Exercices — Probabilités et statistiques : statistiques bivariées et couples

Un observatoire économique régional a relevé, pour six entreprises industrielles d'un même secteur, la dépense annuelle de recherche et développement $x$ (en millions d'euros) et le nombre $y$ de brevets déposés dans l'année.

1. L'observatoire cherche à savoir si l'effort de recherche permet d'expliquer le nombre de brevets. Laquelle des deux variables est la variable explicative, laquelle est la variable à expliquer ? Quelle est alors la variable que l'on porte en abscisse ?

2. Représenter le nuage de points associé à cette série statistique double.

3. Calculer les moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$, puis placer le point moyen $G$ sur le graphique.

4. Commenter l'allure du nuage. Un ajustement affine paraît-il pertinent ?

Le service des ressources humaines d'une petite entreprise a relevé, pour cinq salariés, l'ancienneté $x$ (en années) et la prime annuelle $y$ (en centaines d'euros).

1. Calculer les moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$.

2. Calculer la covariance empirique $s_{xy}$ en utilisant sa définition

$$s_{xy}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$

3. Retrouver ce résultat par la formule de Kœnig-Huygens

$$s_{xy}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-\bar{x}\bar{y}$$

4. Que peut-on dire du signe obtenu ?

Une agence d'urbanisme étudie cinq quartiers d'une même ville. Pour chacun, elle relève le nombre $x$ de commerces pour mille habitants et le loyer moyen $y$ du mètre carré, en euros.

1. Calculer $\bar{x}$ et $\bar{y}$.

2. Calculer les variances empiriques $s_x^2$ et $s_y^2$, ainsi que la covariance empirique $s_{xy}$.

3. En déduire le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{xy}$, arrondi au centième. Interpréter la valeur obtenue. On donne $\sqrt{3}\approx \mathrm{1,732}$.

4. Que vaudrait $r_{xy}$ si les cinq points du nuage étaient exactement alignés ? Justifier.

Une enseigne possède cinq magasins. Pour chacun, on note $x$ le nombre de vendeurs employés et $y$ le chiffre d'affaires du mois, en dizaines de milliers d'euros.

On cherche à expliquer le chiffre d'affaires par le nombre de vendeurs.

1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, la variance empirique $s_x^2$ et la covariance empirique $s_{xy}$.

2. En déduire les coefficients $a={\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_x^2}}$ et $b=\bar{y}-a\bar{x}$, puis donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$.

3. Vérifier que cette droite passe par le point moyen $G$ du nuage.

4. L'enseigne ouvre un sixième magasin avec $6$ vendeurs. Estimer son chiffre d'affaires mensuel.

5. Le siège envisage un magasin de $20$ vendeurs et applique la même formule. Que penser de la prévision obtenue ?

Dans une agence immobilière, on choisit une journée de travail au hasard. On note $X$ le nombre de contrats signés le matin et $Y$ le nombre de contrats signés l'après-midi. On a $X(\mathrm{\Omega })=\{0,1,2\}$ et $Y(\mathrm{\Omega })=\{1,2,3\}$.

La loi conjointe du couple $(X,Y)$ est donnée par le tableau suivant, où l'on a noté $p_{i,j}=P([X=i]\cap [Y=j])$.

1. Vérifier que ce tableau définit bien la loi conjointe d'un couple de variables aléatoires.

2. Calculer $P([X=1]\cap [Y=2])$ et interpréter cette probabilité.

3. Calculer $P(X=Y)$.

4. Calculer $P(X<Y)$.

5. Calculer $P(X+Y=3)$.

Une enquête est menée dans une commune. On y choisit un ménage au hasard, on note $X$ le nombre de voitures qu'il possède et $Y$ le nombre d'enfants à charge. Aucun ménage de la commune ne possède plus de deux voitures ni plus de deux enfants à charge, de sorte que $X(\mathrm{\Omega })=Y(\mathrm{\Omega })=\{0,1,2\}$.

La loi conjointe du couple $(X,Y)$ est donnée par le tableau suivant.

1. Vérifier que ce tableau définit bien une loi conjointe.

2. Déterminer la loi marginale de $X$ et vérifier que la somme de ses probabilités vaut $1$.

3. Déterminer la loi marginale de $Y$ et vérifier de même.

4. Calculer $E(X)$ et $E(Y)$, puis interpréter ces deux nombres.

Une compagnie d'assurance automobile choisit un client au hasard dans son portefeuille. On note $X$ le nombre de sinistres qu'il a déclarés dans l'année, avec $X(\mathrm{\Omega })=\{0,1,2\}$, et $Y$ la formule qu'il a souscrite, avec $Y=1$ pour la formule de base et $Y=2$ pour la formule tous risques.

La loi conjointe du couple $(X,Y)$ est donnée par le tableau suivant.

1. Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$.

2. Déterminer la loi de $X$ sachant $[Y=1]$, et vérifier que l'on obtient bien une loi de probabilité.

3. Déterminer la loi de $Y$ sachant $[X=0]$, et vérifier de même.

4. Calculer $P_{[Y=2]}(X⩾1)$ et interpréter le résultat.

On étudie deux couples de variables aléatoires discrètes finies. Le premier, $(X,Y)$, vérifie $X(\mathrm{\Omega })=\{0,1\}$ et $Y(\mathrm{\Omega })=\{1,2,3\}$. Le second, $(U,V)$, vérifie $U(\mathrm{\Omega })=\{0,1\}$ et $V(\mathrm{\Omega })=\{1,2,3\}$. Leurs lois conjointes sont données par les deux tableaux ci-dessous, où l'on a posé $p_{i,j}=P([X=i]\cap [Y=j])$ et $q_{i,j}=P([U=i]\cap [V=j])$.

Premier tableau : loi du couple $(X,Y)$.

Second tableau : loi du couple $(U,V)$.

1. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Justifier.

2. Les variables $U$ et $V$ sont-elles indépendantes ? Justifier.

3. Comparer les lois marginales des deux couples. Que peut-on en conclure ?

Dans un atelier, on choisit au hasard une heure de production. On note $X$ le nombre de pièces défectueuses fabriquées pendant cette heure, avec $X(\mathrm{\Omega })=\{0,1,2\}$, et $Y$ la variable qui vaut $1$ si la machine a été révisée le matin même et $0$ sinon.

La loi conjointe du couple $(X,Y)$ est donnée par le tableau suivant.

1. Vérifier que ce tableau définit bien une loi conjointe, déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$, puis calculer $E(X)$ et $E(Y)$.

2. Calculer $E(XY)$ à l'aide du théorème de transfert.

3. En déduire $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$ par la formule de Kœnig-Huygens.

4. Calculer $V(X)$ et $V(Y)$.

5. En déduire le coefficient de corrélation linéaire $\rho (X,Y)$, arrondi au centième. Conclure sur le sens de la liaison entre $X$ et $Y$. On donne $\sqrt{10}\approx \mathrm{3,162}$.

L'économiste américain Arthur Okun a mis en évidence, à partir de données américaines des années 1960, une relation empirique entre la croissance de l'activité économique et l'évolution du chômage : quand le PIB accélère, le chômage recule. Cette relation, appelée depuis loi d'Okun, est l'un des exemples les plus classiques de régression linéaire en économie.

On observe, sur cinq années consécutives d'un pays, la croissance annuelle du PIB $x$ (en %) et la variation du taux de chômage $y$ sur la même année (en points de pourcentage : une valeur positive signifie que le chômage a augmenté).

Les données de cet énoncé sont fictives, mais leurs ordres de grandeur sont ceux que l'on observe dans les économies européennes.

On donne $\sqrt{15}\approx \mathrm{3,873}$.

1. Représenter le nuage de points associé à cette série statistique double dans un repère orthogonal. Que suggère son allure ?

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.

3. Calculer la variance empirique $s_x^2$, la variance empirique $s_y^2$ et la covariance empirique $s_{xy}$. Pour la covariance, on utilisera la formule de Kœnig-Huygens, puis on vérifiera le résultat par la formule de définition.

4. Montrer que le coefficient de corrélation linéaire empirique vaut exactement

$$r_{xy}=-{\displaystyle \frac{23}{6\sqrt{15}}}$$

En donner la valeur arrondie au centième, puis l'interpréter.

5. Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Vérifier qu'elle passe par le point moyen $G$.

6. Interpréter concrètement le coefficient directeur de cette droite, en une phrase d'économiste.

7. Une prévision annonce une croissance du PIB de $4\mathrm{\%}$ pour l'année suivante. Que prévoit le modèle pour la variation du taux de chômage ?

8. À partir de quel taux de croissance du PIB le modèle prévoit-il une baisse du chômage ? Ce seuil porte un nom en économie : le taux de croissance d'équilibre.

9. Citer deux raisons pour lesquelles il faut se méfier de la prévision de la question 7.

Une jeune entreprise du numérique suit son chiffre d'affaires annuel $y$, exprimé en millions d'euros, depuis sa création. On note $t$ le rang de l'année, l'année de création correspondant à $t=0$.

On pose, pour chaque année, $z=\ln (y)$. Les valeurs de $z$ données ci-dessous sont des valeurs approchées, fournies par l'énoncé car la calculatrice n'est pas autorisée.

On donne également

$$s_z^2\approx \mathrm{0,3218}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,698}}\approx \mathrm{2,01}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,401}}\approx \mathrm{1,49}$$

1. Calculer les quatre écarts successifs $y_{i+1}-y_i$. Pourquoi un ajustement affine de $y$ en $t$ n'est-il pas pertinent ? Calculer ensuite les quatre rapports successifs ${\displaystyle \frac{y_{i+1}}{y_i}}$, arrondis au centième, et dire quel type de croissance ils suggèrent.

2. On travaille désormais sur la série double $(t,z)$. Calculer $\bar{t}$, $\bar{z}$, la variance empirique $s_t^2$ et la covariance empirique $s_{tz}$.

3. Calculer $r_{tz}^2$, en déduire une valeur approchée de $r_{tz}$ et conclure quant à la pertinence d'un ajustement affine de $z$ en $t$.

4. Déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $t$, sous la forme $z=at+b$.

5. En déduire que le chiffre d'affaires est bien ajusté par un modèle de la forme $y=A{\mathrm{e}}^{at}$, où l'on précisera une valeur approchée de $A$ au centième.

6. Montrer que ce modèle revient à multiplier chaque année le chiffre d'affaires par un même coefficient, que l'on déterminera. En déduire le taux de croissance annuel du chiffre d'affaires, en pourcentage.

7. Estimer, à l'aide du modèle, le chiffre d'affaires de l'entreprise l'année de rang $6$. On donnera le résultat arrondi au million d'euros.

8. Quelle réserve faut-il émettre sur cette estimation ?

La figure ci-dessous présente quatre nuages de points, étiquetés A, B, C et D. Chacun représente une série statistique double $(x_i,y_i)$ observée sur un même nombre d'individus.

Les coefficients de corrélation linéaire empiriques de ces quatre séries sont, dans le désordre,

$$\mathrm{0,97}-\mathrm{0,88}\mathrm{0,05}0$$

1. Associer à chaque nuage la valeur de $r_{xy}$ qui lui correspond, en justifiant chaque choix.

2. Pour lesquels de ces quatre nuages un ajustement affine par la méthode des moindres carrés a-t-il un sens ? Justifier.

3. Le nuage D a un coefficient de corrélation nul. Peut-on en conclure que les variables $x$ et $y$ sont sans lien ? Expliquer.

4. Pour le nuage D, proposer une pré-transformation des données qui permettrait de se ramener à un ajustement affine.

5. Question de cours. Que peut-on dire d'une série statistique double dont le coefficient de corrélation linéaire vaut exactement $-1$ ?

On lance deux dés équilibrés à six faces, numérotées de $1$ à $6$. On note $D_1$ le résultat du premier dé et $D_2$ celui du second. Les deux lancers sont indépendants, et $D_1$ et $D_2$ suivent chacune la loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

On pose

$$X=\min (D_1,D_2)\text{et}Y=\max (D_1,D_2)$$

Dans tout l'exercice, on pourra utiliser les sommes usuelles

$$\sum _{k=1}^{6}k=21\text{et}\sum _{k=1}^6{k}^2=91$$

1. Déterminer $X(\mathrm{\Omega })$ et $Y(\mathrm{\Omega })$. Justifier que l'on a toujours $X⩽Y$.

2. Soit $(i,j)\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}{]}^2$. Établir que

$$P([X=i]\cap [Y=j])=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }i>j\\ {\displaystyle \frac{1}{36}}& \text{si }i=j\\ {\displaystyle \frac{2}{36}}& \text{si }i<j\end{array}$$

On ne demande pas de dresser le tableau complet de la loi conjointe, qui compterait $36$ cases.

3. Vérifier que la somme de toutes les probabilités de la loi conjointe vaut bien $1$. En déduire $P(X=Y)$.

4. Déterminer la loi marginale de $Y$, en montrant que pour tout $j\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$,

$$P(Y=j)={\displaystyle \frac{2j-1}{36}}$$

5. Déterminer de même la loi marginale de $X$, en montrant que pour tout $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$,

$$P(X=i)={\displaystyle \frac{2(6-i)+1}{36}}={\displaystyle \frac{13-2i}{36}}$$

6. Calculer $E(X)$ et $E(Y)$ sous forme de fractions irréductibles.

7. Justifier que $X+Y=D_1+D_2$, et en déduire sans calcul la valeur de $E(X)+E(Y)$. Vérifier la cohérence avec la question précédente.

8. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes définies sur un même espace probabilisé, avec

$$X(\mathrm{\Omega })=\{0,1,2\}\text{et}Y(\mathrm{\Omega })=\{1,2,3\}$$

Sa loi conjointe est donnée par le tableau suivant, dont chaque case contient $P([X=i]\cap [Y=j])$.

On pose $S=X+Y$ et $T=XY$.

1. Vérifier que ce tableau définit bien la loi conjointe d'un couple de variables aléatoires.

2. Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$, puis calculer $E(X)$ et $E(Y)$.

3. Déterminer $S(\mathrm{\Omega })$, puis la loi de $S$. Vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$.

4. Calculer $E(S)$ à partir de la loi de $S$.

5. Retrouver $E(S)$ par une autre méthode, sans utiliser la loi de $S$.

6. Déterminer $T(\mathrm{\Omega })$, puis la loi de $T$.

7. Calculer $E(T)$, puis comparer avec le produit $E(X)E(Y)$. Que peut-on en conclure ?

On rappelle le théorème de transfert pour un couple : si $(X,Y)$ est un couple de variables aléatoires discrètes et $g$ une fonction de deux variables, alors, sous réserve d'existence,

$$E(g(X,Y))=\sum _{x\in X(\mathrm{\Omega })}\sum _{y\in Y(\mathrm{\Omega })}g(x,y)P([X=x]\cap [Y=y])$$

L'intérêt de cette formule est qu'elle donne l'espérance de $g(X,Y)$ sans avoir à déterminer la loi de cette variable : il suffit de parcourir les cases du tableau de la loi conjointe.

Partie A. Un couple quelconque

Le couple $(X,Y)$ a pour loi conjointe le tableau suivant, avec $X(\mathrm{\Omega })=\{1,2\}$ et $Y(\mathrm{\Omega })=\{-1,0,1\}$.

1. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi conjointe, déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$, puis calculer $E(X)$ et $E(Y)$.

2. Calculer $E(X+Y)$ à l'aide du théorème de transfert, appliqué à $g(x,y)=x+y$.

3. Retrouver ce résultat par la linéarité de l'espérance.

4. Calculer $E(XY)$ à l'aide du théorème de transfert.

5. Comparer $E(XY)$ et $E(X)E(Y)$. Qu'en déduire sur l'indépendance de $X$ et $Y$ ? Confirmer la conclusion à partir de la définition de l'indépendance.

Partie B. Le même problème avec des variables indépendantes

On considère maintenant deux variables aléatoires $U$ et $V$ indépendantes, telles que $U$ suit la même loi que $X$ et $V$ la même loi que $Y$.

6. Dresser le tableau de la loi conjointe du couple $(U,V)$.

7. Calculer $E(UV)$ par le théorème de transfert, et comparer à $E(U)E(V)$.

8. Que montre la comparaison des parties A et B ?

Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : trois rouges et deux noires. On effectue deux tirages successifs d'une boule, et on note

$$R_1:\text{« la premi}\grave{\text{e}}\text{re boule tir}\acute{\text{e}}\text{e est rouge »}{R}_2:\text{« la seconde boule tir}\acute{\text{e}}\text{e est rouge »}$$

On pose $X={\mathbf{1}}_{R_1}$ et $Y={\mathbf{1}}_{R_2}$, les indicatrices de ces deux événements : $X$ vaut $1$ si la première boule est rouge et $0$ sinon, et de même $Y$ pour la seconde boule.

Partie A. Tirages avec remise

Dans cette partie, la première boule est remise dans l'urne avant le second tirage.

1. Déterminer la loi de $X$, puis celle de $Y$. Reconnaître ces lois.

2. Justifier que $X$ et $Y$ sont indépendantes, puis dresser le tableau de la loi conjointe du couple $(X,Y)$.

3. Vérifier que la somme des quatre probabilités vaut $1$, et que les marges du tableau redonnent bien les lois de la question 1.

Partie B. Tirages sans remise

Dans cette partie, la première boule n'est pas remise dans l'urne : le second tirage se fait donc parmi quatre boules.

4. À l'aide de la formule des probabilités composées, déterminer la loi conjointe du couple $(X,Y)$ et la présenter dans un tableau.

5. Vérifier que la somme des quatre probabilités vaut $1$.

6. Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$. Comparer avec la partie A : que constate-t-on ?

7. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

8. Déterminer la loi conditionnelle de $Y$ sachant $[X=1]$, puis la loi conditionnelle de $Y$ sachant $[X=0]$. Interpréter concrètement ces deux lois, et expliquer en quoi elles éclairent la réponse à la question 7.

9. Rédiger en deux phrases le bilan de l'exercice.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes définies sur un même espace probabilisé, admettant toutes deux un moment d'ordre $2$, et telles que

$$V(X)=4V(Y)=9\rho (X,Y)=\mathrm{0,5}$$

On donne $\sqrt{19}\approx \mathrm{4,359}$.

1. Calculer $\sigma (X)$, $\sigma (Y)$, puis $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$.

2. Calculer $V(X+Y)$, puis $\sigma (X+Y)$ arrondi au centième. Comparer $V(X+Y)$ à $V(X)+V(Y)$ et commenter.

3. Calculer $V(X-Y)$.

4. Calculer $V(2X-3Y+5)$.

5. Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X+Y,X-Y)$ en utilisant la bilinéarité de la covariance.

6. Pour tout réel $\lambda$, exprimer $V(X+\lambda Y)$ en fonction de $\lambda$. Déterminer la valeur de $\lambda$ qui rend cette variance minimale, ainsi que la valeur minimale obtenue.

7. On reprend la question précédente dans le cas général, avec deux variables quelconques $X$ et $Y$ admettant un moment d'ordre $2$ et telles que $V(Y)>0$. Déduire de l'étude du trinôme l'inégalité

$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y{)}^2⩽V(X)V(Y)$$

puis retrouver que $\mid \rho (X,Y)\mid ⩽1$.

Partie A. Démonstration du théorème

Soient $n_1$ et $n_2$ deux entiers naturels non nuls et $p\in ]0,1[$. On pose $q=1-p$. Soient $X\hookrightarrow \mathcal{B}(n_1,p)$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{B}(n_2,p)$ deux variables aléatoires indépendantes, de même paramètre $p$. On pose $S=X+Y$.

On rappelle la formule de Vandermonde, admise : pour tous entiers naturels $m$ et $n$ et tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,m+n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$,

$$\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k-i}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m+n}{k}\right)$$

Dans tout l'exercice, on utilise la convention usuelle ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{a}{b}\right)}=0$ dès que $b<0$ ou $b>a$.

1. Déterminer $S(\mathrm{\Omega })$.

2. Soit $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n_1+n_2]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Justifier que la famille $([X=i]{)}_{i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n_1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]}$ est un système complet d'événements, puis établir que

$$P(S=k)=\sum _{i=0}^{n_1}P([X=i]\cap [Y=k-i])$$

3. En utilisant l'indépendance de $X$ et $Y$, puis la convention sur les coefficients binomiaux, montrer que

$$P(S=k)=\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n_1}{i}\right)p^i{q}^{n_1-i}\times \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n_2}{k-i}\right)p^{k-i}{q}^{n_2-k+i}$$

4. Conclure que $S\hookrightarrow \mathcal{B}(n_1+n_2,p)$.

Partie B. Application

Un commercial passe $3$ appels de prospection le matin et $5$ l'après-midi. Chaque appel aboutit à une vente avec la probabilité $\mathrm{0,2}$, indépendamment de tous les autres. On note $X$ le nombre de ventes du matin et $Y$ celui de l'après-midi.

5. Justifier que $X\hookrightarrow \mathcal{B}(3;\mathrm{0,2})$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{B}(5;\mathrm{0,2})$, et que ces deux variables sont indépendantes.

6. Donner la loi du nombre total de ventes de la journée $S=X+Y$, puis $E(S)$ et $V(S)$.

7. Calculer $P(S=0)$ et $P(S=1)$, puis en déduire la probabilité que le commercial réalise au moins deux ventes dans la journée. On donnera les résultats arrondis au millième.

Partie C. Et si les paramètres diffèrent ?

Soient $X^{\mathrm{\prime }}$ et $Y^{\mathrm{\prime }}$ deux variables aléatoires indépendantes, avec $X^{\mathrm{\prime }}\hookrightarrow \mathcal{B}(1;{\displaystyle \frac{1}{2}})$ et $Y^{\mathrm{\prime }}\hookrightarrow \mathcal{B}(1;{\displaystyle \frac{1}{4}})$. On pose $S^{\mathrm{\prime }}=X^{\mathrm{\prime }}+Y^{\mathrm{\prime }}$.

8. Déterminer la loi de $S^{\mathrm{\prime }}$.

9. Montrer, par l'absurde, que $S^{\mathrm{\prime }}$ ne suit aucune loi binomiale de la forme $\mathcal{B}(2,p)$.

10. Montrer enfin que l'hypothèse d'indépendance ne peut pas non plus être supprimée : on considérera $X^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\hookrightarrow \mathcal{B}(1;{\displaystyle \frac{1}{2}})$ et $Y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=X^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, et l'on étudiera $X^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+Y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

Soient $\lambda >0$ et $\mu >0$. On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur le même espace probabilisé, indépendantes, telles que

$$X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda )\text{et}Y\hookrightarrow \mathcal{P}(\mu )$$

On pose $S=X+Y$. L'objectif est d'établir que $S\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda +\mu )$, résultat appelé stabilité de la loi de Poisson.

Partie A. La démonstration

1. Déterminer $S(\mathrm{\Omega })$.

2. Soit $n\in \mathbb{N}$ fixé. Justifier que la famille $([X=i]{)}_{i\in \mathbb{N}}$ est un système complet d'événements, puis établir que

$$P(S=n)=\sum _{i=0}^{n}P([X=i]\cap [Y=n-i])$$

en expliquant pourquoi la somme s'arrête à $i=n$.

3. Où intervient l'hypothèse d'indépendance ? Réécrire la somme précédente comme une somme de produits.

4. Mener le calcul : factoriser par ${\displaystyle \frac{1}{n!}}$ afin de faire apparaître les coefficients binomiaux, puis reconnaître la formule du binôme de Newton. Conclure.

5. Vérifier que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}P(S=n)=1}$.

Partie B. Application à deux guichets

Dans une agence, deux guichets fonctionnent en parallèle pendant la pause méridienne. On note $X$ le nombre de clients qui se présentent au guichet A et $Y$ le nombre de clients qui se présentent au guichet B pendant cette période. On admet que $X\hookrightarrow \mathcal{P}(2)$, que $Y\hookrightarrow \mathcal{P}(3)$ et que ces deux variables sont indépendantes. On note toujours $S=X+Y$ le nombre total de clients.

Pour les applications numériques, on donne $e^{-5}\approx \mathrm{0,006}738$ et l'on arrondira les résultats à ${10}^{-4}$ près.

6. Donner la loi de $S$.

7. Calculer la probabilité qu'aucun client ne se présente pendant la pause, puis la probabilité qu'au moins un client se présente.

8. Retrouver le résultat de la question 7. en écrivant l'événement « aucun client » à l'aide de $X$ et de $Y$, sans utiliser la loi de $S$.

9. Calculer la probabilité qu'il se présente exactement $5$ clients au total.

Partie C. Espérance et variance, de deux façons

10. Calculer $E(S)$ et $V(S)$ en utilisant uniquement les lois de $X$ et de $Y$, sans utiliser le résultat de la partie A.

11. Retrouver ces deux valeurs à partir de la loi de $S$ obtenue en question 4.

12. On suppose maintenant que $X$ et $Y$ ne sont plus supposées indépendantes. Parmi les trois résultats « $E(S)=\lambda +\mu$ », « $V(S)=\lambda +\mu$ » et « $S\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda +\mu )$ », lesquels restent vrais ?

Deux joueurs, Alice et Bruno, jouent chacun de leur côté à un jeu de hasard. À chaque partie, Alice gagne avec la probabilité $p\in ]0,1[$ et Bruno gagne avec la probabilité $q\in ]0,1[$, indépendamment de tout le reste. Ils jouent simultanément, partie après partie, jusqu'à ce que chacun ait obtenu sa première victoire.

On note $X$ le numéro de la partie où Alice gagne pour la première fois, et $Y$ le numéro de la partie où Bruno gagne pour la première fois. Ainsi

$$X\hookrightarrow \mathcal{G}(p),Y\hookrightarrow \mathcal{G}(q)$$

et l'on admet que $X$ et $Y$ sont indépendantes. On pose

$$M=\min (X,Y)\text{et}N=\max (X,Y)$$

de sorte que $M$ est le numéro de la partie où l'un des deux gagne pour la première fois, et $N$ celui où le dernier des deux obtient enfin sa première victoire.

Pour alléger l'écriture, on posera $a=1-p$ et $b=1-q$.

Partie A. La queue d'une loi géométrique

1. Rappeler $X(\mathrm{\Omega })$ et $P(X=i)$ pour $i\in X(\mathrm{\Omega })$.

2. Soit $k\in \mathbb{N}$. Démontrer, en sommant une série géométrique, que

$$P(X>k)=a^k$$

Retrouver ce résultat en interprétant l'événement $[X>k]$ en termes de parties gagnées ou perdues.

3. En déduire $P(X⩽k)$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.

Partie B. Le minimum

4. Déterminer $M(\mathrm{\Omega })$.

5. Soit $k\in \mathbb{N}$. Justifier l'égalité d'événements $[M>k]=[X>k]\cap [Y>k]$, puis établir que

$$P(M>k)=a^k{b}^k=(ab{)}^k$$

6. On pose $r=1-ab=1-(1-p)(1-q)$. Vérifier que $r\in ]0,1[$, puis, en écrivant $[M=k]$ comme une différence d'événements, montrer que

$$M\hookrightarrow \mathcal{G}(r)$$

7. En déduire $E(M)$ en fonction de $p$ et de $q$.

8. Interpréter le paramètre $r$ : pourquoi pouvait-on prévoir ce résultat sans calcul ?

Partie C. Le maximum

9. Déterminer $N(\mathrm{\Omega })$, puis établir que pour tout $k\in \mathbb{N}$,

$$P(N⩽k)=(1-a^k)(1-b^k)$$

10. En déduire, pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, l'expression de $P(N=k)$, et vérifier qu'elle s'écrit

$$P(N=k)=P(X=k)+P(Y=k)-P(M=k)$$

11. Justifier l'égalité $M+N=X+Y$, valable pour toute issue de l'expérience. En déduire $E(N)$ sans nouveau calcul de série.

12. Établir que $P(X=Y)={\displaystyle \frac{pq}{r}}$.

Partie D. Application numérique

On prend $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $q={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

13. Donner la loi de $M$, puis $E(M)$, $E(N)$ et $P(X=Y)$. Commenter les valeurs obtenues.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier supérieur ou égal à $2$, et $X_1,X_2,\dots ,X_n$ sont $n$ variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé, admettant toutes une espérance et une variance. On pose

$$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$$

Partie A. Le cas des variables de Bernoulli

On suppose dans cette partie que $X_1,\dots ,X_n$ sont mutuellement indépendantes et suivent toutes la loi $\mathcal{B}(p)$, avec $p\in ]0,1[$.

1. Rappeler $E(X_i)$ et $V(X_i)$ pour tout $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

2. Calculer $E(S_n)$. Quelle propriété de l'espérance utilise-t-on, et de quelle hypothèse a-t-on besoin ?

3. Calculer $V(S_n)$. Même question.

4. Reconnaître directement la loi de $S_n$ en revenant à la situation qu'elle modélise, et vérifier que l'espérance et la variance de cette loi coïncident avec les résultats des questions 2. et 3.

5. Application numérique. Un centre d'appels traite $10$ dossiers par jour, chacun aboutissant à une vente avec la probabilité $\mathrm{0,3}$, indépendamment des autres. Donner l'espérance et la variance du nombre quotidien de ventes.

Partie B. Des variables quelconques, indépendantes

On suppose maintenant que $X_1,\dots ,X_n$ sont mutuellement indépendantes et suivent toutes la même loi, d'espérance $m$ et de variance ${\sigma }^2$, sans autre précision sur cette loi.

6. Exprimer $E(S_n)$ et $V(S_n)$ en fonction de $n$, $m$ et ${\sigma }^2$.

7. On pose $\overline{X_n}={\displaystyle \frac{S_n}{n}}$. Calculer $E\left(\overline{X_n}\right)$ et $V\left(\overline{X_n}\right)$, et commenter.

8. Application numérique. Une enseigne possède $10$ magasins. Le chiffre d'affaires mensuel d'un magasin, en milliers d'euros, a pour espérance $m=50$ et pour écart-type $\sigma =3$. On suppose d'abord les $10$ chiffres d'affaires mutuellement indépendants. Calculer l'espérance et l'écart-type du chiffre d'affaires total de l'enseigne, arrondi au dixième. On donne $\sqrt{10}\approx \mathrm{3,162}$ et $\sqrt{\mathrm{2,1}}\approx \mathrm{1,449}$.

Partie C. Quand l'indépendance tombe

On ne suppose plus les variables indépendantes. On conserve $E(X_i)=m$ et $V(X_i)={\sigma }^2$ pour tout $i$, et l'on suppose que les covariances deux à deux sont toutes égales à un même réel $c$ :

$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_i,X_j)=c\text{pour tous }i\mathrm{\ne }j$$

9. Que devient $E(S_n)$ ?

10. En écrivant $V(S_n)=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(S_n,S_n)$ et en utilisant la bilinéarité de la covariance, démontrer que

$$V(S_n)=n{\sigma }^2+n(n-1)c$$

11. Exprimer le coefficient de corrélation $\rho (X_i,X_j)$ pour $i\mathrm{\ne }j$ en fonction de $c$ et de $\sigma$. En déduire un majorant de $c$.

12. En écrivant que $V(S_n)⩾0$, obtenir un minorant de $c$.

13. Application numérique. On reprend les $10$ magasins de la question 8., avec $m=50$ et $\sigma =3$, mais on suppose cette fois $c=4$.

a. Calculer $E(S_{10})$, $V(S_{10})$ et l'écart-type de $S_{10}$, arrondi au dixième. On donne $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$. Comparer à la question 8.

b. Donner les valeurs extrêmes autorisées pour $c$, puis décrire ce qui se passe dans chacun de ces deux cas limites.

Soit $c$ un réel. On considère un couple $(X,Y)$ de variables aléatoires discrètes à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$, dont la loi conjointe est donnée par

$$P([X=i]\cap [Y=j])={\displaystyle \frac{c}{2^{i+j}}}\text{pour tout }(i,j)\in {\left({\mathbb{N}}^{\ast }\right)}^2$$

Partie A. La constante et les lois marginales

1. Rappeler la valeur de ${\displaystyle \sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2^i}}}$, en précisant pourquoi la série converge.

2. Déterminer $c$.

3. Recopier et compléter le tableau des premières valeurs de la loi conjointe, en donnant des fractions.

4. Déterminer la loi marginale de $X$, puis celle de $Y$. Reconnaître deux lois usuelles.

5. En déduire $E(X)$, $V(X)$, $E(Y)$ et $V(Y)$.

Partie B. Indépendance et comparaison des deux variables

6. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

7. Calculer $P(X=Y)$.

8. Calculer $P(X<Y)$ de deux façons : par un calcul direct, puis par un argument de symétrie.

9. Calculer $E(XY)$ et $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$.

Partie C. La loi de la somme

On pose $S=X+Y$.

10. Déterminer $S(\mathrm{\Omega })$.

11. Établir que, pour tout entier $s⩾2$,

$$P(S=s)={\displaystyle \frac{s-1}{2^s}}$$

12. Vérifier que ${\displaystyle \sum _{s=2}^{+\mathrm{\infty }}P(S=s)=1}$.

13. Calculer $E(S)$ et $V(S)$ sans utiliser la loi de $S$.

Le cours établit que deux variables aléatoires indépendantes ont une covariance nulle. L'objet de cet exercice est de montrer, sur deux exemples, que la réciproque est fausse, et de comprendre précisément ce que mesure la covariance.

Partie A. Une variable et son carré

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\{-1,0,1\}$, c'est-à-dire

$$P(X=-1)=P(X=0)=P(X=1)={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

On pose $Y=X^2$.

1. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

2. Déterminer $Y(\mathrm{\Omega })$ et la loi de $Y$. Reconnaître une loi usuelle, puis donner $E(Y)$ et $V(Y)$.

3. Justifier que $XY=X$, puis en déduire $E(XY)$.

4. Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$ et $\rho (X,Y)$.

5. Dresser le tableau de la loi conjointe du couple $(X,Y)$, en y faisant figurer les lois marginales.

6. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Justifier soigneusement.

7. Que dire du lien entre $X$ et $Y$ ? Commenter au regard des questions 4. et 6.

8. Calculer $V(X+Y)$ de deux façons : par la formule de la variance d'une somme, puis en déterminant la loi de $X+Y$.

Partie B. Un déplacement au hasard

Un jeton est placé à l'origine d'un quadrillage. Il effectue un unique déplacement d'une case, choisi au hasard et de façon équiprobable parmi les quatre directions : vers la droite, vers la gauche, vers le haut, vers le bas. On note $X$ son déplacement horizontal et $Y$ son déplacement vertical, tous deux à valeurs dans $\{-1,0,1\}$.

9. Justifier que la loi conjointe du couple $(X,Y)$ est donnée par le tableau suivant, et compléter les lois marginales.

10. Calculer $E(X)$, $E(Y)$, $V(X)$ et $V(Y)$.

11. Justifier que la variable $XY$ est constante, puis calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$.

12. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Partie C. Synthèse

13. Parmi les deux affirmations suivantes, laquelle est un théorème du cours, laquelle est fausse ?

a. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=0$.

b. Si $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=0$, alors $X$ et $Y$ sont indépendantes.

14. Énoncer la contraposée de l'affirmation vraie. À quoi sert-elle en pratique ?

15. L'égalité $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ nécessite-t-elle l'indépendance de $X$ et $Y$ ?

16. Généralisation de la partie A. Soit $X$ une variable aléatoire admettant un moment d'ordre $4$, telle que $E(X)=0$ et $E\left(X^3\right)=0$. Démontrer que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,X^2)=0$.

On lance $n$ fois un dé équilibré à six faces, numérotées de $1$ à $6$, les lancers étant indépendants les uns des autres. On note $N$ le nombre de faces distinctes obtenues au cours de ces $n$ lancers. Par exemple, pour $n=5$ et la suite de résultats $3,1,3,6,1$, on a $N=3$, car seules les faces $1$, $3$ et $6$ sont sorties.

Déterminer la loi de $N$ est un problème difficile. On va pourtant obtenir son espérance et sa variance sans jamais la calculer, grâce à la méthode des indicatrices.

Pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $A_k$ l'événement « la face $k$ apparaît au moins une fois au cours des $n$ lancers », et ${\mathbf{1}}_{A_k}$ son indicatrice, c'est-à-dire la variable aléatoire qui vaut $1$ si $A_k$ est réalisé et $0$ sinon.

Partie A. L'espérance

1. Soit $A$ un événement de probabilité $p$. Déterminer la loi de ${\mathbf{1}}_A$, puis $E\left({\mathbf{1}}_A\right)$ et $V\left({\mathbf{1}}_A\right)$.

2. Justifier que

$$N=\sum _{k=1}^6{\mathbf{1}}_{A_k}$$

3. Soit $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Calculer $P\left(\overline{A_k}\right)$, puis $P(A_k)$.

4. En déduire que

$$E(N)=6(1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n)$$

5. Que vaut $E(N)$ pour $n=1$ ? Le résultat était-il prévisible ?

Partie B. La variance

6. Les variables ${\mathbf{1}}_{A_1},\dots ,{\mathbf{1}}_{A_6}$ sont-elles indépendantes ? Quelle conséquence cela a-t-il sur le calcul de $V(N)$ ?

7. Soient $k$ et $l$ deux éléments distincts de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Calculer $P(\overline{A_k}\cap \overline{A_l})$, puis, en passant au complémentaire de la réunion, établir que

$$P(A_k\cap A_l)=1-2{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n$$

8. Justifier que ${\mathbf{1}}_{A_k}{\mathbf{1}}_{A_l}={\mathbf{1}}_{A_k\cap A_l}$, puis en déduire $E\left({\mathbf{1}}_{A_k}{\mathbf{1}}_{A_l}\right)$.

9. Démontrer que

$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}({\mathbf{1}}_{A_k},{\mathbf{1}}_{A_l})={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{25}{36}}\right)}^n$$

Quel est le signe de cette covariance ? Interpréter.

10. En utilisant la formule de la variance d'une somme, établir que

$$V(N)=6{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n+30{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n-36{\left({\displaystyle \frac{25}{36}}\right)}^n$$

11. Vérifier cette formule pour $n=1$.

12. Pour $n=2$, calculer $E(N)$ et $V(N)$ par la formule, puis les retrouver en déterminant directement la loi de $N$.

Partie C. Application numérique

On prend $n=6$ : on lance six fois le dé. On donne les valeurs approchées suivantes.

On donne également $\sqrt{\mathrm{0,605}}\approx \mathrm{0,778}$.

13. Calculer $E(N)$ et $V(N)$ à ${10}^{-3}$ près, puis $\sigma (N)$.

14. Commenter : que peut-on dire du nombre de faces distinctes obtenues en six lancers ?

À l'entrée d'un théâtre, $n$ spectateurs déposent leur manteau au vestiaire, avec $n⩾2$. À la sortie, l'employé a perdu tous les tickets : il rend les $n$ manteaux au hasard, un par personne, toutes les façons de les distribuer étant équiprobables.

On note $X$ le nombre de spectateurs qui récupèrent leur propre manteau. Pour tout $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $A_i$ l'événement « le spectateur numéro $i$ récupère son propre manteau », et ${\mathbf{1}}_{A_i}$ son indicatrice, c'est-à-dire la variable aléatoire valant $1$ si $A_i$ est réalisé et $0$ sinon.

Partie A. L'espérance

1. Combien y a-t-il de façons de distribuer les $n$ manteaux aux $n$ spectateurs ?

2. Soit $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Dénombrer les distributions pour lesquelles le spectateur $i$ récupère son manteau, puis en déduire $P(A_i)$.

3. Justifier que $X={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mathbf{1}}_{A_i}}$, puis calculer $E(X)$.

4. Commenter le résultat obtenu. Que se passe-t-il si $n$ vaut $10$, puis $1000$ ?

Partie B. La variance

5. Soient $i$ et $j$ deux indices distincts. Dénombrer les distributions pour lesquelles les spectateurs $i$ et $j$ récupèrent tous deux leur manteau, puis en déduire

$$P(A_i\cap A_j)={\displaystyle \frac{1}{n(n-1)}}$$

6. Démontrer que

$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}({\mathbf{1}}_{A_i},{\mathbf{1}}_{A_j})={\displaystyle \frac{1}{n^2(n-1)}}$$

Quel est son signe ? Interpréter à l'aide de la probabilité conditionnelle $P_{A_i}\left(A_j\right)$.

7. Calculer $V\left({\mathbf{1}}_{A_i}\right)$, puis démontrer que

$$V(X)=1$$

8. Commenter ce second résultat.

Partie C. Dépendance et vérification

9. Les variables ${\mathbf{1}}_{A_1},\dots ,{\mathbf{1}}_{A_n}$ sont-elles mutuellement indépendantes ? Donner deux arguments : l'un tiré de la question 6., l'autre relevant du simple bon sens.

10. Justifier que $P(X=n-1)=0$.

11. Vérification pour $n=4$. Déterminer la loi de $X$, puis retrouver $E(X)$ et $V(X)$ par un calcul direct.

Une marque de céréales glisse dans chaque paquet une vignette, choisie parmi $n$ vignettes différentes numérotées de $1$ à $n$. À chaque achat, la vignette obtenue est choisie de façon équiprobable parmi les $n$ modèles, indépendamment des achats précédents, et le stock du fabricant est supposé inépuisable.

Un collectionneur achète des paquets jusqu'à posséder les $n$ vignettes. On note $T$ le nombre total de paquets qu'il doit acheter pour compléter sa collection.

Pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $T_k$ le nombre de paquets achetés pour passer de $k-1$ vignettes distinctes à $k$ vignettes distinctes. Autrement dit, $T_k$ compte les achats effectués depuis le moment où le collectionneur vient d'obtenir sa $(k-1)$-ième vignette différente, jusqu'au moment où il obtient la $k$-ième, celui-ci compris.

Partie A. La décomposition

1. Justifier que $T=T_1+T_2+\cdots +T_n$.

2. Que vaut $T_1$ ? Quelle est sa loi ?

3. Soit $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Le collectionneur possède déjà $k-1$ vignettes distinctes. Quelle est la probabilité qu'un achat lui apporte une vignette nouvelle ? En déduire que

$$T_k\hookrightarrow \mathcal{G}\left({\displaystyle \frac{n-k+1}{n}}\right)$$

4. Vérifier que le résultat de la question 3. est cohérent avec celui de la question 2.

5. Quelle est la loi de $T_n$ ? Commenter.

Partie B. L'espérance

6. Donner $E(T_k)$ pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

7. En déduire, à l'aide d'un changement d'indice, que

$$E(T)=n\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}$$

Partie C. La variance

On admet que les variables $T_1,T_2,\dots ,T_n$ sont mutuellement indépendantes.

8. Expliquer intuitivement pourquoi cette hypothèse est raisonnable.

9. Calculer $V(T_k)$ en fonction de $n$ et de $k$.

10. En déduire que

$$V(T)=n^2\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k^2}}-n\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}$$

11. Vérifier cette formule dans le cas $n=1$, puis dans le cas $n=2$.

Partie D. Applications numériques

12. Le cas $n=4$. Calculer $E(T)$ et $V(T)$ sous forme de fractions irréductibles, puis en donner des valeurs approchées à ${10}^{-2}$ près.

13. Le cas $n=6$. Mêmes questions. On donne ${\displaystyle \sum _{k=1}^6{\displaystyle \frac{1}{k}}={\displaystyle \frac{49}{20}}}$ et ${\displaystyle \sum _{k=1}^6{\displaystyle \frac{1}{k^2}}={\displaystyle \frac{5369}{3600}}}$, ainsi que $\sqrt{\mathrm{38,99}}\approx \mathrm{6,24}$.

14. Commenter : combien de paquets faut-il acheter en moyenne pour une collection de six vignettes ? Quelle part de l'attente est due à la dernière vignette ?

Partie A. Deux variables de Poisson

Soient $\lambda >0$ et $\mu >0$. On considère deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ telles que

$$X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda )\text{et}Y\hookrightarrow \mathcal{P}(\mu )$$

et l'on pose $S=X+Y$. On rappelle le théorème de stabilité de la loi de Poisson :

$$S\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda +\mu )$$

On souhaite déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $[S=n]$, c'est-à-dire la famille des nombres $P_{[S=n]}([X=k])$ pour $k\in \mathbb{N}$.

1. Soit $n\in \mathbb{N}$. Justifier que l'on a le droit de conditionner par l'événement $[S=n]$.

2. Soit $k$ un entier tel que $k>n$. Montrer que $P_{[S=n]}([X=k])=0$.

3. Soit $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Justifier l'égalité d'événements

$$[X=k]\cap [S=n]=[X=k]\cap [Y=n-k]$$

puis calculer $P([X=k]\cap [S=n])$.

4. En déduire, par un calcul entièrement rédigé, que

$$P_{[S=n]}([X=k])=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right){\left({\displaystyle \frac{\lambda }{\lambda +\mu }}\right)}^k{\left({\displaystyle \frac{\mu }{\lambda +\mu }}\right)}^{n-k}$$

5. Reconnaître une loi usuelle. Vérifier que la somme des probabilités conditionnelles vaut $1$.

6. Interprétation. Deux guichets A et B fonctionnent en parallèle. On note $X$ le nombre de clients qui se présentent au guichet A et $Y$ le nombre de clients qui se présentent au guichet B pendant une heure, avec $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda )$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{P}(\mu )$ indépendantes. Interpréter le résultat de la question 5. Le paramètre $\lambda +\mu$ joue-t-il un rôle dans cette loi conditionnelle ?

7. Application numérique. On prend $\lambda =2$ et $\mu =3$, et l'on sait qu'il s'est présenté $5$ clients en tout. Donner la loi conditionnelle de $X$ sachant $[S=5]$, sous forme de fractions puis de valeurs décimales.

Partie B. La variante binomiale

Soient $n_1$ et $n_2$ deux entiers naturels non nuls, et $p\in ]0,1[$. On considère cette fois deux variables aléatoires indépendantes $U$ et $V$ telles que

$$U\hookrightarrow \mathcal{B}(n_1,p)\text{et}V\hookrightarrow \mathcal{B}(n_2,p)$$

On rappelle le théorème de stabilité de la loi binomiale, valable ici parce que les deux lois ont le même paramètre $p$ :

$$U+V\hookrightarrow \mathcal{B}(n_1+n_2,p)$$

Soit $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n_1+n_2]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

8. Déterminer l'ensemble des entiers $j$ pour lesquels l'événement $[U=j]\cap [U+V=k]$ n'est pas impossible.

9. Pour un tel entier $j$, démontrer que

$$P_{[U+V=k]}([U=j])={\displaystyle \frac{{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n_1}{j}\right)}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n_2}{k-j}\right)}}{{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n_1+n_2}{k}\right)}}}$$

10. Quelle particularité remarquable présente ce résultat ? Interpréter en termes de tirages dans une urne.

11. On rappelle la formule de Vandermonde : pour tous entiers naturels $n_1$, $n_2$ et $k$,

$$\sum _j\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n_1}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n_2}{k-j}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n_1+n_2}{k}\right)$$

la somme portant sur les entiers $j$ de la question 8. Que permet-elle de vérifier ?

12. Application numérique. On prend $n_1=3$, $n_2=2$ et $k=2$. Donner la loi conditionnelle de $U$ sachant $[U+V=2]$, et vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.