Devoir surveillé — Algèbre linéaire : calcul matriciel et systèmes

Les six affirmations suivantes sont indépendantes. Chacune est soit vraie, soit fausse. Démontrer celles qui sont vraies ; réfuter les autres par un contre-exemple explicite, entièrement vérifié par le calcul. Une affirmation déclarée fausse sans contre-exemple ne rapporte aucun point.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

1. (0,5 pt) Si $A$ et $B$ sont deux matrices inversibles de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, alors $A+B$ est inversible.

2. (0,5 pt) Si $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est inversible et symétrique, alors $A^{-1}$ est symétrique.

3. (0,5 pt) Si $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ vérifie $A^2=I_n$, alors $A=I_n$ ou $A=-I_n$.

4. (0,5 pt) L'ensemble $\mathcal{P}=\{M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R});M^2=M\}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

5. (0,5 pt) Pour tous vecteurs $u$ et $v$ de ${\mathbb{R}}^3$, $\mathrm{Vect}(u,v)=\mathrm{Vect}(u+v,u-v)$.

6. (0,5 pt) Si $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est inversible et si $B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ vérifie $AB=BA$, alors $A^{-1}B=B{A}^{-1}$.

Un réseau d'irrigation comporte quatre nœuds de raccordement $A$, $B$, $C$ et $D$, reliés par cinq canalisations à sens unique. L'eau entre dans le réseau au nœud $A$ avec un débit de $100$ mètres cubes par heure, et en ressort au nœud $C$ avec le même débit. Les cinq canalisations et leurs débits inconnus, exprimés en mètres cubes par heure, sont les suivants.

En chaque nœud, le débit entrant est égal au débit sortant : rien ne s'accumule et rien ne se perd.

1. (0,75 pt) Écrire les quatre équations de conservation, une par nœud, puis mettre le système obtenu sous la forme matricielle $MX=B$, en précisant $M$, $X$, $B$ et leurs formats. On rangera les inconnues dans l'ordre $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$.

2. (1 pt) Échelonner ce système par la méthode du pivot de Gauss, en écrivant chaque opération élémentaire. Montrer que l'une des quatre équations est conséquence des trois autres, puis résoudre le système : on exprimera $x_1$, $x_2$ et $x_3$ en fonction de $x_4$ et $x_5$, restés quelconques.

3. (0,5 pt) En déduire l'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions sous la forme $X_0+\mathrm{Vect}(u,v)$, où $X_0$ est une solution particulière que l'on précisera. Vérifier que $u$ et $v$ sont bien solutions du système homogène associé.

4. (0,75 pt) Les cinq débits sont des grandeurs positives ou nulles. Déterminer l'ensemble des couples $(x_4,x_5)$ compatibles avec cette contrainte, puis le débit maximal que peut supporter la canalisation $B\to D$. Décrire le réseau dans cette situation extrême.

5. (0,5 pt) a. Un débitmètre posé sur $D\to C$ indique $70$ et un second, posé sur $B\to D$, indique $20$. En déduire les cinq débits. b. Deux débitmètres posés sur $A\to B$ et $A\to D$ auraient-ils suffi à déterminer tous les débits ? Justifier.

Dans tout l'exercice, $n$ et $p$ désignent des entiers naturels non nuls.

1. (0,5 pt) Soit $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$. Justifier que le produit ${}^{t}AA$ est bien défini et carré d'ordre $p$, puis démontrer que pour tout indice $j$ compris entre $1$ et $p$, le coefficient d'indice $(j,j)$ de ${}^{t}AA$ vaut

$$\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}^2\mathrm{.}$$

Illustrer sur la matrice $A_1=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 0\\ -1& 4\end{array}\right)$, en calculant ${}^t{A}_1{A}_1$ en entier.

2. (0,5 pt) En déduire que, pour toute matrice $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$,

$${}^{t}AA=0_p⟺A=0_{n,p}\mathrm{.}$$

3. (0,75 pt) Soit $S\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ une matrice symétrique vérifiant $S^2=0_n$. Démontrer que $S=0_n$. Donner ensuite une matrice $N$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, non nulle, telle que $N^2=0_2$, et expliquer pourquoi elle ne contredit pas le résultat précédent.

4. (0,75 pt) Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ antisymétrique, c'est-à-dire ${}^{t}A=-A$. a. Démontrer que $A^2$ est symétrique. b. Démontrer que si de plus $A^2=0_n$, alors $A=0_n$.

5. (1 pt) Soit $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$. Démontrer que les deux systèmes homogènes

$$AX=0_{n,1}\text{et}\left({}^{t}AA\right)X=0_{p,1},$$

d'inconnue $X\in {\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{R})$, ont exactement les mêmes solutions. Application. En reprenant la matrice $A_1$ de la question 1, résoudre le système $({}^t{A}_1{A}_1)X=0_{2,1}$ sans effectuer aucun pivot sur la matrice ${}^t{A}_1{A}_1$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul, et $A$ et $B$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. On s'intéresse à la relation

$$AB=A+B\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Développer les produits $(A-I_n)(B-I_n)$ et $(B-I_n)(A-I_n)$. En déduire les deux équivalences

$$AB=A+B⟺(A-I_n)(B-I_n)=I_n,BA=A+B⟺(B-I_n)(A-I_n)=I_n\mathrm{.}$$

2. (0,75 pt) On suppose dans cette question que $A-I_n$ est inversible. Démontrer qu'il existe une unique matrice $B$ vérifiant $AB=A+B$, et l'exprimer à l'aide de $(A-I_n{)}^{-1}$. Démontrer que cette matrice vérifie aussi $BA=A+B$, et en déduire que $A$ et $B$ commutent.

3. (0,5 pt) Réciproquement, on suppose qu'il existe une matrice $B$ vérifiant à la fois $AB=A+B$ et $BA=A+B$. Démontrer que $A-I_n$ est inversible et préciser son inverse. Énoncer alors, en une phrase, la condition nécessaire et suffisante obtenue.

4. (1,25 pt) Application. On pose

$$A_0=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

Calculer $(A_0-I_3{)}^{-1}$ par la méthode du pivot de Gauss appliquée à la matrice augmentée, en écrivant toutes les opérations. En déduire l'unique matrice $B_0$ telle que $A_0{B}_0=A_0+B_0$, puis contrôler le résultat en calculant les deux produits $A_0{B}_0$ et $B_0{A}_0$.

5. (0,5 pt) On pose $A_1=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$. Démontrer qu'aucune matrice $B$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ne vérifie $A_{1}B=A_1+B$.

Ce problème étudie les matrices dont chaque ligne se déduit de la précédente par un décalage circulaire des coefficients vers la droite. L'objectif est d'obtenir, à la toute fin, une condition simple et complète d'inversibilité de ces matrices, sans jamais résoudre le moindre système.

On pose

$$K=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

Les trois parties sont à traiter dans l'ordre.

Partie A. La matrice de décalage

1. (0,5 pt) Calculer $K^2$ et $K^3$. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $K^n$ en fonction du reste de la division euclidienne de $n$ par $3$. Justifier enfin que $K$ est inversible et préciser $K^{-1}$.

2. (0,5 pt) Vérifier que, pour toute colonne $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$, on a $KX=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ x_3\\ x_1\end{array}\right)$. Écrire ensuite explicitement la matrice $a{I}_3+bK+c{K}^2$ pour $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$. On note

$$\mathcal{C}=\{a{I}_3+bK+c{K}^2;(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3\}$$

l'ensemble de ces matrices, appelées circulantes. Justifier que $\mathcal{C}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

3. (0,75 pt) Soient $M=a{I}_3+bK+c{K}^2$ et $M^{\mathrm{\prime }}=a^{\mathrm{\prime }}{I}_3+b^{\mathrm{\prime }}K+c^{\mathrm{\prime }}{K}^2$ deux éléments de $\mathcal{C}$. Démontrer que

$$M{M}^{\mathrm{\prime }}=(a{a}^{\mathrm{\prime }}+b{c}^{\mathrm{\prime }}+c{b}^{\mathrm{\prime }})I_3+(a{b}^{\mathrm{\prime }}+b{a}^{\mathrm{\prime }}+c{c}^{\mathrm{\prime }})K+(a{c}^{\mathrm{\prime }}+b{b}^{\mathrm{\prime }}+c{a}^{\mathrm{\prime }})K^2\mathrm{.}$$

4. (0,25 pt) En déduire que $\mathcal{C}$ est stable par produit et que deux éléments quelconques de $\mathcal{C}$ commutent. Cette dernière propriété est-elle vraie pour deux matrices quelconques de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ ?

Partie B. Une factorisation inattendue

Dans toute cette partie, $(a,b,c)$ désigne un triplet de réels, $M=a{I}_3+bK+c{K}^2$, et l'on pose

$$N=(a^2-bc)I_3+(c^2-ab)K+(b^2-ac)K^2,\mathrm{\Delta }=a^3+b^3+c^3-3abc\mathrm{.}$$

5. (1 pt) À l'aide de la formule de la question 3, démontrer que $MN=\mathrm{\Delta }{I}_3$.

6. (0,5 pt) En déduire que si $\mathrm{\Delta }\mathrm{\ne }0$, alors $M$ est inversible, et donner $M^{-1}$.

7. (1 pt) Application. On pose $M_0=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$. Justifier que $M_0\in \mathcal{C}$ en précisant le triplet $(a,b,c)$ correspondant, calculer $\mathrm{\Delta }$, en déduire $M_0^{-1}$, et contrôler le résultat par le calcul complet du produit $M_0{M}_0^{-1}$.

Partie C. La réciproque, et la condition exacte

8. (0,5 pt) Démontrer les deux identités, valables pour tous réels $a$, $b$, $c$ :

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca),$$ $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2]\mathrm{.}$$

En déduire que $\mathrm{\Delta }=0$ si et seulement si $a+b+c=0$ ou $a=b=c$.

9. (0,5 pt) On suppose $a+b+c=0$. Calculer $MU$, où $U=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$, et en déduire que $M$ n'est pas inversible. On utilisera le fait suivant : si une matrice carrée $P$ est inversible et si $PX=0$, alors $X=0$.

10. (0,5 pt) On suppose $a=b=c$. Démontrer que $M$ n'est pas inversible. On distinguera les cas $a=0$ et $a\mathrm{\ne }0$, et l'on pourra considérer la colonne $V=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$.

11. (0,5 pt) Conclure : énoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur $(a,b,c)$ pour que la matrice $a{I}_3+bK+c{K}^2$ soit inversible. Appliquer cette condition aux trois triplets $(1,2,3)$, $(2,-1,-1)$ et $(5,5,5)$.