Devoir surveillé — Probabilités et statistiques : statistiques bivariées et couples

Les cinq exercices sont indépendants. La calculatrice n'est pas autorisée : toutes les valeurs numériques utiles sont fournies. La qualité de la rédaction, la justification des hypothèses avant l'emploi d'un théorème et la précision des interprétations entrent pour une part importante dans la notation.

Une communauté d'agglomération exploite cinq stations de vélos en libre-service. Pour chacune, on relève le nombre $x$ de bornes d'attache, exprimé en dizaines, et le nombre moyen $y$ de locations quotidiennes, exprimé lui aussi en dizaines. La station $E$ est celle de la gare centrale ; les quatre autres desservent des quartiers résidentiels.

Pour éviter des calculs répétitifs, l'énoncé fournit les sommes utiles.

Sur les cinq stations :

$$\sum _{i=1}^5{x}_i=20,\sum _{i=1}^5{y}_i=50,\sum _{i=1}^5{x}_i^2=130,\sum _{i=1}^5{y}_i^2=1020,\sum _{i=1}^5{x}_i{y}_i=350.$$

Sur les quatre stations de quartier, c'est-à-dire en écartant la station $E$ :

$$\sum _{i=1}^4{x}_i=10,\sum _{i=1}^4{y}_i=20,\sum _{i=1}^4{x}_i^2=30,\sum _{i=1}^4{y}_i^2=120,\sum _{i=1}^4{x}_i{y}_i=50.$$

On donne enfin ${\displaystyle \frac{45}{52}}\approx \mathrm{0,865}$.

1. Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de la série des cinq stations, puis vérifier, à l'aide de la formule de Kœnig-Huygens, que $s_x^2=10$, $s_y^2=104$ et $s_{xy}=30$. En déduire $r_{xy}^2$ sous forme de fraction irréductible. Que mesure ce nombre ? (0,75 point)

2. Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, vérifier qu'elle passe par $G$ et interpréter son coefficient directeur. (0,5 point)

3. On recommence l'étude sur les quatre stations de quartier seulement. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $s_x^2$, $s_y^2$ et $s_{xy}$, puis le nouveau coefficient de corrélation et la nouvelle droite de régression de $y$ en $x$. (0,5 point)

4. Le directeur du réseau écrit dans son rapport : « la taille d'une station explique environ $\mathrm{86,5}\mathrm{\%}$ de sa fréquentation ; ajouter dix bornes à une station lui apportera trente locations de plus par jour ». Discuter cette affirmation à la lumière des questions 1., 2. et 3., puis dire ce qu'il convient de faire de la station $E$ dans cette étude. (0,75 point)

Une navette d'aéroport est composée de trois voitures numérotées $1$, $2$ et $3$. Au départ, $n$ voyageurs montent à bord, avec $n⩾2$. Chaque voyageur choisit sa voiture au hasard, de façon équiprobable entre les trois, indépendamment des choix des autres voyageurs. Une issue de l'expérience est donc un $n$-uplet de $\{1,2,3{\}}^n$, et ces $3^n$ issues sont équiprobables.

On note $X$ le nombre de voyageurs installés dans la voiture $1$ et $Y$ le nombre de voyageurs installés dans la voiture $2$.

Pour tout $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $A_i$ l'événement « le voyageur numéro $i$ monte dans la voiture $1$ », $B_i$ l'événement « le voyageur numéro $i$ monte dans la voiture $2$ », et ${\mathbf{1}}_{A_i}$, ${\mathbf{1}}_{B_i}$ leurs indicatrices. On rappelle que, pour tous événements $A$ et $B$,

$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}({\mathbf{1}}_A,{\mathbf{1}}_B)=P(A\cap B)-P(A)P(B)\mathrm{.}$$

1. Dans cette question et la suivante, $n=2$. Dresser le tableau de la loi conjointe du couple $(X,Y)$, en justifiant les cases nulles. (0,75 point)

2. En déduire les lois marginales de $X$ et de $Y$. Reconnaître la loi de $X$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? (0,5 point)

3. On revient au cas général $n⩾2$. On admet que $X$ et $Y$ suivent toutes deux la loi $\mathcal{B}(n,\frac{1}{3})$, pour la même raison qu'à la question 2. Démontrer que, pour tous entiers $k$ et $j$ tels que $k⩾0$, $j⩾0$ et $k+j⩽n$,

$$P([X=k]\cap [Y=j])={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-k}{j}\right)}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\mathrm{.}$$

On choisira d'abord les occupants de la voiture $1$, puis, parmi les voyageurs restants, ceux de la voiture $2$. (0,5 point)

4. Justifier que $X={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mathbf{1}}_{A_i}}$ et $Y={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mathbf{1}}_{B_i}}$, puis calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}({\mathbf{1}}_{A_i},{\mathbf{1}}_{B_j})$ en distinguant les cas $i=j$ et $i\mathrm{\ne }j$. En déduire que

$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=-\frac{n}{9}\mathrm{.}$$

(1 point)

5. Calculer $\rho (X,Y)$, puis $V(X+Y)$ par la formule de la variance d'une somme. Comparer $V(X+Y)$ à $V(X)+V(Y)$, et dire ce que le signe de la covariance fait à la dispersion de la somme. (0,5 point)

Un artisan exploite deux boulangeries, numérotées $1$ et $2$, approvisionnées chaque nuit par un unique fournil central. Au cours d'un mois, une boulangerie peut rester fermée pour deux raisons : un incident qui lui est propre, ou une panne du fournil, qui prive les deux boutiques de pain le même jour.

On note $N$ le nombre de pannes du fournil au cours du mois, $A$ le nombre d'incidents propres à la boulangerie $1$ et $B$ le nombre d'incidents propres à la boulangerie $2$. On admet que $N$, $A$ et $B$ sont mutuellement indépendantes et que

$$N\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda ),A\hookrightarrow \mathcal{P}(\mu ),B\hookrightarrow \mathcal{P}(\mu ),$$

avec $\lambda >0$ et $\mu >0$. On admet enfin que deux causes de fermeture, quelles qu'elles soient, ne surviennent jamais le même jour, de sorte que les jours de fermeture s'additionnent : le nombre de jours de fermeture de chaque boulangerie au cours du mois est

$$X=N+A\text{et}Y=N+B\mathrm{.}$$

On rappelle que, pour deux variables aléatoires admettant un moment d'ordre $2$,

$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=\frac{V(X+Y)-V(X)-V(Y)}{2}\mathrm{.}$$

Pour la question 6., on donne ${\mathrm{e}}^{-7}\approx \mathrm{0,000}912$ et ${\mathrm{e}}^{-8}\approx \mathrm{0,000}335$.

1. Déterminer la loi de $X$, en citant les théorèmes utilisés et en vérifiant leurs hypothèses. En déduire $E(X)$ et $V(X)$. Donner sans nouveau calcul la loi de $Y$. (0,5 point)

2. Exprimer $X+Y$ en fonction de $N$, $A$ et $B$, en déduire $V(X+Y)$, puis démontrer à l'aide de la formule rappelée ci-dessus que

$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=\lambda \mathrm{.}$$

(0,5 point)

3. En déduire $\rho (X,Y)$. Interpréter ce résultat, puis décrire ce qui se passe lorsque $\mu$ devient très petit devant $\lambda$. (0,5 point)

4. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Justifier. (0,25 point)

5. Déterminer la loi du nombre de journées au cours desquelles au moins une des deux boulangeries a fermé, c'est-à-dire de $T=N+A+B$. Calculer ensuite $E(X+Y)$, expliquer pourquoi $X+Y\mathrm{\ne }T$, puis, en comparant son espérance et sa variance, démontrer que $X+Y$ ne suit aucune loi de Poisson. (0,75 point)

6. Application numérique. On prend $\lambda =1$ et $\mu =3$. Donner $E(X)$, $V(X)$ et $\rho (X,Y)$. Calculer ensuite $P([X=0]\cap [Y=0])$ et le produit $P(X=0)P(Y=0)$, à ${10}^{-6}$ près, puis commenter. (0,5 point)

Une fédération sportive veut connaître la proportion $p$ de ses licenciés ayant déjà eu recours à un produit dopant, avec $p\in ]0,1[$. Interrogés directement, les intéressés nient. L'enquête est donc menée selon le protocole suivant, expliqué à chaque personne interrogée.

La personne lance une pièce équilibrée, sans montrer le résultat à l'enquêteur. Si elle obtient pile, elle répond sincèrement à la question « avez-vous déjà eu recours à un produit dopant ? ». Si elle obtient face, elle répond « oui », quelle que soit la vérité. Seule la réponse est enregistrée.

Pour une personne interrogée au hasard dans la population des licenciés, on note $X$ la variable qui vaut $1$ si elle a déjà eu recours à un produit dopant et $0$ sinon, $C$ la variable qui vaut $1$ si sa pièce donne pile et $0$ sinon, et $Y$ la variable qui vaut $1$ si elle répond « oui » et $0$ sinon. On admet que $X$ et $C$ sont indépendantes, que $X\hookrightarrow \mathcal{B}(p)$ et que $C\hookrightarrow \mathcal{B}\left(\frac{1}{2}\right)$.

Pour la question 6., on donne $\sqrt{6}\approx \mathrm{2,449}$.

1. Justifier l'égalité d'événements $[Y=1]=([C=1]\cap [X=1])\cup [C=0]$, puis démontrer que

$$P(Y=1)=\frac{1+p}{2}\mathrm{.}$$

(0,75 point)

2. Dresser le tableau de la loi conjointe du couple $(X,Y)$, en justifiant chacune des quatre cases, et vérifier que la loi marginale de $Y$ redonne le résultat de la question 1. (0,75 point)

3. Déterminer la loi de $X$ sachant $[Y=0]$, puis la loi de $X$ sachant $[Y=1]$. En quoi la seconde protège-t-elle la personne interrogée ? Que penser, de ce point de vue, de la première ? (0,75 point)

4. Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$. On admet que $V(Y)={\displaystyle \frac{1-p^2}{4}}$, d'où $\sigma (X)\sigma (Y)={\displaystyle \frac{1-p}{2}}\sqrt{p(1+p)}$ ; démontrer alors que

$$\rho (X,Y)=\sqrt{\frac{p}{1+p}}\mathrm{.}$$

(0,5 point)

5. (1 point pour l'ensemble de la question) L'enquête porte sur $n$ personnes interrogées indépendamment les unes des autres. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $Y_i$ la réponse de la $i$-ième personne, les variables $Y_1,\dots ,Y_n$ étant mutuellement indépendantes et de même loi que $Y$. On pose

$${\bar{Y}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i\text{et}{Z}_n=2{\bar{Y}}_n-1.$$

a. Démontrer que $E\left(Z_n\right)=p$, puis que $V\left(Z_n\right)={\displaystyle \frac{1-p^2}{n}}$, en indiquant à chaque étape l'hypothèse utilisée.

b. Un enquêteur interroge par erreur deux personnes du même club, dont les réponses sont corrélées positivement. Laquelle des deux formules du a. reste vraie ? Dans quel sens l'autre est-elle mise en défaut ?

6. Si les $n$ personnes répondaient toutes sincèrement, la fédération annoncerait la moyenne ${\bar{X}}_n$ des variables $X_i$, où $X_i$ vaut $1$ si la $i$-ième personne s'est dopée et $0$ sinon. Cette moyenne a pour variance ${\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}$, et l'on admet que le rapport des deux variances vaut

$$\frac{V\left(Z_n\right)}{V\left({\bar{X}}_n\right)}=\frac{1+p}{p}\mathrm{.}$$

Application numérique : sur $n=600$ personnes interrogées selon le protocole, $360$ ont répondu « oui », ce dont on déduit une valeur observée de $Z_n$ égale à $\mathrm{0,2}$. On se place désormais à $p=\mathrm{0,2}$ et l'on admet qu'alors $\sigma \left(Z_n\right)=\mathrm{0,04}$. Calculer l'écart-type de l'autre méthode, et conclure sur le prix de l'anonymat. (0,5 point)

Un organisme d'études cherche à prévoir une grandeur $Y$ à partir d'une grandeur $X$ observée sur le même individu. Il s'autorise pour cela les prévisions de la forme $aX+b$, où $a$ et $b$ sont deux réels, et il mesure la qualité d'une telle prévision par son erreur quadratique moyenne

$$Q(a,b)=E\left(\right(Y-aX-b{)}^2)\mathrm{.}$$

Dans tout le problème, $(X,Y)$ est un couple de variables aléatoires discrètes admettant un moment d'ordre $2$, avec $V(X)>0$ et $V(Y)>0$. On note $\rho =\rho (X,Y)$, et l'on admet que toutes les espérances écrites existent. On rappelle la formule de la variance d'une somme, sous la forme

$$V(Y-aX)=V(Y)+a^{2}V(X)-2a\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)\mathrm{.}$$

Les parties B et C utilisent le résultat de la partie A, mais sont indépendantes l'une de l'autre.

Partie A — La meilleure prévision affine

1. Soit $Z$ une variable aléatoire admettant un moment d'ordre $2$. Rappeler l'expression de $E\left(Z^2\right)$ en fonction de $V(Z)$ et de $E(Z)$. En déduire que, pour tous réels $a$ et $b$,

$$Q(a,b)=V(Y-aX)+(E(Y)-aE(X)-b{)}^2\mathrm{.}$$

(0,5 point)

2. En déduire que, pour $a$ fixé, la fonction $b⟼Q(a,b)$ atteint son minimum en un unique réel que l'on précisera, et que ce minimum vaut $V(Y-aX)$. Interpréter ce choix de $b$ en une phrase. (0,5 point)

3. On pose $a^{\star }={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)}{V(X)}}$. Démontrer que, pour tout réel $a$,

$$V(Y-aX)=V(X){(a-a^{\star })}^2+V(Y)(1-{\rho }^2)\mathrm{.}$$

En déduire d'une part que $Q$ atteint son minimum sur ${\mathbb{R}}^2$ en un unique couple $(a^{\star },b^{\star })$ que l'on précisera, et que ce minimum vaut $V(Y)(1-{\rho }^2)$ ; d'autre part, en une ligne, l'inégalité $\mid \rho \mid ⩽1$. (1 point)

4. On note désormais $\widehat{Y}=a^{\star }X+b^{\star }$ la meilleure prévision affine de $Y$ par $X$. Calculer $V\left(\widehat{Y}\right)$ en fonction de $\rho$ et de $V(Y)$, puis vérifier l'égalité

$$V(Y)=V\left(\widehat{Y}\right)+Q(a^{\star },b^{\star })\mathrm{.}$$

Quelle interprétation cette égalité donne-t-elle du nombre ${\rho }^2$ ? (0,5 point)

Partie B — Le retour vers la moyenne

5. Démontrer que la meilleure prévision affine s'écrit

$$\frac{\widehat{Y}-E(Y)}{\sigma (Y)}=\rho \times \frac{X-E(X)}{\sigma (X)}\mathrm{.}$$

(0,5 point)

6. On suppose dans cette question que $0<\rho <1$, et l'on considère un individu pour lequel $X$ dépasse $E(X)$ de $t$ écarts-types, avec $t>0$, c'est-à-dire tel que $X=E(X)+t\sigma (X)$. De combien d'écarts-types de $Y$ la prévision $\widehat{Y}$ dépasse-t-elle $E(Y)$ pour cet individu ? Conclure : comparée à l'observation, la prévision est-elle plus proche ou plus éloignée de la moyenne ?

Application. Dans une classe, on note $X$ la note du premier devoir et $Y$ celle du second. Les deux séries ont la même moyenne $10$ et le même écart-type $3$, et l'on a $\rho =\mathrm{0,6}$. Quelle note le modèle prévoit-il au second devoir pour un élève ayant obtenu $16$ au premier ? Et pour un élève ayant obtenu $4$ ? (0,5 point)

7. Le professeur en conclut que « les écarts se resserrent d'un devoir à l'autre, la classe devient homogène ». En échangeant les rôles de $X$ et de $Y$, calculer la note du premier devoir que le modèle prévoit pour un élève ayant obtenu $16$ au second. Que devient l'argument du professeur ? Calculer le produit des deux pentes de prévision et reconnaître le résultat. Quelle est enfin la série qui est réellement moins dispersée, et de combien ? (1 point)

Partie C — Une variable explicative mal mesurée

L'organisme ne peut pas observer $X$ directement : il n'en connaît qu'une version entachée d'erreur,

$$X^{\mathrm{\prime }}=X+\epsilon ,$$

où la variable aléatoire discrète $\epsilon$ représente l'erreur de mesure. On suppose que $\epsilon$ admet un moment d'ordre $2$, que $E(\epsilon )=0$, que $V(\epsilon )>0$, et que $\epsilon$ est indépendante de $X$ et de $Y$. On suppose de plus, dans toute cette partie, que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)\mathrm{\ne }0$.

8. Calculer $E\left(X^{\mathrm{\prime }}\right)$, $V\left(X^{\mathrm{\prime }}\right)$ et $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X^{\mathrm{\prime }},Y)$ en fonction des caractéristiques de $X$, de $Y$ et de $\epsilon$. (0,5 point)

9. On note $a^{\mathrm{\prime }}$ le coefficient directeur de la meilleure prévision affine de $Y$ par $X^{\mathrm{\prime }}$. Démontrer que

$$a^{\mathrm{\prime }}=a^{\star }\times \frac{V(X)}{V(X)+V(\epsilon )},$$

et en déduire la position de $a^{\mathrm{\prime }}$ par rapport à $a^{\star }$ et à $0$. (0,5 point)

10. On pose $\tau ={\displaystyle \frac{V(\epsilon )}{V(X)}}$. Démontrer que $\rho (X^{\mathrm{\prime }},Y)={\displaystyle \frac{\rho }{\sqrt{1+\tau }}}$, et comparer $\mid \rho (X^{\mathrm{\prime }},Y)\mid$ à $\mid \rho \mid$. (0,5 point)

11. Application numérique. On étudie le lien entre le nombre $X$ d'heures de travail personnel hebdomadaire d'un élève et son score $Y$ à un concours blanc, noté sur $100$. On a $\sigma (X)=4$, $\sigma (Y)=8$, $\rho =\mathrm{0,75}$, et l'on admet $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=24$. Le nombre d'heures est recueilli par questionnaire déclaratif, entaché d'une erreur d'écart-type $\sigma (\epsilon )=3$. Calculer $a^{\star }$, $a^{\mathrm{\prime }}$ et $\rho (X^{\mathrm{\prime }},Y)$, puis interpréter l'écart entre $a^{\star }$ et $a^{\mathrm{\prime }}$. (0,5 point)

12. On suppose maintenant que $X$ est parfaitement mesurée, mais que c'est $Y$ qui l'est mal : on observe $Y^{\mathrm{\prime }}=Y+\eta$, où $\eta$ est une variable aléatoire discrète admettant un moment d'ordre $2$, vérifiant $E(\eta )=0$ et $V(\eta )>0$, et indépendante de $X$ et de $Y$. Sans refaire les calculs des questions 8. à 10., indiquer seulement ce qui change : que devient le coefficient directeur de la meilleure prévision affine ? Et le coefficient de corrélation ? Laquelle des deux variables a-t-il le plus d'importance à bien mesurer ? (0,5 point)