Exercices — Probabilités et statistiques

On rappelle le vocabulaire d'une étude statistique. La population est l'ensemble sur lequel porte l'étude ; un individu est un élément de cette population ; l'échantillon est la partie de la population effectivement observée, et le nombre $n$ d'individus qu'il contient est sa taille. Le caractère étudié (on dit aussi la variable statistique) est ce que l'on relève sur chaque individu : il est quantitatif discret lorsque ses valeurs sont des nombres isolés (le plus souvent des entiers), quantitatif continu lorsqu'il peut prendre a priori n'importe quelle valeur d'un intervalle, et qualitatif lorsque ses valeurs ne sont pas des nombres sur lesquels une moyenne aurait un sens.

Quatre études sont décrites ci-dessous.

Situation A. Le service des ressources humaines d'une entreprise de $250$ salariés relève le salaire net mensuel de chacun d'eux.

Situation B. Un site de vente en ligne compte $12000$ clients. Il en contacte $400$, tirés au hasard, et demande à chacun de choisir une réponse parmi « très satisfait », « satisfait », « peu satisfait » et « pas du tout satisfait ».

Situation C. Un artisan note, chaque jour ouvré pendant $30$ jours, le nombre de commandes qu'il a reçues dans la journée.

Situation D. Une agence immobilière relève la surface habitable, en mètres carrés, de $60$ logements choisis parmi les $1500$ logements proposés à la location dans une ville.

1. Pour chacune des quatre situations, préciser la population étudiée, ce qu'est un individu, l'échantillon observé et sa taille $n$.

2. Pour chacune des quatre situations, préciser le caractère étudié et sa nature (quantitatif discret, quantitatif continu, ou qualitatif).

3. Dire, pour chacune des affirmations suivantes, si elle relève de la statistique descriptive ou de la statistique inférentielle.

   a. « Le salaire net mensuel moyen des $250$ salariés de l'entreprise est de $2140$ €. »

   b. « Parmi les $400$ clients interrogés, $78\mathrm{\%}$ se déclarent satisfaits ou très satisfaits. »

   c. « On peut affirmer, avec un faible risque de se tromper, qu'entre $74\mathrm{\%}$ et $82\mathrm{\%}$ des $12000$ clients du site sont satisfaits ou très satisfaits. »

   d. « La surface médiane des $60$ logements relevés est de $52$ mètres carrés. »

   e. « La surface médiane des logements proposés à la location dans cette ville est probablement voisine de $52$ mètres carrés. »

4. Dans la situation A, la question de l'inférence se pose-t-elle ? Justifier.

Une entreprise surveille sa ligne de production. Pendant $n=25$ jours ouvrés consécutifs, le responsable de maintenance relève le nombre de pannes survenues dans la journée. Voici la série brute, dans l'ordre des jours (les treize premiers jours, puis les douze suivants) :

$$2;1;0;3;1;2;4;1;0;2;1;3;0$$ $$1;2;5;1;0;2;3;1;2;0;4;3$$

1. Préciser la population observée, la taille de la série et la nature du caractère étudié.

2. Dresser le tableau donnant, pour chaque valeur $x_i$ du caractère, l'effectif $n_i$, la fréquence $f_i$ et la fréquence cumulée croissante $F_i$. Vérifier que ${\displaystyle \sum _i{n}_i=25}$ et que ${\displaystyle \sum _i{f}_i=1}$.

3. Répondre aux questions de lecture suivantes, en donnant à chaque fois la fréquence sous forme de fraction et sous forme décimale.

   a. Quelle proportion de jours ont connu au plus $2$ pannes ?

   b. Quelle proportion de jours ont connu au moins $3$ pannes ?

   c. Quelle proportion de jours ont connu au moins une panne ?

4. Interpréter concrètement la valeur $F_3$ obtenue à la question 2.

5. Une journée sans aucune panne est-elle plus fréquente qu'une journée à $3$ pannes ou plus ?

Une commune réalise une enquête sur $40$ ménages d'un quartier. Pour chacun, elle relève le nombre de personnes qui composent le ménage. Les résultats sont regroupés dans le tableau d'effectifs suivant.

1. Vérifier que la série compte bien $n=40$ ménages, puis dresser le tableau des fréquences $f_i$ et des fréquences cumulées croissantes $F_i$.

2. Calculer la moyenne $\bar{x}$ de la série. On donnera la valeur exacte.

3. Déterminer la médiane de la série à partir des fréquences cumulées croissantes.

4. Commenter en une phrase l'écart entre la moyenne et la médiane.

5. La commune décide de verser à chaque ménage une aide de $50$ € par personne, augmentée d'une prime forfaitaire de $20$ € par ménage. Le montant reçu par un ménage de $x_i$ personnes est donc $y_i=50x_i+20$ euros. Donner la moyenne et la médiane des montants versés, sans reprendre tous les calculs.

6. En relisant les questionnaires, on s'aperçoit qu'un des ménages comptés à $5$ personnes en comptait en réalité $9$. Recalculer la moyenne de la série corrigée, et dire ce que devient sa médiane.

On rappelle les deux expressions de la variance empirique d'une série $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ de moyenne $\bar{x}$ :

$$s_x^2={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2\text{(d}\acute{\text{e}}\text{finition)}\text{et}{s}_x^2={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-{\bar{x}}^2\text{(formule de Koenig)}$$

L'écart-type est $s_x=\sqrt{s_x^2}$, et l'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.

Série A. Six commerciaux d'une agence ont signé, au cours du mois écoulé, le nombre de contrats suivant :

$$3;5;8;9;11;12$$

Série B. On a relevé le nombre de contrats d'assurance détenus par $20$ clients d'une agence. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant.

1. Pour la série A :

   a. calculer la moyenne $\bar{x}$ ;

   b. calculer la variance $s_x^2$ à partir de la définition ;

   c. retrouver $s_x^2$ par la formule de Koenig ;

   d. donner l'écart-type $s_x$, valeur exacte puis valeur approchée à ${10}^{-2}$ près.

2. Reprendre les quatre questions précédentes pour la série B, en notant $\bar{y}$ sa moyenne et $s_y^2$ sa variance.

3. Déterminer l'étendue de chacune des deux séries, et dire ce que cet indicateur apporte de plus, ou de moins, que l'écart-type.

On considère les trois expériences aléatoires suivantes.

Expérience 1. On lance un dé à six faces et on note le numéro de la face supérieure.

Expérience 2. On lance deux fois de suite une pièce de monnaie et on note, dans l'ordre, les deux résultats obtenus. On note $\mathrm{P}$ pour « pile » et $\mathrm{F}$ pour « face » ; la lettre $P$ étant réservée aux probabilités, les résultats sont écrits en caractères romains.

Expérience 3. Une urne contient quatre boules numérotées de $1$ à $4$. On en tire deux simultanément et on note l'ensemble des deux numéros obtenus.

1. Pour l'expérience 1 :

   a. décrire l'univers ${\mathrm{\Omega }}_1$ en extension et donner $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}({\mathrm{\Omega }}_1)$ ;

   b. écrire comme parties de ${\mathrm{\Omega }}_1$, puis donner le cardinal, des événements $A$ « le numéro obtenu est pair », $B$ « le numéro obtenu est au moins égal à $5$ » et $C$ « le numéro obtenu est un multiple de $3$ » ;

   c. écrire $\bar{A}$ et $A\cap B$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ?

2. Pour l'expérience 2 :

   a. décrire l'univers ${\mathrm{\Omega }}_2$ en extension et donner $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}({\mathrm{\Omega }}_2)$ ;

   b. écrire comme parties de ${\mathrm{\Omega }}_2$, puis donner le cardinal, des événements $D$ « on obtient exactement un pile », $E$ « on obtient au moins un pile » et $G$ « les deux lancers donnent le même résultat » ;

   c. les événements $D$ et $G$ sont-ils incompatibles ? Et les événements $D$ et $E$ ?

3. Pour l'expérience 3 :

   a. décrire l'univers ${\mathrm{\Omega }}_3$ par une écriture ensembliste, puis en extension, et donner $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}({\mathrm{\Omega }}_3)$ ;

   b. écrire comme parties de ${\mathrm{\Omega }}_3$, puis donner le cardinal, des événements $H$ « la boule numéro $1$ est tirée », $I$ « la somme des deux numéros vaut $5$ » et $J$ « les deux numéros sont pairs » ;

   c. les événements $I$ et $J$ sont-ils incompatibles ?

4. Donner, pour chacune des trois expériences, le nombre d'événements possibles, c'est-à-dire $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathcal{P}(\mathrm{\Omega }))$. Justifier la formule utilisée.

Une banque étudie le profil de ses clients. On choisit au hasard un client de cette banque, et on considère les trois événements suivants :

• $A$ : « le client a un crédit en cours » ;
• $B$ : « le client a souscrit une assurance auprès de la banque » ;
• $C$ : « le client est dans la banque depuis plus de dix ans ».

1. Traduire chacune des phrases suivantes par une écriture ensembliste faisant intervenir $A$, $B$, $C$, les opérations $\cap$ et $\cup$, et le passage à l'événement contraire.

   a. Le client a un crédit et une assurance.

   b. Le client a un crédit ou une assurance.

   c. Le client n'a pas de crédit.

   d. Le client a un crédit, mais pas d'assurance.

   e. Le client n'a ni crédit ni assurance.

   f. Le client est dans la banque depuis plus de dix ans et possède les deux produits.

   g. Le client ne remplit aucune des trois conditions.

   h. Le client remplit exactement une des trois conditions.

   i. Le client remplit au moins deux des trois conditions.

   j. Le client remplit au plus une des trois conditions.

2. Réciproquement, traduire en français chacune des écritures suivantes.

   a. $\bar{B}\cap C$

   b. $A\cup (B\cap C)$

   c. $\overline{A\cap B}$

   d. $(A\cap B)\cup (\bar{A}\cap \bar{B})$

   e. $A\cap \bar{B}\cap \bar{C}$

3. Écrire $\overline{A\cup B}$ et $\overline{A\cap B}$ à l'aide de $\bar{A}$ et $\bar{B}$, et énoncer en français ce que disent ces deux égalités dans le contexte de l'exercice. Donner ensuite la version à trois événements de ces deux formules.

4. Dire, en justifiant, si les couples d'événements suivants sont incompatibles.

   a. $A\cap B$ et $\bar{A}$

   b. $A$ et $C$

   c. $A\cap B$ et $\bar{A}\cap B$

   d. « le client remplit exactement une des trois conditions » et « le client remplit au moins deux des trois conditions »

5. On suppose désormais que la banque impose une assurance à tout client qui contracte un crédit.

   a. Traduire cette hypothèse par une inclusion entre deux événements.

   b. En déduire une écriture simplifiée de $A\cap B$ et de $A\cup B$.

   c. Montrer que $A$ et $\bar{B}$ sont alors incompatibles, et interpréter cette conclusion.

On rappelle les définitions et les formules du cours. Pour tout entier $n⩾1$, $n!=1\times 2\times \cdots \times n$, et par convention $0!=1$. Pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $0⩽p⩽n$,

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)={\displaystyle \frac{n!}{p!(n-p)!}}$$

Ce nombre est le nombre de parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. On dispose de la formule de symétrie et de la formule de Pascal :

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n-p}\right)\text{et}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{p-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{p}\right)\text{pour }1⩽p⩽n-1$$

1. Calculer les nombres suivants.

   a. $5!$

   b. ${\displaystyle \frac{8!}{6!}}$

   c. ${\displaystyle \frac{7!}{5!\times 2!}}$

   d. $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)$

   e. $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{0}\right)$

   f. $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{9}\right)$

   g. $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)$

   h. $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{4}\right)$

2. Simplifier les expressions suivantes, où $n$ désigne un entier naturel. On précisera à chaque fois pour quelles valeurs de $n$ l'expression a un sens.

   a. ${\displaystyle \frac{(n+1)!}{n!}}$

   b. ${\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}}$

   c. $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{1}\right)$

   d. $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{2}\right)$

   e. $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n-2}\right)$

   f. ${\displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}}$

3. a. Calculer $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{15}{13}\right)$ en utilisant la formule de symétrie.

   b. Construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne $n=6$.

   c. En déduire $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)$ et $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{4}\right)$ par la formule de Pascal, puis $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{4}\right)$. Comparer avec les résultats de la question 1.

4. Répondre aux questions de dénombrement suivantes.

   a. Combien un ensemble à $7$ éléments possède-t-il de parties à $3$ éléments ?

   b. Combien en possède-t-il à $4$ éléments ? Répondre sans nouveau calcul.

   c. Une classe compte $20$ élèves. De combien de façons peut-on choisir les $2$ délégués de la classe ?

   d. Dans cette même classe, de combien de façons peut-on choisir un président puis un trésorier, ces deux fonctions devant être occupées par deux élèves différents ? Comparer avec c. et expliquer l'écart.

   e. Combien existe-t-il de bijections d'un ensemble à $5$ éléments dans lui-même ?

Partie A. Soit $\mathrm{\Omega }$ un univers fini muni d'une probabilité $P$, et soient $A$ et $B$ deux événements tels que

$$P(A)=\mathrm{0,6}P(B)=\mathrm{0,5}P(A\cap B)=\mathrm{0,3}$$

1. Calculer $P(\bar{A})$ et $P(\bar{B})$.

2. Calculer $P(A\cup B)$.

3. Calculer $P(A\cap \bar{B})$, c'est-à-dire la probabilité que $A$ soit réalisé sans que $B$ le soit. Calculer de même $P(\bar{A}\cap B)$.

4. Calculer $P(\bar{A}\cap \bar{B})$ puis $P(\bar{A}\cup \bar{B})$, en reconnaissant à chaque fois le contraire d'un événement déjà rencontré.

5. Calculer la probabilité qu'exactement un des deux événements $A$ et $B$ soit réalisé, de deux manières différentes.

6. Vérifier que les quatre nombres $P(A\cap B)$, $P(A\cap \bar{B})$, $P(\bar{A}\cap B)$ et $P(\bar{A}\cap \bar{B})$ ont pour somme $1$, et expliquer pourquoi c'était prévisible.

Partie B. Dans cette partie, $A$ et $B$ sont deux événements d'un univers fini tels que

$$P(A)=\mathrm{0,4}P(A\cup B)=\mathrm{0,7}$$

7. Démontrer que $P(B)⩽\mathrm{0,7}$ en utilisant la croissance de $P$.

8. Démontrer que $P(B)⩾\mathrm{0,3}$ en utilisant la formule de la réunion.

9. Les deux bornes obtenues sont-elles atteintes ? Pour chacune, ou bien produire un exemple d'univers et d'événements qui la réalise, ou bien démontrer qu'elle est impossible.

Une entreprise emploie $200$ salariés. Une enquête interne les répartit selon deux critères : le statut (cadre ou non-cadre) et le fait de télétravailler ou non au moins un jour par semaine. Les effectifs obtenus sont les suivants.

On choisit un salarié au hasard parmi les $200$, chacun ayant la même probabilité d'être choisi. On considère les deux événements

$$A:\text{« le salari}\acute{\text{e}}\text{ choisi est cadre »}\text{et}B:\text{« le salari}\acute{\text{e}}\text{ choisi t}\acute{\text{e}}\text{l}\acute{\text{e}}\text{travaille au moins un jour »}$$

1. Vérifier la cohérence du tableau, puis décrire en français chacun des événements $A\cap B$, $A\cap \bar{B}$ et $\bar{A}\cup B$.

2. Calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$. Donner les résultats sous forme de fraction irréductible et sous forme décimale.

3. Calculer $P(A\cup B)$ de deux manières : par dénombrement direct, puis par la formule de la réunion.

4. Calculer $P_A(B)$ et interpréter le résultat par une phrase portant sur les cadres.

5. Calculer $P_B(A)$ et interpréter le résultat par une phrase portant sur les télétravailleurs. Comparer avec la question précédente : que faut-il en retenir ?

6. Calculer $P_{\bar{A}}(B)$ et $P_{\bar{B}}(A)$.

7. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier en comparant $P(A\cap B)$ et $P(A)\times P(B)$, puis retrouver la même conclusion à partir des questions 4 et 6.

Partie A. Un dé pipé. On lance un dé à six faces, numérotées de $1$ à $6$, qui n'est pas équilibré : il a été truqué de sorte que la probabilité d'obtenir une face soit proportionnelle au numéro inscrit sur cette face. On note $\mathrm{\Omega }=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ l'univers de cette expérience, et l'on suppose donc qu'il existe un réel $a$ tel que

$$P(\{k\})=ka\text{pour tout }k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$$

1. Déterminer la valeur de $a$. On rappelle que ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}}$.

2. Calculer les probabilités des événements suivants, sous forme de fractions irréductibles.

3. Vérifier que $P(D)+P\left(\bar{D}\right)=1$ et que $P(Q)+P(R)=1$. Expliquer pourquoi la seconde égalité était prévisible.

4. Calculer $P(D\cap Q)$ puis $P(D\cup Q)$ de deux manières différentes.

5. Comparer $P(D)$ à la valeur qu'aurait cette probabilité pour un dé équilibré, et commenter en une phrase.

Partie B. Quatre issues en progression géométrique. Une roue de loterie est partagée en quatre secteurs numérotés de $1$ à $4$. La roue est déséquilibrée : pour chaque numéro, la probabilité de s'arrêter sur le secteur suivant est le double de la probabilité de s'arrêter sur le secteur courant. On note ${\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\prime }}=\{1,2,3,4\}$ et, pour alléger, $p_i=P(\{i\})$.

6. Traduire l'hypothèse par une relation entre $p_1$, $p_2$, $p_3$ et $p_4$, puis déterminer ces quatre nombres.

7. Calculer la probabilité que le numéro obtenu soit pair, puis la probabilité qu'il soit supérieur ou égal à $3$, puis la probabilité qu'il soit différent de $1$.

Partie C. Contrôle. Soit $\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_N\}$ un univers fini et soient $p_1,p_2,\dots ,p_N$ des réels positifs de somme $1$. On définit une application $P$ sur $\mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$ en posant, pour tout événement $E$,

$$P(E)=\sum _{i\text{ tel que }{\omega }_i\in E}{p}_i\text{et}P(\mathrm{\varnothing })=0$$

8. Démontrer que $P$ est bien une probabilité sur $\mathrm{\Omega }$, c'est-à-dire que $P$ est à valeurs dans $[0,1]$, que $P(\mathrm{\Omega })=1$ et que $P$ est additive sur deux événements incompatibles. Conclure que les constructions des parties A et B étaient légitimes.

Une enseigne possède deux magasins, notés $A$ et $B$. On a relevé, sur une même période et pour chacun des deux magasins, le chiffre d'affaires réalisé chaque jour, exprimé en milliers d'euros. Les deux séries statistiques obtenues sont résumées par les boîtes à moustaches ci-dessous, dont les moustaches vont jusqu'au minimum et jusqu'au maximum de la série.

L'axe est gradué de deux en deux, et toutes les valeurs utiles sont des nombres entiers de milliers d'euros.

1. Pour chacun des deux magasins, relever les cinq nombres du résumé : minimum, premier quartile, médiane, troisième quartile et maximum.

2. Calculer l'étendue et l'écart interquartile de chacune des deux séries.

3. Un journaliste écrit : « au moins un quart des jours, le magasin $A$ a dépassé $15$ milliers d'euros de chiffre d'affaires ». Cette affirmation est-elle exactement justifiée par la figure ? Énoncer la formulation rigoureuse que la figure permet réellement d'écrire.

4. Comparer les deux magasins du point de vue du niveau habituel de chiffre d'affaires, puis du point de vue de la régularité. Que peut-on dire des très bons jours ?

5. Le directeur affirme : « le magasin $B$ a un chiffre d'affaires moyen de $13$ milliers d'euros, puisque c'est ce que montre sa boîte ». Que penser de cette affirmation ?

6. La figure permet-elle de connaître le nombre de jours observés ? l'écart-type de chaque série ? Justifier.

Le service après-vente d'une entreprise a noté, pendant $n=50$ journées d'ouverture, le nombre de réclamations reçues dans la journée. Ce nombre a toujours été compris entre $0$ et $5$. La fonction de répartition $F$ de cette série statistique est représentée ci-dessous : pour tout réel $t$, $F(t)$ est la fréquence des journées où le nombre de réclamations a été inférieur ou égal à $t$.

Les hauteurs exactes des six paliers, lues sur la figure, sont les suivantes.

1. Donner, sans calcul, les valeurs de $F(-1)$, de $F(\mathrm{2,5})$ et de $F(7)$. Justifier en une phrase la forme en escalier de la courbe.

2. Déterminer la fréquence $f_i$ de chaque valeur $x_i$, puis son effectif $n_i$. Contrôler les deux séries de résultats.

3. Déterminer la fréquence des journées où l'on a reçu au moins $3$ réclamations, puis celle des journées où l'on en a reçu entre $1$ et $3$ inclus. Chaque résultat sera obtenu de deux façons.

4. Rappeler la définition du quantile d'ordre $\alpha$ d'une série, puis déterminer la médiane, le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$. En déduire l'écart interquartile.

5. Calculer la moyenne $\bar{x}$ de la série, de deux manières différentes.

6. Calculer ${\displaystyle \frac{1}{n}}{\sum }_i{n}_i{x}_i^2$, puis en déduire la variance $s_x^2$ par la formule de Koenig et l'écart-type $s_x$, arrondi à ${10}^{-2}$ près. Contrôler la variance par un calcul direct.

7. Comparer la moyenne et la médiane, puis commenter la forme de la série.

Partie A. Étude théorique. Soit $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ une série statistique de $n$ observations, de moyenne $\bar{x}$, de variance $s_x^2$ et d'écart-type $s_x$. On fixe deux réels $a$ et $b$ et l'on construit la série $(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ définie par

$$y_i=a{x}_i+b\text{pour tout }i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$$

1. Démontrer que $\bar{y}=a\bar{x}+b$.

2. Démontrer que $s_y^2=a^2{s}_x^2$, en partant de la définition de la variance. En déduire l'expression de $s_y$ en fonction de $s_x$.

3. Redémontrer le résultat de la question 2 par la formule de Koenig, sans utiliser le calcul précédent.

4. On suppose dans cette question que $a>0$. Expliquer pourquoi la médiane et les quartiles se transforment eux aussi par $t⟼at+b$, et en déduire l'effet de la transformation sur l'écart interquartile.

5. Pourquoi le nombre $b$ n'apparaît-il pas dans les formules donnant $s_y^2$ et $s_y$ ?

Partie B. Application numérique. Une entreprise verse chaque mois un salaire à chacun de ses $n$ employés. La série des salaires du mois de mars, exprimés en euros, a pour indicateurs

$$\bar{x}=2400s_x=300Q_1=2200\text{m}\acute{\text{e}}\text{diane}=2350Q_3=2550$$

6. À partir du mois d'avril, chaque salaire est augmenté de $2\mathrm{\%}$, puis majoré d'une prime fixe de $40$ euros. Écrire la transformation affine correspondante, puis calculer la moyenne, la variance et l'écart-type de la nouvelle série des salaires.

7. Calculer la médiane, les deux quartiles et l'écart interquartile de la série des salaires d'avril.

8. Un tableau de bord exprime les salaires de mars non plus en euros, mais en centaines d'euros. Donner la moyenne, l'écart-type et la variance de la série ainsi obtenue. Que remarque-t-on sur la variance ?

9. Un cadre affirme : « la prime de $40$ euros a réduit les inégalités de salaire, puisqu'elle est la même pour tout le monde ». Que répondre, chiffres à l'appui ?

Une entreprise dispose de deux équipes commerciales. On a relevé, pour chaque commercial, le nombre de contrats signés au cours du mois. On obtient ainsi deux séries statistiques :

On réunit les deux équipes en une seule série de $n=n_1+n_2$ observations, dont on note $\bar{x}$ la moyenne et $s^2$ la variance.

Partie A. Étude théorique.

1. Démontrer que $\bar{x}={\displaystyle \frac{n_1{\bar{x}}_1+n_2{\bar{x}}_2}{n_1+n_2}}$. Cette moyenne est-elle en général la moyenne des deux moyennes ? À quelle condition l'est-elle ?

2. En appliquant la formule de Koenig à chacune des deux équipes, exprimer la somme des carrés des observations de l'équipe $1$, puis celle de l'équipe $2$, en fonction des données de l'énoncé.

3. En déduire que

$$s^2=\underset{\text{variance intra-groupes}}{\underbrace{{\displaystyle \frac{n_1{s}_1^2+n_2{s}_2^2}{n}}}}+\underset{\text{variance inter-groupes}}{\underbrace{{\displaystyle \frac{n_1{({\bar{x}}_1-\bar{x})}^2+n_2{({\bar{x}}_2-\bar{x})}^2}{n}}}}$$

4. Démontrer que le second terme s'écrit aussi ${\displaystyle \frac{n_1{n}_2}{n^2}}{({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2)}^2$. Interpréter ce terme en une phrase.

Partie B. Application numérique. On donne désormais

$$n_1=30,{\bar{x}}_1=11,s_1^2=4\text{et}{n}_2=20,{\bar{x}}_2=14,s_2^2=9$$

5. Calculer la moyenne $\bar{x}$ du groupe réuni.

6. Calculer la variance intra-groupes, puis la variance inter-groupes de deux manières, puis la variance $s^2$ et l'écart-type $s$ du groupe réuni, arrondi à ${10}^{-2}$ près.

7. Contrôler le résultat de la question 6 en calculant directement ${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum x_i^2$, puis en appliquant la formule de Koenig au groupe réuni.

Partie C. Deux questions de fond.

8. La variance du groupe réuni peut-elle être strictement supérieure aux deux variances $s_1^2$ et $s_2^2$ ? Répondre en s'appuyant sur la formule de la question 3, puis produire un exemple numérique explicite.

9. Peut-on calculer la médiane du groupe réuni à partir de $n_1$, $n_2$ et des médianes des deux équipes ? Justifier soigneusement, et expliquer ce qui distingue ici la médiane de la moyenne.

Pour tous entiers naturels $n$ et $p$ tels que $0⩽p⩽n$, le coefficient binomial $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)$ désigne le nombre de parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments, et l'on dispose de la formule

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)=\frac{n!}{p!(n-p)!}\mathrm{.}$$

1. Construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne $n=7$. On utilisera pour cela les valeurs $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n}\right)=1$ et la règle de construction du triangle, qui sera démontrée à la question 3. b.

2. Lire dans le tableau les valeurs suivantes et commenter.

3. Démontrer, à partir de la formule factorielle rappelée ci-dessus, les trois identités suivantes.

a. Pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $0⩽p⩽n$ : ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n-p}\right)}$.

b. Formule de Pascal. Pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $0⩽p⩽n-1$ :

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p+1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{p+1}\right)\mathrm{.}$$

c. Formule dite du capitaine. Pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $1⩽p⩽n$ :

$$p\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)=n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{p-1}\right)\mathrm{.}$$

4. Vérifier numériquement la formule du capitaine pour $n=7$ et $p=3$, puis s'en servir pour calculer $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{3}\right)$ à partir de $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{2}\right)=36$.

5. Déterminer tous les entiers $n⩾2$ tels que ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{2}\right)=45}$.

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $6$ boules blanches et $4$ boules noires. Pour pouvoir compter proprement, on numérote les boules de $1$ à $10$, les boules blanches recevant les numéros de $1$ à $6$ et les boules noires les numéros de $7$ à $10$. On tire $3$ boules de l'urne, selon trois protocoles différents.

• Modèle 1 : successivement, avec remise (on note le numéro de la boule tirée, puis on la remet dans l'urne avant le tirage suivant).
• Modèle 2 : successivement, sans remise (la boule tirée est mise de côté).
• Modèle 3 : simultanément (on prend les trois boules d'un seul geste).

Dans les trois cas, on note $B$ l'événement « on obtient exactement $2$ boules blanches » et $N$ l'événement « on obtient au moins une boule noire ».

1. Modèle 1. Décrire l'univers ${\mathrm{\Omega }}_1$, donner son cardinal, justifier l'équiprobabilité, puis calculer $P(B)$ et $P(N)$.

2. Modèle 2. Mêmes questions avec l'univers ${\mathrm{\Omega }}_2$.

3. Modèle 3. Mêmes questions avec l'univers ${\mathrm{\Omega }}_3$.

4. Comparer les six probabilités obtenues. Expliquer pourquoi les modèles 2 et 3 donnent les mêmes résultats, alors que le modèle 1 en donne d'autres.

On rappelle la composition d'un jeu de $32$ cartes. Il comporte quatre couleurs au sens des cartes : pique, cœur, carreau et trèfle. Chaque couleur contient $8$ cartes, à savoir le $7$, le $8$, le $9$, le $10$, le valet, la dame, le roi et l'as. Le jeu contient donc $4$ as et $4$ rois, un de chaque couleur. Les cœurs et les carreaux sont rouges, les piques et les trèfles sont noirs : le jeu compte ainsi $16$ cartes rouges et $16$ cartes noires.

On distribue à un joueur une main de $5$ cartes, c'est-à-dire cinq cartes prises simultanément dans le jeu bien battu. L'ordre dans lequel les cartes se trouvent dans la main n'intervient pas.

1. Justifier que l'on est en situation d'équiprobabilité et donner le nombre total de mains possibles.

2. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants. On donnera systématiquement la fraction irréductible, puis la valeur approchée arrondie à ${10}^{-4}$.

a. $A_2$ : « la main contient exactement deux as ».

b. $R_0$ : « la main ne contient aucun roi ».

c. $R_1$ : « la main contient au moins un roi ».

d. $C$ : « les cinq cartes sont de la même couleur », c'est-à-dire toutes pique, ou toutes cœur, ou toutes carreau, ou toutes trèfle.

e. $T$ : « la main contient exactement trois cartes rouges ».

3. On note $A$ l'événement « la main contient au moins un as » et $R$ l'événement « la main contient au moins un roi ». Calculer $P(A\cap R)$ à l'aide de la formule du crible.

Dans tout l'exercice, $\mathrm{\Omega }$ est un univers fini et $P$ une probabilité sur $\mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$. On rappelle les propriétés de base dont on dispose : $P$ est à valeurs dans $[0,1]$, on a $P(\mathrm{\Omega })=1$, et pour deux événements incompatibles $U$ et $V$, c'est-à-dire vérifiant $U\cap V=\mathrm{\varnothing }$, on a $P(U\cup V)=P(U)+P(V)$.

Partie A. Démonstration de la formule

1. Soit $A$ et $B$ deux événements.

a. Justifier que $B=(A\cap B)\cup (\bar{A}\cap B)$ et que cette réunion porte sur deux événements incompatibles. En déduire une expression de $P(\bar{A}\cap B)$.

b. Justifier que $A\cup B=A\cup (\bar{A}\cap B)$ et que cette réunion porte sur deux événements incompatibles.

c. En déduire la formule du crible pour deux événements :

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\mathrm{.}$$

2. Soit $A$, $B$ et $C$ trois événements. En appliquant deux fois la formule de la question 1. c., démontrer la formule du crible pour trois événements :

$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)\mathrm{.}$$

Partie B. Application chiffrée

Une promotion compte $200$ étudiants. On les a interrogés sur les langues qu'ils déclarent parler couramment, et l'on a relevé les effectifs suivants : $150$ étudiants parlent anglais, $90$ parlent espagnol, $50$ parlent allemand ; $60$ parlent à la fois anglais et espagnol, $30$ à la fois anglais et allemand, $20$ à la fois espagnol et allemand ; enfin $10$ étudiants parlent les trois langues.

On choisit un étudiant au hasard dans la promotion, chaque étudiant ayant la même probabilité d'être choisi. On note $A$, $E$ et $D$ les événements « l'étudiant parle anglais », « l'étudiant parle espagnol » et « l'étudiant parle allemand ».

3. Donner les probabilités des sept événements correspondant aux effectifs de l'énoncé.

4. Calculer la probabilité que l'étudiant choisi parle au moins une des trois langues.

5. Calculer la probabilité qu'il n'en parle aucune.

6. Calculer la probabilité qu'il parle exactement une des trois langues.

7. Contrôler les résultats précédents en dénombrant les étudiants de chaque catégorie et en vérifiant que le total fait bien $200$.

Partie C. Une majoration valable sans hypothèse

8. Démontrer que pour trois événements quelconques $A$, $B$ et $C$,

$$P(A\cup B\cup C)⩽P(A)+P(B)+P(C)\mathrm{.}$$

Que donne cette majoration sur l'exemple de la partie B, et pourquoi n'est-elle pas satisfaisante ici ?

9. Donner une minoration de $P(A\cup B\cup C)$ valable elle aussi sans hypothèse, et la vérifier sur l'exemple.

On rappelle la définition. Une famille finie d'événements $(A_1,A_2,\dots ,A_n)$ est un système complet d'événements lorsque les deux conditions suivantes sont réunies :

• les événements sont deux à deux incompatibles, c'est-à-dire $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$ dès que $i\mathrm{\ne }j$ ;
• leur réunion est l'univers tout entier, c'est-à-dire $A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n=\mathrm{\Omega }$.

Partie A. Reconnaître un système complet

On lance un dé équilibré à six faces et on note le numéro obtenu, de sorte que $\mathrm{\Omega }=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ et que les six issues sont équiprobables. On considère les cinq familles d'événements suivantes.

Famille 1 : $A_1$ « le résultat est inférieur ou égal à $2$ », $A_2$ « le résultat vaut $3$ ou $4$ », $A_3$ « le résultat est supérieur ou égal à $5$ ».

Famille 2 : $B_1$ « le résultat est pair », $B_2$ « le résultat est un multiple de $3$ ».

Famille 3 : $C_1$ « le résultat vaut $1$ », $C_2$ « le résultat vaut $2$ ou $3$ », $C_3$ « le résultat vaut $4$ ou $5$ ».

Famille 4 : $D_1$ « le résultat est inférieur ou égal à $2$ », $D_2$ « le résultat est supérieur ou égal à $3$ », $D_3$ « le résultat est strictement supérieur à $6$ ».

Famille 5 : $E_1$ « le résultat est inférieur ou égal à $3$ », $E_2$ « le résultat est compris entre $3$ et $5$ au sens large ».

1. Pour chaque famille, écrire les événements en extension, puis dire si la famille est un système complet d'événements en examinant les deux conditions de la définition.

2. Calculer, pour chaque famille, la somme des probabilités de ses événements. Que peut-on en déduire ? Cette somme suffit-elle à conclure ?

Partie B. Utiliser un système complet

Une entreprise reçoit ses candidatures par trois voies : $50\mathrm{\%}$ sont des candidatures spontanées, $30\mathrm{\%}$ viennent de la cooptation par un salarié, et $20\mathrm{\%}$ viennent d'un cabinet de recrutement. On note $C_1$, $C_2$ et $C_3$ les événements correspondants pour une candidature prise au hasard, et $R$ l'événement « la candidature est retenue pour un entretien ».

Le service des ressources humaines a mesuré que $10\mathrm{\%}$ des candidatures spontanées sont retenues, contre $40\mathrm{\%}$ des cooptations et $60\mathrm{\%}$ des candidatures venant du cabinet.

3. Justifier que $(C_1,C_2,C_3)$ est un système complet d'événements, et traduire les données de l'énoncé en probabilités.

4. Calculer $P(R)$.

5. Contrôler le résultat en raisonnant sur un lot fictif de $1000$ candidatures.

Partie C. Une question de vocabulaire

6. Une famille de deux événements de probabilités respectives $\mathrm{0,5}$ et $\mathrm{0,5}$ est-elle nécessairement un système complet d'événements ? Justifier.

Une urne contient $8$ jetons indiscernables au toucher : $5$ jetons verts et $3$ jetons rouges. On tire successivement $3$ jetons, sans remise : chaque jeton tiré est mis de côté et ne retourne pas dans l'urne.

Pour $i$ valant $1$, $2$ ou $3$, on note $V_i$ l'événement « le $i$-ième jeton tiré est vert » et $R_i$ l'événement « le $i$-ième jeton tiré est rouge ». Ainsi $R_i=\overline{V_i}$.

1. Construire l'arbre pondéré associé à cette expérience, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante. On expliquera comment se lisent les poids du deuxième et du troisième niveau.

2. Calculer la probabilité d'obtenir trois jetons verts.

3. Calculer la probabilité d'obtenir, dans cet ordre, un jeton vert, puis un rouge, puis un vert.

4. Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux jetons verts.

5. Calculer $P(R_3)$, la probabilité que le troisième jeton tiré soit rouge. Comparer avec $P(R_1)$ et commenter.

Un atelier fabrique des pièces au moyen de deux machines. La machine 1 produit $60\mathrm{\%}$ des pièces de l'atelier, la machine 2 en produit $40\mathrm{\%}$. Les contrôles qualité ont établi que $3\mathrm{\%}$ des pièces sortant de la machine 1 sont défectueuses, contre $5\mathrm{\%}$ des pièces sortant de la machine 2.

On prélève une pièce au hasard dans la production de l'atelier, chaque pièce ayant la même probabilité d'être prélevée. On note $M_1$ l'événement « la pièce provient de la machine 1 », $M_2$ l'événement « la pièce provient de la machine 2 » et $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

1. Vérifier que $(M_1,M_2)$ est un système complet d'événements, puis traduire toutes les données de l'énoncé en probabilités, en distinguant soigneusement les probabilités simples des probabilités conditionnelles.

2. Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard soit défectueuse.

3. Une pièce prélevée se révèle défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la machine 1 ? Et de la machine 2 ?

4. Calculer $P_{\bar{D}}(M_1)$, la probabilité qu'une pièce provienne de la machine 1 sachant qu'elle n'est pas défectueuse. A-t-on $P_D(M_1)+P_{\bar{D}}(M_1)=1$ ? Commenter.

5. L'atelier souhaite ramener son taux global de pièces défectueuses à $\mathrm{0,03}$, en n'intervenant que sur la machine 2. On note $t$ le nouveau taux de défaut de cette machine, les autres données restant inchangées.

a. Exprimer le nouveau taux global de pièces défectueuses en fonction de $t$.

b. Déterminer $t$ pour que ce taux global vaille $\mathrm{0,03}$. Commenter le résultat.

c. Même question pour un taux global de $\mathrm{0,025}$.

d. L'atelier pourrait-il, par ce seul moyen, atteindre un taux global de $\mathrm{0,015}$ ? Quel est le taux global le plus bas qu'il puisse espérer ?

Une maladie touche $\mathrm{0,4}\mathrm{\%}$ d'une population. On dispose d'un test de dépistage dont les performances ont été mesurées en laboratoire :

• le test est positif chez $99\mathrm{\%}$ des personnes malades (on appelle ce nombre la sensibilité du test) ;
• le test est négatif chez $97\mathrm{\%}$ des personnes non malades (on appelle ce nombre la spécificité du test).

On choisit une personne au hasard dans la population et on lui fait passer le test. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Justifier que $(M,\bar{M})$ est un système complet d'événements, puis traduire chacune des trois données de l'énoncé en une probabilité, en précisant à chaque fois s'il s'agit d'une probabilité ou d'une probabilité conditionnelle.

2. Décrire l'arbre pondéré associé à cette situation, puis calculer les probabilités des quatre issues $M\cap T$, $M\cap \bar{T}$, $\bar{M}\cap T$ et $\bar{M}\cap \bar{T}$. Vérifier que leur somme vaut $1$.

3. En déduire $P(T)$, la probabilité qu'un test pris au hasard soit positif.

4. Une personne vient d'être testée positive. Calculer la probabilité qu'elle soit effectivement malade (on donnera la valeur exacte sous forme de fraction irréductible, puis une valeur approchée à ${10}^{-3}$). Ce nombre s'appelle la valeur prédictive positive du test. Commenter : pourquoi est-il si faible alors que le test paraît très performant ?

5. Retrouver les résultats des questions 3. et 4. par un décompte direct sur une population de $100000$ personnes.

6. On refait le même calcul dans une population à risque, où la maladie touche cette fois $10\mathrm{\%}$ des personnes, les performances du test étant inchangées. Calculer la nouvelle valeur prédictive positive et comparer à celle de la question 4.. Qu'en conclure sur l'usage d'un test de dépistage ?

7. Calculer, dans chacune des deux populations, la probabilité qu'une personne testée négative soit effectivement saine. Ce nombre s'appelle la valeur prédictive négative du test. Commenter la différence de comportement avec la valeur prédictive positive.

8. À partir de quelle prévalence $p$ de la maladie la valeur prédictive positive du test atteint-elle ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ?

Partie A. Sur un lancer de dé

On lance une fois un dé équilibré à six faces. L'univers est $\mathrm{\Omega }=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, muni de l'équiprobabilité. On considère les quatre événements suivants :

1. Écrire chacun de ces quatre événements en extension, puis donner sa probabilité.

2. Pour chacune des cinq paires $(A,B)$, $(A,C)$, $(A,D)$, $(B,C)$ et $(C,D)$, comparer $P(A\cap B)$ et $P(A)P(B)$ (et de même pour les autres paires) afin de dire si les deux événements sont indépendants.

3. Reprendre la paire $(A,B)$ et calculer $P_A(B)$ puis $P_B(A)$. Interpréter en une phrase ce que signifie ici l'indépendance.

4. La famille $(A,B,C)$ est-elle mutuellement indépendante ? Justifier avec précision.

Partie B. Incompatible n'est pas indépendant

5. Soit $A$ et $B$ deux événements d'un même univers fini, tels que $P(A)>0$ et $P(B)>0$. On suppose $A$ et $B$ incompatibles. Démontrer que $A$ et $B$ ne sont pas indépendants. Calculer ensuite $P_A(B)$ et commenter.

Partie C. Passage au complémentaire

6. Soit $A$ et $B$ deux événements indépendants. Démontrer que $A$ et $\bar{B}$ sont indépendants. Vérifier cette propriété sur la paire $(A,B)$ de la partie A. En déduire, sans nouveau calcul, que $\bar{A}$ et $\bar{B}$ sont eux aussi indépendants.

Partie D. Le cas des probabilités $0$ et $1$

7. Soit $A$ un événement tel que $P(A)=0$, et soit $B$ un événement quelconque. Démontrer que $A$ et $B$ sont indépendants. Traiter ensuite le cas $P(A)=1$. Donner un exemple de chacune des deux situations sur le lancer de dé de la partie A, puis expliquer en quoi cela éclaire l'hypothèse « $P(A)>0$ et $P(B)>0$ » de la partie B.

Une petite entreprise compte $12$ personnes : $11$ salariés et le dirigeant. Voici les salaires nets mensuels, en euros, relevés dans l'ordre du registre du personnel :

$2000$ ; $1800$ ; $12800$ ; $1700$ ; $2200$ ; $1900$ ; $2600$ ; $1700$ ; $2100$ ; $1800$ ; $2200$ ; $2000$

Le salaire de $12800$ € est celui du dirigeant.

Conventions utilisées dans tout l'exercice. La médiane d'une série d'effectif pair est la demi-somme des deux valeurs centrales de la série ordonnée. Le quantile d'ordre $\alpha$ est la plus petite valeur de la série dont la fréquence cumulée atteint $\alpha$ : $Q_1$ correspond à $\alpha =\mathrm{0,25}$ et $Q_3$ à $\alpha =\mathrm{0,75}$. La variance est la variance empirique $s_x^2={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2}$.

1. Ranger la série par ordre croissant, puis dresser le tableau des effectifs, des effectifs cumulés et des fréquences cumulées. Donner l'étendue de la série.

2. Calculer la moyenne $\bar{x}$ et la médiane de la série.

3. Déterminer $Q_1$, $Q_3$ et l'écart interquartile, en justifiant par les fréquences cumulées.

4. Calculer la variance $s_x^2$ à partir de sa définition, puis la retrouver par la formule de Koenig. En déduire l'écart-type $s_x$, arrondi à l'euro.

5. Combien de personnes gagnent moins que la moyenne ? Lequel de la moyenne ou de la médiane résume le mieux la situation des personnes qui travaillent dans cette entreprise ? Justifier.

6. Le dirigeant quitte l'entreprise. Recalculer, sur les $11$ salaires restants, la moyenne, la médiane, les quartiles et l'écart-type. Mesurer la variation de chaque indicateur et classer ces indicateurs du plus sensible au moins sensible à la valeur extrême.

7. Un journaliste local prépare un article sur l'entreprise. Rédiger deux phrases, toutes les deux exactes, l'une que le dirigeant aurait intérêt à citer, l'autre que les salariés auraient intérêt à citer. Que faut-il en conclure sur la lecture d'un chiffre isolé ?

8. Donner les cinq nombres qui serviraient à tracer la boîte à moustaches de la série complète (il n'est pas demandé de la dessiner) et décrire en une phrase l'allure de la figure obtenue. Le critère usuel qui déclare atypique toute valeur supérieure à $Q_3+\mathrm{1,5}\times (Q_3-Q_1)$ range-t-il le salaire du dirigeant parmi les valeurs extrêmes ? Et celui de $2600$ € ?

9. L'entreprise accorde à chacune des $12$ personnes une augmentation de $3\mathrm{\%}$ suivie d'une prime mensuelle fixe de $50$ €. Sans recalculer la série, donner la nouvelle moyenne, la nouvelle médiane et le nouvel écart-type.

On dispose d'une série statistique $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ de $n$ nombres réels, de moyenne $\bar{x}$ et de variance $s_x^2={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2}$.

On cherche à résumer cette série par un seul nombre $a$, et l'on mesure la qualité de ce résumé par l'erreur quadratique moyenne

$$f(a)={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{(x_i-a)}^2$$

Autrement dit, $f(a)$ est la moyenne des carrés des écarts entre les données et le nombre $a$ choisi pour les représenter. Le problème est de trouver le $a$ qui rend $f(a)$ le plus petit possible.

Partie A. Étude sur un exemple

On considère dans cette partie la série $S=(2;5;6;9;13)$, donc $n=5$.

1. Calculer $\bar{x}$ et $s_x^2$ pour la série $S$.

2. Calculer $f(6)$, $f(7)$ et $f(8)$ directement, à partir de la définition. Quelle conjecture ces trois valeurs suggèrent-elles ?

Partie B. Le résultat général

3. Démontrer que, pour toute série $(x_1,\dots ,x_n)$, on a ${\displaystyle \sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})=0}$.

4. Soit $a$ un réel. En écrivant $x_i-a=(x_i-\bar{x})+(\bar{x}-a)$ et en développant, démontrer que

$$f(a)=s_x^2+{(\bar{x}-a)}^2$$

5. En déduire que $f$ atteint son minimum en $a=\bar{x}$ et en ce point seulement, et que ce minimum vaut $s_x^2$. Interpréter ce résultat en une phrase.

6. Appliquer l'égalité de la question 4. au cas particulier $a=0$ et retrouver ainsi la formule de Koenig. Vérifier cette formule sur la série $S$.

7. Dresser le tableau des valeurs de $f(a)$ pour $a$ valant $5$ ; $6$ ; $7$ ; $8$ ; $9$ sur la série $S$, en utilisant la formule de la question 4., et confronter aux valeurs calculées à la question 2. Que reconnaît-on comme fonction de $a$ ?

Partie C. Et si l'on remplaçait les carrés par des valeurs absolues ?

On pose maintenant

$$g(a)={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n\mid x_i-a\mid$$

On admet le résultat général suivant : $g$ atteint son minimum lorsque $a$ est une médiane de la série.

8. Sur la série $S$, calculer $g(5)$, $g(6)$ et $g(7)$. Le résultat admis est-il cohérent avec ces trois valeurs ?

9. Démontrer ce résultat dans le cas de trois valeurs : soit $x_1⩽x_2⩽x_3$ trois réels, montrer que pour tout réel $a$ on a $g(a)⩾{\displaystyle \frac{x_3-x_1}{3}}$, avec égalité si et seulement si $a=x_2$. Illustrer sur la série $(0;1;10)$ en comparant la valeur de $g$ en la médiane et en la moyenne.

10. Dans la série $S$, on remplace la valeur $13$ par $130$, les quatre autres étant inchangées. Calculer la nouvelle moyenne et la nouvelle médiane. En utilisant les deux problèmes de minimisation étudiés, expliquer en quelques lignes pourquoi la moyenne se déplace beaucoup et la médiane pas du tout.

Toutes les identités de cet exercice se démontrent par double comptage : on choisit un ensemble fini bien choisi, on compte ses éléments de deux façons différentes, et on écrit que les deux résultats sont égaux. Aucune formule de développement n'est autorisée ; seuls servent la définition du coefficient binomial, le principe multiplicatif et le fait qu'une partition d'un ensemble fini permet d'additionner les cardinaux.

On rappelle que pour $0⩽p⩽n$, le coefficient binomial ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)}$ est par définition le nombre de parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments, et qu'il vaut ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)}={\displaystyle \frac{n!}{p!(n-p)!}}$. Dans tout l'exercice, $E$ désigne un ensemble à $n$ éléments, par exemple $E=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

Partie A. Le nombre de parties d'un ensemble

1. Démontrer, par le principe multiplicatif, que $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathcal{P}(E))=2^n$.

2. Pour $0⩽p⩽n$, on note ${\mathcal{P}}_p(E)=\{A\in \mathcal{P}(E);\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)=p\}$. Justifier que la famille $({\mathcal{P}}_0(E),{\mathcal{P}}_1(E),\dots ,{\mathcal{P}}_n(E))$ est une partition de $\mathcal{P}(E)$, puis en déduire l'identité

$$\sum _{p=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)=2^n$$

3. Vérifier cette identité pour $n=4$, puis pour $n=10$.

Partie B. La formule du triangle de Pascal

4. Soit $n⩾2$ et $1⩽p⩽n-1$. On fixe un élément $a$ de $E$ et on partage les parties à $p$ éléments de $E$ en deux classes, selon qu'elles contiennent $a$ ou non. Démontrer par ce double comptage que

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{p-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{p}\right)$$

5. Construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne $n=6$. Calculer ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{3}\right)}$ de deux façons : par la formule factorielle, et par la formule de la question 4. Vérifier enfin que la somme de chaque ligne du triangle est bien celle annoncée par la partie A.

Partie C. L'identité de Vandermonde

6. Un club compte $5$ femmes et $4$ hommes. On veut former une commission de $3$ membres. Compter ces commissions de deux façons : d'abord globalement, puis en séparant les cas selon le nombre de femmes qui y siègent. Conclure.

7. Généraliser : soit $m$, $n$ et $r$ trois entiers naturels avec $r⩽m+n$. Démontrer par double comptage que

$$\sum _{k=0}^r\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{r-k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m+n}{r}\right)$$

On conviendra, comme il est d'usage, que ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{k}\right)}=0$ dès que $k>m$.

8. En prenant $m=n$ et $r=n$, et en utilisant la formule de symétrie, en déduire que

$$\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}^2=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)$$

Vérifier cette identité pour $n=4$ et pour $n=5$.

Partie D. Parties de cardinal pair, parties de cardinal impair

9. Soit $n⩾1$. À toute partie $A$ de $E=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on associe $\phi (A)=A\cup \{1\}$ si $1\mathrm{\notin }A$, et $\phi (A)=A\setminus \{1\}$ si $1\in A$. Démontrer que $\phi$ est une bijection de $\mathcal{P}(E)$ sur lui-même qui échange les parties de cardinal pair et celles de cardinal impair. En déduire que

$$\sum _{p\text{ pair}}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)=\sum _{p\text{ impair}}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)=2^{n-1}$$

et vérifier pour $n=4$.

Partie E. Application numérique

10. Une association de $12$ membres, dont $7$ femmes et $5$ hommes, doit désigner une commission de $4$ personnes. Déterminer le nombre total de commissions possibles, puis la répartition de ces commissions selon le nombre de femmes qui y siègent, et vérifier la cohérence des deux comptages. Combien de commissions comptent au moins deux femmes ? Enfin, combien de comités de taille quelconque, éventuellement vide, pourrait-on former dans cette association ?

Dans un groupe de $n$ personnes, on s'intéresse à l'événement « au moins deux personnes du groupe sont nées le même jour de l'année » (le jour, pas l'année : deux personnes nées le $3$ mars, même à vingt ans d'écart, comptent comme une coïncidence).

On adopte le modèle suivant : l'année compte $365$ jours, chaque personne est née un jour tiré parmi ces $365$ jours, tous les jours sont équiprobables, et les dates de naissance des différentes personnes sont indépendantes les unes des autres. Les personnes sont numérotées de $1$ à $n$, et l'on suppose $1⩽n⩽365$ dans les questions 2. à 4.

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ associé à cette expérience et donner son cardinal. Commenter la validité des hypothèses de modélisation.

2. On note $D$ l'événement « les $n$ personnes ont des dates de naissance deux à deux distinctes », et l'on pose $q_n=P(D)$ puis $p_n=1-q_n$. Dénombrer $D$, puis établir que

$$q_n={\displaystyle \frac{365\times 364\times \cdots \times (365-n+1)}{{365}^n}}=\prod _{k=1}^{n-1}(1-{\displaystyle \frac{k}{365}})$$

Contrôler la formule pour $n=1$ et $n=2$.

3. Calculer $p_{10}$ et $p_{23}$, valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près.

4. On veut encadrer $q_n$ sans effectuer tous les produits.

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $m⩾1$ et tous réels $u_1,\dots ,u_m$ de $[0,1]$, on a ${\displaystyle \prod _{k=1}^m(1-u_k)⩾1-\sum _{k=1}^m{u}_k}$.

b. En admettant l'inégalité $\ln (1+t)⩽t$, valable pour tout $t>-1$, démontrer que $q_n⩽\exp (-{\displaystyle \frac{n(n-1)}{730}})$.

c. En déduire un encadrement de $q_{10}$, puis de $p_{10}$, et le confronter à la question 3. Que donne la majoration pour $n=23$, puis pour $n=24$ ?

5. Établir une relation entre $q_{n+1}$ et $q_n$, et en déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est croissante. Que vaut $p_n$ pour $n⩾366$, et pourquoi ?

6. Le résultat de la question 3. surprend presque tout le monde. Proposer une explication du caractère contre-intuitif de ce résultat, en s'appuyant sur le nombre de paires de personnes que compte le groupe.

7. Variante. Je fais partie du groupe de $n$ personnes. On note $R$ l'événement « au moins une des $n-1$ autres personnes est née le même jour que moi ». Calculer $P(R)$ en fonction de $n$, puis sa valeur pour $n=23$. Comparer avec $p_{23}$ et expliquer l'écart. Combien faudrait-il de personnes dans le groupe pour que $P(R)$ dépasse ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ?

Trois personnes, numérotées $1$, $2$ et $3$, déposent leur manteau au vestiaire d'un restaurant. À la fermeture, l'employé a perdu les tickets : il rend les trois manteaux au hasard, un à chaque personne. Toutes les façons de rendre les manteaux sont supposées également probables.

Pour $i\in \{1,2,3\}$, on note $A_i$ l'événement « la personne $i$ récupère son propre manteau ».

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ de cette expérience, justifier que $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{\Omega })=3!=6$ et énumérer les six issues.

2. Calculer $P\left(A_1\right)$, puis $P(A_i\cap A_j)$ pour deux indices distincts $i$ et $j$, puis $P(A_1\cap A_2\cap A_3)$. On justifiera au passage une inclusion remarquable entre ces événements.

3. En utilisant la formule du crible à trois événements, calculer la probabilité qu'au moins une personne récupère son manteau.

4. En déduire la probabilité que personne ne récupère son manteau, puis vérifier ce résultat par un dénombrement direct des issues concernées.

5. Calculer la probabilité qu'exactement une personne récupère son manteau. Justifier que l'événement « exactement deux personnes récupèrent leur manteau » est impossible. Contrôler que les cas possibles ont des probabilités de somme $1$.

6. On recommence l'expérience avec quatre personnes, et l'on note toujours $A_i$ l'événement « la personne $i$ récupère son propre manteau ». Le cours s'arrêtant à trois événements, on admet la généralisation suivante de la formule du crible :

$$P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)=\sum _{i}P\left(A_i\right)-\sum _{i<j}P(A_i\cap A_j)+\sum _{i<j<k}P(A_i\cap A_j\cap A_k)-P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)$$

Calculer la probabilité qu'au moins une personne récupère son manteau, puis celle que personne ne le récupère. Vérifier le second résultat par un dénombrement direct.

7. Comparer les résultats obtenus pour trois et pour quatre personnes. Le passage de trois à quatre personnes rend-il la situation très différente ?

Deux urnes contiennent des boules indiscernables au toucher.

Partie A. Transfert d'une seule boule.

On tire au hasard une boule de $U_1$, on la place dans $U_2$ sans regarder les autres boules, puis on tire au hasard une boule de $U_2$. On note :

• $B_1$ l'événement « la boule transférée est blanche » et $N_1$ l'événement « la boule transférée est noire » ;
• $B_2$ l'événement « la boule finalement tirée de $U_2$ est blanche ».

1. a. Justifier que $(B_1,N_1)$ est un système complet d'événements, puis donner $P(B_1)$ et $P(N_1)$.

   b. Décrire la composition de l'urne $U_2$ au moment du second tirage dans chacun des deux cas, puis donner $P_{B_1}(B_2)$ et $P_{N_1}(B_2)$.

2. Décrire en une phrase l'arbre pondéré de l'expérience, puis calculer $P(B_1\cap B_2)$ et $P(N_1\cap B_2)$.

3. Calculer $P(B_2)$. On vérifiera le résultat par une seconde méthode.

4. Sachant que la boule finalement tirée est blanche, quelle est la probabilité que la boule transférée ait été blanche ? Contrôler la cohérence du résultat.

5. Si l'on avait tiré directement une boule de $U_2$, sans transfert, la probabilité d'obtenir une boule blanche aurait été ${\displaystyle \frac{3}{8}}$. Le transfert est-il favorable ?

6. On reprend la question précédente en toute généralité : l'urne $U_1$ est maintenant quelconque et on pose $x=P(B_1)$, l'urne $U_2$ restant celle de l'énoncé. Exprimer $P(B_2)$ en fonction de $x$, puis déterminer pour quelles valeurs de $x$ le transfert est favorable. Commenter.

Partie B. Transfert de deux boules.

On reprend les urnes initiales. On tire cette fois simultanément deux boules de $U_1$, on les place dans $U_2$, puis on tire au hasard une boule de $U_2$. Pour $k\in \{0,1,2\}$, on note $T_k$ l'événement « exactement $k$ des deux boules transférées sont blanches », et $B$ l'événement « la boule finalement tirée est blanche ».

7. Calculer $P(T_0)$, $P(T_1)$ et $P(T_2)$ par dénombrement, puis contrôler ces trois valeurs en remplaçant le tirage simultané par deux tirages successifs sans remise.

8. Calculer $P(B)$.

9. Sachant que la boule finalement tirée est blanche, quelle est la probabilité que les deux boules transférées aient été blanches ?

10. Comparer les trois probabilités d'obtenir une boule blanche : sans transfert, avec transfert d'une boule, avec transfert de deux boules. Interpréter.

On rappelle la définition du cours. Trois événements $A$, $B$, $C$ d'un même univers fini sont dits mutuellement indépendants lorsque les quatre égalités suivantes sont simultanément vérifiées :

$$P(A\cap B)=P(A)P(B),P(A\cap C)=P(A)P(C),P(B\cap C)=P(B)P(C),P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$$

Ils sont dits indépendants deux à deux lorsque les trois premières sont vérifiées. L'indépendance mutuelle entraîne donc l'indépendance deux à deux, par simple lecture de la définition. Cet exercice montre que la réciproque est fausse, et plus précisément qu'aucune des deux familles d'égalités, les trois premières d'un côté et la quatrième de l'autre, n'entraîne l'autre.

Partie A. Deux à deux, mais pas mutuellement.

On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. Un résultat est noté sous la forme d'un couple, par exemple $(\text{P},\text{F})$ pour « pile au premier lancer, face au second ». On considère les événements

• $A$ : « le premier lancer donne pile » ;
• $B$ : « le second lancer donne pile » ;
• $C$ : « les deux lancers donnent le même résultat ».

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ en extension, donner $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{\Omega })$, et justifier que l'on est en situation d'équiprobabilité.

2. Écrire $A$, $B$ et $C$ en extension, puis donner $P(A)$, $P(B)$ et $P(C)$.

3. Démontrer que $A$, $B$ et $C$ sont indépendants deux à deux.

4. Calculer $P(A\cap B\cap C)$ et le comparer à $P(A)P(B)P(C)$. Conclure.

5. Calculer $P_{A\cap B}(C)$ et interpréter le résultat obtenu en une phrase.

Partie B. L'égalité triple, à elle seule, ne suffit pas.

Une urne contient huit boules indiscernables au toucher, numérotées de $1$ à $8$. On en tire une au hasard et on note son numéro. On considère les trois événements suivants, décrits en extension :

$$A=\{1,2,3,4\},B=\{1,2,3,5\},C=\{1,6,7,8\}$$

6. Donner $P(A)$, $P(B)$, $P(C)$ et $P(A)P(B)P(C)$.

7. Déterminer $A\cap B$, $A\cap C$ et $B\cap C$, puis leurs probabilités. Aucune des trois paires n'est-elle indépendante ?

8. Déterminer $A\cap B\cap C$ et sa probabilité. Que constate-t-on ?

9. Conclure : que faut-il vérifier, exactement, pour affirmer que trois événements sont mutuellement indépendants ?

10. Combien de conditions faudrait-il vérifier pour une famille de $n$ événements, avec $n⩾2$ ?

Un équipement est constitué de composants électroniques identiques. Sur une durée d'un an, chaque composant fonctionne sans panne avec la probabilité $p=\mathrm{0,9}$, et les composants sont mutuellement indépendants. On appelle fiabilité du système la probabilité qu'il fonctionne pendant l'année entière. Deux montages sont possibles :

• en série : le système fonctionne si et seulement si tous les composants fonctionnent ;
• en parallèle : le système fonctionne si et seulement si au moins un composant fonctionne.

Valeurs numériques utiles : $\ln 2\approx \mathrm{0,6931}$, $\ln 10\approx \mathrm{2,3026}$, $\ln (\mathrm{0,9})\approx -\mathrm{0,1054}$, ${\mathrm{0,9}}^6\approx \mathrm{0,5314}$, ${\mathrm{0,9}}^7\approx \mathrm{0,4783}$.

1. a. Calculer la fiabilité d'un système de deux composants montés en série.

   b. Calculer la fiabilité d'un système de deux composants montés en parallèle. On passera par l'événement contraire.

   c. Comparer les deux résultats à la fiabilité $p$ d'un composant seul, et commenter.

2. On monte maintenant $n$ composants, avec $n⩾1$. Exprimer en fonction de $n$ la fiabilité $S_n$ du montage en série et la fiabilité $R_n$ du montage en parallèle. Déterminer les limites de ces deux suites et interpréter.

3. À partir de combien de composants montés en série la fiabilité du système devient-elle inférieure à $\mathrm{0,5}$ ? On résoudra l'inéquation à l'aide du logarithme népérien, en justifiant le sens des inégalités, puis on contrôlera la réponse.

4. Le cahier des charges impose une fiabilité au moins égale à $\mathrm{0,999}$.

   a. Déterminer le nombre minimal de composants à monter en parallèle.

   b. Que devient la réponse si le cahier des charges exige de dépasser strictement $\mathrm{0,999}$ ?

5. Un fournisseur propose des composants bas de gamme, de fiabilité $p^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,75}$ seulement.

   a. Combien faut-il en monter en parallèle pour atteindre une fiabilité au moins égale à $\mathrm{0,999}$ ?

   b. Un composant de fiabilité $\mathrm{0,9}$ coûte $12$ euros, un composant bas de gamme coûte $5$ euros. Quelle solution faut-il retenir pour respecter le cahier des charges au moindre coût ?

6. On dispose de quatre composants de fiabilité $p=\mathrm{0,9}$ et on hésite entre deux architectures.

   • Montage ${\mathcal{M}}_1$ : deux branches en parallèle, chaque branche étant formée de deux composants en série.
   • Montage ${\mathcal{M}}_2$ : deux blocs en série, chaque bloc étant formé de deux composants en parallèle.

   a. Calculer la fiabilité de chacun des deux montages et les comparer.

   b. Reprendre le calcul avec un $p$ quelconque de $[0,1]$, puis démontrer que l'un des deux montages est toujours au moins aussi fiable que l'autre. Contrôler la cohérence avec le a.

7. On revient au montage en parallèle de composants de fiabilité $\mathrm{0,9}$. Calculer le gain de fiabilité $R_{n+1}-R_n$ obtenu en ajoutant un composant. Commenter du point de vue du coût.

Une urne contient $b$ boules blanches et $r$ boules rouges, indiscernables au toucher, avec $b⩾1$ et $r⩾1$. On répète l'épreuve suivante : on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l'urne et on ajoute $c$ boules de la même couleur (avec $c⩾1$).

Pour tout entier $k⩾1$, on note $B_k$ l'événement « la $k$-ième boule tirée est blanche » et $R_k$ l'événement « la $k$-ième boule tirée est rouge ». On pose $N=b+r$.

Partie A. Le cas $b=3$, $r=2$, $c=2$.

1. a. Donner la composition de l'urne avant le premier tirage, puis sa composition avant le deuxième tirage dans chacun des deux cas possibles.

   b. Décrire en une phrase l'arbre pondéré des deux premiers tirages, puis donner $P(B_1)$, $P_{B_1}(B_2)$ et $P_{R_1}(B_2)$.

2. Calculer $P(B_1\cap B_2)$ et $P(R_1\cap B_2)$, puis en déduire $P(B_2)$. Que remarque-t-on en comparant à $P(B_1)$ ?

3. Sachant que la deuxième boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la première l'ait été ? Contrôler la cohérence du résultat.

4. Les événements $B_1$ et $B_2$ sont-ils indépendants ? Interpréter.

Partie B. Le cas général.

5. Démontrer que $P(B_2)={\displaystyle \frac{b}{b+r}}$. Le résultat de la question 2. est-il un hasard de calcul ?

6. Exprimer $P_{B_2}(B_1)$ en fonction de $b$, $r$ et $c$, et retrouver la valeur numérique de la question 3.

7. On s'intéresse au troisième tirage.

   a. Justifier que la famille $(B_1\cap B_2,B_1\cap R_2,R_1\cap B_2,R_1\cap R_2)$ est un système complet d'événements, et donner la probabilité de chacun de ses termes.

   b. Donner la composition de l'urne avant le troisième tirage dans chacun des quatre cas, puis les quatre probabilités conditionnelles de $B_3$.

   c. En déduire $P(B_3)$. On pourra utiliser, après l'avoir vérifiée, l'identité

$$(b+c)(b+2c)+2r(b+c)+r(r+c)=(N+c)(N+2c)$$

d. Contrôler le résultat en recalculant $P(B_3)$ avec les valeurs numériques de la partie A.

8. Que devient le modèle lorsque $c=0$ ? Commenter alors le résultat des questions 5. et 7.