Devoir surveillé — Algèbre linéaire et bilinéaire

Chacune des six affirmations suivantes est soit vraie, soit fausse. Démontrer celles qui sont vraies ; réfuter les autres par un contre-exemple explicite, entièrement justifié. Une affirmation déclarée fausse sans contre-exemple ne rapporte aucun point.

1. Si $A$ et $B$ sont deux matrices diagonalisables de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, alors $AB$ est diagonalisable. (0,5 point)

2. Pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ : $A$ est diagonalisable si et seulement si $A^2$ est diagonalisable. (0,5 point)

3. Si $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ vérifie $\mathrm{Tr}(A)=0$, alors $0$ est valeur propre de $A$. (0,5 point)

4. Si $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est inversible et diagonalisable, alors $A^{-1}$ est diagonalisable. (0,5 point)

5. Dans un espace euclidien $E$, si deux vecteurs $x$ et $y$ vérifient $\mathrm{\parallel }x+y\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$, alors $x$ et $y$ sont orthogonaux. (0,5 point)

6. Dans un espace euclidien $E$, si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels tels que $F\cap G=\{0_E\}$, alors tout vecteur de $F$ est orthogonal à tout vecteur de $G$. (0,5 point)

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique, défini pour $x=(x_1,x_2,x_3)$ et $y=(y_1,y_2,y_3)$ par $⟨x,y⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$, et l'on note $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ la norme associée. On pose

$$a=(1,2,2),\phi (x)=x_1+2x_2+2x_3,S=\{x\in {\mathbb{R}}^3;\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }=1\}\mathrm{.}$$

1. Calculer $\mathrm{\parallel }a\mathrm{\parallel }$, puis démontrer que $\mathrm{\mid }\phi (x)\mathrm{\mid }⩽3\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }$ pour tout $x\in {\mathbb{R}}^3$. On précisera l'inégalité utilisée et les deux vecteurs auxquels on l'applique. (0,5 point)

2. Déterminer le maximum de $\phi$ sur $S$, ainsi que l'ensemble des vecteurs de $S$ en lesquels il est atteint. Le cas d'égalité sera justifié avec soin. (0,75 point)

3. En déduire le minimum de $\phi$ sur $S$ et le ou les vecteurs qui le réalisent, sans refaire l'étude. (0,5 point)

4. Le problème réciproque. Déterminer le minimum de $x_1^2+x_2^2+x_3^2$ lorsque $x$ décrit l'ensemble $\{x\in {\mathbb{R}}^3;\phi (x)=9\}$, et le point où ce minimum est atteint. (0,75 point)

5. Généralisation. Soit $n⩾1$, soit $b\in {\mathbb{R}}^n$ non nul et soit $S_n$ la sphère unité de ${\mathbb{R}}^n$. Démontrer que le maximum de $x⟼⟨x,b⟩$ sur $S_n$ vaut $\mathrm{\parallel }b\mathrm{\parallel }$, et qu'il est atteint en un unique point, que l'on précisera. (0,5 point)

6. Application. Une équipe commerciale répartit son effort sur trois secteurs, l'effort consacré au secteur $i$ étant un réel $x_i⩾0$. Le service des ressources humaines impose la contrainte de charge $x_1^2+x_2^2+x_3^2⩽1$, et le chiffre d'affaires espéré, en milliers d'euros, est $\phi (x)$. Déterminer la meilleure répartition possible de l'effort et le chiffre d'affaires correspondant. Commenter en une phrase la forme de la solution. (0,5 point)

Un club de sport propose deux formules : l'abonnement annuel et la carte à la séance. On note $a_n$ le nombre d'abonnés annuels et $c_n$ le nombre de détenteurs d'une carte au début de l'année $n$, et l'on pose

$$X_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ c_n\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

D'une année sur l'autre, le club observe la répartition suivante. Parmi les abonnés annuels, $40\mathrm{\%}$ renouvellent leur abonnement, $20\mathrm{\%}$ basculent sur une carte, et les autres quittent le club. Parmi les détenteurs d'une carte, $10\mathrm{\%}$ prennent un abonnement annuel, $30\mathrm{\%}$ reprennent une carte, et les autres quittent le club. Enfin, chaque année, la campagne de recrutement apporte $120$ nouveaux abonnés annuels et $80$ nouveaux détenteurs de carte.

Au début de l'année $0$, le club compte $a_0=300$ abonnés annuels et $c_0=100$ détenteurs de carte. Les effectifs sont traités comme des réels et ne sont pas arrondis.

1. Exprimer $a_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $c_n$, puis déterminer $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ et $B\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ tels que $X_{n+1}=A{X}_n+B$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. (0,5 point)

2. Démontrer qu'il existe une unique colonne $X^{\star }$ vérifiant $X^{\star }=A{X}^{\star }+B$, et la déterminer. (0,5 point)

3. On pose $Y_n=X_n-X^{\star }$. Démontrer que $Y_{n+1}=A{Y}_n$ pour tout $n$, puis que $Y_n=A^n{Y}_0$. (0,5 point)

4. Déterminer $\mathrm{Sp}(A)$ et une base de chaque sous-espace propre de $A$, en résolvant le système $(A-\lambda I_2)X=0$ par le pivot, $\lambda$ étant traité comme un paramètre. En déduire que $A$ est diagonalisable. (0,75 point)

5. Décomposer $Y_0$ sur une base de vecteurs propres de $A$, et en déduire les expressions explicites de $a_n$ et $c_n$ en fonction de $n$, sans calculer $A^n$. Vérifier le résultat pour $n=0$ et $n=1$. (0,75 point)

6. Déterminer les limites de $a_n$ et $c_n$, et interpréter. Ce comportement dépend-il des effectifs initiaux ? (0,25 point)

7. Le club se fixe pour objectif un équilibre à $300$ abonnés annuels et $200$ détenteurs de carte. Les taux de renouvellement étant inchangés, combien d'adhérents de chaque formule sa campagne annuelle doit-elle recruter ? (0,25 point)

On note $E={\mathbb{R}}_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $2$, de base canonique $\mathcal{B}=(1,X,X^2)$. Pour $P$ et $Q$ dans $E$, on pose

$$⟨P,Q⟩=P(-1)Q(-1)+P(0)Q(0)+P(1)Q(1),$$

dont on admet que c'est un produit scalaire sur $E$. On note $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ la norme associée.

1. Calculer $⟨1,X⟩$, $⟨1,X^2⟩$ et $⟨X,X^2⟩$, ainsi que $\mathrm{\parallel }1\mathrm{\parallel }$, $\mathrm{\parallel }X\mathrm{\parallel }$ et $\parallel X^2\parallel$. La base canonique $\mathcal{B}$ est-elle orthogonale ? (0,5 point)

2. Déterminer les trois polynômes $L_{-1}$, $L_0$, $L_1$ de $E$ définis par les conditions suivantes : chacun prend la valeur $1$ en l'un des trois points $-1$, $0$, $1$ (celui qui figure en indice) et la valeur $0$ aux deux autres. On les cherchera sous forme factorisée. (0,75 point)

3. Démontrer, sans calculer aucune des trois expressions développées, que $(L_{-1},L_0,L_1)$ est une base orthonormée de $E$. (0,5 point)

4. En déduire que pour tout $P\in E$,

$$P=P(-1)L_{-1}+P(0)L_0+P(1)L_1\text{et}\mathrm{\parallel }P{\mathrm{\parallel }}^2=P(-1{)}^2+P(0{)}^2+P(1{)}^2\mathrm{.}$$

Appliquer ces deux formules à $P_0=X^2+X+1$, et contrôler la valeur de $\parallel P_0{\parallel }^2$ par un calcul indépendant mené dans la base canonique. (0,75 point)

5. On pose $F=\{P\in E;P(0)=0\}$. Justifier que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et donner sa dimension, puis déterminer $F^{\perp }$. (0,75 point)

6. Démontrer que pour tout triplet $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ de réels, il existe un unique polynôme $P\in E$ tel que $P(-1)=\alpha$, $P(0)=\beta$ et $P(1)=\gamma$. On donnera deux démonstrations de l'unicité : l'une utilisant la question 4., l'autre reposant sur un argument de degré. (0,75 point)

Dans tout le problème, $n$ désigne un entier supérieur ou égal à $2$. On identifie ${\mathbb{R}}^n$ à ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$, et on le munit de son produit scalaire canonique, que l'on note

$$⟨X,Y⟩={}^{t}XY=\sum _{k=1}^n{x}_k{y}_k\mathrm{.}$$

On se donne $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et l'on note $f$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^n$ canoniquement associé, c'est-à-dire $f(X)=AX$.

Un sous-espace vectoriel $V$ de ${\mathbb{R}}^n$ est dit stable par $f$ lorsque $f(X)\in V$ pour tout $X\in V$.

L'objectif est de décrire TOUTES les droites et TOUS les plans stables par $f$. Les droites se traitent en une ligne. Les plans, eux, ne se lisent pas sur $A$, mais sur sa transposée.

Partie A. Deux matrices pour le prix d'une

1. Démontrer que pour toutes colonnes $X$ et $Y$ de ${\mathbb{R}}^n$, on a $⟨AX,Y⟩=⟨X,{}^{t}AY⟩$. (0,25 point)

2. Démontrer que $\mathrm{Sp}(A)=\mathrm{Sp}\left({}^{t}A\right)$. On rappelle qu'une matrice carrée et sa transposée ont le même rang. (0,5 point)

3. Montrer, sur l'exemple $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$, que $A$ et ${}^{t}A$ n'ont en revanche pas les mêmes sous-espaces propres. (0,25 point)

4. Soit $W$ une colonne non nulle de ${\mathbb{R}}^n$ et soit $H=\{X\in {\mathbb{R}}^n;⟨X,W⟩=0\}$. Justifier que $\dim H=n-1$, puis démontrer que $H$ est stable par $f$ si et seulement si $W$ est un vecteur propre de ${}^{t}A$. (0,5 point)

5. Soit $X$ une colonne non nulle. Démontrer que la droite $\mathrm{Vect}(X)$ est stable par $f$ si et seulement si $X$ est un vecteur propre de $A$. (0,25 point)

Partie B. Une matrice explicite

Dans toute cette partie, $n=3$ et

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 2\\ -1& 2& 1\\ 1& -1& 4\end{array}\right)\mathrm{.}$$

6. Déterminer $\mathrm{Sp}(A)$ et une base de chaque sous-espace propre, en résolvant le système $(A-\lambda I_3)X=0$ par la méthode du pivot, $\lambda$ étant traité comme un paramètre. Toutes les opérations élémentaires et la disjonction des cas devront être écrites. (0,75 point)

7. En déduire que $A$ est diagonalisable, et écrire une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $P^{-1}AP=D$. On ne calculera pas $P^{-1}$ ici. (0,25 point)

8. Déterminer une base de chaque sous-espace propre de ${}^{t}A$. On utilisera la question 2. pour éviter toute nouvelle discussion. (0,5 point)

9. En déduire la liste complète des droites stables par $f$ et celle des plans stables par $f$, en donnant pour chaque plan une équation cartésienne et une base. Combien y en a-t-il de chaque sorte ? (0,5 point)

Partie C. Ce que les deux familles se disent

On revient au cas général : $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ possède $n$ valeurs propres deux à deux distinctes ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$. Pour chaque $i$, on note $X_i$ un vecteur propre de $A$ associé à ${\lambda }_i$, et $W_i$ un vecteur propre de ${}^{t}A$ associé à ${\lambda }_i$, ce qui a un sens d'après la question 2.

10. Démontrer que $⟨X_i,W_j⟩=0$ dès que $i\mathrm{\ne }j$. (0,5 point)

11. Vérifier ce résultat sur l'exemple de la partie B, et calculer les trois produits scalaires $⟨X_i,W_i⟩$. (0,25 point)

12. Démontrer que $⟨X_i,W_i⟩\mathrm{\ne }0$ pour tout $i$. (0,5 point)

13. Soit $P$ la matrice dont les colonnes sont $X_1,\dots ,X_n$ et soit $Q$ la matrice dont la $i$-ième LIGNE est ${\displaystyle \frac{{}^t{W}_i}{⟨X_i,W_i⟩}}$. Démontrer que $QP=I_n$, autrement dit que $Q=P^{-1}$ : l'inverse de la matrice de passage s'obtient sans aucun pivot. Vérifier sur l'exemple de la partie B. (0,5 point)

14. En déduire, pour la matrice $A$ de la partie B, l'expression de $A^m$ pour tout entier naturel $m$, tous les coefficients étant explicités. Contrôler le résultat pour $m=0$ et $m=1$. (0,5 point)