Exercices — Algèbre linéaire et bilinéaire

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on considère les sous-espaces vectoriels suivants :

$$F=\mathrm{Vect}((1,0,1)),G=\mathrm{Vect}((1,1,0),(0,1,1)),$$ $$H=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;x+y+z=0\},D=\mathrm{Vect}((1,1,1))\mathrm{.}$$

1. Montrer que $G$ est un plan de ${\mathbb{R}}^3$ et en donner une base.

2. Déterminer $F\cap G$, et en déduire que la somme $F+G$ est directe.

3. Montrer, par un argument de dimension, que $F\oplus G={\mathbb{R}}^3$. Donner une base de ${\mathbb{R}}^3$ adaptée à cette somme directe.

4. Décomposer explicitement le vecteur $u=(2,3,4)$ sous la forme $u=f+g$ avec $f\in F$ et $g\in G$. Pourquoi cette écriture est-elle la seule possible ?

5. Montrer que ${\mathbb{R}}^3=H\oplus D$.

6. On considère maintenant trois droites vectorielles $D_1$, $D_2$, $D_3$ contenues dans un même plan de ${\mathbb{R}}^3$. Montrer, sur un exemple précis, que la condition « les sous-espaces sont deux à deux d'intersection nulle » ne suffit PAS à garantir que la somme $D_1+D_2+D_3$ est directe.

1. Calculer la trace de chacune des matrices suivantes.

2. On pose $M=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ et $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Calculer $MN$ et $NM$. Vérifier que $MN\mathrm{\ne }NM$, que $\mathrm{Tr}(MN)=\mathrm{Tr}(NM)$, et constater que $\mathrm{Tr}(MN)\mathrm{\ne }\mathrm{Tr}(M)\mathrm{Tr}(N)$.

3. Montrer que $\mathrm{Tr}$ est une application linéaire de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$, puis déterminer la dimension de son noyau.

4. Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$ et $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. Vérifier que $P$ est inversible d'inverse $P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, puis vérifier par le calcul que $\mathrm{Tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{Tr}(A)$.

5. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $\mathrm{Tr}({}^{t}AA)=0$. Montrer que $A=0$. On commencera par calculer le coefficient diagonal général de ${}^{t}AA$.

On note $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et on pose

$$u_1=(1,1,0),u_2=(0,1,1),u_3=(1,0,1)\mathrm{.}$$

1. Montrer que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(u_1,u_2,u_3)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Écrire la matrice de passage $P=P_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$ de $\mathcal{B}$ à ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$.

3. Calculer $P^{-1}$ par le pivot de Gauss, en détaillant les opérations.

4. Déterminer les coordonnées de $v=(3,2,5)$ dans la base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$, puis vérifier la réponse en recalculant $v$.

5. Un vecteur $w$ a pour coordonnées $(2,-1,3)$ dans ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$. Donner ses coordonnées dans $\mathcal{B}$.

6. Justifier le sens de la formule $X_{\mathcal{B}}=P{X}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$, et expliquer pourquoi ce n'est pas l'égalité inverse.

1. Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$. Pour chacun des vecteurs

$$X_1={}^t(1,1,1),X_2={}^t(1,-1,0),X_3={}^t(1,1,0),$$

dire s'il est vecteur propre de $A$, et donner la valeur propre associée le cas échéant.

2. Donner, sans calcul, le spectre des matrices suivantes, en justifiant par le cours.

3. Soit $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $0$ est valeur propre de $M$ si et seulement si $M$ n'est pas inversible.

4. Soit $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, $\lambda \in \mathrm{Sp}(M)$ et $X$ un vecteur propre associé à $\lambda$. Montrer que pour tout entier $k⩾1$, $M^{k}X={\lambda }^{k}X$. En déduire que ${\lambda }^2+3\lambda$ est valeur propre de $M^2+3M$.

5. Pourquoi le vecteur nul n'est-il jamais un vecteur propre ? Que se passerait-il si on l'autorisait ?

Pour chacune des matrices suivantes, déterminer le spectre, puis une base de chaque sous-espace propre. On résoudra à chaque fois le système $(M-\lambda I_2)X=0$ par le pivot de Gauss, en traitant $\lambda$ comme un paramètre : on cherche les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles ce système admet des solutions autres que la solution nulle. On vérifiera systématiquement chaque valeur propre trouvée en recalculant $MX$.

e. Pour chacune des quatre matrices, calculer la somme des dimensions de ses sous-espaces propres. Que peut-on en conclure ?

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Déterminer $\mathrm{Sp}(A)$.

2. Donner une base de chaque sous-espace propre de $A$.

3. En déduire que $A$ est diagonalisable, et écrire une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale telles que $P^{-1}AP=D$.

4. Vérifier la réponse en calculant $AP$ et $PD$. Pourquoi cette vérification évite-t-elle de calculer $P^{-1}$ ?

5. Calculer $P^{-1}$, puis vérifier directement que $P^{-1}AP=D$.

6. Expliquer pourquoi le couple $(P,D)$ n'est pas unique, et en donner un autre valide.

Pour chacune des applications suivantes, dire s'il s'agit d'un produit scalaire. Si oui, vérifier les quatre points de la définition (bilinéarité, symétrie, positivité, caractère défini) ; si non, donner un contre-exemple précis.

Dans les cas a. à e., on note $x=(x_1,x_2)$ et $y=(y_1,y_2)$ les éléments de ${\mathbb{R}}^2$, et $x=(x_1,x_2,x_3)$, $y=(y_1,y_2,y_3)$ ceux de ${\mathbb{R}}^3$.

a. Sur ${\mathbb{R}}^2$ : $\phi (x,y)=x_1{y}_1+3x_2{y}_2$.

b. Sur ${\mathbb{R}}^2$ : $\phi (x,y)=x_1{y}_1-x_2{y}_2$.

c. Sur ${\mathbb{R}}^2$ : $\phi (x,y)=x_1{y}_1+x_1{y}_2+x_2{y}_1+2x_2{y}_2$ (on mettra $\phi (x,x)$ sous forme d'une somme de carrés).

d. Sur ${\mathbb{R}}^3$ : $\phi (x,y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2$.

e. Sur ${\mathbb{R}}^2$ : $\phi (x,y)=x_1{y}_2+x_2{y}_1$.

f. Sur ${\mathbb{R}}_1[X]$ : $\phi (P,Q)=P(0)Q(0)+P(1)Q(1)$.

g. On considère plus généralement, sur ${\mathbb{R}}_n[X]$, l'application $\phi (P,Q)={\sum }_{i=1}^{m}P(a_i)Q(a_i)$, où $a_1,\dots ,a_m$ sont des réels deux à deux distincts. Pourquoi faut-il au moins $n+1$ points d'évaluation ?

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique, défini par $⟨x,y⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$. On pose

$$u_1=(1,1,1),u_2=(1,-1,0),u_3=(1,1,-2)\mathrm{.}$$

1. Vérifier que $(u_1,u_2,u_3)$ est une famille orthogonale.

2. En déduire, en citant le théorème du cours, qu'elle est libre, puis que c'est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

3. Calculer $\mathrm{\parallel }{u}_1\mathrm{\parallel }$, $\mathrm{\parallel }{u}_2\mathrm{\parallel }$ et $\mathrm{\parallel }{u}_3\mathrm{\parallel }$, et en déduire une base orthonormée $(e_1,e_2,e_3)$ de ${\mathbb{R}}^3$.

4. Vérifier le théorème de Pythagore sur $u_1+u_2$, puis sur $u_1+u_2+u_3$.

5. Donner les coordonnées de $v=(3,0,3)$ dans la base orthonormée $(e_1,e_2,e_3)$ en utilisant la formule $v={\sum }_{i=1}^3⟨v,e_i⟩e_i$, puis vérifier que $\mathrm{\parallel }v{\mathrm{\parallel }}^2={\sum }_{i=1}^3⟨v,e_i{⟩}^2$.

6. Montrer directement, sans citer le cours, qu'une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

Partie A. Dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, on note

$$\mathcal{S}=\{M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R});{}^{t}M=M\}\text{et}\mathcal{A}=\{M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R});{}^{t}M=-M\}$$

les ensembles des matrices symétriques et des matrices antisymétriques d'ordre $2$.

1. Démontrer que $\mathcal{S}$ et $\mathcal{A}$ sont des sous-espaces vectoriels de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

2. Déterminer une base de $\mathcal{S}$ et une base de $\mathcal{A}$, puis en déduire $\dim \mathcal{S}$ et $\dim \mathcal{A}$.

3. Démontrer par analyse-synthèse que ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})=\mathcal{S}\oplus \mathcal{A}$.

4. Décomposer explicitement la matrice $M=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ -1& 4\end{array}\right)$ dans cette somme directe.

5. Écrire une base de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ adaptée à la somme directe $\mathcal{S}\oplus \mathcal{A}$, et donner les coordonnées de $M$ dans cette base.

Partie B. Dans ${\mathbb{R}}_3[X]$, on pose $F=\mathrm{Vect}(1,X^2)$ et $G=\mathrm{Vect}(X,X^3)$.

6. Démontrer que ${\mathbb{R}}_3[X]=F\oplus G$.

7. Décomposer le polynôme $P=2X^3-X^2+4X-5$ dans cette somme directe.

Partie C. Dans ${\mathbb{R}}_3[X]$, on pose $H=\{P\in {\mathbb{R}}_3[X];P(1)=0\}$.

8. Démontrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}_3[X]$, en donner une base et préciser $\dim H$.

9. Démontrer que l'ensemble $\mathrm{Vect}(1)$ des polynômes constants est un supplémentaire de $H$ dans ${\mathbb{R}}_3[X]$, et écrire la décomposition d'un polynôme quelconque de ${\mathbb{R}}_3[X]$ dans cette somme directe.

On note $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et on considère l'endomorphisme $f$ de ${\mathbb{R}}^3$ défini par

$$f(x,y,z)=(2x+y-z,-x+3y-z,-x+y+z)$$

On pose enfin

$$u_1=(1,1,1),u_2=(1,0,-1),u_3=(0,1,1)$$

1. Écrire la matrice $A={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(f)$.

2. Démontrer que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(u_1,u_2,u_3)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

3. Écrire la matrice de passage $P=P_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$ et calculer $P^{-1}$ par le pivot de Gauss.

4. Calculer $f(u_1)$, $f(u_2)$ et $f(u_3)$, exprimer chacune de ces images dans la base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$, et en déduire directement $A^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(f)$.

5. Vérifier par le calcul matriciel la formule de changement de base $A^{\mathrm{\prime }}=P^{-1}AP$.

6. Conclure que $A$ et $A^{\mathrm{\prime }}$ sont semblables. Donner deux invariants de similitude qu'elles partagent, et les vérifier numériquement sur les deux matrices.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right)$$

1. Déterminer le spectre de $A$. On écrira le système $(A-\lambda I_3)X=0$ d'inconnue $X={}^t(x,y,z)$, et on l'échelonnera par le pivot de Gauss en traitant $\lambda$ comme un paramètre : toutes les opérations élémentaires devront être écrites, ainsi que la disjonction des cas.

2. Donner une base de chaque sous-espace propre et préciser sa dimension.

3. Vérifier que la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $3$.

4. Calculer $\mathrm{Tr}(A)$ et constater qu'elle est égale à la somme des valeurs propres, chacune comptée autant de fois que la dimension du sous-espace propre associé. Expliquer pourquoi ce constat est un moyen de vérification et non une démonstration.

5. Sans reprendre le pivot, déterminer le spectre de $A-3I_3$, puis celui de $A^2$.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ -1& 1& 2\end{array}\right)$$

1. Déterminer le spectre de $A$ en résolvant le système $(A-\lambda I_3)X=0$ par le pivot de Gauss, $\lambda$ étant traité comme un paramètre.

2. Déterminer une base de chaque sous-espace propre.

3. Démontrer que ${\mathbb{R}}^3$ est la somme directe des sous-espaces propres de $A$, et en déduire que $A$ est diagonalisable.

4. Écrire une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $P^{-1}AP=D$. On précisera le lien entre l'ordre des colonnes de $P$ et l'ordre des coefficients de $D$.

5. Vérifier l'égalité obtenue sous la forme $AP=PD$, qui évite de calculer $P^{-1}$.

6. Calculer $P^{-1}$ et vérifier directement que $P^{-1}AP=D$.

7. Que devient la matrice $D$ si l'on permute deux colonnes de $P$ ?

On considère les deux matrices

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& 3\end{array}\right)$$

1. Donner le spectre de chacune de ces deux matrices sans aucun calcul de système.

2. Déterminer les sous-espaces propres de $A$ et leurs dimensions. En déduire que $A$ n'est pas diagonalisable.

3. Mener le même travail pour $B$.

4. Rédiger une seconde démonstration du fait que $A$ n'est pas diagonalisable, par l'absurde : si $A$ était diagonalisable, elle serait semblable à une matrice diagonale $D$ que l'on identifiera, et l'on obtiendra une contradiction en comparant les rangs de $A-I_3$ et de $D-I_3$.

5. Donner un exemple de deux matrices non diagonalisables dont la somme est diagonalisable.

6. Une matrice non inversible peut-elle être diagonalisable ? Justifier par un exemple, et examiner aussi la question réciproque.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$$

1. Calculer $A^2$ et vérifier que $A^2=A+2I_3$.

2. En déduire un polynôme annulateur de $A$, puis démontrer que $\mathrm{Sp}(A)\subset \{-1,2\}$.

3. Démontrer que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$ à partir de la relation de la question 1.

4. Déterminer les sous-espaces propres $E_{-1}$ et $E_2$, puis conclure que les deux valeurs $-1$ et $2$ sont effectivement des valeurs propres de $A$.

5. Donner un exemple de matrice pour laquelle une racine d'un polynôme annulateur n'est pas valeur propre. Expliquer pourquoi l'inclusion de la question 2. est en général stricte.

6. Démontrer par récurrence qu'il existe deux suites réelles $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que $A^n=a_{n}A+b_n{I}_3$ pour tout entier naturel $n$. Donner leurs relations de récurrence, puis calculer $a_n$ et $b_n$ explicitement.

Partie A. Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n⩾1$, et soit $p$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $p\circ p=p$.

1. Démontrer que $\mathrm{Sp}(p)\subset \{0,1\}$.

2. Démontrer que $\mathrm{Im}p=\mathrm{Ker}(p-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$, puis que $E=\mathrm{Ker}p\oplus \mathrm{Im}p$. Pour la somme directe, on partira de l'écriture $x=(x-p(x))+p(x)$.

3. En déduire que $p$ est diagonalisable et décrire sa matrice dans une base adaptée.

4. En déduire que $\mathrm{Tr}(p)=\mathrm{rg}(p)$.

Partie B. On considère la matrice

$$M=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$$

5. Vérifier que $M^2=M$.

6. Déterminer $\mathrm{Ker}M$ et $\mathrm{Im}M$, préciser leurs dimensions, et vérifier que $\mathrm{Tr}(M)=\mathrm{rg}(M)$.

7. Diagonaliser explicitement $M$ : donner une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $P^{-1}MP=D$.

Partie C. Soit $s$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $s\circ s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

8. Démontrer que $\mathrm{Sp}(s)\subset \{-1,1\}$, puis que $E=\mathrm{Ker}(s-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\oplus \mathrm{Ker}(s+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$, en partant de l'écriture $x=\frac{1}{2}(x+s(x))+\frac{1}{2}(x-s(x))$. Conclure que $s$ est diagonalisable.

9. Application : on prend $s=2p-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$, où $p$ est l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ de matrice $M$ dans la base canonique. Vérifier que $s\circ s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$, écrire la matrice de $s$ dans la base canonique et donner son spectre.

On considère la colonne et la ligne

$$C={}^t(1,2,-1)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R}),L=(2,1,3)\in {\mathcal{M}}_{1,3}(\mathbb{R}),$$

et on pose $A=CL\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, produit d'une colonne par une ligne.

1. Calculer explicitement la matrice $A$, puis vérifier que $\mathrm{rg}(A)=1$.

2. Dans cette question, $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$, $C\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ et $L\in {\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{R})$ sont deux matrices non nulles, et $A=CL$.

a. Justifier que $LC$ est une matrice à une ligne et une colonne, que l'on identifiera au réel qu'elle contient, puis montrer que $A^2=(LC)A$.

b. Montrer que $LC=\mathrm{Tr}(A)$.

c. Vérifier ces deux résultats sur l'exemple de l'énoncé, par le calcul direct de $A^2$.

3. En déduire un polynôme annulateur de $A$. Rappeler et démontrer que toute valeur propre d'une matrice est racine de tout polynôme annulateur de cette matrice, et en déduire l'inclusion $\mathrm{Sp}(A)\subset \{0,\mathrm{Tr}(A)\}$.

4. Revenons à la matrice de l'énoncé.

a. Déterminer $\mathrm{Ker}A$ et en donner une base. Retrouver sa dimension par le théorème du rang.

b. Vérifier que $C$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\mathrm{Tr}(A)$, puis déterminer complètement le sous-espace propre correspondant.

c. En déduire $\mathrm{Sp}(A)$.

5. Montrer que $A$ est diagonalisable, et donner une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $P^{-1}AP=D$. Vérifier la relation obtenue sous la forme $AP=PD$.

6. On revient au cas général de la question 2, avec $C$ et $L$ non nulles et $A=CL$.

a. Montrer que si $\mathrm{Tr}(A)\mathrm{\ne }0$, alors $A$ est diagonalisable.

b. Montrer que si $\mathrm{Tr}(A)=0$, alors $A$ n'est pas diagonalisable.

c. Donner un exemple explicite, dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, d'une matrice de rang $1$ non diagonalisable.

7. Calculer $A^n$ pour tout entier $n⩾1$, d'abord dans le cas général en fonction de $A$ et de $\mathrm{Tr}(A)$, puis pour la matrice de l'énoncé.

On considère les deux matrices

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 1& 1& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

Partie A. La matrice $A$

1. Déterminer les valeurs propres de $A$ en résolvant le système $(A-\lambda I_2)X=0$ avec $\lambda$ pour paramètre, puis déterminer les sous-espaces propres.

2. En déduire une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $P^{-1}AP=D$. Vérifier que $P^2=2I_2$ et en déduire $P^{-1}$ sans aucun calcul supplémentaire.

3. Calculer $A^n$ pour tout entier $n⩾0$, tous les coefficients étant explicités en fonction de $n$. Vérifier le résultat pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$.

Partie B. La matrice $B$

4. Justifier sans calcul que $\mathrm{Sp}(B)=\{1,2,3\}$, puis que $B$ est diagonalisable.

5. Déterminer les trois sous-espaces propres de $B$, en déduire $P$ et $D$ telles que $P^{-1}BP=D$, et calculer $P^{-1}$ en résolvant un système.

6. Calculer $B^n$ pour tout entier $n⩾0$. Vérifier le résultat pour $n=1$ et $n=2$.

7. Déterminer la limite de ${\displaystyle \frac{1}{3^n}}{B}^n$ lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, coefficient par coefficient.

Partie C. Pourquoi la formule marche

8. Démontrer proprement par récurrence que si $A=PD{P}^{-1}$, alors $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ pour tout entier $n⩾0$.

9. Expliquer pourquoi on n'a pas, en général, $A^n=P^n{D}^n{\left(P^{-1}\right)}^n$, et le vérifier sur la matrice $A$ de la partie A avec $n=2$.

On définit deux suites réelles ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ et ${\left(v_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ par $u_0=1$, $v_0=0$ et, pour tout entier $n⩾0$,

$$\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=3u_n+v_n\\ v_{n+1}=2u_n+2v_n\end{array}$$

1. On pose $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)$. Déterminer la matrice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telle que $X_{n+1}=A{X}_n$ pour tout $n$, puis démontrer par récurrence que $X_n=A^n{X}_0$ pour tout $n⩾0$.

2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $A$, et en déduire $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $P^{-1}AP=D$. Calculer $P^{-1}$.

3. Calculer $A^n$ pour tout entier $n⩾0$.

4. En déduire les expressions explicites de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$, puis les vérifier pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$ en recalculant directement ces valeurs à l'aide des relations de récurrence.

5. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{u_n}{v_n}}$, et interpréter le résultat en termes de vecteur propre dominant.

6. Question de méthode. Sans utiliser la diagonalisation, on pose $s_n=u_n-v_n$ et $t_n=2u_n+v_n$.

a. Montrer que $\left(s_n\right)$ et $\left(t_n\right)$ sont géométriques, et préciser leurs raisons.

b. Retrouver ainsi les expressions de $u_n$ et $v_n$.

c. Faire le lien entre ces deux combinaisons et les vecteurs propres de $A$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier supérieur ou égal à $1$.

1. Énoncer l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien, ainsi que son cas d'égalité, et en rappeler la démonstration.

2. Soient $a_1,\dots ,a_n$ des réels quelconques. Démontrer que

$${\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)}^2⩽n\sum _{k=1}^n{a}_k^2,$$

en précisant explicitement le produit scalaire et les deux vecteurs utilisés, puis caractériser le cas d'égalité.

3. Soient $a_1,\dots ,a_n$ des réels strictement positifs. Démontrer que

$$\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{a_k}}\right)⩾n^2,$$

et caractériser le cas d'égalité. On pourra utiliser les vecteurs de coordonnées $\sqrt{a_k}$ et ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_k}}}$.

4. On munit ${\mathbb{R}}_2[X]$ du produit scalaire $⟨P,Q⟩={\displaystyle {\int }_0^{1}P(t)Q(t)\mathrm{d}t}$. Majorer ${\displaystyle {\int }_0^{1}t(1+t)\mathrm{d}t}$ à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, puis comparer la majoration obtenue à la valeur exacte de cette intégrale.

5. Soit $E$ un espace euclidien. Démontrer que pour tous $x$ et $y$ de $E$,

$$\mid \mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }-\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }\mid ⩽\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

6. Vrai ou faux, avec justification. « Si $⟨x,y⟩=\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }$, alors $x$ et $y$ sont colinéaires de même sens. »

Sur l'espace vectoriel $E={\mathbb{R}}_2[X]$, de dimension $3$, on pose

$$⟨P,Q⟩={\int }_0^{1}P(t)Q(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Montrer que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est un produit scalaire sur $E$.

2. Calculer les six quantités suivantes.

3. Orthonormaliser la famille $(1,X)$ par le procédé de Gram-Schmidt, puis vérifier que la famille obtenue est bien orthonormée.

4. Déterminer l'orthogonal de ${\mathbb{R}}_0[X]$, sous-espace des polynômes constants, dans $E$ : en donner une caractérisation simple portant sur $P$, une base, et la dimension.

5. Appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz au couple $(1,X)$ et vérifier numériquement l'inégalité obtenue.

On munit ${\mathbb{R}}^4$ de son produit scalaire canonique, défini pour $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ et $y=(y_1,y_2,y_3,y_4)$ par

$$⟨x,y⟩=\sum _{k=1}^4{x}_k{y}_k={}^{t}XY,$$

où $X$ et $Y$ désignent les colonnes de ${\mathcal{M}}_{4,1}(\mathbb{R})$ associées à $x$ et $y$. On pose

$$u_1=(1,1,0,0),u_2=(0,1,1,0),F=\mathrm{Vect}(u_1,u_2)\mathrm{.}$$

1. Justifier que $\dim F=2$.

2. Démontrer que, pour qu'un vecteur $x$ appartienne à $F^{\perp }$, il suffit qu'il soit orthogonal à $u_1$ et à $u_2$.

3. Déterminer $F^{\perp }$ en résolvant le système correspondant, en donner une base et la dimension, puis vérifier que $\dim F+\dim F^{\perp }=4$.

4. Vérifier que la concaténation d'une base de $F$ et d'une base de $F^{\perp }$ est une base de ${\mathbb{R}}^4$.

5. Décomposer le vecteur $x=(1,2,3,4)$ sous la forme $x=y+z$ avec $y\in F$ et $z\in F^{\perp }$. Vérifier que $⟨y,z⟩=0$, puis que $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}^2=\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}^2+\mathrm{\parallel }z{\mathrm{\parallel }}^2$.

6. Déterminer ${\left(F^{\perp }\right)}^{\perp }$ et commenter.

7. On pose $G=\mathrm{Vect}\left(u_1\right)$. Déterminer $G^{\perp }$, le comparer à $F^{\perp }$, et énoncer la règle générale concernant l'orthogonal d'un sous-espace inclus dans un autre.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul et toutes les matrices sont à coefficients réels.

1. Rappeler la définition de deux matrices semblables de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, puis démontrer que la similitude est une relation d'équivalence sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

2. Soient $A$ et $B$ deux matrices semblables de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Démontrer les trois égalités suivantes.

Pour c., on écrira $B=P^{-1}AP$ et l'on remarquera que si $AX=\lambda X$ avec $X\mathrm{\ne }0$, alors $P^{-1}X$ est un vecteur propre de $B$.

3. Dans chacun des cas suivants, dire si les deux matrices proposées sont semblables, en justifiant soigneusement.

a. $A_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ et $B_1=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

b. $A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ et $B_2=I_2$.

c. Construire deux matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ ayant la même trace et le même rang, mais qui ne sont pas semblables.

d. $A_4=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ et $B_4=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$.

4. Soient $A$ et $B$ deux matrices semblables de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Démontrer que $A^k$ et $B^k$ sont semblables pour tout entier naturel $k$, puis que $Q(A)$ et $Q(B)$ sont semblables pour tout polynôme $Q$.

5. En déduire un critère supplémentaire de non-similitude, et l'appliquer aux deux matrices suivantes de ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ :

$$A_5=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),B_5=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

On vérifiera d'abord que les critères de la question 2 ne permettent pas de conclure.

6. Déterminer toutes les matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ semblables à $I_n$.

On note $E={\mathbb{R}}_3[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $3$, muni de sa base canonique $\mathcal{B}=(1,X,X^2,X^3)$. On définit l'application $\phi$ par

$$\phi (P)=(X+1)P^{\mathrm{\prime }}-P\mathrm{.}$$

1. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$.

2. Calculer $\phi (1)$, $\phi (X)$, $\phi (X^2)$ et $\phi (X^3)$, puis écrire la matrice $A$ de $\phi$ dans la base $\mathcal{B}$.

3. Constater que $A$ est triangulaire et en déduire $\mathrm{Sp}(\phi )$ sans aucun calcul supplémentaire.

4. Justifier que $\phi$ est diagonalisable en citant le théorème utilisé.

5. Déterminer une base de chacun des sous-espaces propres de $\phi$.

6. Écrire la matrice $D$ de $\phi$ dans la base de vecteurs propres obtenue, ainsi que la matrice de passage $P$ correspondante. Vérifier l'égalité $AP=PD$.

7. En déduire $\mathrm{Ker}\phi$ et $\mathrm{Im}\phi$, puis résoudre l'équation $\phi (P)=X^2$, d'inconnue $P\in E$.

On note $E={\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, muni de sa base canonique

$$\mathcal{B}=(E_{1,1},E_{1,2},E_{2,1},E_{2,2}),$$

où $E_{i,j}$ désigne la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d'indice $(i,j)$, égal à $1$. On définit l'application $\phi$ sur $E$ par

$$\phi (M)={}^{t}M\mathrm{.}$$

1. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$ et que $\phi \circ \phi ={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

2. En déduire un polynôme annulateur de $\phi$, puis l'inclusion $\mathrm{Sp}(\phi )\subset \{-1,1\}$.

3. Déterminer $E_1$ et $E_{-1}$ : décrire ces ensembles, en donner une base et préciser leur dimension.

4. En déduire que $E=E_1\oplus E_{-1}$ et que $\phi$ est diagonalisable.

5. Écrire la matrice $T$ de $\phi$ dans la base canonique $\mathcal{B}$, puis la matrice $D$ de $\phi$ dans une base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ adaptée à la somme directe précédente. Donner la matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ à ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ et vérifier $TP=PD$.

6. Vérifier que la trace de la matrice de $\phi$ vaut $3-1=2$ dans les deux bases.

7. Généraliser à $E_n={\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ : dimensions des sous-espaces propres de la transposition et trace de cet endomorphisme.

On fixe la matrice

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$$

et l'on définit l'application $\phi :{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ par

$$\phi (M)=\mathrm{Tr}(M)A\mathrm{.}$$

On note $\mathcal{B}=(E_{1,1},E_{1,2},E_{2,1},E_{2,2})$ la base canonique de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

1. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

2. Déterminer $\mathrm{Im}\phi$ et $\mathrm{Ker}\phi$, ainsi que leurs dimensions (on utilisera le théorème du rang, et l'on donnera une base de chacun).

3. Calculer $\phi (A)$ et en déduire une valeur propre non nulle de $\phi$.

4. Montrer que $\phi \circ \phi =2\phi$. En déduire un polynôme annulateur de $\phi$, puis l'inclusion $\mathrm{Sp}(\phi )\subset \{0,2\}$.

5. Déterminer les sous-espaces propres de $\phi$ et leurs dimensions, puis conclure que $\phi$ est diagonalisable.

6. Écrire la matrice de $\phi$ dans la base canonique $\mathcal{B}$ et vérifier que sa trace vaut $2$.

7. Que devient le résultat de la question 5 si l'on remplace $A$ par une matrice de trace nulle ? Discuter la diagonalisabilité de $\phi$ dans ce cas.

Soit $n$ un entier tel que $n⩾2$ et soit $J\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$. On note $(e_1,\dots ,e_n)$ la base canonique de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ et

$$u=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ \mathrm{⋮}\\ 1\end{array}\right)=e_1+e_2+\cdots +e_n\mathrm{.}$$

1. Calculer $J^2$. En déduire un polynôme annulateur de $J$, puis l'inclusion $\mathrm{Sp}(J)\subset \{0,n\}$.

2. Déterminer $\mathrm{rg}(J)$, puis $\mathrm{Ker}J$ (on en donnera une base explicite de cardinal $n-1$) et $E_n$.

3. Conclure que $J$ est diagonalisable et écrire une matrice diagonale semblable à $J$.

4. Calculer $J^k$ pour tout entier $k⩾1$.

5. Soient $a$ et $b$ deux réels et $M=a{I}_n+bJ$. Déterminer $\mathrm{Sp}(M)$, puis une condition nécessaire et suffisante sur $a$ et $b$ pour que $M$ soit inversible.

6. Sous cette condition, déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $M^{-1}=\alpha I_n+\beta J$.

7. Application numérique : $n=3$, $a=2$ et $b=1$. Donner $M$, $\mathrm{Sp}(M)$, $M^{-1}$ et $M^k$, et vérifier par le calcul que $M{M}^{-1}=I_3$.

Partie A : étude théorique

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, avec $E\mathrm{\ne }\{0_E\}$, et soit $f$ un endomorphisme de $E$ tel qu'il existe un entier $p⩾1$ vérifiant $f^p=0$ (on dit alors que $f$ est nilpotent). On note $f^p=f\circ f\circ \cdots \circ f$ ($p$ fois).

1. Montrer que $\mathrm{Sp}(f)\subset \{0\}$.

2. Montrer que $f$ n'est pas injectif, et en déduire que $0$ est effectivement valeur propre de $f$.

3. Démontrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f=0$.

Partie B : étude d'un exemple

On pose

$$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

4. Calculer $N^2$ et $N^3$, et conclure que $N$ est nilpotente d'indice $3$ (c'est-à-dire $N^3=0$ et $N^2\mathrm{\ne }0$).

5. Déterminer $\mathrm{Ker}N$ et vérifier que $N$ n'est pas diagonalisable.

6. Montrer que $I_3+N$ est inversible et calculer son inverse à l'aide de $N$ (on pourra développer le produit $(I_3+N)(I_3-N+N^2)$).

7. Calculer ${(I_3+N)}^k$ pour tout entier $k⩾1$ à l'aide de la formule du binôme, en justifiant qu'elle s'applique, et donner les coefficients explicitement.

8. Quel est le spectre de $I_3+N$ ? Cette matrice est-elle diagonalisable ?

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ -2& 2& 1& 2\\ -2& 2& 0& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, on note $(S_{\lambda })$ le système $(A-\lambda I_4)X=0$, d'inconnue la colonne $X=(x_1,x_2,x_3,x_4)$.

1. Déterminer $\mathrm{Sp}(A)$ en résolvant $(S_{\lambda })$ par la méthode du pivot, en détaillant la disjonction de cas.

2. Déterminer une base de chaque sous-espace propre de $A$.

3. Vérifier que la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $4$, et que la concaténation des bases précédentes est une famille libre de ${\mathbb{R}}^4$.

4. Conclure que $A$ est diagonalisable, écrire une matrice de passage $P$ et la matrice diagonale $D$ associée, puis vérifier l'égalité $AP=PD$.

5. Calculer $\mathrm{Tr}(A)$ et vérifier la cohérence avec le spectre obtenu.

6. Calculer $A^n$ pour tout entier naturel $n$.

7. Déterminer $\mathrm{rg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(A-I_4)$ et faire le lien avec la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre double.

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique, défini pour $x=(x_1,x_2,x_3)$ et $y=(y_1,y_2,y_3)$ par $⟨x,y⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$. On pose

$$u_1=(1,1,1),u_2=(1,0,2),F=\mathrm{Vect}(u_1,u_2)\mathrm{.}$$

1. Justifier que la famille $(u_1,u_2)$ est libre et que $\dim F=2$.

2. Orthonormaliser la famille $(u_1,u_2)$ par le procédé de Schmidt. On détaillera les deux étapes (orthogonalisation, puis normalisation) et on vérifiera que la famille $(e_1,e_2)$ obtenue est bien orthonormée.

3. Déterminer $F^{\perp }$ : système d'équations, base, dimension.

4. Compléter $(e_1,e_2)$ en une base orthonormée $(e_1,e_2,e_3)$ de ${\mathbb{R}}^3$.

5. Écrire la matrice de passage $P$ de la base canonique à la base $(e_1,e_2,e_3)$ et vérifier que ${}^{t}PP=I_3$.

6. On pose $v=(3,1,2)$. Donner les coordonnées de $v$ dans la base $(e_1,e_2,e_3)$ à l'aide de la formule $v={\sum }_{i=1}^3⟨v,e_i⟩e_i$, puis vérifier que $\mathrm{\parallel }v{\mathrm{\parallel }}^2={\sum }_{i=1}^3⟨v,e_i{⟩}^2$.

7. En déduire la décomposition $v=v_F+v_{F^{\perp }}$ associée à la somme directe ${\mathbb{R}}^3=F\oplus F^{\perp }$.

Sur l'espace vectoriel $E={\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, on pose, pour toutes matrices $A$ et $B$ de $E$,

$$⟨A,B⟩=\mathrm{Tr}\left({}^{t}AB\right)\mathrm{.}$$

On note $A=(a_{i,j}{)}_{1⩽i,j⩽n}$ et $B=(b_{i,j}{)}_{1⩽i,j⩽n}$.

1. En calculant le coefficient diagonal général de ${}^{t}AB$, montrer que

$$⟨A,B⟩=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{b}_{i,j},$$

et en déduire que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est un produit scalaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

2. Exprimer $\mathrm{\parallel }A\mathrm{\parallel }$ en fonction des coefficients de $A$, et calculer $\mathrm{\parallel }M\mathrm{\parallel }$ pour $M=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$.

3. Montrer que la base canonique $(E_{i,j}{)}_{1⩽i,j⩽n}$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est orthonormée pour ce produit scalaire.

4. On se place dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. On note $\mathcal{S}$ le sous-espace des matrices symétriques et $\mathcal{A}$ celui des matrices antisymétriques. Montrer que $\mathcal{A}={\mathcal{S}}^{\perp }$ et vérifier la relation $\dim \mathcal{S}+\dim \mathcal{A}=4$.

5. Décomposer $M=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)$ selon la somme directe ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})=\mathcal{S}\oplus \mathcal{A}$, et vérifier le théorème de Pythagore sur cette décomposition.

6. Écrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour ce produit scalaire. En l'appliquant avec $B=I_n$, montrer que pour toute matrice $A$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$,

$$(\mathrm{Tr}(A){)}^2⩽n\mathrm{Tr}({}^{t}AA),$$

et préciser le cas d'égalité.

7. Déterminer l'orthogonal, dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, du sous-espace $H$ des matrices de trace nulle.

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et l'on note $\mathcal{B}=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)$ sa base canonique, qui est orthonormée. On pose

$$e_1^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{3}(2,2,1),e_2^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{3}(-2,1,2),e_3^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{3}(1,-2,2)\mathrm{.}$$

1. Vérifier que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(e_1^{\mathrm{\prime }},e_2^{\mathrm{\prime }},e_3^{\mathrm{\prime }})$ est une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Écrire la matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ à ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$, vérifier que ${}^{t}PP=I_3$ et en déduire $P^{-1}$ sans aucun calcul d'inversion.

3. Soit $v=(1,2,3)$. Déterminer ses coordonnées dans ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ de deux façons : par le produit $P^{-1}X$, puis par les produits scalaires $⟨v,e_i^{\mathrm{\prime }}⟩$. Vérifier que l'on obtient le même résultat.

4. Vérifier sur cet exemple que $\mathrm{\parallel }v{\mathrm{\parallel }}^2$ se calcule de la même manière dans les deux bases, et expliquer pourquoi.

5. Soit $f$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique est

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Donner la matrice de $f$ dans la base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ sous la forme ${}^{t}PAP$, en justifiant cette écriture.

6. Montrer, sur une base NON orthonormée de ${\mathbb{R}}^3$, que la formule $⟨x,y⟩={}^{t}XY$ appliquée aux coordonnées est fausse.