Exercices — Suites de nombres réels

On considère les trois suites suivantes.

• $(u_n)$ est définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $u_n=n^2-4n+1$.
• $(v_n)$ est définie par $v_0=3$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_{n+1}=3v_n-4$.
• $(w_n)$ est définie par $w_n=g(n)$, où $g$ est la fonction définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)={\displaystyle \frac{x+3}{x}}$.

1. Préciser, pour chacune de ces trois suites, son mode de définition.

2. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$. La suite $(u_n)$ semble-t-elle monotone ?

3. Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$. Peut-on obtenir $v_{10}$ sans calculer tous les termes qui le précèdent ?

4. Calculer $w_1$, $w_2$ et $w_3$ sous forme de fractions irréductibles. À partir de quel rang la suite $(w_n)$ est-elle définie, et pourquoi ?

1. Pour chacune des suites suivantes, dire si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre. Chaque réponse sera prouvée par le calcul de $u_{n+1}-u_n$ ou de ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$, et l'on précisera, le cas échéant, la raison et le premier terme.

2. On pose, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $d_n=b_n+2$, où $(b_n)$ est la suite de l'item f. Démontrer que $(d_n)$ est géométrique, en déduire une expression de $b_n$ en fonction de $n$, puis calculer $b_5$.

3. Une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ? Donner un exemple et le justifier.

1. Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $u_n={\displaystyle \frac{n}{n+1}}$. Étudier son sens de variation à l'aide du signe de $u_{n+1}-u_n$.

2. Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $v_n={\displaystyle \frac{n+1}{2^n}}$. Vérifier que tous ses termes sont strictement positifs, puis étudier son sens de variation à l'aide du quotient ${\displaystyle \frac{v_{n+1}}{v_n}}$.

3. Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={\displaystyle \frac{2x-1}{x+2}}$, et soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n=f(n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Étudier les variations de $f$, dresser son tableau de variations, puis en déduire le sens de variation de $(w_n)$.

4. La suite $(z_n)$ définie par $z_n=(-1{)}^n\times n$ est-elle monotone ? Justifier.

1. Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $u_n={\displaystyle \frac{3n+1}{n+1}}$. Vérifier que $u_n=3-{\displaystyle \frac{2}{n+1}}$, puis démontrer que $(u_n)$ est bornée en exhibant un minorant et un majorant explicites.

2. Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $v_n=n^2-5n$. Démontrer que $(v_n)$ est minorée par $-6$. Est-elle majorée ?

3. Démontrer que les suites $(w_n)$ et $(t_n)$ définies par $w_n=(-1{)}^n$ et $t_n=2+{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n+1}}$ sont bornées.

4. La suite $(w_n)$ de la question 3. est bornée. Converge-t-elle ? Qu'en conclure sur le lien entre « bornée » et « convergente » ?

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=7$ et de raison $r=4$.

1. Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_{20}$.

2. Soit $(v_n)$ une suite arithmétique telle que $v_3=11$ et $v_8=31$. Déterminer sa raison, puis son terme général $v_n$.

3. Calculer les deux sommes suivantes :

$$S=u_0+u_1+\cdots +u_{20}\text{et}T=u_5+u_6+\cdots +u_{30}$$

4. Un épargnant verse $150$ € sur un compte le premier mois, puis, chaque mois, $12$ € de plus que le mois précédent. Quel montant verse-t-il le douzième mois ? Quelle somme totale a-t-il versée au bout de douze mois ?

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=2$.

1. Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_{10}$.

2. Rappeler la formule donnant ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{q}^k}$ lorsque $q\mathrm{\ne }1$, puis calculer $S=u_0+u_1+\cdots +u_{10}$.

3. Calculer $T=u_4+u_5+\cdots +u_{10}$.

4. Soit $(v_n)$ une suite géométrique à termes strictement positifs telle que $v_2=12$ et $v_5=96$. Déterminer sa raison, puis son terme général.

5. Déterminer la limite de la suite $(w_n)$ définie par $w_n=3q^n$ dans chacun des trois cas $q=\mathrm{0,4}$, puis $q=1$, puis $q=\mathrm{1,5}$.

1. Donner la limite de chacune des suites suivantes, toutes définies pour $n⩾1$, ou dire qu'elle n'en admet pas.

2. Déterminer le plus petit rang $N$ à partir duquel tous les termes de $(b_n)$ appartiennent à l'intervalle ouvert $]\mathrm{2,9};\mathrm{3,1}[$. Combien de termes de la suite sont en dehors de cet intervalle ?

3. Déterminer le plus petit rang à partir duquel $c_n⩽{10}^{-3}$.

4. Démontrer que la suite $(d_n)$ n'admet pas de limite, en revenant à la définition de la convergence par intervalles ouverts.

1. Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour $n⩾2$, lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

2. Ranger les trois suites $((\ln n{)}^{10})$, $\left(n^2\right)$ et $\left({\mathrm{1,1}}^n\right)$ de la plus lente à la plus rapide, en justifiant par deux limites.

3. En déduire la limite de ${\displaystyle \frac{n^{100}}{{\mathrm{1,0001}}^n}}$. Commenter.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0,4]$ par $f(x)={\displaystyle \frac{4x}{x+2}}$, et soit $(u_n)$ la suite définie par

$$u_0=\mathrm{0,4}\text{et, pour tout }n\in \mathbb{N},u_{n+1}={\displaystyle \frac{4u_n}{u_n+2}}=f(u_n)$$

La figure ci-dessous représente la courbe de $f$ sur $[0,4]$, la droite d'équation $y=x$ en pointillés, et le terme initial $u_0=\mathrm{0,4}$ placé sur l'axe des abscisses.

1. Décrire précisément la construction graphique qui permet de placer $u_1$, $u_2$ puis $u_3$ sur l'axe des abscisses, et la réaliser sur la figure. Donner les valeurs approchées ainsi lues.

2. Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$ et sa limite.

3. Calculer $u_1$ et $u_2$ par le calcul, sous forme de fractions irréductibles. Ces valeurs confirment-elles la lecture graphique ?

4. Résoudre l'équation $f(x)=x$ sur $[0,4]$. Quel lien cette résolution a-t-elle avec la limite conjecturée à la question 2. ?

On rappelle les deux formules de sommation à connaître : pour tout entier $n⩾1$ et tout réel $q\mathrm{\ne }1$,

$$\sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}},\sum _{k=0}^n{q}^k={\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}$$

Plus généralement, une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut le nombre de termes multiplié par la demi-somme du premier et du dernier terme.

1. Calculer les sommes suivantes.

   a. ${\displaystyle A=\sum _{k=30}^{80}k}$

   b. ${\displaystyle B_n=\sum _{k=4}^n(3k-1)}$, pour $n⩾4$

   c. ${\displaystyle C_n=\sum _{k=0}^n{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^k}$

   d. ${\displaystyle D_n=\sum _{k=3}^n{2}^k}$, pour $n⩾3$

2. Calculer, pour tout $n\in \mathbb{N}$, la somme ${\displaystyle S_n=\sum _{k=0}^n(2k+3^k)}$.

3. Vérifier la formule obtenue à la question 2. pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$.

4. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{B_n}{n^2}}}$.

5. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{3^n}}}$.

Un plan d'épargne rapporte $4\mathrm{\%}$ par an, à intérêts composés : un capital placé est multiplié par $\mathrm{1,04}$ chaque année.

Une épargnante y verse $V=2000$ euros à la fin de chaque année, à partir de la fin de la première année. Les versements ne rapportent donc des intérêts qu'à compter de l'année suivante.

Pour $n⩾1$, on note $A_n$ le capital disponible sur le plan juste après le versement de la fin de l'année $n$.

1. Calculer $A_1$, $A_2$ et $A_3$ en suivant l'histoire année après année.

2. Soit $n⩾1$ et $k$ un entier compris entre $1$ et $n$. Justifier que le versement effectué à la fin de l'année $k$ vaut $2000\times {\mathrm{1,04}}^{n-k}$ à la fin de l'année $n$, puis en déduire que

$$A_n=\sum _{k=1}^{n}2000\times {\mathrm{1,04}}^{n-k}$$

3. À l'aide du changement d'indice $j=n-k$, démontrer que, pour tout $n⩾1$,

$$A_n=50000({\mathrm{1,04}}^n-1)$$

4. Vérifier cette formule sur $A_1$, $A_2$ et $A_3$.

5. Calculer $A_{10}$, arrondi au centime. Quelle part de ce capital provient des intérêts ?

6. Déterminer le plus petit nombre d'années au bout duquel le capital dépasse $50000$ euros. On rappelle que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et que $\ln \left(a^n\right)=n\ln a$ pour tout réel $a>0$.

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par

$$u_0=1\text{et}{u}_{n+1}={\displaystyle \frac{u_n+6}{2}}\text{pour tout }n\in \mathbb{N}$$

et la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\displaystyle \frac{x+6}{2}}$, de sorte que $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fractions, puis en donner une valeur décimale. Quelles conjectures peut-on formuler ?

2. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$, puis résoudre l'équation $f(x)=x$.

3. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $1⩽u_n⩽6$. Que peut-on en déduire sur la suite $(u_n)$ ?

4. Démontrer par récurrence, en utilisant le sens de variation de $f$, que la suite $(u_n)$ est croissante.

5. Retrouver ce résultat en étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$. La croissance est-elle stricte ?

6. Récapituler ce que l'on a démontré sur $(u_n)$ et formuler une conjecture sur son comportement lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

Une suite $(u_n)$ est dite arithmético-géométrique lorsqu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $u_{n+1}=a{u}_n+b$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. On traite ici deux exemples en parallèle :

$$(u_n):u_0=1,u_{n+1}=3u_n-4(w_n):w_0=8,w_{n+1}=\mathrm{0,4}{w}_n+3$$

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $w_1$, $w_2$, $w_3$.

2. Pour chacune des deux suites, résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\mathrm{\ell }=a\mathrm{\ell }+b$ associée. Le réel $\mathrm{\ell }$ obtenu est appelé point fixe.

3. On pose $v_n=u_n-2$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique, préciser sa raison et son premier terme, puis en déduire $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$. Vérifier la formule obtenue sur $u_0$, $u_1$ et $u_2$.

4. Reprendre la même méthode pour $(w_n)$, en posant $t_n=w_n-5$.

5. Étudier la monotonie de chacune des deux suites.

6. Déterminer la limite de chacune des deux suites.

7. On considère enfin la suite $(x_n)$ définie par $x_0=2$ et $x_{n+1}=x_n+3$. Montrer que l'équation du point fixe n'a pas de solution, expliquer pourquoi la méthode précédente échoue, et déterminer malgré tout $x_n$ en fonction de $n$ ainsi que la limite de $(x_n)$.

Deux enseignes de bricolage, $A$ et $B$, se partagent la totalité de la clientèle d'une ville : tout client est client de l'une ou de l'autre, et d'une seule.

Une étude montre que, d'une année sur l'autre :

• $20\mathrm{\%}$ des clients de $A$ passent chez $B$, les autres restent chez $A$ ;
• $30\mathrm{\%}$ des clients de $B$ passent chez $A$, les autres restent chez $B$ ;
• le nombre total de clients ne varie pas.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $p_n$ la part de marché de l'enseigne $A$ au bout de $n$ années, exprimée en proportion de la clientèle totale. La part de marché de $B$ est donc $1-p_n$. Au départ, $A$ détient un quart du marché : $p_0=\mathrm{0,25}$.

1. Calculer $p_1$ en détaillant d'où viennent les clients de $A$ au bout d'un an.

2. Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $p_{n+1}=\mathrm{0,5}{p}_n+\mathrm{0,3}$.

3. Résoudre l'équation $\mathrm{\ell }=\mathrm{0,5}\mathrm{\ell }+\mathrm{0,3}$. On pose alors $v_n=p_n-\mathrm{0,6}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ : démontrer que $(v_n)$ est géométrique et en déduire $p_n$ en fonction de $n$.

4. Vérifier la formule obtenue sur $p_0$, $p_1$ et $p_2$.

5. Étudier la monotonie de $(p_n)$, puis déterminer sa limite. Interpréter ce résultat pour les deux enseignes.

6. Déterminer la première année au bout de laquelle l'enseigne $A$ détient plus de $59\mathrm{\%}$ du marché.

7. L'enseigne $A$ peut-elle un jour atteindre $60\mathrm{\%}$ du marché ? Que se serait-il passé si elle avait démarré avec $80\mathrm{\%}$ du marché ?

L'État engage une dépense publique de $D$ millions d'euros, avec $D>0$. Cette somme devient un revenu pour ceux qui la reçoivent (entreprises, salariés), lesquels en dépensent une proportion $c$, appelée propension marginale à consommer, avec $0<c<1$, et épargnent le reste.

Cette nouvelle dépense devient à son tour un revenu, dont la proportion $c$ est de nouveau dépensée, et ainsi de suite. On appelle tour $k$ la $k$-ième vague de dépenses ainsi engendrée, et on note $d_k$ son montant, en millions d'euros. Le tour $0$ est la dépense publique initiale, donc $d_0=D$.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{d}_k}$ la dépense totale engendrée dans l'économie au terme des tours $0$ à $n$.

1. Justifier que la suite $(d_k)$ est géométrique, préciser sa raison et exprimer $d_k$ en fonction de $D$, $c$ et $k$.

2. Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $S_n=D{\displaystyle \frac{1-c^{n+1}}{1-c}}$.

3. Vérifier cette formule pour $n=0$ et $n=1$.

4. Déterminer la limite de la suite $(S_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Le nombre par lequel il faut multiplier $D$ pour obtenir cette limite s'appelle le multiplicateur keynésien : l'exprimer en fonction de $c$.

5. On prend $D=100$ millions d'euros. Calculer le multiplicateur et l'effet total sur l'économie pour $c=\mathrm{0,8}$, puis pour $c=\mathrm{0,5}$.

6. Dans chacun de ces deux cas, déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_n$ atteigne $90\mathrm{\%}$ de l'effet total. Commenter.

On rappelle le résultat du cours, admis. Soient $a$ et $b$ deux réels avec $b\mathrm{\ne }0$, et $(z_n)$ une suite réelle vérifiant

$$z_{n+2}=a{z}_{n+1}+b{z}_n\text{pour tout }n\in \mathbb{N}$$

On appelle équation caractéristique associée l'équation du second degré $r^2=ar+b$, c'est-à-dire $r^2-ar-b=0$, d'inconnue réelle $r$.

• Si elle admet deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$, il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $z_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
• Si elle admet une racine double $r_0$, il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $z_n=(\lambda +\mu n)r_0^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Dans les deux cas, les réels $\lambda$ et $\mu$ se déterminent à l'aide des deux premiers termes $z_0$ et $z_1$. Lorsque l'équation caractéristique n'a aucune racine réelle, sa résolution fait intervenir les nombres complexes : ce cas est hors programme dans la filière ECG et ne sera pas rencontré.

Partie A

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=4$, $u_1=11$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$u_{n+2}=7u_{n+1}-10u_n$$

1. Calculer $u_2$ et $u_3$.

2. Écrire l'équation caractéristique associée, la résoudre, et en déduire la forme générale de $u_n$.

3. Déterminer $\lambda$ et $\mu$ à l'aide de $u_0$ et $u_1$, puis vérifier la formule obtenue sur $u_2$ et $u_3$.

4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Partie B

On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_0=1$, $v_1=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$v_{n+2}=v_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{v}_n$$

5. Calculer $v_2$ et $v_3$, puis écrire et résoudre l'équation caractéristique associée.

6. Déterminer $\lambda$ et $\mu$, puis vérifier la formule obtenue sur $v_2$ et $v_3$.

7. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.

Les théorèmes d'opérations sur les limites (somme, produit, quotient) permettent de conclure dans presque tous les cas. Ils échouent dans quatre situations seulement, appelées formes indéterminées :

$$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },0\times \mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}},{\displaystyle \frac{0}{0}}$$

Une forme indéterminée n'est pas une absence de limite : c'est un calcul qu'il faut transformer avant de conclure.

Dans chacune des questions suivantes, déterminer la limite de la suite proposée quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Lorsqu'une forme indéterminée apparaît, on la nommera explicitement avant de la lever.

1. Quatre limites qui se lisent directement, sans transformation, pour $n⩾1$.

   a. $a_n=3-{\displaystyle \frac{2}{n}}+{\displaystyle \frac{5}{n^2}}$

   b. $b_n=(4+{\displaystyle \frac{1}{n}})(n-7)$

   c. $c_n={\displaystyle \frac{7}{2^n}}-5$

   d. $d_n={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$

2. $e_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$, pour $n⩾1$.

3. $f_n=\sqrt{n^2+n}-n$, pour $n⩾1$.

4. $g_n={\displaystyle \frac{n^2-3n}{2n+5}}$.

5. $h_n=n^2({\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}})$, pour $n⩾1$.

6. $k_n=3^n-n^2$.

Un quotient dont le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers l'infini est une forme indéterminée du type ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$. La méthode est toujours la même : mettre en facteur, en haut comme en bas, le terme qui l'emporte sur tous les autres, puis simplifier.

On rappelle les limites de référence utilisées ici, admises : pour tous réels $a>0$, $b>0$ et $q>1$,

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{n^a}{q^n}}=0\text{et}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{(\ln n{)}^b}{n^a}}=0$$

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

1. Quotients de polynômes.

   a. $A_n={\displaystyle \frac{3n^2-5n+1}{2n^2+7}}$

   b. $B_n={\displaystyle \frac{4n^3-n}{n^2+5n}}$

   c. $C_n={\displaystyle \frac{5n^2-1}{n^3+2n^2}}$

2. Quotients avec racines carrées, pour $n⩾1$.

   a. $D_n={\displaystyle \frac{\sqrt{n}+1}{n+3}}$

   b. $E_n={\displaystyle \frac{\sqrt{9n^2+1}}{n+4}}$

3. Quotients avec puissances et logarithme, pour $n⩾1$.

   a. $F_n={\displaystyle \frac{2^n+n^3}{3\times 2^n-1}}$

   b. $G_n={\displaystyle \frac{n+\ln n}{2n-1}}$

4. Un cas où les deux étages contiennent une puissance : ${\displaystyle H_n={\displaystyle \frac{3^n+n^5}{2^n+n^7}}}$.

5. Sans refaire aucun calcul, indiquer pour chacun des huit quotients précédents quel terme l'emporte au numérateur et quel terme l'emporte au dénominateur, et expliquer comment on retrouve la limite à partir de ces deux seuls termes.

On admet le théorème d'encadrement : si, à partir d'un certain rang, $v_n⩽u_n⩽w_n$, et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers un même réel $\mathrm{\ell }$, alors $(u_n)$ converge et $\lim u_n=\mathrm{\ell }$.

Chaque question se traite selon le même plan, à reproduire à l'identique : encadrer $u_n$ entre deux suites dont on sait calculer la limite, calculer ces deux limites, vérifier qu'elles sont égales, conclure.

1. Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $u_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n+1}}$.

   a. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$. La suite est-elle monotone ?

   b. Démontrer que $(u_n)$ converge et préciser sa limite.

2. Soit $(a_n{)}_{n⩾1}$ une suite dont on ne sait rien, sinon que $-3⩽a_n⩽7$ pour tout $n⩾1$. On pose $v_n={\displaystyle \frac{a_n}{n}}$ pour $n⩾1$. Démontrer que $(v_n)$ converge et donner sa limite.

3. Pour tout entier $n⩾1$, on pose $S_n={\displaystyle \frac{1}{n^2+1}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2+2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n^2+n}}$, somme de $n$ termes.

   a. Écrire $S_1$ et $S_2$ sous forme de fractions.

   b. Démontrer que, pour tout entier $k$ tel que $1⩽k⩽n$, on a ${\displaystyle \frac{1}{n^2+n}}⩽{\displaystyle \frac{1}{n^2+k}}⩽{\displaystyle \frac{1}{n^2+1}}$, puis en déduire un encadrement de $S_n$.

   c. Déterminer la limite de $(S_n)$.

4. Soit $(w_n)$ la suite définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $w_n={\displaystyle \frac{2n+(-1{)}^n}{n+3}}$. Déterminer sa limite par encadrement.

5. Un élève écrit : « la suite $((-1{)}^n)$ n'a pas de limite, donc la suite $\left({\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n+1}}\right)$ n'en a pas non plus ». Expliquer précisément l'erreur de raisonnement.

On admet les deux théorèmes de comparaison suivants.

Pour prouver qu'une suite tend vers $+\mathrm{\infty }$, il suffit donc de la minorer par une suite plus simple qui explose. Attention au sens : une seule des deux inégalités est utile dans chaque cas.

1. Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_n⩾n-5$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

   a. Que peut-on affirmer sur $(u_n)$ ? Justifier.

   b. Une telle suite est-elle nécessairement croissante ? On donnera un exemple de suite non monotone vérifiant l'hypothèse.

2. Soit $(v_n)$ définie pour $n\in \mathbb{N}$ par $v_n={\displaystyle \frac{n^2+(-1{)}^{n}n}{n+1}}$. Démontrer que $\lim v_n=+\mathrm{\infty }$. On pourra utiliser l'égalité $n^2-n=(n+1)(n-2)+2$.

3. Pour $n⩾1$, on pose $T_n={\displaystyle \frac{n}{n+1}}+{\displaystyle \frac{n}{n+2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{n}{n+n}}$, somme de $n$ termes.

   a. Calculer $T_1$ et $T_2$.

   b. Démontrer que chacun des $n$ termes de la somme est supérieur ou égal à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   c. En déduire la limite de $(T_n)$.

4. Soit $(b_n)$ définie pour $n\in \mathbb{N}$ par $b_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n}n-n^2}{n+2}}$. Démontrer que $\lim b_n=-\mathrm{\infty }$. On pourra utiliser l'égalité $n^2-n=(n+2)(n-3)+6$.

5. Un élève affirme : « la suite $(x_n)$ vérifie $x_n⩽n^2+3$ pour tout $n⩾1$, et $n^2+3$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, donc $(x_n)$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ ». Montrer que ce raisonnement est faux en exhibant quatre suites vérifiant toutes cette majoration et ayant quatre comportements différents.

On admet le théorème de la limite monotone :

Ce théorème donne l'existence de la limite, jamais sa valeur : il faut ensuite un second argument pour la calculer.

Partie A. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ à ${10}^{-3}$ près. Quelle conjecture peut-on formuler ?

2. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $1⩽u_n⩽4$.

3. Démontrer que $(u_n)$ est croissante. On pourra étudier le signe de $u_{n+1}^2-u_n^2$ et le factoriser de deux façons.

4. Que peut-on conclure ? Justifier en citant précisément le théorème utilisé, et expliquer pourquoi il ne donne pas encore la valeur de la limite.

5. On admet que la limite $\mathrm{\ell }$ vérifie $\mathrm{\ell }=\sqrt{3\mathrm{\ell }+4}$ (ce point repose sur la continuité de la fonction $x\mapsto \sqrt{3x+4}$, revue au chapitre suivant). Déterminer $\mathrm{\ell }$.

Partie B. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_{n+1}=v_n+{\displaystyle \frac{1}{v_n}}$.

6. a. Démontrer par récurrence que $v_n⩾1$ pour tout $n$ (ce qui garantit au passage que la suite est bien définie).

   b. Démontrer que $(v_n)$ est croissante.

   c. Démontrer par récurrence que $v_n^2⩾2n+1$ pour tout $n$, puis en déduire que $(v_n)$ n'est pas majorée.

   d. Conclure sur la limite de $(v_n)$.

Deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont dites adjacentes lorsque les trois conditions suivantes sont réunies : $(a_n)$ est croissante, $(b_n)$ est décroissante, et $\lim (b_n-a_n)=0$.

On admet le théorème des suites adjacentes : deux suites adjacentes convergent vers une même limite $\mathrm{\ell }$, et de plus $a_n⩽\mathrm{\ell }⩽b_n$ pour tout $n$. Autrement dit, chaque rang fournit gratuitement un encadrement de $\mathrm{\ell }$.

Partie A. Pour tout entier $n⩾1$, on pose $a_n=2-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ et $b_n=2+{\displaystyle \frac{3}{n^2}}$.

1. Calculer $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$, $a_3$ et $b_3$.

2. Démontrer que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes, en vérifiant les trois conditions dans l'ordre.

3. Que peut-on en déduire ? Ici la limite commune se calcule directement : la donner.

4. Écrire l'encadrement de $\mathrm{\ell }$ fourni par le rang $n=10$, et vérifier qu'il est bien vérifié par la valeur trouvée à la question 3.

5. On note $e_n=b_n-a_n$ l'amplitude de l'encadrement au rang $n$.

   a. Exprimer $e_n$ sous la forme d'une seule fraction et justifier que $(e_n)$ est décroissante.

   b. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $e_n<{10}^{-2}$.

Partie B. Pour tout entier $n⩾1$, on pose $s_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k^2}}}$ et $t_n=s_n+{\displaystyle \frac{1}{n}}$.

6. Démontrer que $(s_n)$ et $(t_n)$ sont adjacentes, puis conclure. Donner enfin l'encadrement de leur limite commune obtenu au rang $n=5$, sous forme de fractions puis en valeurs approchées à ${10}^{-4}$ près.

Une entreprise achète une machine $24000$ euros. Chaque année, la machine perd $18\mathrm{\%}$ de la valeur qu'elle avait l'année précédente. On note $V_n$ sa valeur, en euros, au bout de $n$ années, de sorte que $V_0=24000$.

Valeurs numériques utiles : ${\mathrm{0,82}}^5\approx \mathrm{0,37074}$, ${\mathrm{0,82}}^6\approx \mathrm{0,30401}$, ${\mathrm{0,82}}^7\approx \mathrm{0,24929}$, ${\mathrm{0,82}}^8\approx \mathrm{0,20441}$, ${\mathrm{1,06}}^5\approx \mathrm{1,33823}$, $\ln 5\approx \mathrm{1,6094}$, $\ln 24\approx \mathrm{3,1781}$, $\ln (\mathrm{0,82})\approx -\mathrm{0,1985}$.

1. a. Démontrer que $(V_n)$ est géométrique, préciser sa raison, puis donner $V_n$ en fonction de $n$.

   b. Calculer $V_1$ et $V_2$ de deux façons : par la baisse de $18\mathrm{\%}$, puis par la formule.

2. Calculer $V_5$, arrondi à l'euro. Déterminer la limite de $(V_n)$ et l'interpréter en une phrase.

3. À partir de quelle année la valeur de la machine passe-t-elle sous les $5000$ euros ? On résoudra l'inéquation à l'aide du logarithme népérien, en justifiant soigneusement le sens de l'inégalité obtenue.

4. L'entretien de la machine coûte $500$ euros la première année, et ce coût augmente de $6\mathrm{\%}$ par an. On note $E_n$ le coût d'entretien cumulé sur les $n$ premières années.

   a. Exprimer $E_n$ à l'aide d'une somme de termes d'une suite géométrique, puis sans symbole de somme.

   b. Calculer $E_5$, arrondi à l'euro.

5. Le comptable propose une autre méthode : un amortissement linéaire sur $8$ ans, c'est-à-dire une perte de valeur constante de ${\displaystyle \frac{24000}{8}}$ euros par an. On note $L_n$ la valeur comptable obtenue par cette méthode au bout de $n$ années.

   a. Justifier que $(L_n)$ est arithmétique et donner $L_n$ en fonction de $n$.

   b. Comparer $V_5$ et $L_5$ : quelle méthode donne la plus petite valeur comptable au bout de $5$ ans ?

   c. Comparer $V_6$ et $L_6$. Que constate-t-on ? Que vaut $L_8$, et la suite $(V_n)$ peut-elle s'annuler ?

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$, $u_1=9$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n$$

On rappelle le résultat admis en cours. Pour une suite vérifiant $u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n$, on appelle équation caractéristique l'équation $r^2=ar+b$. Lorsqu'elle admet une racine double $r_0$ non nulle, il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout $n$,

$$u_n=(\alpha +\beta n)r_0^n$$

1. Calculer $u_2$, $u_3$ et $u_4$.

2. Écrire l'équation caractéristique associée à la relation de récurrence, calculer son discriminant et donner sa racine. Pourquoi ne peut-on pas chercher $u_n$ sous la forme $\alpha r_1^n+\beta r_2^n$ ?

3. Vérification du terme en $n{r}^n$. Soit $r$ une racine double de l'équation $r^2=ar+b$, supposée non nulle.

   a. Justifier que $a=2r$ et $b=-r^2$.

   b. On pose $w_n=n{r}^n$. Démontrer par le calcul que $a{w}_{n+1}+b{w}_n=w_{n+2}$ pour tout $n$, c'est-à-dire que $(w_n)$ vérifie bien la relation de récurrence.

   c. Écrire ce calcul dans le cas particulier de l'exercice, avec $r=3$.

4. Déterminer $\alpha$ et $\beta$, donner le terme général de $(u_n)$, puis vérifier la formule sur $u_2$ et $u_3$.

5. Déterminer la limite de $(u_n)$.

6. Démontrer que $(u_n)$ est strictement croissante, puis déterminer le plus petit rang $n$ à partir duquel $u_n>{10}^6$. On donne $3^{10}=59049$ et $3^{11}=177147$.

7. Calculer ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ et déterminer sa limite. Interpréter le résultat obtenu.

Un éleveur suit le nombre de femelles reproductrices de son troupeau. On note $P_n$ ce nombre pour l'année $n$. Le modèle retenu repose sur deux observations.

Le troupeau comptait $P_0=400$ femelles reproductrices la première année et $P_1=310$ la deuxième. Les effectifs calculés ne sont pas entiers : ils s'interprètent comme des moyennes.

Valeurs numériques utiles : ${\mathrm{1,2}}^{10}\approx \mathrm{6,1917}$ et ${\mathrm{1,2}}^{11}\approx \mathrm{7,4301}$.

1. Justifier que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $P_{n+2}=\mathrm{0,7}{P}_{n+1}+\mathrm{0,6}{P}_n$.

2. Calculer $P_2$, $P_3$ et $P_4$ (valeurs exactes ou arrondies à $\mathrm{0,1}$ près).

3. Écrire l'équation caractéristique, calculer son discriminant et vérifier qu'elle admet bien deux racines réelles distinctes, que l'on notera $r_1$ et $r_2$ avec $r_1>r_2$.

4. Donner le terme général $P_n$ en fonction de $n$, puis vérifier la formule sur $P_2$ et $P_3$.

5. Déterminer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{P}_n$ et interpréter.

6. Taux de croissance à long terme. Calculer ${\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_n}}$ en faisant apparaître le quotient $t_n={\left({\displaystyle \frac{r_2}{r_1}}\right)}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}n}$, déterminer $\lim t_n$, puis en déduire $\lim {\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_n}}$. Exprimer le résultat en pourcentage annuel.

7. À partir de quelle année le troupeau compte-t-il plus de $2000$ femelles reproductrices ? On pourra encadrer $P_n$ en majorant le terme en $r_2$.

8. Variante. L'éleveur envisage un croisement pour lequel chaque femelle reproductrice ne donnerait plus que $\mathrm{0,18}$ femelle atteignant la maturité, la survie restant de $70\mathrm{\%}$. Écrire la nouvelle relation de récurrence, résoudre son équation caractéristique et conclure sur le devenir du troupeau. Ce devenir dépend-il des effectifs initiaux ?

On rappelle les résultats de croissances comparées, admis : pour tous réels $a>0$, $b>0$ et tout réel $q>1$,

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{(\ln n{)}^b}{n^a}}=0\text{et}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{n^a}{q^n}}=0$$

On rappelle aussi que $\lim q^n=0$ lorsque $-1<q<1$, et $\lim q^n=+\mathrm{\infty }$ lorsque $q>1$.

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes. Pour chaque question, on demande de nommer la forme indéterminée, de mettre en facteur le terme dominant, puis de citer le résultat de croissances comparées utilisé.

7. Un élève écrit : « au numérateur comme au dénominateur de $u_n$, tout tend vers $+\mathrm{\infty }$, donc le quotient tend vers $1$ ». Réfuter cette affirmation à l'aide de trois suites de son choix, toutes de la forme ${\displaystyle \frac{\text{(limite }+\mathrm{\infty })}{\text{(limite }+\mathrm{\infty })}}$, et ayant trois limites différentes. Expliquer alors ce que signifie exactement le mot « indéterminée ».

Dans tout l'exercice, les sommes comportent $n$ termes, et ce nombre de termes dépend de $n$ : c'est ce qui interdit d'appliquer les opérations usuelles sur les limites et impose la méthode de l'encadrement.

1. Mise en jambes. Pour $n⩾1$, on pose $A_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{n}}}$. Calculer $A_n$. Quelle est la limite de chacun des termes de la somme ? Et celle de $A_n$ ?

2. Pour $n⩾1$, on pose $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}}}$.

   a. Calculer $S_1$ et $S_2$ (valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près).

   b. Démontrer que ${\displaystyle \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}}⩽S_n⩽{\displaystyle \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}}$.

   c. En déduire $\lim S_n$.

3. Pour $n⩾1$, on pose $T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{k}{n^2+k}}}$. Déterminer $\lim T_n$ par la même méthode. On rappelle que ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}}$.

4. Pour $n⩾1$, on pose $D_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+k}}}}$. Déterminer $\lim D_n$. Comparer avec le résultat de la question 2 et expliquer la différence de comportement.

5. Quand la méthode ne suffit pas. Pour $n⩾1$, on pose $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{n+k}}}$.

   a. Écrire l'encadrement fourni par la méthode et montrer qu'il ne permet pas de conclure.

   b. Démontrer néanmoins que $(H_n)$ converge, à l'aide d'un autre théorème du chapitre.

6. Pourquoi on ne passe pas à la limite terme à terme. Dans $S_n$, chaque terme ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Pourtant $S_n$ ne tend pas vers $0$. Expliquer précisément quelle règle serait violée si l'on écrivait « la limite de la somme est la somme des limites, donc $S_n\to 0$ ».

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par

$$u_0={\displaystyle \frac{5}{2}}\text{et}{u}_{n+1}={\displaystyle \frac{u_n^2+6}{5}}\text{ pour tout }n\in \mathbb{N}$$

Aucune formule explicite ne donne $u_n$ en fonction de $n$ : c'est le théorème de la limite monotone qui va fournir la convergence, et un encadrement géométrique qui va fournir la vitesse.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fractions, puis en donner une valeur décimale exacte. Que peut-on conjecturer ?

2. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $2⩽u_n⩽{\displaystyle \frac{5}{2}}$.

3. a. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{(u_n-2)(u_n-3)}{5}}$.

   b. En déduire le sens de variation de $(u_n)$.

4. Justifier que $(u_n)$ converge. On note $\mathrm{\ell }$ sa limite.

5. a. Montrer que $\mathrm{\ell }$ vérifie ${\mathrm{\ell }}^2-5\mathrm{\ell }+6=0$, et résoudre cette équation.

   b. Démontrer que $\mathrm{\ell }=2$ (on pensera à utiliser le passage à la limite dans les inégalités).

6. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0⩽u_{n+1}-2⩽{\displaystyle \frac{9}{10}}(u_n-2)$.

7. En déduire par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0⩽u_n-2⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\left({\displaystyle \frac{9}{10}}\right)}^n$.

8. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel la majoration précédente garantit $u_n-2⩽{10}^{-3}$. On donne $\ln (\mathrm{0,9})\approx -\mathrm{0,1054}$ et $\ln (\mathrm{0,002})\approx -\mathrm{6,2146}$.

Lorsqu'une suite comporte un facteur $(-1{)}^n$, ses termes de rang pair et ses termes de rang impair ne se comportent pas de la même façon. Le programme fournit un outil adapté :

si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $\mathrm{\ell }$, alors $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$.

Cet exercice explore les deux situations : celle où les deux sous-suites ont des limites différentes, et celle où elles ont la même.

Partie A. Deux limites différentes

On pose, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=(-1{)}^n(1+{\displaystyle \frac{1}{n+1}})$.

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

2. Exprimer $u_{2n}$ et $u_{2n+1}$ en fonction de $n$, puis déterminer leurs limites.

3. Justifier que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{2n}⩾1$ et $u_{2n+1}⩽-1$.

4. En raisonnant par l'absurde et en utilisant la définition de la limite par intervalles ouverts, démontrer que $(u_n)$ diverge. On pourra supposer $u_n\to \mathrm{\ell }$ et considérer l'intervalle $I=]\mathrm{\ell }-{\displaystyle \frac{1}{2}},\mathrm{\ell }+{\displaystyle \frac{1}{2}}[$.

Partie B. Une seule et même limite

On pose maintenant, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_n=3+{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n+1}}$.

5. Exprimer $v_{2n}$ et $v_{2n+1}$ en fonction de $n$.

6. Démontrer que les suites $(v_{2n})$ et $(v_{2n+1})$ sont adjacentes.

7. En déduire que $(v_n)$ converge et préciser sa limite.

Partie C. Une alternance autour d'un point fixe

On considère enfin la suite $(w_n)$ définie par $w_0=0$ et $w_{n+1}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{w}_n+3$.

8. Calculer $w_1$, $w_2$, $w_3$ et $w_4$. Que remarque-t-on par rapport à la valeur $2$ ?

9. a. On pose $t_n=w_n-2$. Montrer que $(t_n)$ est géométrique, en déduire $w_n$ en fonction de $n$, puis vérifier la formule sur $w_1$ et $w_2$.

   b. Exprimer $w_{2n}$ et $w_{2n+1}$, montrer que ces deux suites sont adjacentes et conclure sur la limite de $(w_n)$.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{3x+4}$ et la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par

$$u_0=0\text{et}{u}_{n+1}=f(u_n)=\sqrt{3u_n+4}\text{ pour tout }n\in \mathbb{N}$$

L'objectif est de dérouler entièrement la méthode d'étude d'une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$, dans l'ordre où elle doit toujours être menée.

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et son sens de variation.

2. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, en donnant les valeurs exactes puis des valeurs approchées à ${10}^{-4}$ près.

3. Stabilité. Montrer que $f([0,4])\subset [0,4]$, c'est-à-dire que si $x\in [0,4]$, alors $f(x)\in [0,4]$.

4. En déduire par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0⩽u_n⩽4$.

5. Monotonie. Étudier le signe de $f(x)-x$ sur $[0,4]$ (on pourra comparer $3x+4$ et $x^2$), puis en déduire le sens de variation de $(u_n)$.

6. Justifier que $(u_n)$ converge, et noter $\mathrm{\ell }$ sa limite.

7. Montrer que $\mathrm{\ell }$ vérifie ${\mathrm{\ell }}^2=3\mathrm{\ell }+4$, résoudre cette équation, et déterminer $\mathrm{\ell }$.

8. Reprendre l'exercice avec $u_0=9$ : que deviennent la stabilité, la monotonie et la limite ?

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par

$$u_0=3\text{et}{u}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(u_n+{\displaystyle \frac{5}{u_n}})\text{ pour tout }n\in \mathbb{N}$$

Cette relation est un procédé de calcul approché de $\sqrt{5}$, connu sous le nom de méthode de Héron. La division par $u_n$ impose une précaution de départ : il faut d'abord établir que la suite est bien définie.

Partie A. Étude de la suite

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fractions irréductibles.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n$ est bien défini et $u_n>0$.

3. a. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}^2-5={\displaystyle \frac{1}{4}}{(u_n-{\displaystyle \frac{5}{u_n}})}^2$.

   b. En déduire que $u_n⩾\sqrt{5}$ pour tout entier $n⩾1$, puis vérifier que c'est également vrai pour $n=0$.

4. a. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{5-u_n^2}{2u_n}}$.

   b. En déduire le sens de variation de $(u_n)$.

5. Justifier que $(u_n)$ converge, puis démontrer que sa limite vaut $\sqrt{5}$.

Partie B. Vitesse de la méthode

6. Donner les valeurs décimales de $u_1$, $u_2$ et $u_3$ arrondies à ${10}^{-6}$ près, et les comparer à $\sqrt{5}\approx \mathrm{2,2360679}\dots$ Combien de décimales exactes gagne-t-on à chaque étape ?

7. a. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}-\sqrt{5}={\displaystyle \frac{{(u_n-\sqrt{5})}^2}{2u_n}}$.

   b. En déduire que, pour tout $n⩾0$, $u_{n+1}-\sqrt{5}⩽{\displaystyle \frac{{(u_n-\sqrt{5})}^2}{2\sqrt{5}}}$, et expliquer ce que cette inégalité dit de la vitesse de convergence.

On considère la fonction $f$ définie sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={\displaystyle \frac{6}{1+x}}$, et la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par

$$u_0={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{et}{u}_{n+1}=f(u_n)={\displaystyle \frac{6}{1+u_n}}\text{ pour tout }n\in \mathbb{N}$$

La figure ci-dessous représente la courbe de $f$, la droite d'équation $y=x$ et la construction des premiers termes de la suite.

Ici la fonction $f$ est décroissante : la construction ne monte pas en escalier, elle s'enroule en escargot autour du point fixe. La suite n'est donc pas monotone, et le théorème de la limite monotone ne s'applique pas directement à $(u_n)$. C'est la lecture séparée des rangs pairs et des rangs impairs qui va débloquer l'étude.

Partie A. Lecture et premiers calculs

1. Lire sur la figure la position relative de $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ par rapport à la valeur $2$, et conjecturer le comportement de la suite.

2. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ sous forme de fractions irréductibles.

3. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n$ est bien défini et $u_n>0$.

4. Résoudre l'équation $f(x)=x$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

Partie B. Séparer les rangs pairs des rangs impairs

5. a. Montrer que $f$ est décroissante sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$.

   b. On pose $g=f\circ f$. Justifier que $g$ est croissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, puis montrer que pour tout $x>0$, $g(x)={\displaystyle \frac{6x+6}{x+7}}$.

6. Démontrer que $(u_{2n})$ est croissante et que $(u_{2n+1})$ est décroissante.

7. a. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}-2={\displaystyle \frac{-2(u_n-2)}{1+u_n}}$.

   b. En déduire que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+2}-2={\displaystyle \frac{4(u_n-2)}{7+u_n}}$, puis que $\mid u_{n+2}-2\mid ⩽{\displaystyle \frac{4}{7}}\mid u_n-2\mid$.

8. En déduire par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$\mid u_{2n}-2\mid ⩽{\displaystyle \frac{3}{2}}{\left({\displaystyle \frac{4}{7}}\right)}^n\text{et}\mid u_{2n+1}-2\mid ⩽2{\left({\displaystyle \frac{4}{7}}\right)}^n$$

9. Conclure sur la convergence de $(u_n)$ et sur sa limite.