Exercices — Raisonnement et vocabulaire ensembliste

Dans tout l'exercice, une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux, sans autre possibilité.

1. Déterminer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes.

   a. « $2+2=4$ » et « $3<5$ »

   b. « $2+2=5$ » ou « $3<5$ »

   c. non « $7$ est pair »

   d. « $(-2{)}^2=4$ » et « $-2>0$ »

   e. « $1>2$ » ou « $2>3$ »

   f. non « $5⩾5$ »

2. Recopier et compléter la table de vérité suivante, où $P$ et $Q$ désignent deux propositions quelconques (V pour vrai, F pour faux).

   $P$	$Q$	$P$ et $Q$	$P$ ou $Q$
   V	V	?	?
   V	F	?	?
   F	V	?	?
   F	F	?	?

3. Traduire chacune des phrases suivantes par une proposition mathématique utilisant « et », « ou » ou « non ».

   a. Le réel $x$ est compris entre $-1$ et $3$, bornes comprises.

   b. Le produit des deux réels $x$ et $y$ est nul.

   c. L'entreprise a un chiffre d'affaires $C$ strictement supérieur à $100$ (en milliers d'euros) et un résultat $R$ négatif ou nul.

   d. Traduire, dans l'autre sens, la proposition « $x\mathrm{\ne }0$ et $y\mathrm{\ne }0$ » par une phrase en français.

4. Dans la langue courante, « fromage ou dessert » signifie l'un ou l'autre, mais pas les deux : le « ou » y est exclusif. En mathématiques, le « ou » est inclusif.

   a. On prend $x=0$. Les propositions « $x⩾0$ » et « $x⩽0$ » sont-elles vraies ? Qu'en déduit-on pour la proposition « $x⩾0$ ou $x⩽0$ » ?

   b. On sait que, pour tous réels $x$ et $y$, on a $xy=0$ si et seulement si « $x=0$ ou $y=0$ ». Cette équivalence resterait-elle correcte si le « ou » était exclusif ? On testera $x=y=0$.

5. Écrire la négation de chacune des propositions suivantes, sans employer le mot « non ».

   a. $x⩾2$ et $x⩽5$

   b. $x=1$ ou $x=-3$

   c. $n$ est pair et $n⩾10$

   d. $x>0$ ou $y>0$

1. Traduire en français chacune des propositions suivantes, puis donner sa valeur de vérité en justifiant.

   a. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2⩾0$

   b. $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},x^2=2$

   c. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n⩾1$

   d. $\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},n^2=2$

2. Écrire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes.

   a. Le carré de tout nombre réel est positif ou nul.

   b. Il existe un entier naturel dont le carré vaut $49$.

   c. L'équation $x^3=5$ admet au moins une solution réelle.

   d. Une entreprise relève son chiffre d'affaires mensuel : on note $c_1,c_2,\dots ,c_{12}$ les douze valeurs obtenues, en milliers d'euros. Écrire : « chaque mois, le chiffre d'affaires a été supérieur ou égal à $8$ ».

3. On considère les deux propositions

   $$P:\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R},y>x$$ $$Q:\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},y>x$$

   Elles sont écrites avec les mêmes symboles, dans un ordre différent.

   a. Traduire chacune d'elles en français.

   b. Déterminer laquelle est vraie et laquelle est fausse, en justifiant les deux réponses.

4. Dans chacune des écritures suivantes, une quantification est sous-entendue. La rendre explicite, ou expliquer pourquoi l'écriture n'est pas une proposition.

   a. $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$

   b. Si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair.

   c. $x^2-3x+2=0$

On rappelle les deux règles de négation : la négation de $\mathrm{\forall }x\in E,\mathcal{A}(x)$ est $\mathrm{\exists }x\in E,\text{ non }\mathcal{A}(x)$, et la négation de $\mathrm{\exists }x\in E,\mathcal{A}(x)$ est $\mathrm{\forall }x\in E,\text{ non }\mathcal{A}(x)$.

1. Écrire la négation de chacune des propositions suivantes, sous une forme où le mot « non » n'apparaît plus. Dans l'item g., $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ désigne une suite réelle donnée.

   a. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2>0$

   b. $\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},n^2=5$

   c. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},(n⩾3⟹n^2⩾9)$

   d. $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},(x>0\text{ et }{x}^2<x)$

   e. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},(x⩽-2\text{ ou }x⩾2)$

   f. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},n>x$

   g. $\mathrm{\exists }M\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_n⩽M$

2. Écrire en français la négation de chacune des deux phrases suivantes.

   a. Tous les clients de l'entreprise ont réglé leur facture.

   b. Il existe un mois de l'année où le chiffre d'affaires a dépassé $50$ milliers d'euros.

3. Pour les propositions a. et d. de la question 1, dire laquelle, de la proposition ou de sa négation, est vraie. On justifiera à chaque fois.

4. Un étudiant écrit : « la négation de $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2>0$ est $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2⩽0$ ». Relever les deux erreurs commises.

On rappelle que, pour deux propositions $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ :

• la réciproque de $\mathcal{A}⟹\mathcal{B}$ est $\mathcal{B}⟹\mathcal{A}$ ;
• la contraposée de $\mathcal{A}⟹\mathcal{B}$ est $\text{non }\mathcal{B}⟹\text{non }\mathcal{A}$ ;
• la négation de $\mathcal{A}⟹\mathcal{B}$ est « $\mathcal{A}$ et non $\mathcal{B}$ ».

Comme toujours, les implications ci-dessous sont sous-entendues quantifiées universellement : « pour tout entier $n$… », « pour tout réel $x$… ».

Pour chacune des quatre implications suivantes, écrire sa réciproque, sa contraposée et sa négation, puis donner la valeur de vérité de l'implication et celle de sa réciproque (justification ou contre-exemple).

a. Pour $n\in \mathbb{N}$ : si $n$ est un multiple de $4$, alors $n$ est pair.

b. Pour $x\in \mathbb{R}$ : si $x>3$, alors $x^2>9$.

c. Pour une entreprise dont le résultat est égal au chiffre d'affaires diminué des charges, les charges et le chiffre d'affaires étant positifs ou nuls, et « réaliser un bénéfice » signifiant « avoir un résultat strictement positif » : si l'entreprise réalise un bénéfice, alors son chiffre d'affaires est strictement positif.

d. Pour $n\in \mathbb{N}$ : si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair. On admettra qu'un entier naturel est soit pair, soit impair, et jamais les deux.

On rappelle le vocabulaire. Soient $P$ et $Q$ deux propositions.

• Dire que $P$ est une condition suffisante de $Q$ signifie $P⟹Q$ : il suffit que $P$ soit vraie pour que $Q$ le soit.
• Dire que $P$ est une condition nécessaire de $Q$ signifie $Q⟹P$ : si $Q$ est vraie, alors $P$ l'est forcément.
• Dire que $P$ est une condition nécessaire et suffisante de $Q$ signifie $P⟺Q$.

1. Dans chacun des cas suivants, dire si $P$ est une condition suffisante, nécessaire, nécessaire et suffisante, ou ni l'une ni l'autre, de $Q$. On justifiera chaque implication retenue et on donnera un contre-exemple pour chaque implication écartée. Les lettres $x$ et $n$ désignent respectivement un réel et un entier naturel quelconques.

   a. $P$ : « $x=2$ » ; $Q$ : « $x^2=4$ ».

   b. $P$ : « $x^2=4$ » ; $Q$ : « $x=2$ ».

   c. $P$ : « $n$ est pair » ; $Q$ : « $n^2$ est pair ».

   d. $P$ : « $x>0$ » ; $Q$ : « $x^2>1$ ».

   e. $P$ : « le chiffre d'affaires de l'entreprise est strictement positif » ; $Q$ : « l'entreprise réalise un bénéfice ». On garde la convention usuelle : le résultat vaut le chiffre d'affaires diminué des charges, le chiffre d'affaires et les charges sont positifs ou nuls, et réaliser un bénéfice signifie avoir un résultat strictement positif.

2. Traduire chacune des phrases suivantes par une implication ou une équivalence, puis donner sa valeur de vérité.

   a. Pour que $x^2=4$, il suffit que $x=2$.

   b. Pour que $x=2$, il faut que $x^2=4$.

   c. Pour que $n^2$ soit pair, il faut et il suffit que $n$ soit pair.

   d. Pour qu'une entreprise réalise un bénéfice, il faut qu'elle ait un chiffre d'affaires strictement positif.

   e. Comparer les traductions obtenues en a. et en b. Que remarque-t-on ?

Dans les trois premières questions, on rédigera en respectant la trame complète : initialisation, hérédité (avec l'hypothèse de récurrence explicitement énoncée), conclusion.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾1$,

   $$\sum _{k=1}^n(2k-1)=n^2$$

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾1$,

   $$\sum _{k=1}^n{k}^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, $2^n⩾n+1$.

4. Pour tout entier $n⩾1$, on note $\mathcal{Q}(n)$ la proposition : « ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}+1}$ ».

   a. Montrer que, pour tout entier $n⩾1$, si $\mathcal{Q}(n)$ est vraie, alors $\mathcal{Q}(n+1)$ est vraie.

   b. La proposition $\mathcal{Q}(1)$ est-elle vraie ?

   c. Que vaut réellement ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k}$ ? En déduire pour quels entiers $n$ la proposition $\mathcal{Q}(n)$ est vraie, et conclure sur le rôle de l'initialisation dans un raisonnement par récurrence.

On rappelle les deux sommes usuelles : pour tout entier $n⩾1$,

1. Combien de termes comportent les sommes suivantes ? Dans l'item d., $p$ et $n$ sont des entiers vérifiant $p⩽n$.

   a. ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{u}_k}$

   b. ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k}$

   c. ${\displaystyle \sum _{k=3}^{12}{u}_k}$

   d. ${\displaystyle \sum _{k=p}^n{u}_k}$

2. En déduire la valeur des sommes suivantes.

   a. ${\displaystyle \sum _{k=3}^{12}5}$

   b. ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}3}$

   c. ${\displaystyle \sum _{k=p}^{n}1}$

3. a. Écrire ${\displaystyle \sum _{k=3}^{n+3}(k-3{)}^2}$ sous la forme d'une somme dont l'indice part de $0$, puis donner sa valeur en fonction de $n$ (on prendra $n⩾1$).

   b. Écrire ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(k+2)}$ sous la forme d'une somme dont l'indice $j$ va de $3$ à $n+2$.

4. Calculer, en utilisant la linéarité de la somme, pour tout entier $n⩾1$ :

   a. ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(3k-2)}$

   b. ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(k^2+k)}$

5. Un étudiant écrit : « dans ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k\times n}$, le facteur $k$ ne dépend pas de $n$, donc je peux le sortir de la somme, ce qui donne ${\displaystyle k\sum _{k=1}^{n}n=k\times n^2}$. »

   a. Calculer correctement ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k\times n}$.

   b. Expliquer précisément l'erreur commise, et donner le test immédiat qui permet de repérer un résultat de ce type.

1. On considère l'ensemble $E=\{1,2,\{1,2\}\}$, dont le troisième élément est lui-même un ensemble. Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse, en justifiant.

   a. $1\in E$

   b. $\{1\}\in E$

   c. $\{1\}\subset E$

   d. $\{1,2\}\in E$

   e. $\{1,2\}\subset E$

   f. $\{\{1,2\}\}\subset E$

   g. $3\in E$

   h. $\mathrm{\varnothing }\subset E$

2. Soit $F=\{a,b,c\}$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois objets deux à deux distincts.

   a. Écrire en extension l'ensemble $\mathcal{P}(F)$ des parties de $F$.

   b. Combien $\mathcal{P}(F)$ possède-t-il d'éléments ? Combien en posséderait $\mathcal{P}(G)$ si $G$ était un ensemble à $4$ éléments ?

3. Décrire en extension (c'est-à-dire en donnant la liste de leurs éléments) les ensembles suivants.

   a. $A=\{n\in \mathbb{N};n⩽5\}$

   b. $B=\{x\in \mathbb{R};x^2=9\}$

   c. $C=\{n\in \mathbb{N};n^2<10\}$

   d. $D=\{x\in \mathbb{R};x^2+1=0\}$

4. On travaille maintenant dans l'ensemble $S=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, et l'on pose

   $$M=\{0,2,4,6,8\}\text{et}N=\{0,1,2,3,4\}$$

   Les complémentaires sont pris dans $S$. Déterminer en extension $M\cap N$, $M\cup N$, $\bar{M}$, $\bar{N}$, $\overline{M\cup N}$ et $\bar{M}\cap \bar{N}$. Que constate-t-on sur les deux derniers ?

1. Soient $E=\{1,2,3,4,5\}$ et $F=\{a,b,c,d\}$. On définit l'application $f:E\to F$ par le tableau suivant.

   $x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
   $f(x)$	$b$	$a$	$c$	$a$	$b$

   a. Donner l'image de $3$ et celle de $5$ par $f$.

   b. Déterminer les antécédents par $f$ de chacun des quatre éléments $a$, $b$, $c$ et $d$.

   c. Combien d'images un élément de $E$ possède-t-il ? Combien d'antécédents un élément de $F$ peut-il posséder ?

2. Soit $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ l'application définie, pour tout réel $x$, par $g(x)=x^2-4x+3$.

   a. Calculer $g(0)$, $g(2)$ et $g(-1)$.

   b. Vérifier que, pour tout réel $x$, $g(x)=(x-2{)}^2-1$.

   c. Déterminer les antécédents de $3$ par $g$.

   d. Déterminer les antécédents de $-1$, puis ceux de $-5$.

3. Soient $u$ et $v$ les applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définies par $u(x)=2x+1$ et $v(x)=x^2$.

   a. Déterminer $(v\circ u)(x)$ et $(u\circ v)(x)$ pour tout réel $x$.

   b. Les applications $v\circ u$ et $u\circ v$ sont-elles égales ?

   c. Déterminer les réels $x$ pour lesquels $(v\circ u)(x)=(u\circ v)(x)$.

4. On considère les trois applications suivantes.

   $$p:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto (x+1{)}^{2}q:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2+2x+1r:\mathbb{R}\to [0,+\mathrm{\infty }[,x\mapsto x^2+2x+1$$

   Dire, en justifiant, lesquelles de ces applications sont égales.

On rappelle les formules usuelles, valables pour tout entier $n⩾1$ et tout réel $q\mathrm{\ne }1$ :

Aucune de ces formules ne s'applique telle quelle à une somme dont l'indice ne part pas de $1$ (ou de $0$ pour la somme géométrique) : il faut d'abord s'y ramener.

1. Calculer les sommes suivantes en fonction de l'entier $n$.

   a. ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(4k-3)}$

   b. ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}3\times 2^k}$

   c. ${\displaystyle \sum _{k=5}^{n}k}$, pour $n⩾5$

   d. ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(k+1)(k-1)}$

   e. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}k}$

   f. ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{2n}k}$

2. Retrouver le résultat de la question 1. f. par le changement d'indice $j=k-n$.

3. Déterminer le plus petit entier $n⩾1$ tel que ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(4k-3)⩾100}$.

Une somme est dite télescopique lorsque son terme général est la différence de deux valeurs consécutives d'une même suite. Si $(a_k)$ est une suite de réels et si $p⩽n$, alors

La méthode sûre pour l'exploiter ne consiste jamais à écrire des pointillés : on sépare la somme en deux, on effectue un changement d'indice dans l'une des deux, puis on compare les bornes des deux sommes obtenues.

1. a. Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout entier $k⩾1$, ${\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}={\displaystyle \frac{\alpha }{k}}+{\displaystyle \frac{\beta }{k+1}}$.

   b. En déduire, pour tout entier $n⩾1$, la valeur de ${\displaystyle S_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}}$.

   c. Contrôler le résultat pour $n=4$ par un calcul direct.

2. a. Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout entier $k⩾1$, ${\displaystyle \frac{1}{k(k+3)}}={\displaystyle \frac{\alpha }{k}}+{\displaystyle \frac{\beta }{k+3}}$.

   b. En déduire, pour tout entier $n⩾1$, la valeur de ${\displaystyle T_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k(k+3)}}}$. On prendra garde au fait que le décalage vaut ici $3$ : il restera trois termes de chaque côté.

   c. Contrôler le résultat pour $n=3$ par un calcul direct.

3. Soit $n⩾1$. Calculer ${\displaystyle U_n=\sum _{k=1}^n((k+1{)}^3-k^3)}$ de deux façons : d'abord par télescopage, ensuite en développant le terme général. En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2}$, en admettant connue celle de ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k}$.

4. Calculer, pour tout entier $n⩾1$, ${\displaystyle V_n=\sum _{k=1}^n\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{k}})}$.

On rappelle que, pour un entier $n⩾1$, $n!=1\times 2\times \cdots \times n={\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k}$, avec la convention $0!=1$. Le symbole $\prod$ obéit aux mêmes règles de manipulation que le symbole $\sum$ (changement d'indice, découpage, séparation des facteurs), à ceci près que l'addition y est remplacée par la multiplication : en particulier, ${\displaystyle \prod _{k=p}^n(a_k{b}_k)=\left(\prod _{k=p}^n{a}_k\right)\left(\prod _{k=p}^n{b}_k\right)}$.

1. Simplifier les expressions suivantes.

   a. ${\displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}}$, pour $n⩾0$

   b. ${\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}}$, pour $n⩾2$

   c. ${\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-1)!}}$, pour $n⩾1$

   d. $(n+1)!-n!$, pour $n⩾0$

2. a. Soit $n⩾3$. Combien de facteurs comporte le produit ${\displaystyle \prod _{k=3}^n{a}_k}$ ?

   b. En déduire la valeur de ${\displaystyle \prod _{k=3}^{n}2}$.

3. Calculer les produits suivants (on précisera à chaque fois le nombre de facteurs).

   a. ${\displaystyle A_n=\prod _{k=1}^n{\displaystyle \frac{k+1}{k}}}$, pour $n⩾1$.

   b. ${\displaystyle B_n=\prod _{k=5}^n{\displaystyle \frac{k+1}{k}}}$, pour $n⩾5$.

   c. ${\displaystyle C_n=\prod _{k=2}^n(1-{\displaystyle \frac{1}{k^2}})}$, pour $n⩾2$.

4. a. Soient $u_1,u_2,\dots ,u_n$ des réels strictement positifs. Démontrer que ${\displaystyle \ln \left(\prod _{k=1}^n{u}_k\right)=\sum _{k=1}^n\ln (u_k)}$.

   b. En déduire la valeur de ${\displaystyle P_n=\prod _{k=1}^n{e}^{2k-1}}$ pour tout entier $n⩾1$.

Soit $E$ un ensemble et soient $A$, $B$ et $C$ trois parties de $E$. On rappelle que le complémentaire de $A$ dans $E$ est $\bar{A}=\{x\in E;x\mathrm{\notin }A\}$, et que pour démontrer une égalité d'ensembles $X=Y$, on procède le plus souvent par double inclusion : on montre $X\subset Y$, puis $Y\subset X$.

1. Démontrer par double inclusion, en rédigeant entièrement les deux sens, que

   $$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$$

2. En déduire la seconde loi de De Morgan, $\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$, sans refaire de double inclusion : on appliquera la question 1. aux parties $\bar{A}$ et $\bar{B}$.

3. Démontrer, également par double inclusion, la distributivité de l'intersection sur la réunion :

   $$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$

4. On prend $E=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5,6\}$ et $C=\{2,4,6,8\}$. Vérifier sur cet exemple les trois égalités précédentes, en écrivant tous les ensembles en extension.

5. a. Écrire la négation de la proposition « $x\in A$ ou $x\in B$ ». Quel lien cela fait-il apparaître entre les connecteurs logiques et les opérations sur les ensembles ?

   b. Écrire la négation de la proposition « pour tout $x\in E$, $x\in A\cup B$ », puis la traduire en langage ensembliste. Illustrer avec les ensembles de la question 4.

On rappelle que le produit cartésien de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des couples dont la première coordonnée est dans $A$ et la seconde dans $B$ :

Deux couples sont égaux si et seulement si ils ont la même première coordonnée et la même seconde coordonnée : $(a,b)=(a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }})$ équivaut à « $a=a^{\mathrm{\prime }}$ et $b=b^{\mathrm{\prime }}$ ». On note $A^2=A\times A$, et ${\mathbb{R}}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ est l'ensemble des couples de réels.

1. On pose $A=\{0,1,2\}$ et $B=\{-1,3\}$.

   a. Écrire $A\times B$ en extension. Combien cet ensemble a-t-il d'éléments ?

   b. Écrire $B\times A$ en extension, puis démontrer que $A\times B\mathrm{\ne }B\times A$.

   c. Écrire $B^2$ en extension.

2. Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis, ayant respectivement $p$ et $q$ éléments. Combien d'éléments $A\times B$ a-t-il ? Illustrer par une situation concrète.

3. a. Soit $D$ une partie de ${\mathbb{R}}^2$. On suppose qu'il existe deux parties $I$ et $J$ de $\mathbb{R}$ telles que $D=I\times J$. Démontrer que, pour tous éléments $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$ de $D$, le couple $(x_1,y_2)$ appartient encore à $D$.

   b. On considère les cinq parties du plan suivantes.

   $D_1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;0⩽x⩽1\}$

   $D_2=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;1⩽x⩽3\text{ et }0⩽y⩽2\}$

   $D_3=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x+y⩽1\}$

   $D_4=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x>0\text{ et }y⩽5\}$

   $D_5=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;y⩾x\}$

   Pour chacune d'elles, dire si elle s'écrit comme un produit cartésien $I\times J$ de deux intervalles de $\mathbb{R}$. Si oui, préciser $I$ et $J$ ; si non, le justifier par un contre-exemple appuyé sur la question 3. a.

4. Décrire en langage ensembliste les parties $\mathbb{R}\times \{2\}$ et $\{2\}\times \mathbb{R}$ de ${\mathbb{R}}^2$. Sont-elles égales ? Sont-elles des produits cartésiens d'intervalles ?

Pour démontrer qu'une proposition universelle « pour tout $x$, $P(x)$ » est fausse, il suffit d'exhiber un objet $x_0$ pour lequel $P(x_0)$ est fausse : c'est un contre-exemple. Cela revient à démontrer la négation de la proposition, qui est « il existe $x$ tel que $P(x)$ soit fausse ».

Pour démontrer qu'une proposition est vraie, on peut au contraire partager l'ensemble des cas possibles en plusieurs situations que l'on traite séparément : c'est le raisonnement par disjonction de cas. Les cas envisagés doivent alors recouvrir toutes les possibilités.

1. Chacune des quatre propositions suivantes est fausse. Pour chacune, donner un contre-exemple explicite et vérifier qu'il en est bien un, puis écrire la négation de la proposition.

   a. Pour tout réel $x$, $x^2>x$.

   b. Pour tout réel $x$, si $x^2⩾4$ alors $x⩾2$.

   c. Pour tout entier naturel $n$, $2^n⩾n^2$.

   d. Pour tous réels positifs $a$ et $b$, $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

2. a. Démontrer par disjonction de cas que, pour tout réel $x$, $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }⩾1$.

   b. Déterminer l'ensemble des réels $x$ pour lesquels cette inégalité est une égalité.

3. a. Démontrer par disjonction de cas que, pour tout entier naturel $n$, le produit $n(n+1)$ est pair.

   b. En déduire que ${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$ est un entier, et rapprocher ce résultat de la formule ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}}$.

La contraposée de l'implication « $P⟹Q$ » est l'implication « non $Q⟹$ non $P$ ». Ces deux propositions sont équivalentes : démontrer l'une, c'est démontrer l'autre. À ne pas confondre avec la réciproque « $Q⟹P$ », qui, elle, n'a aucune raison d'être vraie.

On rappelle qu'un entier naturel $n$ est pair s'il existe un entier $p$ tel que $n=2p$, et impair s'il existe un entier $p$ tel que $n=2p+1$. On rappelle également que $a$ divise $b$ s'il existe un entier $q$ tel que $b=aq$, et que la division euclidienne par $3$ montre que tout entier naturel $n$ s'écrit sous l'une des trois formes $3p$, $3p+1$ ou $3p+2$, avec $p$ entier naturel.

1. Soit $n$ un entier naturel.

   a. Écrire la contraposée, puis la réciproque, de l'implication : « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair ».

   b. Démontrer cette implication en démontrant sa contraposée.

   c. La réciproque est-elle vraie ? Justifier.

2. Soit $n$ un entier naturel. Démontrer par contraposée que si $n^2$ est divisible par $3$, alors $n$ est divisible par $3$. On traitera séparément les deux restes possibles.

3. Soit $x$ un réel. Démontrer par contraposée l'implication suivante : si pour tout réel $\epsilon >0$ on a $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩽\epsilon$, alors $x=0$.

4. Dans les trois questions précédentes, expliquer pourquoi le passage par la contraposée est plus commode qu'une démonstration directe.

Un réel est dit rationnel s'il peut s'écrire ${\displaystyle \frac{p}{q}}$ avec $p$ entier relatif et $q$ entier naturel non nul ; l'ensemble des rationnels est noté $\mathbb{Q}$. Un réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel.

Pour démontrer par l'absurde qu'une proposition $P$ est vraie, on suppose que $P$ est fausse et l'on aboutit à une contradiction ; on en conclut que $P$ ne pouvait pas être fausse.

1. Soient $r$ et $s$ deux rationnels et $m$ un entier naturel non nul. Démontrer que $r+s$, $r-s$ et ${\displaystyle \frac{r}{m}}$ sont rationnels.

2. Démontrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel. On écrira $\sqrt{2}$ comme une fraction que l'on aura simplifiée au maximum, et l'on utilisera le fait que si le carré d'un entier est pair, alors cet entier est pair.

3. En déduire que $\sqrt{2}+1$ et $3\sqrt{2}$ sont irrationnels.

4. Démontrer que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est toujours irrationnelle.

5. La somme de deux irrationnels est-elle toujours irrationnelle ? Répondre par un contre-exemple, en justifiant que les deux nombres choisis sont bien irrationnels.

On rappelle la définition de la divisibilité : pour deux entiers $a$ et $b$, dire que « $a$ divise $b$ » signifie qu'il existe un entier $q$ tel que

C'est cette écriture, et elle seule, que l'on utilise dans les démonstrations : l'hypothèse de récurrence fournit un entier $q$, et il s'agit de fabriquer à partir de lui l'entier correspondant au rang suivant.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $7^n-1$ est divisible par $6$.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $4^n+5$ est divisible par $3$.

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $n^3-n$ est divisible par $6$. On pourra utiliser le fait que le produit de deux entiers consécutifs est pair.

4. a. Pour chacune des trois démonstrations précédentes, indiquer l'endroit précis où l'hypothèse de récurrence a été utilisée, et dire ce qui bloquerait sans elle.

   b. On considère la propriété : « $3$ divise $4^n+4$ ». Démontrer qu'elle est héréditaire. Est-elle vraie pour autant ? Que faut-il en conclure ?

Une inégalité qui dépend d'un entier $n$ se démontre presque toujours par récurrence. La difficulté n'est pas l'idée, c'est la rédaction : il faut dire où chaque hypothèse sert, et à partir de quel rang on démarre.

1. Inégalité de Bernoulli. Soit $x$ un réel fixé tel que $x⩾-1$.

   a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾1$, $(1+x{)}^n⩾1+nx$.

   b. Indiquer précisément l'endroit de la démonstration où l'hypothèse $x⩾-1$ est utilisée, et dire ce qui se casse si on la supprime.

   c. Vérifier que la conclusion est fausse pour $x=-4$ et $n=3$.

2. Comparaison de $2^n$ et de $n^2$.

   a. Calculer $2^n$ et $n^2$ pour $n$ décrivant $\{0,1,2,3,4,5\}$, et repérer les entiers pour lesquels $2^n⩾n^2$.

   b. Démontrer que, pour tout entier $n⩾3$, $2n^2⩾(n+1{)}^2$.

   c. En déduire, par récurrence, que $2^n⩾n^2$ pour tout entier $n⩾4$.

   d. L'hérédité fonctionne dès le rang $3$ d'après la question b. Pourquoi ne peut-on pas pour autant conclure que $2^n⩾n^2$ pour tout $n⩾3$ ?

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾1$, $n!⩾2^{n-1}$. On rappelle que $n!=1\times 2\times \cdots \times n$ et que $(n+1)!=(n+1)\times n!$.

4. Le rang d'initialisation n'est pas un détail. On considère la propriété $P(n)$ : « $3$ divise $3n+1$ ». On rappelle qu'un entier $a$ divise un entier $b$ lorsqu'il existe un entier $q$ tel que $b=aq$.

   a. Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $P(n)⟹P(n+1)$ : la propriété est héréditaire.

   b. Démontrer que $P(n)$ est fausse pour tout $n\in \mathbb{N}$.

   c. Que faut-il en conclure sur le rôle de l'initialisation dans une récurrence ?

On rappelle les définitions. Soit $f:E\to F$ une application.

• $f$ est injective lorsque : pour tous $x$ et $x^{\mathrm{\prime }}$ de $E$, $f(x)=f(x^{\mathrm{\prime }})⟹x=x^{\mathrm{\prime }}$. Autrement dit, deux éléments distincts de $E$ ne peuvent pas avoir la même image.
• $f$ est surjective lorsque : pour tout $y\in F$, il existe $x\in E$ tel que $y=f(x)$. Autrement dit, tout élément de l'ensemble d'arrivée possède au moins un antécédent.
• $f$ est bijective lorsqu'elle est à la fois injective et surjective.

On considère les cinq applications suivantes.

Pour chacune d'elles, dire si elle est injective, si elle est surjective, si elle est bijective, en démontrant chaque réponse positive et en donnant un contre-exemple explicite pour chaque réponse négative.

Pour $f_4$, on admettra le résultat suivant, vu au lycée : tout réel possède au moins un antécédent par la fonction cube. Pour l'injectivité, on pourra utiliser l'identité $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

1. Étudier $f_1$.

2. Étudier $f_2$, et donner son application réciproque lorsqu'elle existe.

3. Étudier $f_3$, et donner son application réciproque lorsqu'elle existe.

4. Étudier $f_4$.

5. Étudier $f_5$.

6. Synthèse.

   a. Les applications $f_1$ et $f_2$ ont la même formule. Qu'est-ce qui explique alors que les réponses diffèrent ?

   b. On pose $P=\{m\in \mathbb{N};\text{il existe }k\in \mathbb{N}\text{ tel que }m=2k\}$. Montrer que l'application $g:\mathbb{N}\to P$, $n\mapsto 2n$, est bijective, et donner son application réciproque.

   c. Comment modifier le seul ensemble d'arrivée de $f_1$ pour la rendre surjective ? Est-elle bijective pour autant ?

Méthode de référence. Pour montrer qu'une application $f:E\to F$ est bijective et obtenir sa réciproque, on fixe $y\in F$ et on résout l'équation $f(x)=y$, d'inconnue $x\in E$. Si, pour chaque $y$ de $F$, cette équation admet une solution et une seule, alors $f$ est bijective et $f^{-1}(y)$ est cette solution.

1. Cas affine. Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $f(x)=4x-7$. Démontrer que $f$ est bijective et déterminer $f^{-1}$.

2. Cas homographique. Soit $g$ l'application définie par $g(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{x+3}}$.

   a. Pourquoi le réel $-3$ doit-il être exclu de l'ensemble de départ ?

   b. Soit $y\in \mathbb{R}$. Résoudre l'équation $g(x)=y$, d'inconnue $x\in \mathbb{R}\setminus \{-3\}$, en distinguant les cas selon la valeur de $y$.

   c. En déduire que $g$ réalise une bijection de $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$ sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$, et donner $g^{-1}$.

3. Vérifier par le calcul les deux égalités $g^{-1}\circ g={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\mathbb{R}\setminus \{-3\}}$ et $g\circ g^{-1}={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\mathbb{R}\setminus \{2\}}$.

4. Cas de deux ensembles finis. On pose $E=\{1,2,3,4\}$ et $F=\{5,6,7,8\}$, et on définit deux applications $h$ et $k$ de $E$ dans $F$ par les tableaux suivants.

   $x$	1	2	3	4
   $h(x)$	7	5	8	6
   $k(x)$	5	7	5	8

   a. Montrer que $h$ est bijective et donner le tableau de $h^{-1}$.

   b. L'application $k$ est-elle injective ? surjective ?

5. Composition. Soit $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $u(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}+1$.

   a. Déterminer l'expression de $f\circ u$, où $f$ est l'application de la question 1.

   b. Montrer que $f\circ u$ est bijective et déterminer $(f\circ u{)}^{-1}$.

   c. Déterminer $u^{-1}$, puis vérifier sur cet exemple l'égalité $(f\circ u{)}^{-1}=u^{-1}\circ f^{-1}$. Que penser de l'égalité $(f\circ u{)}^{-1}=f^{-1}\circ u^{-1}$ ?

Si $I$ est un sous-ensemble fini de $\mathbb{N}$ et si à chaque $i\in I$ on associe un réel $u_i$, on note ${\displaystyle \sum _{i\in I}{u}_i}$ la somme de tous ces réels. L'ordre dans lequel on les additionne n'a aucune importance. En particulier, ${\displaystyle \sum _{i\in I}1}$ est le nombre d'éléments de $I$.

On rappelle également les deux sommes usuelles : pour tout entier $n⩾1$,

1. Un ensemble donné en extension. On pose $I=\{2,3,5,7,11\}$. Calculer :

   a. ${\displaystyle \sum _{i\in I}1}$

   b. ${\displaystyle \sum _{i\in I}i}$

   c. ${\displaystyle \sum _{i\in I}{i}^2}$

   d. ${\displaystyle \sum _{i\in I}(2i^2+1)}$, en réutilisant a et c

2. Un ensemble donné en compréhension. On pose $J=\{n\in \mathbb{N};n\text{ est un multiple de }3\text{ et }n⩽40\}$.

   a. Écrire $J$ en extension et donner son nombre d'éléments.

   b. Calculer ${\displaystyle \sum _{n\in J}n}$ en se ramenant, par changement d'indice, à une somme indexée par des entiers consécutifs.

   c. Calculer de même ${\displaystyle \sum _{n\in J}{n}^2}$.

3. Pairs et impairs. Soit $n⩾1$ un entier. On pose

   $$A_n=\{k\in \mathbb{N};1⩽k⩽2n\text{ et }k\text{ est pair}\}\text{et}{B}_n=\{k\in \mathbb{N};1⩽k⩽2n\text{ et }k\text{ est impair}\}$$

   a. Calculer ${\displaystyle P_n=\sum _{k\in A_n}k}$.

   b. Calculer ${\displaystyle Q_n=\sum _{k\in B_n}k}$.

   c. Vérifier que $P_n+Q_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}k}$, et contrôler les trois résultats pour $n=3$.

4. Une somme indexée par une partie de ${\mathbb{N}}^2$. On pose

   $$C=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\text{et}D=\{(i,j)\in {\mathbb{N}}^2;1⩽i⩽2\text{ et }1⩽j⩽3\}$$

   a. Calculer ${\displaystyle \sum _{(i,j)\in C}ij}$ et ${\displaystyle \sum _{(i,j)\in C}(i+j)}$.

   b. Écrire $D$ en extension, puis calculer ${\displaystyle \sum _{(i,j)\in D}ij}$.

   c. Vérifier que le résultat de b est égal au produit $(1+2)\times (1+2+3)$. Comment l'expliquer sans refaire le calcul terme à terme ?

Deux propositions écrites avec les mêmes symboles, mais dans un ordre différent, ne disent en général pas du tout la même chose. Cet exercice fait manipuler cette idée sur des suites puis sur des fonctions.

Dans tout l'exercice, $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ désigne une suite réelle.

1. Traduction. Écrire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes.

   a. « $(u_n)$ est majorée »

   b. « $(u_n)$ est croissante »

   c. « $(u_n)$ est majorée par $10$ »

   d. « $(u_n)$ n'est pas majorée »

   Écrire ensuite la négation de a et celle de b, d'abord en symboles, puis en une phrase en français.

2. Deux exemples.

   a. Soit la suite définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $u_n=3-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$. Démontrer qu'elle est majorée, puis qu'elle est croissante, en suivant exactement la forme quantifiée de la question 1.

   b. Soit la suite définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $v_n=n^2$. Démontrer qu'elle n'est pas majorée. On pourra utiliser la partie entière : pour tout réel $t$, $\lfloor t\rfloor$ est l'unique entier tel que $\lfloor t\rfloor ⩽t<\lfloor t\rfloor +1$.

3. L'ordre des quantificateurs. On considère les deux propositions

   $$(\mathcal{A}):\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }M\in \mathbb{R},u_n⩽M\text{et}(\mathcal{B}):\mathrm{\exists }M\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_n⩽M$$

   a. Démontrer que $(\mathcal{A})$ est vraie pour toute suite réelle $(u_n)$.

   b. Donner une suite pour laquelle $(\mathcal{B})$ est fausse.

   c. Laquelle des deux traduit « $(u_n)$ est majorée » ? Expliquer en une phrase pourquoi l'autre ne dit rien d'intéressant.

4. Le même travail sur une fonction. Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction.

   a. Écrire avec des quantificateurs « $f$ est majorée » et « $f$ s'annule », ainsi que leurs négations.

   b. Pour $f:x\mapsto x^2+1$ et $g:x\mapsto -x^2$, dire lesquelles de ces quatre propositions sont vraies, en justifiant chaque réponse.

5. Quantificateurs imbriqués. On considère les deux propositions

   $$(\mathcal{C}):\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },{\displaystyle \frac{1}{n}}<\epsilon \text{et}(\mathcal{D}):\mathrm{\exists }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\mathrm{\forall }\epsilon >0,{\displaystyle \frac{1}{n}}<\epsilon$$

   Déterminer si chacune est vraie ou fausse, et le démontrer.

Soient $n$ et $m$ deux entiers supérieurs ou égaux à $1$. Pour une famille de réels $\left(a_{i,j}\right)$ indexée par le « rectangle » $R=\{(i,j)\in {\mathbb{N}}^2;1⩽i⩽n\text{ et }1⩽j⩽m\}$, on note

La convention est celle-ci : dans la somme intérieure, l'indice $i$ est fixé ; tout ce qui ne dépend que de $i$ y joue le rôle d'une constante et peut donc sortir de cette somme intérieure, mais surtout pas de la somme extérieure. On rappelle enfin que, pour tout entier $p⩾1$,

1. Échauffement. Calculer ${\displaystyle \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}1}$ et interpréter le résultat en termes de nombre d'éléments de $R$.

2. Soit ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}ij}$.

   a. Calculer la somme intérieure ${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}ij}$ en fonction de $i$ et de $m$.

   b. En déduire $S$ en fonction de $n$ et de $m$.

   c. Contrôler le résultat pour $n=m=3$ par un calcul direct des neuf termes.

3. Soit ${\displaystyle T=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(i+j)}$ (ici les deux indices varient de $1$ à $n$).

   a. Calculer $T$ en fonction de $n$.

   b. Retrouver le résultat par un argument de symétrie entre les deux indices.

   c. Contrôler pour $n=3$.

4. Soit ${\displaystyle U=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\min (i,j)}$, où $\min (i,j)$ désigne le plus petit des deux entiers $i$ et $j$. Ici le terme général ne se factorise pas : il faut couper la somme intérieure.

   a. Soit $i$ fixé dans $\{1,\dots ,n\}$. En séparant les indices $j$ tels que $j⩽i$ de ceux tels que $j>i$, montrer que

   $$\sum _{j=1}^n\min (i,j)={\displaystyle \frac{i(i+1)}{2}}+i(n-i)$$

   b. En déduire $U$ en fonction de $n$.

   c. Contrôler pour $n=3$, et comparer le résultat obtenu à une somme usuelle du cours.

5. Un produit de sommes est une somme double. Soient $a_1,\dots ,a_n$ et $b_1,\dots ,b_m$ des réels.

   a. Démontrer que

   $$\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{j=1}^m{b}_j\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_i{b}_j$$

   b. Illustrer cette égalité avec $n=3$, $m=2$, $a_i=i^2$ et $b_j=2j$, en calculant les deux membres.

   c. Retrouver, à l'aide de cette formule, le résultat de la question 2.

Soit $n⩾1$ un entier. On note

et, pour une famille de réels $\left(a_{i,j}\right)$, on écrit ${\displaystyle \sum _{1⩽i⩽j⩽n}{a}_{i,j}}$ pour la somme indexée par $T_n$. Une telle somme se calcule de deux façons : par lignes (on fixe $i$, et $j$ décrit $\{i,\dots ,n\}$) ou par colonnes (on fixe $j$, et $i$ décrit $\{1,\dots ,j\}$). Les deux lectures donnent évidemment le même résultat, ce qui fournit une vérification gratuite.

On rappelle les sommes usuelles : pour tout entier $p⩾1$,

ainsi que la formule du produit de deux sommes : pour des réels $a_1,\dots ,a_n$ et $b_1,\dots ,b_n$,

1. Compter les couples.

   a. Écrire $T_3$ en extension.

   b. Calculer ${\displaystyle \sum _{1⩽i⩽j⩽n}1}$ par lignes, puis par colonnes, et vérifier que les deux calculs donnent le même résultat.

   c. En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{1⩽i<j⩽n}1}$ (inégalité stricte cette fois).

2. Soit ${\displaystyle A_n=\sum _{1⩽i⩽j⩽n}i}$.

   a. Calculer $A_n$ par colonnes.

   b. Recalculer $A_n$ par lignes, et vérifier qu'on retrouve le même résultat.

3. L'astuce du carré de la somme. Soient $a_1,\dots ,a_n$ des réels. Démontrer que

   $${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2=\sum _{i=1}^n{a}_i^2+2\sum _{1⩽i<j⩽n}{a}_i{a}_j$$

   On partira de la formule du produit rappelée ci-dessus et on découpera le carré d'indices $\{1,\dots ,n{\}}^2$ en trois morceaux.

4. En déduire la valeur de ${\displaystyle B_n=\sum _{1⩽i<j⩽n}ij}$ en fonction de $n$, sous forme factorisée.

5. Contrôle numérique. Vérifier les trois résultats des questions 1. b, 2 et 4 pour $n=4$, par un calcul direct.

Certaines suites sont définies par une relation qui fait intervenir les deux termes précédents. Une récurrence simple ne peut alors pas fonctionner : il faut une variante, la récurrence double, dont le schéma est le suivant : on vérifie la propriété aux deux premiers rangs, puis on montre que, si elle est vraie aux rangs $n$ et $n+1$, elle l'est encore au rang $n+2$.

Partie A. Une suite dont on cherche la forme explicite

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=2$, $u_1=5$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

1. Calculer $u_2$, $u_3$ et $u_4$.

2. On cherche s'il existe des suites géométriques vérifiant la même relation, c'est-à-dire des réels $q\mathrm{\ne }0$ tels que la suite $\left(q^n\right)$ vérifie $q^{n+2}=5q^{n+1}-6q^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Montrer que cela équivaut à $q^2=5q-6$, puis résoudre cette équation.

3. a. Montrer que, pour tous réels $\alpha$ et $\beta$, la suite $(w_n)$ définie par $w_n=\alpha 2^n+\beta 3^n$ vérifie la relation $w_{n+2}=5w_{n+1}-6w_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

   b. Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $w_0=u_0$ et $w_1=u_1$.

4. Démontrer par récurrence double que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=2^n+3^n$.

5. Pourquoi deux initialisations ?

   a. Expliquer pourquoi une récurrence simple (hypothèse au seul rang $n$) ne permet pas de mener l'hérédité de la question 4.

   b. On considère la suite $\left(u_n^{\mathrm{\prime }}\right)$ définie par $u_0^{\mathrm{\prime }}=2$, $u_1^{\mathrm{\prime }}=0$ et la même relation $u_{n+2}^{\mathrm{\prime }}=5u_{n+1}^{\mathrm{\prime }}-6u_n^{\mathrm{\prime }}$. Calculer $u_2^{\mathrm{\prime }}$ et le comparer à $2^2+3^2$. Qu'est-ce que cela prouve sur la seconde initialisation ?

Partie B. Une suite de type Fibonacci

On considère la suite $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $v_0=1$, $v_1=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_{n+2}=v_{n+1}+v_n$.

6. Calculer $v_2$, $v_3$, $v_4$, $v_5$ et $v_6$.

7. Démontrer par récurrence double que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_n⩽2^n$.

8. Démontrer, également par récurrence double, que $v_n⩾n$ pour tout entier $n⩾1$.

Quand un terme d'une suite est défini à partir de tous les termes qui le précèdent, ou à partir d'un rang antérieur imprévisible, l'hypothèse « la propriété est vraie au rang $n$ » ne suffit plus. On utilise alors la récurrence forte, dont le schéma est le suivant : on vérifie la propriété au premier rang, puis on montre que, si elle est vraie à tous les rangs de $n_0$ jusqu'à $n$, alors elle est encore vraie au rang $n+1$.

On rappelle que, pour tout entier $p⩾0$, ${\displaystyle \sum _{j=0}^p{2}^j=2^{p+1}-1}$.

Partie A. Une suite égale à la somme de tous ses termes précédents

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier $n⩾1$,

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$, puis conjecturer une expression de $u_n$ valable pour $n⩾1$. Pourquoi la formule conjecturée ne peut-elle pas être valable pour $n=0$ ?

2. Démontrer la conjecture par récurrence forte.

3. Montrer que, pour tout entier $n⩾1$, $u_{n+1}=2u_n$. Comment aurait-on pu, grâce à cette remarque, se passer de la récurrence forte ?