Exercices — Algèbre linéaire : calcul matriciel et systèmes

On pose

1. Donner le format de $A$ et de $B$, puis calculer $A+B$ et $3A-2B$.

2. Déterminer, s'ils existent, les réels $x$ et $y$ tels que :

   a. $\left(\begin{array}{cc}x+y& 3\\ -1& 2x-y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ -1& 1\end{array}\right)$

   b. $\left(\begin{array}{c}x+y\\ x-y\\ 2x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 5\end{array}\right)$

3. Pour chacune des matrices suivantes, dire si elle est diagonale, triangulaire supérieure, symétrique. Pour une même matrice, plusieurs réponses sont possibles, comme aucune.

   a. $M_1=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -5\end{array}\right)$

   b. $M_2=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 4\end{array}\right)$

   c. $M_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ 2& 3& 5\\ -1& 5& 0\end{array}\right)$

   d. $M_4=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 3& 0\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$

   e. $M_5=\left(\begin{array}{ccc}7& 0& 0\\ 0& 7& 0\\ 0& 0& 7\end{array}\right)$

   f. $M_6=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

4. Écrire explicitement les matrices $P=(p_{i,j})$ et $Q=(q_{i,j})$ de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ définies, pour tous $i$ et $j$ compris entre $1$ et $3$, par $p_{i,j}=i-j$ et $q_{i,j}=i+j$. L'une des deux est symétrique : laquelle, et pourquoi ?

1. Soient $R\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, $S\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$, $T\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R})$ et $W\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Pour chacun des produits suivants, dire s'il est défini et, dans ce cas, donner son format.

   a. $RS$

   b. $SR$

   c. $RT$

   d. $TR$

   e. $WR$

   f. $RW$

2. On pose $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$. Calculer $AB$ et $BA$. Que peut-on en conclure ?

3. On pose $M=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 3& 1\end{array}\right)$ et $N=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -1\\ 3& 4\end{array}\right)$.

   a. Calculer $MN$, puis $NM$. Les deux produits sont-ils comparables ?

   b. Calculer $M{I}_3$ et $I_{2}M$.

4. On pose $L=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\end{array}\right)$ et $C=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 2\end{array}\right)$. Calculer $LC$ et $CL$, en précisant à chaque fois le format du résultat.

5. On pose $U=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ et $V=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$. Calculer $UV$. Que peut-on en déduire sur les produits de matrices ?

On rappelle qu'une matrice carrée $S$ est dite symétrique lorsque ${}^{t}S=S$, et antisymétrique lorsque ${}^{t}S=-S$.

1. Écrire les transposées des matrices suivantes, en précisant leur format.

   a. $F=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 3& 4& 5\end{array}\right)$

   b. $G=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ -1& 3\end{array}\right)$

   c. $H=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -4\end{array}\right)$

2. On pose $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 3& 1\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\\ 3& 4\end{array}\right)$. Calculer $AB$ puis ${}^t(AB)$ d'une part, ${}^{t}B{}^{t}A$ d'autre part, et comparer.

3. Parmi les matrices suivantes, dire lesquelles sont symétriques, lesquelles sont antisymétriques, lesquelles ne sont ni l'une ni l'autre.

   a. $S_1=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$

   b. $S_2=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -3& 0\end{array}\right)$

   c. $S_3=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right)$

   d. $S_4=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 3& 4\\ 0& 4& -5\end{array}\right)$

   e. $S_5=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -3\\ -2& 0& 1\\ 3& -1& 0\end{array}\right)$

   f. $S_6=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

4. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et soit $S=(s_{i,j})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ une matrice antisymétrique. Montrer que tous ses coefficients diagonaux sont nuls.

5. Soit $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$. Montrer que la matrice ${}^{t}AA$ est bien définie, carrée, et qu'elle est symétrique. Vérifier le résultat sur la matrice $F$ de la question 1. a.

On rappelle que, pour une matrice carrée $M$ d'ordre $n$, on pose $M^0=I_n$ et $M^{k+1}=M^{k}M$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.

1. On pose $D=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$.

   a. Calculer $D^2$ et $D^3$.

   b. Conjecturer l'expression de $D^n$ pour $n\in \mathbb{N}$, puis la démontrer par récurrence.

2. On pose $T=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$.

   a. Calculer $T^2$ et $T^3$.

   b. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $T^n=\left(\begin{array}{cc}1& 3^n-1\\ 0& 3^n\end{array}\right)$.

3. On pose $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ et $K=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$.

   a. Calculer $N^2$ et $K^2$.

   b. En déduire $N^n$ pour tout entier $n⩾2$, et commenter.

On rappelle qu'une matrice $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est inversible lorsqu'il existe $M^{\mathrm{\prime }}\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $M{M}^{\mathrm{\prime }}=M^{\mathrm{\prime }}M=I_n$ ; cette matrice $M^{\mathrm{\prime }}$, alors unique, est notée $M^{-1}$.

1. On pose $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 0& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$. Vérifier par le calcul que $A$ et $B$ sont inverses l'une de l'autre.

2. On rappelle qu'une matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ est inversible si et seulement si le réel $ad-bc$ est non nul. Pour chacune des matrices suivantes, calculer ce réel, en déduire si la matrice est inversible, et donner son inverse le cas échéant.

   a. $A_1=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$

   b. $A_2=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$

   c. $A_3=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -2& 1\end{array}\right)$

   d. $A_4=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -3& 0\end{array}\right)$

   e. $A_5=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

   f. $A_6=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 2& 4\end{array}\right)$

3. Résoudre l'équation matricielle $A_{1}X=Y$, d'inconnue $X\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$, où $A_1$ est la matrice de la question 2. a. et $Y=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$. Écrire le système linéaire correspondant et vérifier le résultat.

4. Soient $P$, $Q$ et $R$ trois matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, avec $P$ inversible. Montrer que si $PQ=PR$, alors $Q=R$. L'hypothèse « $P$ inversible » est-elle indispensable ?

On considère les deux systèmes suivants, d'inconnue $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$ :

1. Résoudre $(S_1)$ par la méthode du pivot de Gauss, en indiquant à chaque étape l'opération élémentaire effectuée, puis vérifier la solution dans les équations de départ.

2. Résoudre de même $(S_2)$, et vérifier la solution.

1. Écrire le système suivant sous la forme matricielle $AX=B$, en précisant les matrices $A$, $X$ et $B$ ainsi que leur format :

2. Écrire le système linéaire correspondant à l'équation matricielle suivante, d'inconnues $x$, $y$ et $z$ :

3. On considère le système

a. Écrire $(T)$ sous la forme $CX=D$, et vérifier que $X_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ est solution.

b. Résoudre le système homogène associé $CX=0$ et décrire ses solutions à l'aide d'un paramètre.

c. Vérifier que, si $X_H$ est une solution du système homogène, alors $X_0+X_H$ est encore solution de $(T)$. En déduire l'ensemble des solutions de $(T)$.

On rappelle la caractérisation utilisée dans tout l'exercice : une partie $F$ de ${\mathbb{R}}^3$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$ si et seulement si le vecteur nul $(0,0,0)$ appartient à $F$, et si pour tous $u\in F$, $v\in F$ et tous réels $\lambda$ et $\mu$, le vecteur $\lambda u+\mu v$ appartient encore à $F$.

Pour chacune des six parties suivantes de ${\mathbb{R}}^3$, dire s'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$. Si oui, le démontrer complètement ; si non, l'établir par un contre-exemple chiffré.

On considère les deux matrices de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$

1. Calculer $AB$ et $BA$. Les matrices $A$ et $B$ commutent-elles ?

2. Calculer $(A+B{)}^2$ d'une part, puis $A^2+2AB+B^2$ d'autre part. Comparer les deux résultats et calculer leur différence.

3. Soient $M$ et $N$ deux matrices quelconques de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Démontrer l'identité

   $$(M+N{)}^2=M^2+MN+NM+N^2$$

4. En déduire que $(M+N{)}^2=M^2+2MN+N^2$ si et seulement si $MN=NM$.

5. Démontrer de même que $(M+N)(M-N)=M^2-MN+NM-N^2$, puis que $(M+N)(M-N)=M^2-N^2$ si et seulement si $MN=NM$. Vérifier sur le couple $(A,B)$ ci-dessus en calculant $(A+B)(A-B)$ et $A^2-B^2$.

6. Donner une matrice $C$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, distincte de $I_2$ et de $A$, pour laquelle l'identité $(A+C{)}^2=A^2+2AC+C^2$ est vraie.

Une matrice $M=(m_{i,j})$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est dite triangulaire supérieure lorsque $m_{i,j}=0$ pour tout couple $(i,j)$ vérifiant $i>j$, autrement dit lorsque tous ses coefficients situés strictement sous la diagonale sont nuls. Elle est dite triangulaire inférieure lorsque $m_{i,j}=0$ pour tout couple $(i,j)$ vérifiant $i<j$.

On note $T$ l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

1. On pose

   $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& -1& 3\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

   Calculer $AB$ et $BA$. Ces deux matrices appartiennent-elles à $T$ ? Sont-elles égales ?

2. Soient $A=(a_{i,j})$ et $B=(b_{i,j})$ deux matrices triangulaires supérieures de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, et soit $C=AB=(c_{i,j})$. Démontrer que $c_{i,j}=0$ pour tout couple $(i,j)$ tel que $i>j$. Conclure.

3. Avec les mêmes notations, démontrer que $c_{i,i}=a_{i,i}{b}_{i,i}$ pour tout $i$, puis vérifier cette propriété sur les résultats de la question 1.

4. Démontrer que $T$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

5. Donner deux matrices $L$ et $U$ de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, la première triangulaire inférieure et la seconde triangulaire supérieure, telles que le produit $LU$ ne soit ni triangulaire supérieur ni triangulaire inférieur.

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. On note

les ensembles des matrices symétriques et des matrices antisymétriques de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. On utilisera librement les deux propriétés du cours : pour toutes matrices $M$ et $N$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et tous réels $\lambda$ et $\mu$,

1. Démontrer que $S_n$ et $A_n$ sont des sous-espaces vectoriels de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

2. Soit $M\in A_n$. Démontrer que tous les coefficients diagonaux de $M$ sont nuls.

3. Démontrer que $S_n\cap A_n=\{0_n\}$.

4. Soit $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Démontrer qu'il existe un unique couple $(S,A)$, avec $S\in S_n$ et $A\in A_n$, tel que $M=S+A$. Pour l'existence, on étudiera les matrices $\frac{1}{2}(M+{}^{t}M)$ et $\frac{1}{2}(M-{}^{t}M)$.

5. Appliquer la question précédente à la matrice

   $$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -1\\ 5& 2& 4\\ 1& 0& -3\end{array}\right)$$

   en donnant explicitement sa partie symétrique et sa partie antisymétrique, et en vérifiant le résultat.

On considère les matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

1. Écrire la matrice $A$. Calculer $N^2$ et $N^3$, puis en déduire la valeur de $N^k$ pour tout entier $k⩾3$.

2. Justifier que les matrices $I_3$ et $N$ commutent, et rappeler la formule du binôme de Newton pour deux matrices qui commutent.

3. En déduire, pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, l'expression de $A^n$ sous forme d'une matrice dont les neuf coefficients sont donnés explicitement en fonction de $n$.

4. Vérifier la formule obtenue dans le cas $n=2$ par le calcul direct de $A^2$.

5. Démontrer que $A$ est inversible et déterminer $A^{-1}$, en partant du produit $(I_3+N)(I_3-N+N^2)$. Vérifier le résultat.

On note $J$ la matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ dont les neuf coefficients valent $1$ :

1. Calculer $J^2$ et vérifier que $J^2=3J$. Démontrer ensuite par récurrence que $J^n=3^{n-1}J$ pour tout entier $n⩾1$.

2. Soient $a$ et $b$ deux réels et $M=a{I}_3+bJ$. Justifier que les matrices $a{I}_3$ et $bJ$ commutent, puis calculer $M^2$ et l'écrire sous la forme $\alpha I_3+\beta J$.

3. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$,

   $$M^n=a^n{I}_3+\frac{(a+3b{)}^n-a^n}{3}J$$

   Vérifier la cohérence avec la question 2.

4. Application numérique : on prend $a=1$ et $b=2$. Écrire $M$, donner $M^n$, puis vérifier la formule pour $n=2$ par le calcul direct de $M^2$.

5. On suppose $a\mathrm{\ne }0$. Déterminer, en cherchant l'inverse sous la forme $\alpha I_3+\beta J$, pour quelles valeurs de $b$ la matrice $M$ est inversible, et donner alors $M^{-1}$. On traitera à part le cas restant, en calculant $MX$ pour $X=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$.

On considère les deux matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

1. Déterminer $A^{-1}$ par la méthode de la matrice augmentée : on écrit côte à côte $A$ et $I_3$, et on applique aux deux blocs les mêmes opérations élémentaires sur les lignes jusqu'à transformer le bloc de gauche en $I_3$. Toutes les opérations doivent être écrites.

2. Vérifier le résultat en calculant le produit $A{A}^{-1}$.

3. Appliquer la même méthode à la matrice $B$. Que se passe-t-il ?

4. En déduire que $B$ n'est pas inversible, en exhibant une colonne $X$ non nulle telle que $BX=0$.

On considère la matrice

1. Calculer $A^2$, puis vérifier que $A^2-5A+6I_3=0_3$.

2. En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$ et $I_3$. Donner ensuite $A^{-1}$ explicitement et contrôler le résultat en calculant le produit $A{A}^{-1}$.

3. Exprimer $A^3$ en fonction de $A$ et $I_3$, puis en donner la valeur explicite.

4. Soit $n$ un entier naturel non nul et $B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ une matrice vérifiant $B^2=B$. Montrer que $B$ est inversible si et seulement si $B=I_n$.

Soit $m$ un nombre réel. On considère le système d'inconnue $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$

1. Échelonner $(S_m)$ par la méthode du pivot de Gauss et dégager la valeur critique de $m$.

2. Résoudre $(S_m)$ lorsque $m$ est différent de cette valeur critique, et vérifier le résultat obtenu.

3. Résoudre $(S_m)$ pour la valeur critique de $m$.

4. On conserve cette valeur critique et on remplace le second membre $4$ de la troisième équation par un réel $b$. Pour quelle valeur de $b$ le système obtenu admet-il des solutions ? Décrire alors l'ensemble de ses solutions.

On considère les deux systèmes homogènes

d'inconnues respectives $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$ et $(x,y,z,t)\in {\mathbb{R}}^4$. On note ${\mathcal{S}}_1$ et ${\mathcal{S}}_2$ leurs ensembles de solutions.

1. Résoudre $(H_1)$ par la méthode du pivot de Gauss, décrire ${\mathcal{S}}_1$ à l'aide d'un paramètre, puis l'écrire sous la forme d'un $\mathrm{Vect}$.

2. Résoudre $(H_2)$ de la même façon : décrire ${\mathcal{S}}_2$ à l'aide de deux paramètres, puis l'écrire sous la forme d'un $\mathrm{Vect}$.

3. En déduire que ${\mathcal{S}}_1$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$ et ${\mathcal{S}}_2$ un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$.

4. On remplace le second membre de la première équation de $(H_1)$ par $1$, les deux autres restant nuls. L'ensemble des solutions du système ainsi obtenu peut-il être un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$ ? Répondre sans aucun calcul.

Une entreprise dispose de quatre ateliers $A$, $B$, $C$ et $D$, qui produisent chacun des lots. Le tableau donne les ressources consommées par un lot dans chaque atelier, ainsi que les quantités totales consommées la semaine dernière.

On note $x$, $y$, $z$ et $t$ les nombres de lots produits la semaine dernière par les ateliers $A$, $B$, $C$ et $D$.

1. Traduire la situation par un système de quatre équations à quatre inconnues.

2. Résoudre ce système par la méthode du pivot de Gauss.

3. Vérifier la solution obtenue, puis répondre en une phrase à la question : combien de lots chaque atelier a-t-il produits ?

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on pose

1. Le vecteur $w_1=(5,0,5)$ appartient-il à $\mathrm{Vect}(u,v)$ ? Si oui, écrire $w_1$ comme combinaison linéaire de $u$ et $v$.

2. Même question pour le vecteur $w_2=(0,5,1)$.

3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $(x,y,z)$ pour que $(x,y,z)\in \mathrm{Vect}(u,v)$, puis écrire $\mathrm{Vect}(u,v)$ en compréhension.

4. Vérifier la cohérence de cette condition avec les réponses aux questions 1 et 2, ainsi qu'avec les vecteurs $u$ et $v$ eux-mêmes.

On travaille dans l'espace vectoriel ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Une matrice de cet ensemble est notée

On considère les cinq parties suivantes de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

1. Pour chacune de ces parties, dire s'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ : démonstration complète si oui, contre-exemple chiffré si non.

2. Pour $E_1$ et pour $E_4$, donner une famille génératrice explicite de matrices et écrire l'ensemble sous la forme d'un $\mathrm{Vect}$.

On admet que l'ensemble ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ des suites réelles et l'ensemble $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ sont des espaces vectoriels réels pour les opérations usuelles, définies terme à terme et valeur par valeur. On rappelle qu'une suite $(u_n)$ est dite bornée lorsqu'il existe un réel $M⩾0$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽M$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et croissante lorsque $u_{n+1}⩾u_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. On pose $E=\{u\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}};\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n\}$.

a. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$.

b. Vérifier que les suites de termes généraux $2^n$ et $3^n$ appartiennent à $E$, et en déduire que la suite de terme général $\lambda 2^n+\mu 3^n$ appartient à $E$, pour tous réels $\lambda$ et $\mu$.

2. Montrer que l'ensemble $B$ des suites réelles bornées est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$.

3. L'ensemble $C$ des suites réelles croissantes est-il un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ ?

4. Les ensembles $F_0=\{f\in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R});f(0)=0\}$ et $F_1=\{f\in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R});f(1)=2\}$ sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ ?

On pose $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)$ et on appelle commutant de $A$ l'ensemble des matrices qui commutent avec $A$ :

1. Soit $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ une matrice de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Calculer $AM$ et $MA$, puis traduire l'égalité $AM=MA$ par un système d'équations d'inconnues $a$, $b$, $c$, $d$.

2. Résoudre ce système, puis montrer que $\mathcal{C}(A)=\mathrm{Vect}(I_2,J)$, où $J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& -1\end{array}\right)$.

3. Démontrer, sans utiliser la question 2, que $\mathcal{C}(A)$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

4. Démontrer que $\mathcal{C}(A)$ est stable par produit : si $M$ et $N$ appartiennent à $\mathcal{C}(A)$, alors $MN$ aussi. Illustrer en calculant $J^2$.

5. Soit $D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$. Déterminer $\mathcal{C}(D)=\{M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R});DM=MD\}$.

Soit $n$ un entier naturel non nul. Une matrice $N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est dite nilpotente s'il existe un entier $p⩾1$ tel que $N^p=0_n$.

1. Soit $N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $N^3=0_n$. Montrer que $I_n-N$ est inversible et que $(I_n-N{)}^{-1}=I_n+N+N^2$.

2. Généraliser : si $N^p=0_n$ avec $p⩾1$, montrer que $I_n-N$ est inversible, d'inverse ${\displaystyle \sum _{k=0}^{p-1}{N}^k}$ (avec la convention $N^0=I_n$).

3. Démontrer par l'absurde qu'une matrice nilpotente n'est jamais inversible.

4. Application. Soit $N=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 1& 3& 0\end{array}\right)$. Calculer $N^2$ et $N^3$, en déduire $(I_3-N{)}^{-1}$, et vérifier le résultat par un produit.

5. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. Montrer que si $N^3=0_n$, alors $I_n-\lambda N$ est inversible, et donner son inverse. Appliquer à la matrice de la question 4 avec $\lambda =2$.

Partie A. On pose $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$.

1. Calculer $A^2$ et $A^3$.

2. Conjecturer une expression de $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis la démontrer par récurrence.

Partie B. On pose $B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 2& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$.

3. Calculer $B^2$ et vérifier que $B^2=3B-2I_3$.

4. On définit deux suites $(a_n{)}_{n⩾1}$ et $(b_n{)}_{n⩾1}$ par $a_1=1$, $b_1=0$ et, pour tout $n⩾1$,

Démontrer que $B^n=a_{n}B+b_n{I}_3$ pour tout $n⩾1$.

5. Montrer que la suite $(a_n+b_n{)}_{n⩾1}$ est constante. En déduire que $a_{n+1}=2a_n+1$, puis les expressions explicites de $a_n$ et $b_n$.

6. Contrôler la formule obtenue pour $n=2$ et $n=3$ par le calcul direct.

On considère les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=1$, $v_0=3$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

On pose, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$.

1. Déterminer la matrice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telle que $X_{n+1}=A{X}_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. Démontrer par récurrence que $X_n=A^n{X}_0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. Vérifier que $A=3I_2+K$, où $K=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, et que $K^2=I_2$. En déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

4. En déduire les expressions explicites de $u_n$ et $v_n$, puis les contrôler pour $n=1$ et $n=2$.

5. Retrouver ces expressions sans matrices, en étudiant les suites $s_n=u_n+v_n$ et $d_n=u_n-v_n$.

1. Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ pour lesquels le polynôme $P(x)=a{x}^2+bx+c$ vérifie

On traduira les trois conditions par un système linéaire, que l'on résoudra par la méthode du pivot, puis on vérifiera le résultat.

2. Écrire ce système sous la forme matricielle $VX=Y$, en précisant $V$, $X$ et $Y$.

3. Soient $x_1$, $x_2$, $x_3$ trois réels deux à deux distincts et $y_1$, $y_2$, $y_3$ trois réels quelconques. Démontrer, par la méthode du pivot, que le système d'inconnues $(a,b,c)$

admet une unique solution (un système carré n'admettant qu'une seule solution est appelé système de Cramer).

4. En déduire qu'il existe un unique polynôme de degré au plus $2$ prenant les valeurs $y_1$, $y_2$, $y_3$ aux points $x_1$, $x_2$, $x_3$, et que la matrice du système est inversible.

Pour tout réel $a$, on considère le système d'inconnues $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$

1. Échelonner $(S_a)$ par la méthode du pivot, en écrivant chaque opération effectuée.

2. Discuter, suivant les valeurs de $a$, le nombre de solutions de $(S_a)$ et donner l'ensemble ${\mathcal{S}}_a$ des solutions dans chacun des cas.

3. Contrôler les résultats obtenus pour $a=1$, $a=0$ et $a=2$.

4. Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $A_a=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& a\\ 1& a& 2\end{array}\right)$ est-elle inversible ?

On pose

et on note $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ une colonne inconnue de ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$.

1. Résoudre le système homogène $AX=0_{3,1}$ par la méthode du pivot. En déduire que $A$ n'est pas inversible, et que l'ensemble $S_0$ de ses solutions s'écrit $S_0=\mathrm{Vect}(u)$ pour une colonne $u$ que l'on précisera.

2. Résoudre $AX=B$ et donner l'ensemble $S$ de ses solutions.

3. Démontrer que $S=\{X_0+Y;Y\in S_0\}$, où $X_0$ désigne une solution particulière de $AX=B$.

4. Montrer que l'équation $AX=B^{\mathrm{\prime }}$ n'admet aucune solution.

5. Que peut-on en conclure sur le lien entre l'inversibilité de $A$ et les solutions de l'équation $AX=B$ ?

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on considère les vecteurs

et l'on pose $F=\mathrm{Vect}(u_1,u_2)$ et $G=\mathrm{Vect}(v_1,v_2)$.

1. Écrire $v_1$ et $v_2$ comme combinaisons linéaires de $u_1$ et $u_2$, puis en déduire l'inclusion $G\subset F$.

2. Écrire $u_1$ et $u_2$ comme combinaisons linéaires de $v_1$ et $v_2$, puis en déduire $F\subset G$. Conclure.

3. Démontrer que, pour tout $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$,

4. Montrer que $w\in F$, puis démontrer que $\mathrm{Vect}(u_1,u_2,w)=F$.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on pose

avec $g_1=(1,2,0)$, $g_2=(0,1,1)$ et $d=(2,-1,1)$.

1. Démontrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Justifier que $G$ et $D$ sont des sous-espaces vectoriels de ${\mathbb{R}}^3$.

3. Déterminer $F\cap G$ et l'écrire sous la forme $\mathrm{Vect}(\cdot )$.

4. Déterminer $F\cap D$.

5. Démontrer, à l'aide d'un contre-exemple chiffré, que $F\cup D$ n'est pas un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$.

Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ vérifiant

1. Démontrer par récurrence que $A^k=A$ pour tout entier $k⩾1$.

2. On pose $B=I_n-A$. Démontrer que $B^2=B$, puis que $AB=BA=0_n$.

3. Démontrer que si $A$ est inversible, alors $A=I_n$.

4. Démontrer que $I_n+A$ est inversible et déterminer le réel $\lambda$ tel que $(I_n+A{)}^{-1}=I_n+\lambda A$.

5. Déterminer toutes les matrices $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right)$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2=A$.

6. Contrôler les questions 4. et 5. sur la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& 0\end{array}\right)$.

On pose

1. Calculer $A$. Calculer ensuite $LC$ : c'est une matrice à un seul coefficient, que l'on identifie au réel $\lambda$.

2. Démontrer, sans calculer de coefficients, que $A^2=\lambda A$. Contrôler ce résultat en calculant directement $A^2$.

3. Démontrer par récurrence que $A^n={\lambda }^{n-1}A$ pour tout entier $n⩾1$.

4. Soit $\mu$ un réel. Calculer $(I_3+A)(I_3+\mu A)$ en fonction de $\mu$, $\lambda$ et $A$. En déduire que si $\lambda \mathrm{\ne }-1$, la matrice $I_3+A$ est inversible, et donner son inverse sous la forme $I_3+\mu A$.

5. Expliciter $(I_3+A{)}^{-1}$ pour les matrices $C$ et $L$ de l'énoncé, puis vérifier le résultat par le produit.

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