Exercices — Fonctions numériques de deux variables réelles

Un atelier fabrique deux produits. On note $x$ le nombre de tonnes du produit A et $y$ le nombre de tonnes du produit B fabriquées en un mois. Le coût total de production, exprimé en euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$C(x,y)=2x^2+xy+3y^2+50x+40y+600$$

1. Calculer $C(0,0)$, $C(10,0)$, $C(0,10)$ et $C(10,10)$. Interpréter la valeur de $C(0,0)$ dans le contexte de l'atelier.

2. Comparer $C(10,10)$ et $C(10,0)+C(0,10)-C(0,0)$. Quel terme de l'expression de $C$ explique l'écart obtenu ?

3. Justifier que $C$ est une fonction polynomiale de deux variables et préciser son degré.

4. Écrire les deux fonctions partielles de $C$ au point $(10,10)$, notées ${\phi }_1$ et ${\phi }_2$, et vérifier qu'elles prennent toutes les deux la valeur $C(10,10)$ en $10$.

5. Étudier les variations de ${\phi }_1$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et interpréter le résultat obtenu.

6. Déterminer les réels $x⩾0$ tels que $C(x,0)=1300$.

7. La surface représentative de $C$ est l'ensemble des points de l'espace de coordonnées $(x,y,C(x,y))$ avec $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$. Les points $M(10,10,2100)$ et $N(5,5,1000)$ appartiennent-ils à cette surface ?

On rappelle que la distance euclidienne entre deux points $(x,y)$ et $(x_0,y_0)$ de ${\mathbb{R}}^2$ est

$$d((x,y),(x_0,y_0))=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}$$

On considère les points $A(1,2)$, $B(4,6)$ et $C(-3,-1)$ de ${\mathbb{R}}^2$.

1. Calculer $d(A,B)$, $d(A,C)$ et $d(B,C)$ en donnant des valeurs exactes. Que peut-on dire du triangle $ABC$ ?

2. On note $\mathrm{\Omega }$ le point de coordonnées $(1,2)$ et

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;d((x,y),(1,2))<3\}$$

le disque ouvert de centre $\mathrm{\Omega }$ et de rayon $3$ (on admet que $D$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$). Déterminer lesquels des points $M(3,3)$, $N(4,6)$, $P(-1,0)$ et $Q(1,5)$ appartiennent à $D$.

3. Montrer que pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩽d((x,y),(0,0))\text{et}\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }⩽d((x,y),(0,0))$$

4. Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $f(x,y)=2x+3y$. En revenant à la définition de la continuité en un point, montrer que $f$ est continue en $(0,0)$.

5. Justifier, en citant les opérations utilisées, que les trois fonctions suivantes sont continues sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier.

$$g_1(x,y)=3x^{2}y-5xy+y^3+7,g_2(x,y)={\displaystyle \frac{x-y}{x^2+y^2+1}},g_3(x,y)=e^{x^2-3xy}$$

6. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant.

a. Toute fonction polynomiale de deux variables est continue sur ${\mathbb{R}}^2$.

b. Toute fonction continue sur ${\mathbb{R}}^2$ est une fonction polynomiale de deux variables.

Pour une fonction $u$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ et un réel $k$, on appelle ligne de niveau $k$ de $u$ l'ensemble

$${\mathcal{L}}_k(u)=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;u(x,y)=k\}$$

On considère les trois fonctions définies sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=2x+3y,g(x,y)=x^2+y^2,h(x,y)=x^2+4y^2$$

1. Déterminer ${\mathcal{L}}_k(f)$ pour un réel $k$ quelconque et décrire l'ensemble obtenu. Expliciter les cas $k=0$ et $k=6$ en donnant deux points de chacune de ces deux lignes. Existe-t-il des niveaux $k$ pour lesquels la ligne de niveau de $f$ est vide ?

2. Soient $k_1$ et $k_2$ deux réels distincts. Montrer que ${\mathcal{L}}_{k_1}(f)$ et ${\mathcal{L}}_{k_2}(f)$ sont deux droites parallèles sans point commun.

3. Décrire ${\mathcal{L}}_k(g)$ en discutant selon le signe de $k$. Préciser l'ensemble obtenu pour $k=1$, $k=4$ et $k=9$.

4. Déterminer la ligne de niveau de $g$ qui contient le point $A(3,4)$, puis la décrire.

5. Décrire ${\mathcal{L}}_k(h)$ en discutant selon le signe de $k$. Pour $k=4$, donner les quatre points de la ligne de niveau situés sur les axes.

6. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant.

a. La ligne de niveau $-1$ de $h$ est l'ensemble vide.

b. Les lignes de niveau de $h$ associées à un niveau $k>0$ sont des cercles de centre l'origine.

Toutes les fonctions de cet exercice sont définies sur ${\mathbb{R}}^2$.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)$ en tout point $(x,y)$ de ${\mathbb{R}}^2$.

2. Justifier que $f_3$, $f_5$ et $f_6$ sont de classe $C^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

3. Calculer ${\mathrm{\partial }}_1{f}_2(1,1)$, ${\mathrm{\partial }}_2{f}_2(1,1)$, ${\mathrm{\partial }}_1{f}_4(2,0)$ et ${\mathrm{\partial }}_2{f}_4(2,0)$.

4. Déterminer les points de ${\mathbb{R}}^2$ en lesquels les deux dérivées partielles de $f_5$ s'annulent simultanément. Faire de même pour $f_6$.

5. Montrer que pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$x{\mathrm{\partial }}_1{f}_6(x,y)+y{\mathrm{\partial }}_2{f}_6(x,y)={\displaystyle \frac{x^2+y^2}{\sqrt{1+x^2+y^2}}}$$

En déduire le signe de cette quantité et les points où elle s'annule.

On considère les deux fonctions définies sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2+xy+y^2-9x-12y+5\text{et}g(x,y)=(x+y)e^{x-y}$$

1. Justifier que $f$ est de classe $C^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)$.

2. Écrire $\mathrm{\nabla }f(x,y)$ sous forme de matrice colonne, puis calculer $\mathrm{\nabla }f(0,0)$, $\mathrm{\nabla }f(1,1)$ et $\mathrm{\nabla }f(3,4)$.

3. Résoudre l'équation $\mathrm{\nabla }f(x,y)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ d'inconnue $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$.

4. Calculer $\mathrm{\nabla }g(x,y)$ en tout point de ${\mathbb{R}}^2$, puis $\mathrm{\nabla }g(0,0)$ et $\mathrm{\nabla }g(1,1)$.

5. Montrer qu'il n'existe aucun point de ${\mathbb{R}}^2$ en lequel le gradient de $g$ est nul.

On rappelle les notations du cours : pour une fonction $u$ admettant des dérivées partielles d'ordre $2$,

$${\mathrm{\partial }}_{1,1}^{2}u={\mathrm{\partial }}_1\left({\mathrm{\partial }}_{1}u\right),{\mathrm{\partial }}_{1,2}^{2}u={\mathrm{\partial }}_1\left({\mathrm{\partial }}_{2}u\right),{\mathrm{\partial }}_{2,1}^{2}u={\mathrm{\partial }}_2\left({\mathrm{\partial }}_{1}u\right),{\mathrm{\partial }}_{2,2}^{2}u={\mathrm{\partial }}_2\left({\mathrm{\partial }}_{2}u\right)$$

Dans ${\mathrm{\partial }}_{i,j}^{2}u$, l'indice de droite indique la variable par rapport à laquelle on dérive en premier.

On considère les deux fonctions définies sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^3+3x^{2}y-4x{y}^2+2y^3-7x+y\text{et}g(x,y)=(x+y)e^{2x}$$

1. Justifier que $f$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)$.

2. Calculer les quatre dérivées partielles d'ordre $2$ de $f$ et vérifier explicitement l'égalité annoncée par le théorème de Schwarz.

3. Justifier que $g$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}g(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}g(x,y)$.

4. Calculer les quatre dérivées partielles d'ordre $2$ de $g$ et vérifier de nouveau l'égalité de Schwarz.

5. Donner les valeurs de ${\mathrm{\partial }}_{1,1}^{2}f(1,1)$, ${\mathrm{\partial }}_{1,2}^{2}f(1,1)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2,2}^{2}f(1,1)$, puis celles de ${\mathrm{\partial }}_{1,1}^{2}g(0,0)$, ${\mathrm{\partial }}_{1,2}^{2}g(0,0)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2,2}^{2}g(0,0)$.

6. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant.

a. Si $u$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, alors ${\mathrm{\partial }}_{1,2}^{2}u={\mathrm{\partial }}_{2,1}^{2}u$.

b. Si $u$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, alors ${\mathrm{\partial }}_{1,1}^{2}u={\mathrm{\partial }}_{2,2}^{2}u$.

On rappelle que pour une fonction $u$ de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, la matrice hessienne de $u$ au point $(x,y)$ est

$${\mathrm{\nabla }}^{2}u(x,y)=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\partial }}_{1,1}^{2}u(x,y)& {\mathrm{\partial }}_{1,2}^{2}u(x,y)\\ {\mathrm{\partial }}_{2,1}^{2}u(x,y)& {\mathrm{\partial }}_{2,2}^{2}u(x,y)\end{array}\right)$$

On considère les trois fonctions définies sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=2x^2+3xy+5y^2-x+4y-1,g(x,y)=x^3-3x{y}^2+y^4,h(x,y)=e^{x+y}+x^{2}y$$

1. Calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)$, puis écrire ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$. Que constate-t-on, et comment l'expliquer sans nouveau calcul ?

2. Écrire ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(x,y)$ en tout point, puis ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(1,1)$ et ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(2,0)$.

3. Écrire ${\mathrm{\nabla }}^{2}h(x,y)$ en tout point, puis ${\mathrm{\nabla }}^{2}h(0,0)$ et ${\mathrm{\nabla }}^{2}h(1,-1)$.

4. Vérifier que les trois matrices hessiennes obtenues sont symétriques et nommer le théorème qui garantit ce résultat.

5. Déterminer l'ensemble des points $(x,y)$ de ${\mathbb{R}}^2$ en lesquels ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(x,y)$ est une matrice diagonale.

On rappelle qu'un point $(a,b)$ de ${\mathbb{R}}^2$ est un point critique d'une fonction $u$ de classe $C^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ lorsque

$$\mathrm{\nabla }u(a,b)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$

Toutes les fonctions de cet exercice sont définies sur ${\mathbb{R}}^2$.

1. Déterminer les points critiques de $f(x,y)=x^2+y^2-4x+6y+3$.

2. Déterminer les points critiques de $g(x,y)=2x^2+y^2+2xy-6x-4y+1$.

3. Une entreprise vend deux produits en quantités $x$ et $y$, exprimées en centaines d'unités. Son profit mensuel, en milliers d'euros, est modélisé par

$$P(x,y)=-x^2-2y^2+2xy+10x+4y$$

Déterminer les points critiques de $P$ et calculer la valeur du profit en ce ou ces points.

4. Déterminer les points critiques de $k(x,y)=x^2+2xy+y^2-4x-4y$ et décrire géométriquement l'ensemble obtenu.

5. Montrer que la fonction $u(x,y)=e^x+y^2+x$ n'admet aucun point critique.

6. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant.

a. Si une fonction de classe $C^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ admet un extremum local en un point, alors ce point est un point critique.

b. Tout point critique d'une fonction de classe $C^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ est un extremum local de cette fonction.

On rappelle la condition suffisante d'ordre $2$. Soit $u$ une fonction de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et $(a,b)$ un point critique de $u$. On considère les valeurs propres de ${\mathrm{\nabla }}^{2}u(a,b)$.

Si elles sont toutes strictement positives, $u$ admet un minimum local en $(a,b)$. Si elles sont toutes strictement négatives, $u$ admet un maximum local en $(a,b)$. Si elles sont non nulles et de signes opposés, $u$ n'admet pas d'extremum en $(a,b)$, qui est alors appelé point col.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels et $H=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$. Montrer, en étudiant le système $(H-\lambda I_2)X=0$, que les valeurs propres de $H$ sont exactement $a$ et $b$.

Dans les trois questions suivantes, les fonctions sont définies sur ${\mathbb{R}}^2$. On demande à chaque fois de déterminer les points critiques, d'écrire la hessienne en ces points, d'en donner les valeurs propres et de conclure quant à la nature du point critique.

2. $f(x,y)=x^2+3y^2-4x+6y+1$

3. $g(x,y)=-2x^2-5y^2+12x+20y-7$

4. $h(x,y)=x^2-4y^2-6x+8y+5$. On confirmera la conclusion en étudiant les deux fonctions partielles au point critique.

5. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant.

a. Si les deux valeurs propres de la hessienne en un point critique sont strictement positives, la fonction admet un minimum local en ce point.

b. Si une fonction de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ admet un minimum local en un point critique, alors les deux valeurs propres de sa hessienne en ce point sont strictement positives.

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=(x-2y)e^{x+y}\text{et}g(x,y)=\ln (4+x^2+y^2)$$

1. Justifier que $f$ est de classe $C^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$.

2. Calculer $\mathrm{\nabla }f(0,0)$, puis $\mathrm{\nabla }f(1,-1)$.

3. Déterminer l'ensemble des points $(x,y)$ de ${\mathbb{R}}^2$ en lesquels ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)=0$, et reconnaître cet ensemble.

4. Montrer que le vecteur $\mathrm{\nabla }f(x,y)$ n'est le vecteur nul en aucun point de ${\mathbb{R}}^2$. Qu'en déduit-on quant aux extremums locaux de $f$ ?

5. Justifier que $g$ est de classe $C^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}g(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}g(x,y)$.

6. Calculer $\mathrm{\nabla }g(1,2)$, puis $\mathrm{\nabla }g(-2,0)$.

7. Déterminer les points de ${\mathbb{R}}^2$ en lesquels le gradient de $g$ est nul, puis montrer que $g$ admet en un tel point un minimum global sur ${\mathbb{R}}^2$.

On rappelle que la distance euclidienne entre deux points de ${\mathbb{R}}^2$ est

$$d((x,y),(a,b))=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$$

et qu'une fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ est continue en $(a,b)$ lorsque, pour tout réel $\epsilon >0$, il existe un réel $r>0$ tel que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$d((x,y),(a,b))⩽r⟹\mid f(x,y)-f(a,b)\mid ⩽\epsilon$$

Pour une fonction $\phi$ d'une seule variable, la définition correspondante s'écrit : $\phi$ est continue en $a$ lorsque, pour tout $\epsilon >0$, il existe $r>0$ tel que $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽r⟹\mathrm{\mid }\phi (x)-\phi (a)\mathrm{\mid }⩽\epsilon$.

1. Justifier que chacune des quatre fonctions suivantes, définies sur ${\mathbb{R}}^2$, est continue sur ${\mathbb{R}}^2$. On attend à chaque fois une rédaction complète : nature des fonctions de départ, théorème invoqué, vérification de ses hypothèses.

2. Justifier de même que la fonction $f_5$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $f_5(x,y)=\ln (1+e^{x-y})$ est continue sur ${\mathbb{R}}^2$.

3. Soit $u$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$. Montrer que la fonction $F$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $F(x,y)=u(x+y)$ est continue sur ${\mathbb{R}}^2$. Appliquer ce résultat à la fonction $(x,y)\mapsto {\displaystyle \frac{x+y}{1+(x+y{)}^2}}$.

4. Soit $f$ une fonction continue sur ${\mathbb{R}}^2$ et $b$ un réel fixé. On note $\phi$ la fonction partielle définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi (x)=f(x,b)$. En revenant aux définitions rappelées ci-dessus, montrer que $\phi$ est continue sur $\mathbb{R}$.

5. Expliciter la fonction partielle $x\mapsto f_2(x,1)$ et la fonction partielle $y\mapsto f_4(2,y)$. Justifier leur continuité sur $\mathbb{R}$ de deux façons : par la question 4., puis directement. Déterminer enfin la limite de $x\mapsto f_2(x,1)$ en $+\mathrm{\infty }$.

6. En déduire que la fonction $G$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $G(x,y)={\displaystyle \frac{e^{x^2-xy+2y}}{\sqrt{1+x^2{y}^2}}}$ est continue sur ${\mathbb{R}}^2$.

Une entreprise utilise deux facteurs de production : le capital, en quantité $K>0$, et le travail, en quantité $L>0$. Sa production est modélisée par la fonction de Cobb-Douglas

$$Q(K,L)=\sqrt{KL}$$

définie sur $O={]0,+\mathrm{\infty }[}^2$ (on admet que $O$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$). Pour un réel $q>0$, l'isoquante de niveau $q$ est la ligne de niveau

$${\mathcal{I}}_q=\{(K,L)\in O;Q(K,L)=q\}$$

c'est-à-dire l'ensemble des combinaisons de facteurs qui produisent exactement $q$ unités. La figure ci-dessous représente les isoquantes de niveaux $q=1$, $q=2$, $q=3$ et $q=4$, le capital $K$ étant porté en abscisse et le travail $L$ en ordonnée. La fenêtre représentée est $]0,6]\times ]0,6]$ et les deux axes sont gradués de $1$ en $1$.

1. Calculer les productions suivantes.

2. Sur la figure, identifier l'isoquante qui passe par le point $E(4,1)$. Lire sur cette isoquante deux autres combinaisons de facteurs dont les deux coordonnées sont des entiers.

3. Comparer graphiquement les productions obtenues aux points $A(1,4)$ et $B(3,3)$, puis confirmer par le calcul.

4. Soit $q>0$. Montrer que ${\mathcal{I}}_q$ est la courbe d'équation $L={\displaystyle \frac{q^2}{K}}$ pour $K>0$. Étudier le sens de variation de la fonction $K\mapsto {\displaystyle \frac{q^2}{K}}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et interpréter économiquement.

5. L'entreprise produit $2$ unités avec la combinaison $E(4,1)$. Elle doit ramener son capital de $4$ à $1$. De combien d'unités doit-elle augmenter le travail pour maintenir sa production ?

6. L'isoquante de niveau $q=5$, qui n'est pas tracée, rencontre-t-elle la fenêtre $]0,6]\times ]0,6]$ ? Déterminer, plus généralement, les niveaux $q>0$ dont l'isoquante possède au moins un point dans cette fenêtre.

7. Soit $(K,L)\in O$. Comparer $Q(2K,2L)$ et $Q(K,L)$, puis $Q(tK,tL)$ et $Q(K,L)$ pour un réel $t>0$ quelconque. Comment nomme-t-on cette propriété en économie ?

On rappelle la méthode d'étude d'un point critique $A$ d'une fonction $f$ de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ : on calcule les valeurs propres de la matrice hessienne $H={\mathrm{\nabla }}^{2}f(A)$, puis on conclut selon leurs signes. Si elles sont toutes strictement positives, $f$ admet un minimum local en $A$ ; si elles sont toutes strictement négatives, $f$ admet un maximum local en $A$ ; si elles sont non nulles et de signes opposés, $A$ est un point col.

On rappelle également qu'un réel $\lambda$ est valeur propre d'une matrice carrée $H$ d'ordre $2$ lorsque le système $(H-\lambda I_2)X=0$ admet une solution $X$ non nulle.

Dans les questions 1. et 2., on considère les deux matrices

$$H_1=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 5\end{array}\right)\text{et}{H}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\right)$$

1. Déterminer les valeurs propres de $H_1$ en rédigeant la chaîne d'équivalences complète. On suppose que $H_1$ est la matrice hessienne d'une fonction $g$ de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ en un point critique $A_1$ : préciser la nature de ce point critique.

2. Mêmes questions avec la matrice $H_2$, hessienne en un point critique $A_2$ d'une fonction $h$ de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

Dans les questions 3. et 4., on considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=6xy-x^{2}y-x{y}^2$$

3. Justifier que $f$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis vérifier que le point $(2,2)$ est un point critique de $f$.

4. Calculer les quatre dérivées partielles d'ordre $2$ de $f$, écrire la matrice hessienne ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(2,2)$ et justifier sa symétrie. Déterminer ses valeurs propres, puis la nature du point critique $(2,2)$.

5. On considère enfin la matrice $H_3=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$, hessienne d'une fonction de classe $C^2$ en un point critique $A_3$. Déterminer ses valeurs propres. Que peut-on conclure quant à la nature de $A_3$ ?

6. Vérifier, pour chacune des quatre matrices précédentes, que le produit des deux valeurs propres est égal au déterminant de la matrice. Démontrer ce résultat pour une matrice symétrique quelconque $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& d\end{array}\right)$, et en déduire un critère rapide permettant de reconnaître un point col.

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x-3y$$

1. Justifier que $f$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)$.

2. Déterminer les points critiques de $f$ et montrer qu'il y en a exactement un, noté $A$. Calculer $f(A)$.

3. Calculer les quatre dérivées partielles d'ordre $2$ de $f$ et écrire la matrice hessienne ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$. Que remarque-t-on ?

4. Déterminer les valeurs propres de cette matrice hessienne, puis la nature du point critique $A$.

5. Montrer que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$f(x,y)-f(A)=(x-1{)}^2+(x-1)(y-1)+(y-1{)}^2$$

6. On pose $u=x-1$ et $v=y-1$. Écrire $u^2+uv+v^2$ sous la forme d'une somme de deux carrés, puis en déduire que $f$ admet en $A$ un minimum global sur ${\mathbb{R}}^2$, atteint en ce seul point.

7. La fonction $f$ admet-elle un maximum global sur ${\mathbb{R}}^2$ ? Admet-elle un maximum local ?

Partie A. On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=3x^2+3xy-y^2-12x+y$$

1. Justifier que $f$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$, puis montrer que $f$ admet un unique point critique, noté $A$. Calculer $f(A)$.

2. Écrire la matrice hessienne de $f$, déterminer ses valeurs propres et en déduire la nature du point critique $A$.

3. On note $\phi$ et $\psi$ les deux fonctions partielles de $f$ au point $A$, définies sur $\mathbb{R}$ par $\phi (x)=f(x,2)$ et $\psi (y)=f(1,y)$. Montrer que

$$\phi (x)-f(A)=3(x-1{)}^2\text{et}\psi (y)-f(A)=-(y-2{)}^2$$

Retrouver ainsi, sans utiliser la hessienne, la nature du point $A$.

Partie B. On considère la fonction $g$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$g(x,y)=e^{x^2-y^2}$$

4. Justifier que $g$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, calculer $\mathrm{\nabla }g(x,y)$ et montrer que $g$ admet un unique point critique, l'origine $O(0,0)$.

5. Calculer les quatre dérivées partielles d'ordre $2$ de $g$, écrire ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(0,0)$, déterminer ses valeurs propres et conclure sur la nature de $O$.

6. Étudier les deux fonctions partielles $x\mapsto g(x,0)$ et $y\mapsto g(0,y)$, et confirmer la conclusion de la question 5.

7. La fonction $g$ admet-elle un extremum global sur ${\mathbb{R}}^2$ ?

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2+4y^2$$

et, pour un réel $k$, sa ligne de niveau ${\mathcal{L}}_k=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;f(x,y)=k\}$.

La figure ci-dessous représente les lignes de niveau $k=4$, $k=8$ et $k=16$, ainsi que le vecteur $\mathrm{\nabla }f(2,1)$ tracé à partir du point $A(2,1)$. Pour que la flèche reste lisible, ce vecteur est représenté à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ : la flèche dessinée a donc pour composantes le quart de celles du gradient.

1. Justifier que $f$ est de classe $C^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$ en tout point.

2. Calculer $f(2,1)$. Sur laquelle des trois lignes de niveau tracées le point $A$ se trouve-t-il ?

3. Calculer $\mathrm{\nabla }f(2,1)$. Vérifier que l'extrémité de la flèche tracée sur la figure est le point de coordonnées $(3,3)$.

4. On note $M(\mathrm{2,4};\mathrm{1,8})$ et $N(\mathrm{1,6};\mathrm{0,2})$ les deux points obtenus en se déplaçant depuis $A$ d'un dixième du vecteur $\mathrm{\nabla }f(2,1)$, dans un sens puis dans l'autre. Calculer $f(M)$ et $f(N)$, puis les comparer à $f(A)$. Dans quel sens la fonction $f$ croît-elle ?

5. Déterminer les points de la ligne de niveau ${\mathcal{L}}_4$ situés sur les axes de coordonnées. Les repérer sur la figure.

6. Soit $k>0$. Déterminer, en fonction de $k$, les points de ${\mathcal{L}}_k$ situés sur les axes. Appliquer au cas $k=16$ et contrôler sur la figure.

7. Déterminer les points de ${\mathbb{R}}^2$ en lesquels $\mathrm{\nabla }f$ est le vecteur nul. Montrer que $f$ y admet un minimum global. Que peut-on dire de ${\mathcal{L}}_0$, puis de ${\mathcal{L}}_k$ lorsque $k<0$ ?

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=2x^2+4xy+5y^2-4x+2y+9$$

1. Justifier que $f$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$, puis montrer que $f$ admet un unique point critique, noté $A$. Calculer $f(A)$.

2. Écrire la matrice hessienne de $f$, déterminer ses valeurs propres et préciser ce que la condition suffisante d'ordre $2$ permet de conclure.

3. Montrer que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$f(x,y)=2(x+y-1{)}^2+3(y+1{)}^2+4$$

On mènera le calcul en regroupant d'abord tous les termes contenant $x$.

4. En déduire que $f$ admet un minimum global sur ${\mathbb{R}}^2$ et que ce minimum est atteint en un seul point, que l'on identifiera.

5. Qu'apporte la forme canonique de la question 3. que la condition d'ordre $2$ de la question 2. ne donnait pas ?

6. La fonction $f$ admet-elle un maximum global sur ${\mathbb{R}}^2$ ?

7. Soit $m$ un réel. Discuter, selon la valeur de $m$, du nombre de solutions de l'équation $f(x,y)=m$ dans le cas $m⩽4$.

Une entreprise fabrique deux biens A et B sur une même chaîne de production. Lorsqu'elle produit $x$ unités du bien A et $y$ unités du bien B, son coût total de production, exprimé en euros, est modélisé par

$$C(x,y)=3x^2+4xy+3y^2-80x-70y+1000$$

La fonction $C$ est définie sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier ; seules les productions vérifiant $x⩾0$ et $y⩾0$ ont évidemment un sens économique. Le terme croisé $4xy$ traduit le fait que les deux fabrications se gênent mutuellement sur la chaîne.

1. Justifier que $C$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}C(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}C(x,y)$. Interpréter économiquement ces deux quantités.

2. L'entreprise produit actuellement $5$ unités de chaque bien. Calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}C(5,5)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}C(5,5)$, puis interpréter leurs signes. Calculer enfin $C(5,5)$ et $C(6,5)$, et comparer la différence obtenue à ${\mathrm{\partial }}_{1}C(5,5)$.

3. Déterminer les points critiques de $C$.

4. Écrire la matrice hessienne de $C$, déterminer ses valeurs propres et conclure sur la nature du point critique trouvé.

5. On pose $u=x-10$ et $v=y-5$. Montrer que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$C(x,y)-425=3u^2+4uv+3v^2=2(u+v{)}^2+u^2+v^2$$

En déduire que le minimum trouvé est global et atteint en un seul point.

6. Conclure : quel couple de production l'entreprise doit-elle choisir, et quel est alors son coût total ? Vérifier que la réponse a bien un sens économique.

7. Calculer les deux coûts marginaux au couple de production optimal. Rédiger en une phrase l'interprétation économique du résultat.

Une entreprise a relevé, pendant quatre mois consécutifs, sa dépense publicitaire $x$ (en milliers d'euros) et le nombre d'articles vendus $y$ (en centaines d'articles).

Ajuster ce nuage par une droite d'équation $y=ax+b$, c'est choisir le couple $(a,b)$ qui rend la plus petite possible la somme des carrés des écarts verticaux entre les points observés et la droite. On pose donc, pour tout $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$S(a,b)=\sum _{i=1}^4{(y_i-a{x}_i-b)}^2$$

1. Expliciter les quatre termes de $S(a,b)$, puis justifier que $S$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

2. Calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}S(a,b)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}S(a,b)$, la première variable étant $a$ et la seconde $b$.

3. Montrer que $(a,b)$ est un point critique de $S$ si et seulement si

$$\{\begin{array}{l}30a+10b=47\\ 10a+4b=16\end{array}$$

puis résoudre ce système. Ces deux équations sont appelées équations normales de l'ajustement.

4. Calculer la matrice hessienne ${\mathrm{\nabla }}^{2}S(a,b)$, déterminer ses valeurs propres, et en déduire la nature du point critique trouvé.

5. Vérifier que, pour tout $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$S(a,b)=4{(b+{\displaystyle \frac{5a-8}{2}})}^2+5{(a-{\displaystyle \frac{7}{5}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{5}}$$

En déduire que le minimum obtenu à la question précédente est global, et qu'il est atteint en un seul point.

6. Donner une équation de la droite d'ajustement obtenue, puis vérifier qu'elle passe par le point moyen $G(\bar{x},\bar{y})$ du nuage.

7. Estimer le nombre d'articles vendus pour une dépense publicitaire de $5$ milliers d'euros. Calculer enfin les quatre résidus $y_i-\widehat{a}{x}_i-\widehat{b}$, vérifier que leur somme est nulle et retrouver la valeur minimale de $S$.

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$$

1. Justifier que $f$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$.

2. Déterminer les points critiques de $f$.

3. Calculer les quatre dérivées partielles d'ordre $2$ de $f$ et écrire la matrice hessienne ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$.

4. Déterminer la nature du point critique $(0,0)$.

5. Retrouver directement le résultat de la question 4 en étudiant les signes de $f(t,t)$ et de $f(t,-t)$ pour $t$ réel proche de $0$.

6. Déterminer la nature du point critique $(1,1)$ et préciser la valeur de $f$ en ce point.

7. Montrer que $f$ n'admet ni maximum global ni minimum global sur ${\mathbb{R}}^2$. Le minimum local trouvé à la question 6 est-il global ?

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=xy{e}^{x+y}$$

On rappelle la convention de notation du cours : ${\mathrm{\partial }}_{1,2}^{2}f$ s'obtient en dérivant $f$ d'abord par rapport à la première variable, puis par rapport à la seconde, et ${\mathrm{\partial }}_{2,1}^{2}f$ dans l'ordre inverse.

1. Justifier que $f$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ en détaillant les opérations utilisées.

2. Calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)$, en donnant des expressions factorisées, puis écrire $\mathrm{\nabla }f(x,y)$.

3. Calculer les quatre dérivées partielles d'ordre $2$ de $f$, sous forme factorisée.

4. Vérifier sur ces expressions que le théorème de Schwarz est bien satisfait.

5. Écrire la matrice hessienne ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$, puis calculer ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(0,0)$ et ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(1,-1)$.

6. Déterminer l'ensemble des points $(x,y)$ de ${\mathbb{R}}^2$ en lesquels la matrice hessienne de $f$ est diagonale.

7. Calculer ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(-1,-1)$. Que remarque-t-on ?

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2+y^2-xy-x-y$$

et le carré

$$D=[0,2]\times [0,2]$$

On admet que $D$ est une partie fermée bornée de ${\mathbb{R}}^2$, que son intérieur est l'ouvert $]0,2[\times ]0,2[$, et que sa frontière est la réunion des quatre côtés du carré, dont les sommets sont $O(0,0)$, $A(2,0)$, $B(2,2)$ et $C(0,2)$.

1. Justifier que $f$ admet un maximum global et un minimum global sur $D$.

2. Déterminer les points critiques de $f$ sur ${\mathbb{R}}^2$, vérifier que l'unique point obtenu appartient à l'intérieur de $D$, et déterminer sa nature à l'aide de la matrice hessienne.

3. Étudier la restriction de $f$ au côté $[OA]$, c'est-à-dire la fonction $x\mapsto f(x,0)$ sur $[0,2]$.

4. Étudier de même la restriction de $f$ au côté $[CB]$, c'est-à-dire la fonction $x\mapsto f(x,2)$ sur $[0,2]$.

5. Étudier les restrictions de $f$ aux deux côtés verticaux $[OC]$ et $[AB]$.

6. Dresser la liste complète des valeurs candidates, puis conclure : préciser le maximum global et le minimum global de $f$ sur $D$, ainsi que les points où ils sont atteints.

7. Calculer $\mathrm{\nabla }f(2,0)$. Le gradient est-il nul au point où le maximum est atteint ? Expliquer pourquoi ce n'est pas contradictoire avec la condition nécessaire d'ordre $1$.

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^3+3x{y}^2-15x-12y$$

1. Justifier que $f$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$.

2. Montrer que $(x,y)$ est un point critique de $f$ si et seulement si $x^2+y^2=5$ et $xy=2$, puis déterminer les quatre points critiques de $f$.

3. Calculer les quatre dérivées partielles d'ordre $2$ de $f$ et écrire ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$.

4. Montrer que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, les valeurs propres de ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$ sont $6(x-y)$ et $6(x+y)$.

5. En déduire la nature de chacun des quatre points critiques.

6. Calculer la valeur de $f$ en chacun des deux points critiques qui sont des extrema locaux.

7. Montrer que $f$ n'admet aucun extremum global sur ${\mathbb{R}}^2$.

Soit $a$ un nombre réel. On considère la fonction $f_a$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f_a(x,y)=x^2+axy+y^2$$

L'objectif est de discuter, selon la valeur de $a$, la nature du point $(0,0)$.

1. Justifier que $f_a$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, calculer $\mathrm{\nabla }{f}_a(x,y)$, et vérifier que $(0,0)$ est un point critique de $f_a$ quelle que soit la valeur de $a$.

2. Déterminer, selon la valeur de $a$, l'ensemble des points critiques de $f_a$.

3. Calculer la matrice hessienne de $f_a$ et montrer que ses valeurs propres sont $2-a$ et $2+a$.

4. On suppose dans cette question que $-2<a<2$. Déterminer la nature de $(0,0)$, puis, en vérifiant que pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$

$$f_a(x,y)={(x+{\displaystyle \frac{a}{2}}y)}^2+(1-{\displaystyle \frac{a^2}{4}})y^2$$

montrer que l'extremum obtenu est global et qu'il est atteint en un seul point.

5. On suppose dans cette question que $a<-2$ ou $a>2$. Déterminer la nature de $(0,0)$, puis montrer que $f_a$ n'admet aucun extremum global sur ${\mathbb{R}}^2$. On pourra étudier $f_a(t,t)$ et $f_a(t,-t)$.

6. On suppose dans cette question que $a=2$, puis que $a=-2$. Montrer que la condition suffisante d'ordre $2$ ne permet pas de conclure, et déterminer directement la nature de $(0,0)$.

7. Récapituler la discussion dans un tableau.

On considère les trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2+y^4,g(x,y)=x^2+y^3,h(x,y)=x^2-y^4$$

1. Justifier que ces trois fonctions sont de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis montrer que $(0,0)$ est le seul point critique de chacune d'elles.

2. Calculer ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(0,0)$, ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(0,0)$ et ${\mathrm{\nabla }}^{2}h(0,0)$. Que constate-t-on ?

3. Déterminer les valeurs propres de cette matrice, et expliquer pourquoi la condition suffisante d'ordre $2$ ne permet de conclure dans aucun des trois cas.

4. Étudier le signe de $f(x,y)-f(0,0)$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et conclure quant à la nature de $(0,0)$ pour $f$.

5. Étudier le signe de $g(0,t)-g(0,0)$ pour $t$ réel et conclure quant à la nature de $(0,0)$ pour $g$.

6. Étudier les signes de $h(t,0)-h(0,0)$ et de $h(0,t)-h(0,0)$ pour $t$ réel et conclure quant à la nature de $(0,0)$ pour $h$.

7. Que retenir de ces trois exemples ? Les points critiques de $g$ et de $h$ sont-ils des points cols au sens du cours ?

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2+xy+y^2-x-y$$

et le triangle plein

$$T=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x⩾0,y⩾0\text{ et }x+y⩽2\}$$

On admet que $T$ est une partie fermée bornée de ${\mathbb{R}}^2$, que son intérieur est l'ouvert $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x>0,y>0\text{ et }x+y<2\}$, et que sa frontière est la réunion des trois côtés $[OA]$, $[OB]$ et $[AB]$, où $O(0,0)$, $A(2,0)$ et $B(0,2)$ sont les trois sommets.

1. Justifier que $f$ admet un maximum global et un minimum global sur $T$.

2. Déterminer les points critiques de $f$ sur ${\mathbb{R}}^2$, vérifier que l'unique point obtenu appartient à l'intérieur de $T$, déterminer sa nature à l'aide de la matrice hessienne et calculer la valeur de $f$ en ce point.

3. Étudier la restriction de $f$ au côté $[OA]$, c'est-à-dire la fonction $x\mapsto f(x,0)$ sur $[0,2]$.

4. Étudier la restriction de $f$ au côté $[OB]$.

5. Étudier la restriction de $f$ à l'hypoténuse $[AB]$, en remarquant qu'un point de ce segment s'écrit $(x,2-x)$ avec $x\in [0,2]$.

6. Calculer $f$ aux trois sommets, dresser la liste complète des valeurs candidates et conclure : préciser le maximum global et le minimum global de $f$ sur $T$, ainsi que les points où ils sont atteints.

7. Vérifier que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$f(x,y)={(x+{\displaystyle \frac{y-1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}{(y-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$

En déduire que le minimum obtenu sur $T$ est en fait le minimum global de $f$ sur ${\mathbb{R}}^2$. Le maximum obtenu sur $T$ est-il, lui aussi, un maximum global sur ${\mathbb{R}}^2$ ?

Une entreprise fabrique et vend deux produits. Elle fixe librement leurs prix de vente unitaires $p_1$ et $p_2$, exprimés en euros. Une étude de marché conduit au modèle suivant, où les quantités vendues $q_1$ et $q_2$ sont exprimées en milliers d'articles :

$$q_1(p_1,p_2)=36-2p_1+2p_2\text{et}{q}_2(p_1,p_2)=60+2p_1-5p_2$$

Le coût de production d'un article du premier produit est de $10$ euros, celui d'un article du second produit de $8$ euros. Le profit de l'entreprise, exprimé en milliers d'euros, est donc la fonction $\pi$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$\pi (p_1,p_2)=(p_1-10)q_1(p_1,p_2)+(p_2-8)q_2(p_1,p_2)$$

1. Interpréter économiquement le signe du coefficient $-2$ dans l'expression de $q_1$, puis celui du coefficient $+2$ devant $p_2$. Comment qualifie-t-on deux produits liés de cette façon ?

2. Montrer que, pour tout $(p_1,p_2)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$\pi (p_1,p_2)=-2p_1^2-5p_2^2+4p_1{p}_2+40p_1+80p_2-840$$

3. Justifier que $\pi$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et déterminer son unique point critique.

4. Calculer la matrice hessienne de $\pi$, déterminer ses valeurs propres et en déduire la nature du point critique.

5. Vérifier que, pour tous réels $u$ et $v$,

$$\pi (30+u,20+v)=560-2(u-v{)}^2-3v^2$$

En déduire que le maximum obtenu est global sur ${\mathbb{R}}^2$ et qu'il est atteint en un seul couple de prix.

6. Calculer les quantités vendues et les marges unitaires pour ce couple de prix optimal, vérifier que le modèle reste économiquement acceptable, et retrouver le profit maximal.

7. L'entreprise, par prudence, envisage de vendre au prix $p_1=32$ et $p_2=22$. Calculer le profit correspondant et commenter.

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. On observe $n$ couples de réels $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_n,y_n)$ et l'on suppose que les $x_i$ ne sont pas tous égaux.

Ajuster ce nuage par une droite d'équation $y=ax+b$, c'est choisir le couple $(a,b)$ qui rend la somme des carrés des écarts verticaux la plus petite possible. On pose donc, pour tout $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$S(a,b)=\sum _{i=1}^n{(y_i-a{x}_i-b)}^2$$

L'objet de cet exercice est de démontrer que $S$ admet un minimum global, atteint en un unique couple, et d'établir les formules du cours qui donnent ce couple.

On note $\bar{x}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}$ et $\bar{y}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{y}_i}$ les deux moyennes.

1. Justifier que $S$ est de classe $C^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}S(a,b)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}S(a,b)$ et écrire $\mathrm{\nabla }S(a,b)$.

2. En déduire que $(a,b)$ est un point critique de $S$ si et seulement si le couple $(a,b)$ est solution du système

$$(E):\{\begin{array}{l}a{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i^2+b{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i}}}\\ a{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i+nb={\displaystyle \sum _{i=1}^n{y}_i}}\end{array}$$

Ce système porte le nom d'équations normales.

3. Démontrer les deux identités

$$\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\bar{x}}^2\text{et}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}$$

Justifier ensuite que ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2>0}$.

4. Résoudre le système $(E)$ et montrer que $S$ admet un unique point critique $(\widehat{a},\widehat{b})$, avec

$$\widehat{a}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2}}}\text{et}\widehat{b}=\bar{y}-\widehat{a}\bar{x}$$

5. Calculer ${\mathrm{\nabla }}^{2}S(a,b)$. Que constate-t-on de particulier sur cette matrice ?

6. Montrer que le déterminant de ${\mathrm{\nabla }}^{2}S(a,b)$ vaut $4n{\displaystyle \sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2}$, puis démontrer que les deux valeurs propres de ${\mathrm{\nabla }}^{2}S(a,b)$ sont strictement positives. Conclure sur la nature du point critique.

7. On pose $e_i=y_i-\widehat{a}{x}_i-\widehat{b}$ pour tout $i$ de $1$ à $n$ : ce sont les résidus de l'ajustement.

a. Déduire des équations normales que ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{e}_i=0}$ et ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i=0}$.

b. Soit $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$. On pose $u=\widehat{a}-a$ et $v=\widehat{b}-b$. Démontrer que

$$S(a,b)=S(\widehat{a},\widehat{b})+\sum _{i=1}^n{(u{x}_i+v)}^2$$

c. Conclure que $S$ admet un minimum global sur ${\mathbb{R}}^2$, atteint en $(\widehat{a},\widehat{b})$ et en ce point seulement.

8. Application numérique. On relève les cinq couples suivants.

Déterminer $\widehat{a}$ et $\widehat{b}$ par les formules de la question 4., puis retrouver le résultat en résolvant directement le système $(E)$. Calculer enfin les cinq résidus et vérifier les deux relations de la question 7.a.