Devoir surveillé — Probabilités : convergences et estimation

Les cinq exercices du sujet sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La calculatrice n'est pas autorisée : toutes les valeurs numériques utiles sont fournies dans les énoncés. La qualité de la rédaction, la vérification explicite des hypothèses des théorèmes invoqués et le soin apporté aux justifications entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les trois questions ci-dessous sont, elles aussi, indépendantes.

1. (1 point) Soit $\theta >0$ un paramètre inconnu et soit $(T_n{)}_{n⩾1}$ une suite d'estimateurs de $\theta$ vérifiant, pour tout entier $n⩾1$,

$$E\left(T_n\right)=\frac{2n+1}{2n}\theta \text{et}V\left(T_n\right)=\frac{3{\theta }^2}{n}\mathrm{.}$$

a. Calculer le biais $b_{\theta }(T_n)$. L'estimateur $T_n$ est-il sans biais ? Asymptotiquement sans biais ?

b. Démontrer que la suite $(T_n)$ est convergente, en citant précisément le résultat utilisé.

c. Construire à partir de $T_n$ un estimateur $T_n^{\mathrm{\prime }}$ de $\theta$ sans biais pour tout $n$, et donner sa variance.

2. (0,75 point) Soit $(X_n{)}_{n⩾1}$ une suite de variables aléatoires telle que $X_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{\mathcal{P}}{\to }}2$. Pour chacune des trois suites suivantes, dire si l'on peut conclure à une convergence en probabilité, et vers quelle limite. On citera à chaque fois le résultat du cours et l'on vérifiera explicitement son hypothèse.

3. (0,75 point) Soit $(X_1,X_2)$ un échantillon de taille $2$ d'une loi admettant une espérance $m$ et une variance ${\sigma }^2>0$, toutes deux inconnues. On pose

$$D=\frac{(X_1-X_2{)}^2}{2}\mathrm{.}$$

a. Justifier que $D$ est une statistique, puis montrer que c'est un estimateur sans biais de ${\sigma }^2$.

b. Calculer la variance empirique corrigée $S_2^2$ de cet échantillon, la comparer à $D$ et commenter.

L'objet de cet exercice est de déterminer la limite de la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ définie par

$$u_n={\mathrm{e}}^{-n}\sum _{k=0}^n\frac{n^k}{k!}\mathrm{.}$$

Aucune des méthodes d'analyse habituelles ne permet d'y parvenir simplement. On va donc reconnaître dans $u_n$ une probabilité, et conclure par un théorème de probabilités.

Soit $(Y_i{)}_{i⩾1}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la loi de Poisson $\mathcal{P}(1)$. On pose, pour tout entier $n⩾1$,

$$S_n=\sum _{i=1}^n{Y}_i\mathrm{.}$$

On donne ${\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,3679}$, ${\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{0,1353}$ et ${\mathrm{e}}^{-3}\approx \mathrm{0,0498}$.

1. (0,5 point) Rappeler $E(Y_1)$ et $V(Y_1)$, puis justifier que $S_n$ suit la loi de Poisson $\mathcal{P}(n)$.

2. (0,5 point) Montrer que $P(S_n⩽n)=u_n$.

3. (0,5 point) Énoncer le théorème limite central, vérifier que ses hypothèses sont satisfaites par la suite $(Y_i)$, et écrire la variable centrée réduite $Z_n$ associée à $S_n$.

4. (0,75 point) En déduire la limite de la suite $(u_n)$. On justifiera avec soin que le passage à la limite est licite au point considéré.

5. (0,75 point) Donner les valeurs exactes de $u_1$, $u_2$ et $u_3$, puis leurs valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près. Que peut-on dire de la rapidité de la convergence ?

6. (0,5 point) Un élève écrit sur sa copie : « puisque $u_n$ tend vers ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, on a $u_n\approx \mathrm{0,5}$ dès que $n⩾30$ ». Critiquer cette phrase.

Une machine découpe des tiges métalliques à une longueur nominale fixée. On note $X$ l'écart, exprimé en dixièmes de millimètre, entre la longueur obtenue et la longueur nominale. On modélise $X$ par une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur le segment $[-\theta ,\theta ]$, où le réel $\theta >0$ est la tolérance de la machine, inconnue : c'est elle que l'on cherche à estimer.

On dispose d'un échantillon $(X_1,\dots ,X_n)$ de la loi de $X$, c'est-à-dire de $n$ variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes cette loi, et l'on pose

$$\overline{X_n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\text{et}{Q}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2\mathrm{.}$$

On donne $u_{\mathrm{0,05}}\approx \mathrm{1,96}$, $\sqrt{\mathrm{7,236}}\approx \mathrm{2,68998}$ et $\sqrt{\mathrm{10,764}}\approx \mathrm{3,28085}$.

1. (0,5 point) Donner une densité de $X$, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$.

2. (0,5 point) Calculer $E(\overline{X_n})$. Expliquer pourquoi la moyenne empirique, si utile soit-elle ailleurs, ne permet ici d'estimer $\theta$ d'aucune façon.

3. (0,5 point) Montrer que $T_n=3Q_n$ est un estimateur sans biais de ${\theta }^2$.

4. (0,75 point) Établir $E(X^4)={\displaystyle \frac{{\theta }^4}{5}}$, en déduire $V(X^2)$ puis $V(T_n)$, et démontrer que la suite d'estimateurs $(T_n)$ est convergente.

5. (0,5 point) On pose $\widehat{{\theta }_n}=\sqrt{T_n}$. Justifier que $(\widehat{{\theta }_n})$ est une suite d'estimateurs convergente de $\theta$. Peut-on affirmer qu'elle est sans biais ?

6. (1,25 point) Construire un intervalle de confiance asymptotique de ${\theta }^2$ au niveau de confiance $\mathrm{0,95}$. On énoncera le théorème utilisé et l'on vérifiera ses hypothèses. Le contrôle qualité a mesuré $n=80$ tiges et obtenu ${\displaystyle \sum _{i=1}^{80}{x}_i^2=240}$ : donner l'intervalle numérique correspondant, puis en déduire un intervalle de confiance de $\theta$ en justifiant que les bornes ne s'échangent pas.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité d'un écart des deux côtés de l'espérance. Lorsque l'événement étudié n'en concerne qu'un seul, cette majoration est donc, par construction, trop généreuse. L'objet de ce problème est de mesurer d'abord ce qui est perdu, puis de construire une majoration mieux adaptée à ce cas à partir de la seule inégalité de Markov, et enfin d'établir que cette nouvelle majoration ne peut plus être améliorée du tout.

Dans tout le problème, $X$ désigne une variable aléatoire admettant une espérance $m$ et une variance ${\sigma }^2$, avec $\sigma >0$, et $c$ un réel strictement positif.

Partie A. Ce que donne le cours

1. (0,25 point) Établir l'inclusion $(X-m⩾c)\subset (\mid X-m\mid ⩾c)$, puis en déduire

$$P(X-m⩾c)⩽\frac{{\sigma }^2}{c^2}\mathrm{.}$$

2. (0,75 point) On suppose dans cette question seulement que $c⩾\sigma$, et l'on considère une variable aléatoire $W$ prenant les trois valeurs $m-c$, $m$ et $m+c$ avec

$$P(W=m-c)=P(W=m+c)=\frac{{\sigma }^2}{2c^2},P(W=m)=1-\frac{{\sigma }^2}{c^2}\mathrm{.}$$

a. Vérifier que ces trois nombres définissent bien une loi de probabilité, que $E(W)=m$ et que $V(W)={\sigma }^2$.

b. Calculer $P(\mid W-m\mid ⩾c)$, puis $P(W-m⩾c)$. Qu'en conclure sur ce que la question 1. perd exactement ?

Partie B. Une majoration à sens unique

Dans toute cette partie, $t$ désigne un réel positif ou nul.

3. (0,25 point) Montrer que $(X-m⩾c)\subset ((X-m+t{)}^2⩾(c+t{)}^2)$.

4. (0,5 point) Montrer que la variable $(X-m+t{)}^2$ admet une espérance et que

$$E\left({(X-m+t)}^2\right)={\sigma }^2+t^2\mathrm{.}$$

5. (0,5 point) En déduire que, pour tout réel $t⩾0$,

$$P(X-m⩾c)⩽g(t),\text{o}\grave{\text{u}}g(t)=\frac{{\sigma }^2+t^2}{(c+t{)}^2}\mathrm{.}$$

6. (1 point) Étudier les variations de $g$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, déterminer son minimum, et en déduire que

$$P(X-m⩾c)⩽\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2+c^2}\mathrm{.}$$

Partie C. Ce que l'on a gagné, et pourquoi on ne peut pas gagner plus

7. (0,75 point) Comparer d'abord les deux majorations obtenues aux questions 1. et 6. On considère ensuite la variable aléatoire $Z=m+Y$, où $Y$ prend la valeur $c$ avec la probabilité ${\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2+c^2}}$ et la valeur $-{\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{c}}$ avec la probabilité ${\displaystyle \frac{c^2}{{\sigma }^2+c^2}}$.

a. Vérifier que $E(Z)=m$ et $V(Z)={\sigma }^2$.

b. Calculer $P(Z-m⩾c)$. Que peut-on en conclure sur la majoration de la question 6. ?

c. Où retrouve-t-on, dans la loi de $Z$, le réel $t_0$ qui réalise le minimum à la question 6. ? Commenter.

Une fonction continue sur un segment peut-elle toujours être approchée, d'aussi près que l'on veut et en tous les points à la fois, par une fonction polynomiale ? La réponse est oui, et l'on va l'établir ici pour une classe importante de fonctions, par une méthode entièrement probabiliste.

Dans tout le problème, $n$ désigne un entier naturel non nul et $x$ un réel fixé de $[0,1]$. On note $S_n$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n,x)$, et l'on pose, pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$,

$$p_k=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)x^k(1-x{)}^{n-k},\text{de sorte que}P(S_n=k)=p_k\mathrm{.}$$

Enfin, pour toute fonction $f$ définie sur $[0,1]$ et à valeurs réelles, on appelle $n$-ième polynôme de Bernstein de $f$ la fonction polynomiale

$$B_n(f):x⟼\sum _{k=0}^{n}f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k}{n}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)x^k(1-x{)}^{n-k}\mathrm{.}$$

Partie A. Trois préliminaires

1. (0,25 point) Rappeler $E(S_n)$ et $V(S_n)$, puis en déduire l'espérance et la variance de ${\displaystyle \frac{S_n}{n}}$.

2. (0,5 point) Montrer que $x(1-x)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$ pour tout $x$ de $[0,1]$.

3. (0,5 point) Soit $\delta >0$. Démontrer que

$$P(\mid \frac{S_n}{n}-x\mid ⩾\delta )⩽\frac{1}{4n{\delta }^2}\mathrm{.}$$

On observera que ce majorant ne dépend pas de $x$.

Partie B. Ce que fait l'opérateur de Bernstein

4. (0,5 point) Montrer que, pour toute fonction $f$ définie sur $[0,1]$,

$$B_n(f)(x)=E\left(f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{S_n}{n}\right)\right)\mathrm{.}$$

5. (0,5 point) Déterminer $B_n(f)$ lorsque $f$ est la fonction constante égale à $1$, puis lorsque $f:t\mapsto t$. Que peut-on en déduire pour une fonction affine ?

6. (0,5 point) On prend maintenant $f:t\mapsto t^2$. Montrer que

$$B_n(f)(x)=x^2+\frac{x(1-x)}{n},$$

puis vérifier ce résultat par un calcul direct dans le cas $n=2$.

7. (0,25 point) En déduire, pour cette fonction $f:t\mapsto t^2$, une majoration de $\mid B_n(f)(x)-f(x)\mid$ par une quantité indépendante de $x$ et tendant vers $0$.

Partie C. Le théorème d'approximation

Dans toute cette partie, $f$ désigne une fonction définie sur $[0,1]$ pour laquelle il existe un réel $K>0$ tel que

$$\mathrm{\forall }(u,v)\in {[0,1]}^2,\mid f(u)-f(v)\mid ⩽K\mid u-v\mid \mathrm{.}$$

On dit alors que $f$ est lipschitzienne de rapport $K$ sur $[0,1]$. On pose $M=\mid f(0)\mid +K$.

8. (0,25 point) Montrer que $\mid f(t)\mid ⩽M$ pour tout $t$ de $[0,1]$.

9. (0,5 point) Montrer que

$$\mid B_n(f)(x)-f(x)\mid ⩽\sum _{k=0}^n\mid f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k}{n}\right)-f(x)\mid p_k\mathrm{.}$$

10. (1,25 point) Soit $\delta >0$. On note $A$ l'ensemble des entiers $k$ de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ vérifiant $\mid {\displaystyle \frac{k}{n}}-x\mid <\delta$, et $B$ l'ensemble des entiers de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ qui ne sont pas dans $A$. Démontrer les deux majorations

$$\sum _{k\in A}\mid f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k}{n}\right)-f(x)\mid p_k⩽K\delta \text{et}\sum _{k\in B}\mid f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k}{n}\right)-f(x)\mid p_k⩽\frac{M}{2n{\delta }^2}\mathrm{.}$$

11. (0,25 point) En déduire que, pour tout réel $\delta >0$ et tout $x$ de $[0,1]$,

$$\mid B_n(f)(x)-f(x)\mid ⩽K\delta +\frac{M}{2n{\delta }^2}\mathrm{.}$$

12. (0,5 point) En choisissant $\delta ={\displaystyle \frac{1}{n^{1\mathrm{/}3}}}$, montrer qu'il existe une suite $(c_n)$ de réels positifs, indépendante de $x$ et de limite nulle, telle que

$$\mathrm{\forall }x\in [0,1],\mid B_n(f)(x)-f(x)\mid ⩽c_n\mathrm{.}$$

Conclure.

13. (0,25 point) Application. Soit $f:t\mapsto \mid t-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid$. Vérifier que $f$ satisfait l'hypothèse de la partie C avec $K=1$, calculer $B_2(f)$, puis déterminer l'écart maximal entre $f$ et $B_2(f)$ sur $[0,1]$. Que dit la question 12. de cette fonction, pourtant non dérivable en ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ?