Devoir surveillé — Suites de nombres réels

Un couple emprunte $C_0=180000$ euros pour l'achat d'un logement. Le prêt est à taux mensuel fixe $t=\mathrm{0,003}$, c'est-à-dire $\mathrm{0,3}\mathrm{\%}$ par mois, et chaque mois se déroule de la même façon :

• la banque ajoute d'abord au capital restant dû les intérêts du mois, égaux à $t$ fois ce capital ;
• l'emprunteur verse ensuite une mensualité constante de $m$ euros, qui vient en déduction.

Pour tout entier naturel $n$, on note $C_n$ le capital restant dû, en euros, après le versement de la $n$-ième mensualité : ainsi $C_0=180000$ est le capital emprunté. Le réel $m$ est strictement positif ; sa valeur est précisée à chaque application numérique.

Données numériques. On donne les valeurs approchées suivantes :

$${\mathrm{1,003}}^{199}\approx \mathrm{1,815038},{\mathrm{1,003}}^{200}\approx \mathrm{1,820483},{\mathrm{1,003}}^{240}\approx \mathrm{2,05222},$$ $$\ln (\mathrm{1,003})\approx \mathrm{0,00299551},\ln 20\approx \mathrm{2,99573},\ln 11\approx \mathrm{2,39790.}$$

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $C_{n+1}=(1+t)C_n-m$. (0,25 point)

2. Dans cette question, $m=1200$. Calculer $C_1$, puis $C_2$. Préciser, pour le premier mois, quelle part de la mensualité paie les intérêts et quelle part rembourse réellement le capital. (0,25 point)

3. Le réel $m>0$ est ici quelconque. Déterminer l'unique réel $\mathrm{\ell }$ vérifiant $\mathrm{\ell }=(1+t)\mathrm{\ell }-m$, puis démontrer que la suite $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $v_n=C_n-\mathrm{\ell }$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme. (0,5 point)

4. En déduire que, pour tout entier naturel $n$,

$$C_n=\frac{m}{t}+(C_0-\frac{m}{t})(1+t{)}^n\mathrm{.}$$

Écrire cette formule dans le cas $m=1200$ et vérifier qu'elle redonne les valeurs de $C_1$ et $C_2$ obtenues à la question 2. (0,5 point)

5. Retrouver le résultat de la question 4 par une autre méthode : démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,

$$C_n=(1+t{)}^n{C}_0-m\sum _{k=0}^{n-1}(1+t{)}^k$$

(la somme étant vide, donc nulle, lorsque $n=0$), puis calculer cette somme géométrique et conclure. (0,5 point)

6. Démontrer que si $m⩽t{C}_0$, alors la dette ne diminue jamais, et préciser la limite de $(C_n)$ lorsque $m<t{C}_0$. En déduire la mensualité minimale que le couple doit verser pour que sa dette décroisse effectivement. (0,5 point)

7. Soit $N$ un entier naturel non nul. Exprimer, en fonction de $t$, $C_0$ et $N$, la mensualité $m$ qui solde l'emprunt en exactement $N$ mois, c'est-à-dire telle que $C_N=0$. Calculer sa valeur pour $N=240$, arrondie au centime. (0,5 point)

8. Calculer le coût total du crédit pour $N=240$, c'est-à-dire la différence entre la somme de toutes les mensualités versées et le capital emprunté. L'exprimer aussi en pourcentage du capital emprunté, arrondi à $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$. (0,5 point)

9. Le couple choisit finalement $m=1200$. Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour solder l'emprunt, le montant de la dernière mensualité, puis le coût total du crédit. Comparer avec la question 8. (0,5 point)

Un atelier fabrique un composant électronique. Sa production du premier mois est $q_0=800$ unités, celle du deuxième mois $q_1=920$ unités. À partir du troisième mois, le responsable applique la règle de planification suivante : la production d'un mois reconduit celle du mois précédent, augmentée des trois quarts de la variation observée entre les deux mois qui le précèdent.

Pour tout entier naturel $n$, $q_n$ désigne la production du mois numéro $n$ (les mois étant numérotés à partir de $0$).

Données numériques. On donne :

$${\mathrm{0,75}}^9\approx \mathrm{0,0750847},{\mathrm{0,75}}^{10}\approx \mathrm{0,0563135},\ln 16\approx \mathrm{2,77259},\ln \left(\frac{4}{3}\right)\approx \mathrm{0,28768.}$$

1. Traduire la règle de planification et en déduire que, pour tout entier naturel $n$,

$$q_{n+2}=\frac{7}{4}{q}_{n+1}-\frac{3}{4}{q}_n\mathrm{.}$$

(0,25 point)

2. Calculer $q_2$, $q_3$ et $q_4$. (0,25 point)

3. Écrire l'équation caractéristique associée à cette relation de récurrence. Calculer son discriminant et démontrer qu'elle admet deux racines réelles distinctes, que l'on déterminera. (0,5 point)

4. En déduire l'expression de $q_n$ en fonction de $n$, en utilisant les conditions initiales. (0,5 point)

5. Vérifier la formule obtenue en recalculant $q_2$ et $q_3$ des deux façons. (0,25 point)

6. Démontrer que la suite $(q_n)$ est strictement croissante, en calculant $q_{n+1}-q_n$ en fonction de $n$. (0,5 point)

7. Déterminer la limite de $(q_n)$ et interpréter le résultat pour l'atelier. (0,25 point)

8. Déterminer le premier mois à partir duquel la production dépasse $1250$ unités. (0,5 point)

9. Pour un second composant, en fin de vie commerciale, l'atelier applique une autre règle : la production d'un mois est égale à celle du mois précédent, diminuée du quart de celle d'il y a deux mois. On note $w_n$ cette production, avec $w_0=800$ et $w_1=500$, de sorte que $w_{n+2}=w_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{w}_n$ pour tout entier naturel $n$. Écrire l'équation caractéristique, montrer qu'elle admet une racine double, et en déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$ sous la forme $(\alpha +\beta n)r^n$. (0,5 point)

10. Vérifier la formule obtenue sur $w_2$ et $w_3$, puis déterminer la limite de $(w_n)$ et l'interpréter. (0,5 point)

Un lac reçoit chaque année les rejets d'une usine. On note $u_n$ la concentration du polluant dans le lac, exprimée en milligrammes par litre, mesurée le 1er janvier de l'année $2026+n$. Au 1er janvier 2026, cette concentration vaut $u_0=2$.

Chaque année, $35\mathrm{\%}$ du volume du lac est renouvelé par les pluies et les rivières, ce qui élimine la même proportion du polluant ; l'usine ajoute ensuite un rejet constant qui fait monter la concentration de $\mathrm{3,5}$ milligrammes par litre. On admet que, pour tout entier naturel $n$,

$$u_{n+1}=\mathrm{0,65}{u}_n+\mathrm{3,5.}$$

La figure ci-dessous représente la droite d'équation $y=\mathrm{0,65}x+\mathrm{3,5}$, la droite d'équation $y=x$ en pointillés, et la construction en escalier des premiers termes de la suite à partir de $u_0=2$.

Données numériques. On donne :

$${\mathrm{0,65}}^6\approx \mathrm{0,0754189},{\mathrm{0,65}}^7\approx \mathrm{0,0490223},\ln 16\approx \mathrm{2,77259},\ln (\mathrm{0,65})\approx -\mathrm{0,430783.}$$

1. À l'aide de la figure, conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$ et sa limite éventuelle. (0,25 point)

2. Calculer les valeurs exactes de $u_1$, $u_2$ et $u_3$, et vérifier leur cohérence avec la figure. (0,25 point)

3. Déterminer par le calcul l'unique réel $\mathrm{\ell }$ vérifiant $\mathrm{\ell }=\mathrm{0,65}\mathrm{\ell }+\mathrm{3,5}$, et interpréter ce nombre en termes de concentration. (0,5 point)

4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n<10$. (0,5 point)

5. Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. En déduire, à l'aide du théorème de la limite monotone, qu'elle converge, puis déterminer sa limite en passant à la limite dans la relation de récurrence. (0,5 point)

6. On pose $v_n=u_n-10$ pour tout entier naturel $n$. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique, en déduire que $u_n=10-8\times {\mathrm{0,65}}^n$ pour tout entier naturel $n$, et vérifier cette formule sur $u_1$ et $u_2$. (0,5 point)

7. Déterminer la première année où la concentration dépasse $\mathrm{9,5}$ milligrammes par litre. (0,5 point)

8. Interpréter la limite trouvée en termes de pollution résiduelle. La concentration finale dépend-elle de l'état initial du lac ? (0,5 point)

9. À partir de 2026, l'usine installe un système de filtration qui ramène le rejet annuel à $\mathrm{2,1}$ milligrammes par litre, le taux de renouvellement du lac restant le même. Déterminer la nouvelle concentration limite. Quel rejet annuel maximal l'usine devrait-elle viser pour que la concentration limite ne dépasse pas $5$ milligrammes par litre ? (0,5 point)

Un bureau d'études doit chiffrer le coût d'un chantier. Deux méthodes donnent deux résultats très différents : une estimation haute $a_0=4$ et une estimation basse $b_0=1$, en millions d'euros. Pour les réconcilier, le bureau applique le procédé itératif suivant : à chaque étape, la nouvelle estimation haute est la moyenne arithmétique des deux estimations précédentes, et la nouvelle estimation basse leur moyenne harmonique. Autrement dit, pour tout entier naturel $n$,

$$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\text{et}{b}_{n+1}=\frac{2a_n{b}_n}{a_n+b_n}\mathrm{.}$$

1. Calculer $a_1$, $b_1$, $a_2$ et $b_2$ sous forme de fractions irréductibles. (0,25 point)

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $a_n>0$ et $b_n>0$. On justifiera au passage que les deux suites sont bien définies. (0,25 point)

3. Démontrer que le produit $a_n{b}_n$ est constant et vaut $4$ pour tout entier naturel $n$. (0,5 point)

4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,

$$a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{(a_n-b_n{)}^2}{2(a_n+b_n)}\mathrm{.}$$

En déduire que $b_n⩽a_n$ pour tout entier naturel $n$. (0,5 point)

5. Démontrer que la suite $(a_n)$ est décroissante et que la suite $(b_n)$ est croissante. (0,5 point)

6. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,

$$a_{n+1}-b_{n+1}⩽\frac{1}{2}(a_n-b_n),$$

puis en déduire par récurrence que $0⩽a_n-b_n⩽{\displaystyle \frac{3}{2^n}}$. (0,5 point)

7. En déduire que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes, et qu'elles convergent vers une même limite $\mathrm{\ell }$. (0,5 point)

8. Déterminer la valeur exacte de $\mathrm{\ell }$ en utilisant la question 3. Vérifier que $\mathrm{\ell }=\sqrt{a_0{b}_0}$. (0,5 point)

9. Calculer $a_3$ et $b_3$ sous forme de fractions irréductibles, puis en déduire un encadrement de $\mathrm{\ell }$ par deux décimaux. Quelle est l'amplitude de cet encadrement ? La comparer à la majoration de la question 6. (0,5 point)

Un hébergeur de données propose trois formules d'abonnement à ses clients professionnels : la formule A dite « à l'usage », la formule B dite « indexée » et la formule C dite « plafonnée ». Pour la $n$-ième année d'abonnement, avec $n⩾1$, le montant facturé, en euros, est :

Données numériques. Puissances de $\mathrm{1,4}$ :

$${\mathrm{1,4}}^2=\mathrm{1,96},{\mathrm{1,4}}^3=\mathrm{2,744},{\mathrm{1,4}}^4=\mathrm{3,8416},{\mathrm{1,4}}^5=\mathrm{5,37824},{\mathrm{1,4}}^6=\mathrm{7,529536},$$ $${\mathrm{1,4}}^9\approx \mathrm{20,6610},{\mathrm{1,4}}^{10}\approx \mathrm{28,9255},{\mathrm{1,4}}^{11}\approx \mathrm{40,4957},{\mathrm{1,4}}^{12}\approx \mathrm{56,6939.}$$

Carrés de logarithmes :

$$(\ln 2{)}^2\approx \mathrm{0,4805},(\ln 3{)}^2\approx \mathrm{1,2069},(\ln 5{)}^2\approx \mathrm{2,5903},(\ln 6{)}^2\approx \mathrm{3,2104},$$ $$(\ln 7{)}^2\approx \mathrm{3,7866},(\ln 10{)}^2\approx \mathrm{5,3019},(\ln 11{)}^2\approx \mathrm{5,7499},(\ln 12{)}^2\approx \mathrm{6,1748.}$$

1. Recopier et compléter le tableau suivant, les montants étant arrondis à l'euro. (0,5 point)

2. Quelle formule est la moins chère la première année ? la troisième année ? la septième année ? (0,25 point)

3. Déterminer le premier rang à partir duquel la formule A devient plus chère que la formule C, puis le premier rang à partir duquel la formule B devient plus chère que la formule C. On justifiera chaque réponse par le calcul des deux montants concernés. (0,5 point)

4. Démontrer que la suite $(c_n{)}_{n⩾1}$ est croissante. (0,25 point)

5. Déterminer, en justifiant par les croissances comparées, les limites des trois quotients

$$\frac{c_n}{a_n},\frac{a_n}{b_n},\frac{b_n}{c_n}\mathrm{.}$$

(0,5 point)

6. Calculer le coût cumulé des douze premières années pour la formule A, puis pour la formule B. On donnera des valeurs arrondies à l'euro et on comparera les deux résultats. (0,5 point)

7. Pour tout entier $n⩾1$, on pose $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{c}_k}$, coût cumulé des $n$ premières années pour la formule C. Démontrer que

$$300n⩽S_n⩽n{c}_n,$$

puis en déduire la limite de ${\displaystyle \frac{S_n}{n^2}}$. (0,5 point)

8. Démontrer, sans calcul numérique, que la formule B finit par être plus chère que la formule A, puis déterminer à l'aide des données le premier rang où cela se produit. (0,5 point)

9. Un client vous demande conseil. Rédiger une recommandation argumentée selon l'horizon d'abonnement envisagé. (0,5 point)