Devoir surveillé — Probabilités et statistiques

Partie A — Une série incomplète.

Une recyclerie municipale enregistre, chaque jour d'ouverture, le nombre de meubles qui lui sont déposés. La population étudiée est l'ensemble de ses $25$ jours d'ouverture du mois de mars, et le caractère est quantitatif discret. On note $x_1,x_2,\dots ,x_{25}$ les $25$ valeurs relevées. Le tableau des effectifs a été partiellement effacé :

Le registre indique par ailleurs que la recyclerie a reçu en moyenne $3$ meubles par jour d'ouverture.

1. Déterminer les deux entiers $a$ et $b$, puis dresser le tableau des effectifs cumulés croissants et des fréquences cumulées croissantes de la série. (0,5 point)

2. Déterminer la médiane et le troisième quartile de la série. Le rapport annuel du réseau affirme : « dans cette recyclerie, un jour sur quatre voit arriver au moins $4$ meubles ». Cette affirmation est-elle exacte ? Est-elle la plus précise que les données permettent ? (0,5 point)

3. Calculer la variance $s_x^2$ de la série par la formule de Koenig, puis son écart-type $s_x$. (0,25 point)

4. Le réseau demande à chacun de ses membres de transmettre non pas sa série brute, mais une série centrée réduite qui s'en déduit, c'est-à-dire une série $z_i=a^{\mathrm{\prime }}{x}_i+b^{\mathrm{\prime }}$ de moyenne $0$ et d'écart-type $1$.

Déterminer tous les couples $(a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }})$ de réels qui conviennent. Un seul répond à la demande du réseau, qui exige de plus que la série transmise classe les jours dans le même ordre que la série d'origine : lequel, et pourquoi ? (0,75 point)

Partie B — Une série dont on ne connaît que trois nombres.

Une deuxième recyclerie du réseau ne transmet aucun tableau. Elle communique seulement les trois nombres suivants, relatifs à ses $40$ jours d'ouverture du mois de mars : effectif $n=40$, moyenne $\bar{y}=5$ meubles, écart-type $s_y=2$ meubles. On note $y_1,y_2,\dots ,y_{40}$ les $40$ valeurs de sa série, qui sont des entiers naturels.

5. a. Déduire de la définition de la variance que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{40}(y_i-5{)}^2=160}$. (0,25 point)

b. Soit $t$ un réel strictement positif. On note $I$ l'ensemble des indices $i$ de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,40]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ tels que $\mathrm{\mid }{y}_i-5\mathrm{\mid }⩾t$, et $k$ son cardinal. En ne conservant dans la somme de la question 5.a que les termes d'indice appartenant à $I$, puis en minorant chacun d'eux, démontrer que

$$k\times t^2⩽160.$$

(0,75 point)

c. En déduire qu'au moins $30$ des $40$ jours d'ouverture de cette recyclerie ont vu arriver entre $2$ et $8$ meubles inclus. (0,5 point)

Un festival retient $12$ courts métrages et les répartit en trois séances distinctes, la séance du matin, celle de l'après-midi et celle du soir. Chaque séance projette exactement $4$ films, et chaque film n'est projeté qu'une seule fois. L'ordre de passage des films à l'intérieur d'une séance n'est pas pris en compte : une séance est entièrement décrite par l'ensemble des quatre films qu'elle projette.

La répartition est tirée au sort : toutes les répartitions possibles ont la même probabilité. On note $\mathrm{\Omega }$ l'ensemble des répartitions possibles. Parmi les $12$ films retenus, exactement $3$ sont des documentaires ; les $9$ autres sont des fictions.

1. Justifier que $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{\Omega })=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{12}{4}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{4}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{4}\right)$, puis calculer ce nombre. (0,5 point)

2. Deux films sont désignés à l'avance, appelés $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$. Démontrer que la probabilité qu'ils soient projetés dans la même séance vaut ${\displaystyle \frac{3}{11}}$. (0,75 point)

3. Calculer la probabilité que les trois documentaires soient projetés dans la même séance. (0,5 point)

4. Calculer la probabilité que les trois documentaires soient projetés dans trois séances différentes. En déduire, sans nouveau dénombrement, la probabilité qu'exactement deux des trois documentaires soient projetés dans la même séance. (0,75 point)

Une agence régionale du tourisme labellise les hébergements de son territoire. Un hébergement obtient le label s'il satisfait trois critères, examinés séparément : l'accessibilité aux personnes à mobilité réduite, la performance énergétique, la sécurité incendie.

Sur l'ensemble des hébergements du territoire, l'agence a mesuré les fréquences suivantes : $92\mathrm{\%}$ satisfont le critère d'accessibilité, $85\mathrm{\%}$ le critère de performance énergétique, $88\mathrm{\%}$ le critère de sécurité incendie. On choisit un hébergement au hasard, tous ayant la même probabilité d'être choisi, et l'on note $A$, $E$ et $S$ les événements correspondant respectivement aux trois critères. Ainsi

$$P(A)=\mathrm{0,92},P(E)=\mathrm{0,85},P(S)=\mathrm{0,88.}$$

L'agence ne dispose d'aucune information sur la façon dont les trois critères se croisent.

1. Soient $B_1$ et $B_2$ deux événements quelconques d'un même espace probabilisé fini. Démontrer que

$$P(B_1\cap B_2)⩾P(B_1)+P(B_2)-1.$$

(0,5 point)

2. Soient $B_1$, $B_2$ et $B_3$ trois événements quelconques d'un même espace probabilisé fini. Démontrer que

$$P(B_1\cap B_2\cap B_3)⩾P(B_1)+P(B_2)+P(B_3)-2.$$

On pourra soit appliquer deux fois la question 1, soit passer aux événements contraires. (0,75 point)

3. En déduire une minoration de la proportion d'hébergements du territoire qui obtiennent le label. (0,5 point)

4. Dans cette question, et dans cette question seulement, on suppose que le territoire compte exactement $200$ hébergements, numérotés de $1$ à $200$, et que les hébergements qui échouent à l'accessibilité sont ceux numérotés de $1$ à $16$, que ceux qui échouent à la performance énergétique sont ceux numérotés de $17$ à $46$, et que ceux qui échouent à la sécurité incendie sont ceux numérotés de $47$ à $70$.

Vérifier que cette répartition est compatible avec les trois fréquences de l'énoncé, calculer la proportion d'hébergements labellisés qu'elle donne, et en déduire ce que l'on peut dire de la minoration obtenue à la question 3. (0,5 point)

5. On suppose dans cette question, et dans cette question seulement, que les trois événements $A$, $E$ et $S$ sont mutuellement indépendants.

a. Calculer la probabilité qu'un hébergement obtienne le label et la comparer à la minoration de la question 3. (0,25 point)

b. Calculer la probabilité qu'un hébergement satisfasse exactement deux des trois critères. (0,5 point)

Un apiculteur surveille une maladie qui touche ses ruches. On admet que chaque ruche est atteinte, indépendamment des autres, avec la probabilité $p=\mathrm{0,1}$.

Pour limiter le coût des analyses, il pratique le groupage : il prélève un échantillon dans chacune des deux ruches, mélange les deux prélèvements, et fait analyser le mélange. Toutes les analyses sont exactes : celle d'un mélange est positive si et seulement si au moins l'une des deux ruches concernées est atteinte, et celle d'une ruche seule est positive si et seulement si cette ruche est atteinte.

Pour $i\in \{1,2\}$, on note $R_i$ l'événement « la ruche $i$ est atteinte », et $G$ l'événement « l'analyse du mélange est positive ». Le tableau suivant donne la probabilité de chacune des quatre situations possibles ; il pourra être utilisé dans toute la suite, même si la question 1 n'a pas été traitée :

1. Retrouver les quatre probabilités de ce tableau, en précisant l'hypothèse utilisée, et contrôler que leur somme vaut $1$. Exprimer $G$ à l'aide de $R_1$ et $R_2$. (0,5 point)

2. Calculer $P(G)$, puis $P_G(R_2)$. Comparer $P_G(R_2)$ à $P(R_2)$ et interpréter. (0,75 point)

3. Calculer $P_G(R_1\cap R_2)$, puis reprendre le calcul avec une probabilité $p$ quelconque dans $]0,1[$ et démontrer que

$$P_G(R_1\cap R_2)=\frac{p}{2-p}\mathrm{.}$$

(0,75 point)

4. On revient dans cette question à $p=\mathrm{0,1}$. L'apiculteur fait analyser la ruche $1$ seule, et l'analyse est positive. Que vaut alors la probabilité que la ruche $2$ soit atteinte ? Comparer avec la réponse de la question 2 et expliquer, en une phrase, pourquoi les deux situations ne donnent pas le même nombre. (0,5 point)

5. Démontrer que, pour tout $p$ de $]0,1[$, les événements $R_1$ et $R_2$ ne sont pas indépendants pour la probabilité conditionnelle $P_G$. Commenter. (0,5 point)

Une maison d'édition confie chaque manuscrit qu'elle reçoit à un comité de trois lecteurs. Un manuscrit est, dans l'absolu, soit publiable, soit non publiable ; chaque lecteur rend un avis favorable ou défavorable, et le comité tranche à la majorité des trois avis.

On dit qu'un avis est conforme lorsqu'il coïncide avec la valeur réelle du manuscrit, et que la décision du comité est conforme lorsque la majorité des trois avis l'est. Pour $i\in \{1,2,3\}$, on note $J_i$ l'événement « l'avis du lecteur $i$ est conforme », et $M$ l'événement « la décision du comité est conforme ».

La partie B s'appuie dès sa première question sur le résultat de la question A.1 ; la partie C réutilise les résultats des questions A.1 et A.2.

Partie A — Trois lecteurs de même compétence

Dans cette partie, on suppose que les trois avis sont mutuellement indépendants et que chaque lecteur rend un avis conforme avec la même probabilité $p\in ]0,1[$ :

$$P(J_1)=P(J_2)=P(J_3)=p\mathrm{.}$$

A.1. Justifier que la famille $(\overline{J_1},J_2,J_3)$ est mutuellement indépendante, puis démontrer que

$$P(M)=p^3+3p^2(1-p),$$

en justifiant le coefficient $3$ à l'aide d'un coefficient binomial. En déduire que $P(M)=3p^2-2p^3$. (1 point)

A.2. Factoriser $P(M)-p$ et étudier son signe sur $]0,1[$. Conclure : à quelle condition sur $p$ le comité décide-t-il mieux qu'un lecteur seul ? Illustrer par les deux valeurs $p=\mathrm{0,7}$ et $p=\mathrm{0,4}$. (1 point)

Partie B — Trois lecteurs de compétences différentes

Dans cette partie, les trois avis sont toujours mutuellement indépendants, mais les compétences diffèrent : pour $i\in \{1,2,3\}$, on pose $P(J_i)=p_i$, avec $p_i\in ]0,1[$.

B.1. Démontrer que

$$P(M)=p_1{p}_2+p_1{p}_3+p_2{p}_3-2p_1{p}_2{p}_3\mathrm{.}$$

Vérifier que cette formule redonne celle de la question A.1 lorsque $p_1=p_2=p_3=p$. (1,25 point)

B.2. La maison d'édition dispose d'un excellent lecteur, de compétence $p_1=\mathrm{0,9}$, et lui adjoint deux lecteurs de compétence $\mathrm{0,6}$. Calculer $P(M)$, comparer à $p_1$ et commenter. (0,5 point)

B.3. On suppose désormais $p_2=p_3=q$, avec $q\in ]0,1[$, et l'on garde $p_1$ quelconque dans $]0,1[$. Démontrer que

$$P(M)>p_1\text{si et seulement si}{p}_1<\frac{q^2}{q^2+(1-q{)}^2}\mathrm{.}$$

Calculer ce seuil pour $q=\mathrm{0,6}$, vérifier qu'il est cohérent avec la question B.2, et interpréter. (1,5 point)

Partie C — Quand les lecteurs se parlent

On revient à trois lecteurs de même compétence $p\in ]0,1[$, mais on abandonne l'hypothèse d'indépendance. Avant de lire, les trois lecteurs assistent à une réunion éditoriale. On note $L$ l'événement « la réunion impose une ligne commune », et l'on suppose $P(L)=\alpha$, avec $\alpha \in ]0,1[$. Le modèle est le suivant :

• si $L$ est réalisé, les trois lecteurs rendent le même avis, conforme avec la probabilité $p$ ;
• si $L$ n'est pas réalisé, les trois lecteurs se comportent comme dans la partie A : leurs avis sont mutuellement indépendants et chacun est conforme avec la probabilité $p$.

On pose $f(\alpha )=P(M)$.

C.1. Justifier que $(L,\bar{L})$ est un système complet d'événements, puis que le conditionnement par $L$ et par $\bar{L}$ est licite. Démontrer alors que

$$f(\alpha )=\alpha p+(1-\alpha )(3p^2-2p^3)\mathrm{.}$$

(1,25 point)

C.2. Montrer que $f$ est une fonction affine de $\alpha$, et déterminer le signe de son coefficient directeur selon la position de $p$ par rapport à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Que conclure sur l'intérêt de la réunion éditoriale ? (0,75 point)

C.3. Calculer $P(J_1)$, puis $P(J_1\cap J_2\cap J_3)$, en fonction de $p$ et de $\alpha$. En déduire que les trois avis ne sont pas mutuellement indépendants. (0,75 point)