encore sorti après vingt lancers et en déduit qu'il « va bien finir par sortir plus souvent pour rattraper le retard ». Conclure sur ce que garantit, et sur ce que ne garantit pas, la loi faible des grands nombres.

On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ et $\mathrm{\Phi }$ sa fonction de répartition, définie par $\mathrm{\Phi }(x)=P(Z⩽x)$. On dispose de l'extrait de table suivant, dans lequel toutes les valeurs ne servent pas nécessairement.

1. Déterminer, à l'aide de la table :

   a. $P(Z⩽\mathrm{1,23})$

   b. $P(Z⩾\mathrm{1,5})$

2. Démontrer que, pour tout réel $x$, $\mathrm{\Phi }(-x)=1-\mathrm{\Phi }(x)$, en s'appuyant sur la parité de la densité de $\mathcal{N}(0,1)$.

3. En déduire :

   a. $P(Z⩽-1)$

   b. $P(-1⩽Z⩽2)$

4. Déterminer le réel $u>0$ tel que $P(\mid Z\mid ⩽u)=\mathrm{0,95}$.

5. Soit maintenant $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{N}(20,25)$. Préciser son écart-type, écrire la variable centrée réduite associée, puis calculer $P(X⩽30)$ et $P(15⩽X⩽30)$.

6. Déterminer le réel $t$ tel que $P(X⩽t)=\mathrm{0,9938}$.

Un atelier prépare des commandes à l'unité. La durée de préparation d'une commande, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire $X$ dont on connaît seulement

$$m=E(X)=2\text{et}\sigma =\sqrt{V(X)}=\mathrm{0,5}$$

Les durées de préparation des différentes commandes sont indépendantes et suivent toutes la même loi que $X$. Pour $n$ commandes, on note $S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ la durée totale de préparation. L'atelier traite aujourd'hui $100$ commandes.

On donne $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,645})\approx \mathrm{0,9500}$, $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,96})\approx \mathrm{0,9750}$ et $\mathrm{\Phi }(2)\approx \mathrm{0,9772}$, où $\mathrm{\Phi }$ désigne la fonction de répartition de la loi $\mathcal{N}(0,1)$.

1. Calculer $E(S_{100})$ et $V(S_{100})$, en précisant les propriétés utilisées, puis en déduire l'écart-type de $S_{100}$.

2. Énoncer le théorème limite central et écrire la variable centrée réduite associée à $S_{100}$.

3. Donner une valeur approchée de $P(S_{100}⩽210)$.

4. Donner une valeur approchée de $P(190⩽S_{100}⩽210)$.

5. Déterminer une durée $t$ telle que $P(S_{100}⩽t)\approx \mathrm{0,95}$, et l'interpréter pour le responsable de l'atelier.

6. Expliquer pourquoi les résultats des questions 3. à 5. ne sont qu'approchés, et préciser ce que l'on ne sait pas de la loi de $X$.

Soit $(X_1,\dots ,X_n)$ un échantillon d'une loi d'espérance $m$ inconnue et de variance ${\sigma }^2$ connue, avec ${\sigma }^2>0$ et $n⩾2$. Les variables $X_1,\dots ,X_n$ sont donc indépendantes et de même loi que $X$, et l'on cherche à estimer le paramètre $m$. On considère pour cela les cinq statistiques suivantes.

1. Rappeler la définition du biais d'un estimateur $T$ du paramètre $m$, ainsi que le sens des expressions « estimateur sans biais » et « estimateur asymptotiquement sans biais ».

2. Calculer l'espérance et le biais de chacun des cinq estimateurs.

3. Préciser lesquels sont sans biais, lequel est asymptotiquement sans biais sans être sans biais, et lequel doit être écarté.

4. Calculer $V(T_1)$, $V(T_2)$ et $V(T_3)$, puis comparer les trois estimateurs sans biais.

5. Conclure sur la démarche à suivre pour choisir un estimateur, et donner une condition simple portant sur les coefficients $a_1,\dots ,a_n$ pour que $T=a_1{X}_1+\cdots +a_n{X}_n$ soit un estimateur sans biais de $m$.

Soit $(X_1,\dots ,X_n)$ un échantillon d'une loi d'espérance $m$ et de variance ${\sigma }^2$, avec $\sigma >0$. Les variables $X_1,\dots ,X_n$ sont donc indépendantes et de même loi que $X$. On note

$$\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}$$

la moyenne empirique de l'échantillon.

1. Démontrer que $E\left(\overline{X_n}\right)=m$, en citant la propriété utilisée.

2. Démontrer que $V\left(\overline{X_n}\right)={\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}$, en précisant exactement à quel endroit du calcul l'indépendance des variables intervient.

3. En déduire l'écart-type de $\overline{X_n}$. Combien d'observations faut-il pour diviser cet écart-type par $2$ ?

4. Application numérique avec $\sigma =3$ : déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel l'écart-type de $\overline{X_n}$ est strictement inférieur à $\mathrm{0,1}$. On donne $\sqrt{901}\approx \mathrm{30,017}$.

5. Montrer que $\overline{X_n}$ est un estimateur sans biais et convergent de $m$, en appliquant le critère du cours.

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes les unes des autres. Dans chacune d'elles, $n$ désigne un entier naturel non nul. On rappelle la définition du cours : une suite $(T_n)$ de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire $T$ lorsque

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{F}_{T_n}(x)=F_T(x)\text{en tout point }x\text{ o}\grave{\text{u}}{F}_T\text{ est continue}$$

Partie A. Une exponentielle translatée. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{E}(1)$. Pour tout $n⩾1$, on pose $X_n=X+{\displaystyle \frac{1}{n}}$.

1. Rappeler la fonction de répartition $F_X$ de $X$, puis déterminer $F_{X_n}(x)$ pour tout réel $x$.

2. Montrer que pour tout réel $x$, $F_{X_n}(x)$ tend vers $F_X(x)$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Conclure.

Partie B. Pourquoi la définition ne retient que les points de continuité. Pour tout $n⩾1$, soit $Y_n$ la variable certaine égale à ${\displaystyle \frac{1}{n}}$, c'est-à-dire telle que $P(Y_n={\displaystyle \frac{1}{n}})=1$, et soit $Y$ la variable certaine égale à $0$.

3. Déterminer les fonctions de répartition $F_{Y_n}$ et $F_Y$.

4. Calculer $F_{Y_n}(0)$ pour tout $n⩾1$, ainsi que $F_Y(0)$. La suite $(F_{Y_n}(0))$ converge-t-elle vers $F_Y(0)$ ?

5. Montrer que pour tout réel $x\mathrm{\ne }0$, $F_{Y_n}(x)$ tend vers $F_Y(x)$. Déterminer l'ensemble des points de continuité de $F_Y$, conclure que $(Y_n)$ converge en loi vers $Y$, et expliquer pourquoi la définition doit exclure le point $0$.

Partie C. Des lois uniformes sur un intervalle qui se rétracte. Pour tout $n⩾1$, soit $Z_n$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{U}\left([0,1+{\displaystyle \frac{1}{n}}]\right)$, et soit $Z$ une variable suivant la loi $\mathcal{U}\left([0,1]\right)$.

6. Déterminer $F_{Z_n}(x)$ pour tout réel $x$.

7. Étudier la limite de $F_{Z_n}(x)$ en distinguant les cas $x<0$, $0⩽x⩽1$ et $x>1$. Conclure.

Pour tout entier $n⩾1$, soit $U_n$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. On pose

$$Y_n={\displaystyle \frac{U_n}{n}}$$

On rappelle les deux sommes usuelles, valables pour tout entier $n⩾1$ :

$$\sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\text{et}\sum _{k=1}^n{k}^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$

ainsi que la définition de la partie entière : pour tout réel $t$, $\lfloor t\rfloor$ est l'unique entier vérifiant $\lfloor t\rfloor ⩽t<\lfloor t\rfloor +1$.

1. Donner $U_n(\mathrm{\Omega })$ et la loi de $U_n$.

2. Démontrer que $E(U_n)={\displaystyle \frac{n+1}{2}}$ et $V(U_n)={\displaystyle \frac{n^2-1}{12}}$.

3. Déterminer $Y_n(\mathrm{\Omega })$, calculer $E(Y_n)$ et $V(Y_n)$, puis leurs limites quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Comparer avec l'espérance et la variance de la loi $\mathcal{U}\left([0,1]\right)$.

4. Soit $x\in ]0,1[$. En comptant les entiers $k$ de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ tels que $k⩽nx$, démontrer que

$$F_{Y_n}(x)={\displaystyle \frac{\lfloor nx\rfloor }{n}}$$

5. Établir l'encadrement $nx-1<\lfloor nx\rfloor ⩽nx$, puis en déduire la limite de $F_{Y_n}(x)$ pour $x\in ]0,1[$.

6. Déterminer $F_{Y_n}(x)$ et sa limite dans les cas $x⩽0$ et $x⩾1$.

7. Conclure que $(Y_n)$ converge en loi vers la loi $\mathcal{U}\left([0,1]\right)$. Commenter le fait qu'une suite de lois discrètes puisse avoir pour limite une loi à densité.

Soit $\lambda >0$ un réel fixé. Pour tout entier $n>\lambda$, on note $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{B}(n,{\displaystyle \frac{\lambda }{n}})$.

Partie A. Le résultat général.

1. Vérifier que ${\displaystyle \frac{\lambda }{n}}\in ]0,1[$, puis calculer $E(X_n)$ et $V(X_n)$. Donner la limite de $V(X_n)$.

2. Soit $k\in \mathbb{N}$ fixé. Écrire $P(X_n=k)$ pour tout entier $n>\max (\lambda ,k)$.

3. Démontrer que ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right){\left({\displaystyle \frac{\lambda }{n}}\right)}^k}$ tend vers ${\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, en isolant le produit des $k$ facteurs $n-i$.

4. Démontrer, par passage au logarithme, que ${(1-{\displaystyle \frac{\lambda }{n}})}^{n-k}$ tend vers ${\mathrm{e}}^{-\lambda }$.

5. En déduire la limite de $P(X_n=k)$, puis conclure à l'aide du critère de convergence en loi des variables aléatoires à valeurs entières.

Partie B. Application numérique. Une chaîne produit $n=500$ pièces. Chaque pièce, indépendamment des autres, est défectueuse avec la probabilité $p=\mathrm{0,004}$. On note $X$ le nombre de pièces défectueuses produites. On donne

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{500}{2}\right)=124750,{\mathrm{0,996}}^{498}\approx \mathrm{0,135878},{\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{0,1353353}$$

6. Donner la loi exacte de $X$ et calculer $P(X=2)$ à ${10}^{-4}$ près. Calculer ensuite la valeur approchée de $P(X=2)$ fournie par la loi de Poisson de paramètre $\lambda =np$.

7. Commenter l'écart obtenu, et énoncer les conditions usuelles de validité de cette approximation en vérifiant qu'elles sont remplies ici.

Un questionnaire comporte $400$ questions indépendantes, chacune proposant quatre réponses dont une seule est correcte. Un candidat répond complètement au hasard à chaque question. On note $X$ le nombre de réponses correctes, de sorte que

$$X\hookrightarrow \mathcal{B}(400,\mathrm{0,25})$$

On note $\mathrm{\Phi }$ la fonction de répartition de la loi $\mathcal{N}(0,1)$ et l'on dispose des données suivantes, dont toutes ne servent pas nécessairement :

$$\sqrt{75}\approx \mathrm{8,660}\text{et}\sqrt{\mathrm{0,7984}}\approx \mathrm{0,894}$$

1. Calculer $E(X)$ et $V(X)$, puis l'écart-type de $X$.

2. Écrire $X$ comme somme de $400$ variables de Bernoulli indépendantes, énoncer le théorème limite central et l'appliquer à cette somme. Vérifier les trois conditions usuelles $n⩾30$, $np⩾5$ et $n(1-p)⩾5$, puis préciser la loi normale qui approche celle de $X$.

3. Donner une valeur approchée de $P(X⩽110)$.

4. Donner une valeur approchée de $P(90⩽X⩽110)$.

5. Déterminer un réel $a$ tel que $P(X⩽a)\approx \mathrm{0,99}$, puis le plus petit entier convenable.

6. Les valeurs exactes, obtenues par un calcul machine sur la loi binomiale, sont

$$P(X⩽110)\approx \mathrm{0,8865},P(90⩽X⩽110)\approx \mathrm{0,7748},P(X⩽120)\approx \mathrm{0,9900}$$

Comparer avec les résultats des questions 3., 4. et 5., et commenter le caractère approché de la méthode.

7. Expliquer pourquoi cette approximation serait mauvaise pour une variable de loi $\mathcal{B}(400,\mathrm{0,002})$, et indiquer ce qu'il faudrait utiliser à la place.

Dans une population très nombreuse, une proportion inconnue $p\in [0,1]$ des habitants approuve une mesure. Un institut interroge $n$ personnes tirées au hasard avec remise, et note $F_n$ la fréquence des personnes approuvant la mesure dans l'échantillon obtenu. Toute la question est de choisir $n$ pour que $F_n$ soit une estimation fiable de $p$.

On donne $u_{\mathrm{0,05}}\approx \mathrm{1,96}$ et ${\mathrm{1,96}}^2=\mathrm{3,8416}$.

1. Justifier que $n{F}_n$ suit la loi $\mathcal{B}(n,p)$.

2. En déduire $E(F_n)$ et $V(F_n)$, et commenter chacun des deux résultats.

3. Démontrer que $p(1-p)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$ pour tout $p\in [0,1]$, en précisant le cas d'égalité. En déduire une majoration de $V(F_n)$ ne dépendant plus de $p$.

4. Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, puis l'appliquer pour montrer que

$$P(\mid F_n-p\mid ⩾\mathrm{0,02})⩽{\displaystyle \frac{625}{n}}$$

5. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel cette majoration garantit $P(\mid F_n-p\mid <\mathrm{0,02})⩾\mathrm{0,95}$.

6. Reprendre la question précédente avec une précision de $\mathrm{0,01}$ au lieu de $\mathrm{0,02}$, puis commenter la dépendance de la taille d'échantillon en ${\displaystyle \frac{1}{{\epsilon }^2}}$.

7. Traduire le résultat de la question 5. en termes d'intervalle de confiance. Commenter le coût réel d'un tel sondage, sachant que les instituts interrogent en pratique environ $1000$ personnes, et insister sur le fait que la garantie obtenue vaut quel que soit $p$, sans aucune hypothèse.

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes les unes des autres. Dans chacune d'elles, $n$ désigne un entier naturel non nul.

Partie A. Une exponentielle de paramètre croissant. Pour tout $n⩾1$, soit $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{E}(n)$.

1. Rappeler la fonction de répartition de $X_n$, puis calculer $P(X_n⩾\epsilon )$ pour tout réel $\epsilon >0$.

2. En déduire que $(X_n)$ converge en probabilité vers $0$. Retrouver ce résultat à l'aide du critère du cours portant sur l'espérance et la variance.

Partie B. Le maximum d'un échantillon uniforme. Soit $\theta >0$. Pour tout $n⩾1$, soit $(U_1,\dots ,U_n)$ un échantillon de la loi $\mathcal{U}\left([0,\theta ]\right)$, c'est-à-dire $n$ variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes cette loi. On pose

$$M_n=\max (U_1,\dots ,U_n)$$

3. Déterminer la fonction de répartition de $M_n$, en justifiant précisément le passage par l'indépendance.

4. Montrer que pour tout $\epsilon \in ]0,\theta [$,

$$P(\mid M_n-\theta \mid ⩾\epsilon )={(1-{\displaystyle \frac{\epsilon }{\theta }})}^n$$

5. Conclure que $(M_n)$ converge en probabilité vers $\theta$, sans oublier le cas $\epsilon ⩾\theta$.

Partie C. La moyenne empirique. Soit $(X_1,\dots ,X_n)$ un échantillon d'une loi admettant une espérance $m$ et une variance ${\sigma }^2$. On pose $\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}$.

6. Calculer $E\left(\overline{X_n}\right)$ et $V\left(\overline{X_n}\right)$, puis démontrer avec le critère du cours que $\overline{X_n}$ converge en probabilité vers $m$. Comment s'appelle ce résultat ?

7. En déduire, par composition, les limites en probabilité des suites $\left({\left(\overline{X_n}\right)}^2\right)$ et $\left({\mathrm{e}}^{\overline{X_n}}\right)$.

Un exploitant gère un parc de distributeurs automatiques de boissons. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $X_i$ le nombre de pannes constatées sur le parc lors du $i$-ième jour d'observation. On admet que les variables $X_1,\dots ,X_n$ sont mutuellement indépendantes et suivent toutes la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda )$, où le paramètre $\lambda >0$ est inconnu : c'est lui que l'exploitant cherche à estimer. On suppose $n⩾2$ et l'on pose

$$\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i\text{et}{V}_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X_n})}^2$$

1. Rappeler $E\left(X_1\right)$ et $V\left(X_1\right)$.

2. Montrer que $T_n=\overline{X_n}$ est un estimateur sans biais de $\lambda$.

3. Calculer $V\left(T_n\right)$, puis démontrer que la suite d'estimateurs $\left(T_n\right)$ est convergente.

4. Sur $n=30$ jours d'observation, l'exploitant a relevé $54$ pannes au total. Donner l'estimation ponctuelle de $\lambda$ qui en découle.

5. On pose $T_n^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{X_1+X_2}{2}}$. Montrer que $T_n^{\mathrm{\prime }}$ est lui aussi un estimateur sans biais de $\lambda$, calculer sa variance et la comparer à celle de $T_n$. Lequel des deux faut-il préférer ? La suite $\left(T_n^{\mathrm{\prime }}\right)$ est-elle convergente ?

6. Puisque $V\left(X_1\right)=\lambda$, la variance empirique $V_n$ fournit un second estimateur de $\lambda$. Calculer $E\left(V_n\right)$ et le biais $b_{\lambda }\left(V_n\right)$. Cet estimateur est-il sans biais ? asymptotiquement sans biais ? Expliquer pourquoi on lui préfère malgré tout $\overline{X_n}$.

Le standard téléphonique d'une entreprise reçoit des appels tout au long de la journée. On modélise la durée, en minutes, séparant deux appels consécutifs par une variable aléatoire de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda )$, où $\lambda >0$ est inconnu. On dispose d'un échantillon $(X_1,\dots ,X_n)$ de cette loi : les variables $X_1,\dots ,X_n$ sont mutuellement indépendantes et suivent toutes la loi $\mathcal{E}(\lambda )$. On pose

$$\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

On donne ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,25}}\approx \mathrm{0,2865}$.

1. Rappeler $E\left(X_1\right)$ et $V\left(X_1\right)$.

2. Montrer que $\overline{X_n}$ est un estimateur sans biais et convergent de ${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$.

3. Le standard a enregistré $n=50$ intervalles de temps, de somme totale $200$ minutes. Estimer ${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$, puis $\lambda$.

4. Justifier que ${\displaystyle \frac{1}{\overline{X_n}}}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{\mathcal{P}}{\to }}\lambda$. On précisera pourquoi l'on peut se placer au voisinage de ${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}>0$.

5. Peut-on en conclure que ${\displaystyle \frac{1}{\overline{X_n}}}$ est un estimateur sans biais de $\lambda$ ? Que sait-on tout de même de cet estimateur ?

6. Établir que $P(X_1>5)={\mathrm{e}}^{-5\lambda }$, puis construire, à partir de la loi faible des grands nombres, un estimateur sans biais et convergent de cette probabilité.

7. Proposer un second estimateur convergent de $P(X_1>5)$ obtenu par composition, et donner l'estimation numérique correspondante avec les données de la question 3.

Soit $n⩾2$ et soit $(X_1,\dots ,X_n)$ un échantillon d'une loi admettant une espérance $m$ et une variance ${\sigma }^2$ : les variables $X_1,\dots ,X_n$ sont mutuellement indépendantes et suivent toutes cette même loi. On pose

$$\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i,V_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X_n})}^2,S_n^2={\displaystyle \frac{1}{n-1}}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X_n})}^2$$

L'objet de l'exercice est de comprendre d'où vient le dénominateur $n-1$ de la variance empirique corrigée.

1. Établir l'identité

$$\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X_n})}^2=\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\left(\overline{X_n}\right)}^2$$

2. Calculer $E\left(X_i^2\right)$ pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, puis $E\left({\left(\overline{X_n}\right)}^2\right)$, en utilisant la formule de König-Huygens.

3. En déduire que $E\left(V_n\right)={\displaystyle \frac{n-1}{n}}{\sigma }^2$.

4. L'estimateur $V_n$ de ${\sigma }^2$ est-il sans biais ? Calculer son biais $b_{{\sigma }^2}\left(V_n\right)$ et vérifier qu'il est asymptotiquement sans biais.

5. Montrer que $S_n^2={\displaystyle \frac{n}{n-1}}{V}_n$, puis que $S_n^2$ est un estimateur sans biais de ${\sigma }^2$.

6. Application numérique. On observe l'échantillon de taille $5$ suivant :

   $i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
   $x_i$	$12$	$15$	$11$	$14$	$13$

   Calculer la moyenne observée $\overline{x_5}$, puis les valeurs observées $v_5$ et $s_5^2$ de $V_5$ et de $S_5^2$. Commenter l'écart entre les deux.

7. Pour comprendre l'origine du $n-1$ : montrer que pour tous réels $x_1,\dots ,x_n$, de moyenne $\overline{x_n}$, et pour tout réel $t$,

$$\sum _{i=1}^n{(x_i-t)}^2=\sum _{i=1}^n{(x_i-\overline{x_n})}^2+n{(\overline{x_n}-t)}^2$$

En déduire une inégalité entre ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{(x_i-\overline{x_n})}^2}$ et ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{(x_i-m)}^2}$, puis interpréter.

Un semencier veut connaître le taux de germination d'un lot de graines. Il en met $n=1000$ en culture dans des conditions identiques. Chaque graine germe avec la même probabilité $p$, inconnue, indépendamment des autres. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,1000]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $X_i$ la variable valant $1$ si la $i$-ième graine germe et $0$ sinon, et l'on pose

$$F_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

la fréquence de germination observée. À l'issue de l'essai, $860$ graines ont germé.

On donne $u_{\mathrm{0,05}}\approx \mathrm{1,96}$, $u_{\mathrm{0,01}}\approx \mathrm{2,576}$ et $\sqrt{\mathrm{1,204}}\approx \mathrm{1,0973}$.

1. Préciser la loi de $X_1$, puis justifier que $E\left(F_n\right)=p$ et $V\left(F_n\right)={\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}$.

2. Énoncer le théorème limite central pour cet échantillon et écrire la variable centrée réduite $Z_n$ associée à $F_n$.

3. En déduire un intervalle de confiance asymptotique de $p$ au niveau de confiance $1-\alpha$. On remplacera $p(1-p)$ par son estimation $F_n(1-F_n)$, procédé admis en cours.

4. Faire l'application numérique au niveau $\mathrm{0,95}$ et donner l'intervalle arrondi à ${10}^{-3}$.

5. Reprendre au niveau $\mathrm{0,99}$ et comparer les largeurs des deux intervalles.

6. Rédiger la phrase d'interprétation correcte de l'intervalle obtenu à la question 4., en précisant ce qui est aléatoire, et signaler l'interprétation fautive à éviter.

7. De combien de graines le semencier aurait-il besoin pour obtenir, au niveau $\mathrm{0,95}$, une demi-largeur de $\mathrm{0,01}$, la fréquence observée restant égale à $\mathrm{0,86}$ ?

Une entreprise de services demande à ses clients de noter la prestation reçue. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $X_i$ la note attribuée par le $i$-ième client interrogé. Les variables $X_1,\dots ,X_n$ sont mutuellement indépendantes et suivent toutes la même loi, d'espérance $m$ inconnue et d'écart-type connu $\sigma =2$. On pose

$$\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

L'entreprise a recueilli $n=400$ notes, dont la moyenne observée est $\mathrm{7,3}$.

On donne $\sqrt{5}\approx \mathrm{2,236}$ et $u_{\mathrm{0,05}}\approx \mathrm{1,96}$.

1. Donner $E\left(\overline{X_n}\right)$ et $V\left(\overline{X_n}\right)$, puis appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $\overline{X_n}$ pour majorer $P(\mid \overline{X_n}-m\mid ⩾t)$, où $t>0$.

2. Soit $\alpha \in ]0,1[$. Déterminer la plus petite valeur de $t$ pour laquelle la majoration précédente est inférieure ou égale à $\alpha$, et en déduire un intervalle de confiance de $m$ au niveau de confiance $1-\alpha$.

3. Application numérique au niveau $\mathrm{0,95}$ : donner l'intervalle obtenu, arrondi à ${10}^{-2}$.

4. Construire, à partir du théorème limite central, l'intervalle de confiance asymptotique de $m$ au même niveau, et faire l'application numérique.

5. Comparer les deux demi-largeurs. Montrer que leur rapport ne dépend ni de $n$ ni de $\sigma$, et le calculer.

6. Expliquer ce que l'on gagne et ce que l'on perd en passant du premier intervalle au second.

7. Déterminer, avec chacune des deux méthodes, la taille d'échantillon assurant une demi-largeur de $\mathrm{0,1}$ au niveau $\mathrm{0,95}$.

Partie A. Démonstration du critère.

Soit $\theta$ un réel et soit $\left(T_n\right)$ une suite d'estimateurs de $\theta$, chaque $T_n$ admettant une espérance et une variance. On note $b_{\theta }\left(T_n\right)=E\left(T_n\right)-\theta$ le biais de $T_n$. On suppose que

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }E\left(T_n\right)=\theta \text{et}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }V\left(T_n\right)=0$$

1. Soit $\epsilon >0$. Justifier l'existence d'un entier $N$ tel que, pour tout $n⩾N$, $\mid b_{\theta }\left(T_n\right)\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$. En utilisant l'inégalité triangulaire sous la forme $\mid T_n-\theta \mid ⩽\mid T_n-E\left(T_n\right)\mid +\mid b_{\theta }\left(T_n\right)\mid$, démontrer que pour tout $n⩾N$, on a l'inclusion d'événements

$$(\mid T_n-\theta \mid ⩾\epsilon )\subset (\mid T_n-E\left(T_n\right)\mid ⩾{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}})$$

2. En déduire, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que la suite $\left(T_n\right)$ est convergente.

Partie B. Applications.

On considère trois suites d'estimateurs d'un même paramètre $\theta$, dont on donne l'espérance et la variance :

On donne ${\mathrm{e}}^{-1\mathrm{/}2}\approx \mathrm{0,6065}$ et ${\mathrm{e}}^{-3\mathrm{/}2}\approx \mathrm{0,2231}$.

3. La suite $\left(T_n\right)$ est-elle sans biais ? asymptotiquement sans biais ? convergente ?

4. Mêmes questions pour la suite $\left(U_n\right)$.

5. Mêmes questions pour la suite $\left(W_n\right)$, avec $\theta \mathrm{\ne }0$. On expliquera pourquoi le critère de la partie A ne permet pas de conclure sur la convergence, et pourquoi cela ne prouve pas à soi seul que la suite n'est pas convergente.

6. On suppose maintenant $\theta >0$ et l'on pose $W_n=X_1$ pour tout $n$, où $X_1\hookrightarrow \mathcal{E}\left({\displaystyle \frac{1}{\theta }}\right)$. Vérifier que cet exemple est bien conforme au tableau, puis calculer $P(\mid W_n-\theta \mid ⩾{\displaystyle \frac{\theta }{2}})$ et conclure.

Soit $\lambda >0$ et soit $(X_1,\dots ,X_n)$ un échantillon de la loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda )$ : les variables $X_1,\dots ,X_n$ sont mutuellement indépendantes et suivent toutes la loi $\mathcal{E}(\lambda )$. On pose

$$m_n=\min (X_1,\dots ,X_n)$$

On donne ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}}\approx \mathrm{0,9048}$ et ${\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{0,1353}$.

1. Rappeler la fonction de répartition $F_{X_1}$.

2. Déterminer $F_{m_n}(x)$ pour tout réel $x$, en passant par l'événement contraire. On justifiera l'usage de l'indépendance.

3. Reconnaître la loi de $m_n$, puis donner $E\left(m_n\right)$ et $V\left(m_n\right)$.

4. Démontrer, en revenant à la définition, que $m_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{\mathcal{P}}{\to }}0$.

5. Retrouver ce résultat à l'aide du critère du cours.

6. Montrer que, pour tout $n⩾1$, la variable $n{m}_n$ suit exactement la loi $\mathcal{E}(\lambda )$. En déduire la convergence en loi de la suite $\left(n{m}_n\right)$.

7. Interpréter en une phrase les résultats des questions 4. et 6.

8. Application. Un système est constitué de $n$ composants identiques montés en série : il tombe en panne dès que l'un des composants tombe en panne. Les durées de vie des composants, exprimées en heures, sont mutuellement indépendantes et suivent la loi $\mathcal{E}(\lambda )$ avec $\lambda =\mathrm{0,01}$. Calculer la durée de vie moyenne d'un composant, puis celle du système pour $n=20$. Comparer $P(X_1>10)$ et $P(m_{20}>10)$, et commenter.

Soit $(X_i{)}_{i⩾1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi, admettant une espérance $m$ et une variance ${\sigma }^2$. Pour tout entier $n⩾1$, on pose $\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}$.

Partie A. La démonstration.

1. Calculer $E\left(\overline{X_n}\right)$ et $V\left(\overline{X_n}\right)$. Préciser à quel endroit exactement l'hypothèse d'indépendance intervient, et à quel endroit elle ne sert pas.

2. Soit $\epsilon >0$. Après en avoir vérifié les hypothèses, appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $\overline{X_n}$.

3. En déduire la loi faible des grands nombres : $\overline{X_n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{\mathcal{P}}{\to }}m$.

4. Où l'hypothèse « $X_1$ admet une variance » a-t-elle servi ? Que peut-on encore affirmer, avec les outils du cours, si l'on sait seulement que $X_1$ admet une espérance ?

Partie B. Le cas de Bernoulli. Les $X_i$ suivent maintenant la loi $\mathcal{B}(p)$ avec $p\in ]0,1[$, et $F_n=\overline{X_n}$ désigne la fréquence empirique des succès.

5. Montrer que $F_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{\mathcal{P}}{\to }}p$.

6. Montrer que $p(1-p)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$, puis en déduire une majoration de $P(\mid F_n-p\mid ⩾\epsilon )$ qui ne dépende pas de $p$.

7. On lance $n$ fois une pièce équilibrée. Déterminer, à l'aide de la question 6., un nombre de lancers garantissant $P(\mid F_n-\mathrm{0,5}\mid <\mathrm{0,01})⩾\mathrm{0,99}$.

Partie C. Ce que la moyenne apporte. On garde la pièce équilibrée, mais on pose cette fois $Y_n=X_1$ pour tout $n⩾1$ : la variable observée ne dépend plus de $n$.

8. Calculer $P(\mid Y_n-\mathrm{0,5}\mid ⩾{\displaystyle \frac{1}{4}})$ et en déduire que $(Y_n)$ ne converge pas en probabilité vers $\mathrm{0,5}$.

9. Conclure en une phrase sur ce que la loi faible des grands nombres affirme réellement.

Soit $\lambda >0$ un réel fixé. Pour tout entier $n>\lambda$, on considère une variable aléatoire $T_n$ suivant la loi géométrique $\mathcal{G}\left({\displaystyle \frac{\lambda }{n}}\right)$, à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$ : $T_n$ est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes, de probabilité de succès ${\displaystyle \frac{\lambda }{n}}$. On pose

$$Y_n={\displaystyle \frac{T_n}{n}}$$

1. Justifier que la condition $n>\lambda$ rend le paramètre ${\displaystyle \frac{\lambda }{n}}$ admissible, puis établir que pour tout $k\in \mathbb{N}$,

$$P(T_n>k)={(1-{\displaystyle \frac{\lambda }{n}})}^k$$

2. Calculer $E(Y_n)$ et $V(Y_n)$. Déterminer leurs limites et les comparer à l'espérance et à la variance de la loi $\mathcal{E}(\lambda )$.

3. Soit $x>0$. Montrer que $P(Y_n>x)={(1-{\displaystyle \frac{\lambda }{n}})}^{\lfloor nx\rfloor }$, où $\lfloor \cdot \rfloor$ désigne la partie entière.

4. À l'aide de l'encadrement $nx-1<\lfloor nx\rfloor ⩽nx$ et d'un passage au logarithme, démontrer que $P(Y_n>x)⟶{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$.

5. En déduire que $(Y_n)$ converge en loi vers une variable suivant la loi $\mathcal{E}(\lambda )$ : ne pas oublier le cas $x⩽0$.

6. Interpréter le résultat en termes de temps d'attente mesuré à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{n}}$.

7. Vérifier que la loi $\mathcal{G}(p)$ et la loi $\mathcal{E}(\lambda )$ sont toutes deux sans mémoire, et dire en quoi cela éclaire la convergence obtenue.

8. Application. Un serveur envoie une requête toutes les millisecondes ; chaque requête échoue avec la probabilité $\mathrm{0,002}$, indépendamment des autres. Estimer la probabilité que la première panne survienne après $3$ secondes. On donne ${\mathrm{e}}^{-6}\approx \mathrm{0,00248}$.

Une machine produit des pièces dont la longueur, en millimètres, est modélisée par une variable de loi $\mathcal{U}\left([0,\theta ]\right)$, où $\theta >0$ est inconnu et doit être estimé. On dispose d'un échantillon $(X_1,\dots ,X_n)$ de cette loi, c'est-à-dire de $n$ variables indépendantes de même loi $\mathcal{U}\left([0,\theta ]\right)$, et l'on pose

$$M_n=\max (X_1,\dots ,X_n)$$

1. Rappeler la fonction de répartition $F_{X_1}$ de la loi $\mathcal{U}\left([0,\theta ]\right)$.

2. Déterminer $F_{M_n}$ en justifiant précisément l'usage de l'indépendance, puis en déduire une densité de $M_n$.

3. Calculer $E(M_n)$ et $E\left(M_n^2\right)$, puis en déduire $V(M_n)$.

4. Le statisticien propose d'estimer $\theta$ par $M_n$. Calculer le biais $b_{\theta }(M_n)$ et déterminer son signe. L'estimateur $M_n$ est-il sans biais ? Asymptotiquement sans biais ?

5. On pose $T_n={\displaystyle \frac{n+1}{n}}{M}_n$. Montrer que $T_n$ est un estimateur sans biais de $\theta$ et calculer $V(T_n)$.

6. Montrer que $(T_n{)}_{n⩾1}$ est une suite convergente d'estimateurs de $\theta$.

7. Expliquer, sans calcul, pourquoi $M_n$ sous-estime systématiquement $\theta$, et pourquoi le facteur ${\displaystyle \frac{n+1}{n}}$ corrige exactement ce défaut.

8. Application. Sur $n=10$ pièces, la plus longue mesure $\mathrm{8,4}$ mm. Donner les estimations de $\theta$ fournies par $M_{10}$ puis par $T_{10}$, et dire laquelle on retient.

Soit $\theta >0$ un réel inconnu et $(X_1,\dots ,X_n)$ un échantillon de la loi $\mathcal{U}\left([0,\theta ]\right)$, c'est-à-dire $n$ variables indépendantes de même loi $\mathcal{U}\left([0,\theta ]\right)$. On note

$$\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i\text{et}{M}_n=\max (X_1,\dots ,X_n)$$

Deux statisticiens proposent deux estimateurs concurrents de $\theta$ :

$$A_n=2\overline{X_n}\text{et}{B}_n={\displaystyle \frac{n+1}{n}}{M}_n$$

On admet les deux résultats suivants, établis dans l'exercice précédent :

$$E(M_n)={\displaystyle \frac{n}{n+1}}\theta \text{et}V(M_n)={\displaystyle \frac{n{\theta }^2}{(n+1{)}^2(n+2)}}$$

1. Rappeler l'espérance et la variance d'une variable de loi $\mathcal{U}\left([0,\theta ]\right)$.

2. Montrer que $A_n$ est un estimateur sans biais de $\theta$ et établir que $V(A_n)={\displaystyle \frac{{\theta }^2}{3n}}$.

3. Montrer que $B_n$ est un estimateur sans biais de $\theta$ et établir que $V(B_n)={\displaystyle \frac{{\theta }^2}{n(n+2)}}$.

4. Calculer le rapport ${\displaystyle \frac{V(A_n)}{V(B_n)}}$ et déterminer, selon les valeurs de $n$, lequel des deux estimateurs est préférable.

5. Montrer que les deux suites $(A_n)$ et $(B_n)$ sont des suites convergentes d'estimateurs de $\theta$, et comparer leurs vitesses.

6. Application. Un échantillon de taille $n=12$ donne $\overline{x_{12}}=\mathrm{3,9}$ et $m_{12}=\mathrm{7,6}$. Calculer les deux estimations de $\theta$ et dire celle que l'on retient.

7. L'estimateur $B_n$ ne repose que sur une seule observation, alors que $A_n$ utilise les $n$ observations. Commenter en une phrase le fait qu'il soit pourtant meilleur.

On souhaite calculer une valeur approchée de

$$I={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$$

dont aucune primitive ne s'exprime à l'aide des fonctions usuelles. L'idée de la méthode de Monte-Carlo est de voir $I$ comme une espérance, puis d'estimer cette espérance par une moyenne. Soit $(U_1,\dots ,U_n)$ un échantillon de la loi $\mathcal{U}\left([0,1]\right)$ et, pour tout $i$, $Y_i={\mathrm{e}}^{-U_i^2}$. On rappelle $u_{\mathrm{0,05}}\approx \mathrm{1,96}$.

1. Justifier par le théorème de transfert que $Y_1$ admet une espérance et que $E(Y_1)=I$.

2. Montrer que $Y_1$ prend ses valeurs dans $[0,1]$ et en déduire que $Y_1$ admet une variance.

3. Soit $Y$ une variable admettant une variance et à valeurs dans un segment $[a,b]$. Montrer que

$$V(Y)⩽E\left({(Y-{\displaystyle \frac{a+b}{2}})}^2\right)⩽{\displaystyle \frac{(b-a{)}^2}{4}}$$

En déduire que $V(Y_1)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$.

4. Montrer que $\overline{Y_n}$ est un estimateur sans biais et convergent de $I$.

5. À l'aide du théorème limite central, puis en majorant l'écart-type de $Y_1$, construire un intervalle de confiance asymptotique de $I$ au niveau de confiance $\mathrm{0,95}$ ne dépendant que de $n$ et de $\overline{Y_n}$.

6. Application. Une simulation de $n=10000$ tirages donne $\overline{y_n}=\mathrm{0,7462}$. Donner l'intervalle obtenu. On donne, à titre de comparaison, la valeur de référence $I\approx \mathrm{0,7468}$.

7. Déterminer le nombre de tirages nécessaires pour que la demi-largeur de cet intervalle soit inférieure ou égale à ${10}^{-3}$, et commenter la vitesse en ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$.

8. Conclure sur l'intérêt de la méthode et sur sa limite.

Le cours établit que la convergence en probabilité entraîne la convergence en loi. Cet exercice montre que la réciproque est fausse en général, et qu'elle redevient vraie dans un cas important.

Partie A. Un contre-exemple à densité. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{N}(0,1)$, de densité $\phi$ et de fonction de répartition $\mathrm{\Phi }$. Pour tout $n⩾1$, on pose $X_n=(-1{)}^{n}X$. On donne $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,5})\approx \mathrm{0,6915}$.

1. Montrer, en utilisant la parité de $\phi$, que $-X$ suit la loi $\mathcal{N}(0,1)$.

2. En déduire que $X_n$ suit la même loi que $X$ pour tout $n$, puis que $X_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{\mathcal{L}}{\to }}X$.

3. Soit $\epsilon >0$. Calculer $P(\mid X_n-X\mid ⩾\epsilon )$ lorsque $n$ est pair, puis lorsque $n$ est impair (on exprimera le résultat à l'aide de $\mathrm{\Phi }$). Donner la valeur numérique obtenue pour $\epsilon =1$ et $n$ impair.

4. En déduire que $(X_n)$ ne converge pas en probabilité vers $X$, et conclure sur le lien entre les deux convergences.

Partie B. Le cas d'une limite constante. Soit $c$ un réel. Pour tout $n⩾1$, soit $Z_n$ une variable suivant la loi $\mathcal{U}\left([c-\frac{1}{n},c+\frac{1}{n}]\right)$, et soit $Z$ la variable certaine égale à $c$.

5. Montrer directement que $Z_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{\mathcal{P}}{\to }}c$.

6. Déterminer $F_{Z_n}$, puis montrer que $Z_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{\mathcal{L}}{\to }}Z$. Que se passe-t-il au point $x=c$, et pourquoi cela n'empêche-t-il pas de conclure ?

7. Énoncer le résultat du cours dont la partie B est une illustration.

Partie C. Un contre-exemple discret. Soit $Y$ une variable suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$, et $Y_n=-Y$ pour tout $n⩾1$.

8. Montrer que $Y_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{\mathcal{L}}{\to }}Y$.

9. Calculer $P(\mid Y_n-Y\mid ⩾1)$ et conclure.

10. Récapituler dans un court tableau ce que garantit chacune des deux convergences.

Une chaîne de production fabrique des pièces qui sont, indépendamment les unes des autres, défectueuses avec la probabilité $p=\mathrm{0,003}$. On prélève $n=1000$ pièces et l'on note $X$ le nombre de pièces défectueuses du prélèvement.

Partie A. La loi exacte.

1. Déterminer la loi de $X$, puis son espérance et sa variance.

2. Calculer une valeur approchée de $P(X⩽2)$ à ${10}^{-4}$ près à partir de la loi exacte. On donne $(\mathrm{0,997}{)}^{1000}\approx \mathrm{0,049563}$, $(\mathrm{0,997}{)}^{999}\approx \mathrm{0,049712}$ et $(\mathrm{0,997}{)}^{998}\approx \mathrm{0,049862}$.

Partie B. Deux approximations.

3. Vérifier les conditions de validité de l'approximation de la loi de $X$ par une loi de Poisson, puis calculer la valeur approchée de $P(X⩽2)$ qu'elle fournit. On donne ${\mathrm{e}}^{-3}\approx \mathrm{0,049787}$.

4. Justifier cette approximation par un théorème de convergence. Soit $\lambda >0$ fixé et, pour $n>\lambda$, une variable $Y_n$ suivant la loi $\mathcal{B}(n,{\displaystyle \frac{\lambda }{n}})$. Montrer que $(Y_n)$ converge en loi vers une variable suivant la loi $\mathcal{P}(\lambda )$.

5. Examiner les trois conditions de validité de l'approximation de la loi de $X$ par une loi normale. Laquelle n'est pas vérifiée ?

6. Calculer malgré tout l'approximation normale de $P(X⩽2)$, sans puis avec correction de continuité (ce second calcul est hors programme ECG : il n'est proposé que pour mesurer l'erreur commise). On donne $\sqrt{\mathrm{2,991}}\approx \mathrm{1,7295}$, $\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,289})\approx \mathrm{0,386}$ et $\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,578})\approx \mathrm{0,282}$.

Partie C. Choisir son approximation.

7. Rassembler les trois valeurs obtenues dans un tableau et commenter les écarts.

8. Pour $p=\mathrm{0,3}$ et $n=1000$, indiquer sans aucun calcul quelle approximation il faut choisir, et pourquoi.

Une entreprise mesure le temps de réponse de son service client, exprimé en heures, sur $n=200$ demandes. On modélise ces relevés par un échantillon $(X_1,\dots ,X_n)$ de variables indépendantes et de même loi, d'espérance $m$ et d'écart-type $\sigma >0$, tous deux inconnus. Les relevés observés donnent

$$\overline{x_n}=\mathrm{24,6}\text{et}{s}_n^2=81$$

Partie A. Les deux estimateurs.

1. Montrer que $\overline{X_n}$ est un estimateur sans biais de $m$, puis qu'il est convergent.

2. Rappeler pourquoi on estime ${\sigma }^2$ par $S_n^2$ et non par $V_n$. Calculer la valeur observée $v_n$ correspondant aux données de l'énoncé.

Partie B. L'intervalle de confiance.

3. On suppose dans cette question seulement que $\sigma$ est connu. Établir, à l'aide du théorème limite central, un intervalle de confiance asymptotique de $m$ au niveau $1-\alpha$.

4. Expliquer pourquoi cet intervalle est inutilisable ici, et énoncer le résultat admis en cours qui permet de contourner la difficulté.

5. En déduire l'intervalle de confiance asymptotique de $m$ au niveau $\mathrm{0,95}$, puis au niveau $\mathrm{0,99}$, arrondis à ${10}^{-2}$. On donne $\sqrt{200}\approx \mathrm{14,1421}$.

Partie C. Dimensionner et interpréter.

6. L'entreprise souhaite une demi-largeur de $\mathrm{0,5}$ heure au niveau $\mathrm{0,95}$. Combien de demandes doit-elle relever, à écart-type estimé inchangé ?

7. Un cadre de l'entreprise déclare : « il y a $95\mathrm{\%}$ de chances que le temps de réponse moyen soit entre $\mathrm{23,35}$ et $\mathrm{25,85}$ heures ». Corriger cette phrase, puis préciser ce que le mot « asymptotique » retire à la garantie annoncée.

Un institut interroge $n$ personnes tirées au hasard avec remise dans une population. Une proportion inconnue $p\in ]0,1[$ soutient un projet. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on pose $X_i=1$ si la $i$-ième personne interrogée soutient le projet et $X_i=0$ sinon, et l'on note

$$F_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

la fréquence observée de soutiens.

Partie A. La marge d'erreur.

1. Donner la loi de $X_1$, puis $E\left(F_n\right)$ et $V\left(F_n\right)$.

2. Montrer que $p(1-p)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$ pour tout $p\in ]0,1[$.

3. À l'aide du théorème limite central et de la majoration précédente, établir que l'intervalle de demi-largeur ${\displaystyle \frac{u_{\alpha }}{2\sqrt{n}}}$ centré en $F_n$ est un intervalle de confiance asymptotique de $p$ au niveau $1-\alpha$.

4. En déduire la « marge d'erreur » au niveau $\mathrm{0,95}$ pour $n=1000$, exprimée en points de pourcentage. On donne $\sqrt{1000}\approx \mathrm{31,6228}$. Retrouve-t-on l'ordre de grandeur habituellement annoncé avec les sondages ?

Partie B. Combien de personnes interroger ?

5. Déterminer la taille minimale de l'échantillon garantissant une marge de $1$ point au niveau $\mathrm{0,95}$.

6. Reprendre ce calcul de taille avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev au lieu du théorème limite central, et comparer les deux tailles obtenues en donnant leur rapport.

Partie C. Un résultat serré. On observe $n=1000$ et $f_n=\mathrm{0,52}$.

7. Donner l'intervalle de confiance asymptotique de $p$ au niveau $\mathrm{0,95}$, d'abord avec la majoration par $\frac{1}{4}$, puis en estimant $p(1-p)$ par $f_n(1-f_n)$. Commenter l'écart. On donne $\sqrt{\mathrm{0,2496}}\approx \mathrm{0,49960}$.

8. L'institut peut-il annoncer que le projet est majoritairement soutenu ?

Un joueur répète une même épreuve jusqu'à obtenir son premier succès. Le nombre d'essais nécessaires suit la loi $\mathcal{G}(p)$, où $p\in ]0,1[$ est inconnu. On observe $n$ parties indépendantes, modélisées par un échantillon $(X_1,\dots ,X_n)$ de variables indépendantes suivant toutes la loi $\mathcal{G}(p)$.

Partie A. Estimer $\frac{1}{p}$, puis $p$.

1. Rappeler l'espérance et la variance de $X_1$.

2. Montrer que $\overline{X_n}$ est un estimateur sans biais et convergent de ${\displaystyle \frac{1}{p}}$, et donner sa variance.

3. En déduire un estimateur $T_n$ de $p$, puis justifier soigneusement qu'il est convergent.

4. Peut-on affirmer que $T_n$ est sans biais ? On traitera le cas $n=1$ à l'aide du développement en série entière ${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^k}{k}}=-\ln (1-x)}$, valable pour $x\in ]-1,1[$, et l'on prendra $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$. On donne $\ln 2\approx \mathrm{0,693}$.

Partie B. Un intervalle de confiance.

5. L'écart-type de $X_1$ étant inconnu, écrire l'intervalle de confiance asymptotique de ${\displaystyle \frac{1}{p}}$ au niveau $\mathrm{0,95}$ obtenu en remplaçant cet écart-type par $S_n$.

6. En déduire un intervalle de confiance asymptotique de $p$ au niveau $\mathrm{0,95}$. On justifiera le renversement des inégalités par la décroissance de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, en précisant la condition nécessaire à ce passage.

7. Application numérique : on observe $n=100$ parties, $\overline{x_n}=4$ et $s_n=\mathrm{3,4}$. Donner les deux intervalles, arrondis à ${10}^{-3}$.

8. Conclure sur l'ordre de grandeur de $p$ et sur la précision obtenue avec $100$ parties.