Devoir surveillé — Fonctions numériques de deux variables réelles

Consignes valables pour tout le sujet. La calculatrice n'est pas autorisée. Toutes les fonctions rencontrées sont définies sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier, dont on rappelle que c'est un ouvert. On note ${\mathrm{\partial }}_{1}f$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f$ les dérivées partielles d'ordre $1$ d'une fonction $f$, $\mathrm{\nabla }f$ son gradient, ${\mathrm{\nabla }}^{2}f$ sa matrice hessienne, $I_2$ la matrice identité d'ordre $2$, et

$$d((x,y),(a,b))=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$$

la distance euclidienne du plan. La qualité de la rédaction est prise en compte dans toutes les questions.

Pour chacune des six affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Toute réponse doit être justifiée : une démonstration si l'affirmation est vraie, un contre-exemple explicite si elle est fausse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Si $f$ et $g$ sont deux fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ telles que $\mathrm{\nabla }f(x,y)=\mathrm{\nabla }g(x,y)$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, alors la fonction $f-g$ est constante sur ${\mathbb{R}}^2$. (0,5 point)

2. Toute fonction continue et minorée sur ${\mathbb{R}}^2$ admet un minimum global sur ${\mathbb{R}}^2$. (0,5 point)

3. La fonction $\delta$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $\delta (x,y)=d((x,y),(1,2))$ est continue sur ${\mathbb{R}}^2$ et y admet un minimum global. (0,5 point)

4. Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ dont la ligne de niveau $0$ contient l'axe des abscisses. Alors $\mathrm{\nabla }f(x,0)$ est le vecteur nul pour tout réel $x$. (0,5 point)

5. Soit $D$ une partie fermée bornée de ${\mathbb{R}}^2$ et $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$. Si le maximum de $f$ sur $D$ est atteint en un point intérieur à $D$, alors ce point est un point critique de $f$. (0,5 point)

6. Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et $(a,b)$ un point de ${\mathbb{R}}^2$. Si les deux valeurs propres de ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(a,b)$ sont strictement positives, alors $(a,b)$ est un point critique de $f$. (0,5 point)

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x{e}^{xy}$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ en détaillant les opérations utilisées. (0,5 point)

2. Calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, sous forme factorisée. En déduire $\mathrm{\nabla }f(1,0)$ et $\mathrm{\nabla }f(0,1)$. (0,75 point)

3. Démontrer que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$x{\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)-y{\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)=f(x,y)$$

(0,5 point)

4. En déduire, sans résoudre de système, que $f$ n'admet aucun point critique sur ${\mathbb{R}}^2$, puis conclure quant aux extremums locaux de $f$. (0,5 point)

5. Calculer les quatre dérivées partielles d'ordre $2$ de $f$ sous forme factorisée, vérifier la conclusion du théorème de Schwarz, puis écrire la matrice ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(1,0)$. (0,75 point)

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=2x^2+y^2-4y$$

et la partie $D$ de ${\mathbb{R}}^2$ définie par

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2⩽y⩽4\}$$

On admet que $D$ est une partie fermée bornée de ${\mathbb{R}}^2$, que son intérieur est l'ouvert $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2<y<4\}$, et que sa frontière est la réunion des deux morceaux suivants :

• l'arc de parabole $\mathcal{A}$, ensemble des points $(x,x^2)$ pour $x\in [-2,2]$ ;
• le segment horizontal $\mathcal{S}$, ensemble des points $(x,4)$ pour $x\in [-2,2]$.

L'objectif de l'exercice est de déterminer l'ensemble de toutes les valeurs prises par $f$ sur $D$, c'est-à-dire l'ensemble $f(D)=\{f(x,y);(x,y)\in D\}$.

1. Justifier que $f$ admet un maximum et un minimum sur $D$. (0,5 point)

2. Déterminer l'unique point critique de $f$ sur ${\mathbb{R}}^2$, vérifier qu'il appartient à l'intérieur de $D$, déterminer sa nature à l'aide de la matrice hessienne, et calculer la valeur de $f$ en ce point. (1 point)

3. Étudier $f$ sur le segment $\mathcal{S}$ : déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur ce morceau, ainsi que les points où ils sont atteints. (0,5 point)

4. Étudier $f$ sur l'arc $\mathcal{A}$. On posera $\psi (x)=f(x,x^2)$ pour $x\in [-2,2]$, et l'on dressera le tableau de variations de $\psi$. (1 point)

5. En déduire le maximum et le minimum de $f$ sur $D$, ainsi que tous les points de $D$ où ils sont atteints. (0,5 point)

6. Démontrer que $f(D)=[-4,8]$. On pourra étudier $f$ le long de deux segments bien choisis, tous deux inclus dans $D$. (0,5 point)

Dans tout cet exercice, on dit qu'une fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ est symétrique lorsque

$$f(y,x)=f(x,y)\text{pour tout }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$$

Les questions 1, 2 et 3 portent sur une fonction symétrique quelconque de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ : aucune expression n'est donnée, et les réponses doivent être valables pour toutes ces fonctions à la fois.

1. Soit $f$ une fonction symétrique de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$. Démontrer que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)={\mathrm{\partial }}_{1}f(y,x)$$

(0,5 point)

2. En déduire que si $(a,b)$ est un point critique de $f$, alors $(b,a)$ en est un également. (0,5 point)

3. Soit $a$ un réel.

a. En dérivant par rapport à $y$ l'identité de la question 1, démontrer que ${\mathrm{\partial }}_{2,2}^{2}f(x,y)={\mathrm{\partial }}_{1,1}^{2}f(y,x)$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$. (0,25 point)

b. En déduire qu'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(a,a)=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \beta & \alpha \end{array}\right)$, puis démontrer que les valeurs propres de cette matrice sont $\alpha +\beta$ et $\alpha -\beta$. (0,5 point)

4. Application. On considère la fonction $g$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$g(x,y)=x^2{y}^2-4x^2-4y^2$$

a. Vérifier que $g$ est symétrique et de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis démontrer qu'elle admet exactement cinq points critiques : $O(0,0)$, $A(2,2)$, $B(-2,-2)$, $C(2,-2)$ et $E(-2,2)$. (0,5 point)

b. Écrire ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(x,y)$ en tout point de ${\mathbb{R}}^2$, puis déterminer la nature de $O$, de $A$ et de $B$ en utilisant la question 3. (0,5 point)

c. Déterminer la nature de $C$, et en déduire celle de $E$ sans nouveau calcul. (0,25 point)

Deux ateliers indépendants, numérotés $1$ et $2$, fabriquent et vendent des sacs de granulés de bois sur le même marché local. L'atelier $1$ met en vente $q_1$ milliers de sacs, l'atelier $2$ en met $q_2$ milliers. Comme les deux productions se font concurrence, le prix de vente unitaire de chacune dépend des deux quantités : une étude de marché conduit aux prix, exprimés en euros par sac,

$$p_1=42-2q_1-q_2\text{et}{p}_2=42-2q_2-q_1$$

Produire un sac coûte $12$ euros dans les deux ateliers. Le profit de l'atelier $1$, exprimé en milliers d'euros, est donc le produit de sa quantité par sa marge unitaire $p_1-12$, ce qui donne les deux fonctions ${\pi }_1$ et ${\pi }_2$ définies sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$${\pi }_1(q_1,q_2)=q_1(30-2q_1-q_2)\text{et}{\pi }_2(q_1,q_2)=q_2(30-2q_2-q_1)$$

Conformément au programme, toute l'étude mathématique est menée sur ${\mathbb{R}}^2$ ; seules les interprétations économiques se limitent aux couples à coordonnées positives.

Partie A — chacun pour soi

Dans cette partie, chaque atelier décide seul de sa quantité, en prenant celle de son concurrent comme une donnée qu'il subit.

1. Justifier que ${\pi }_1$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et calculer $\mathrm{\nabla }{\pi }_1(q_1,q_2)$. (0,5 point)

2. Soit $q_2$ un réel fixé. Étudier la fonction partielle $q_1⟼{\pi }_1(q_1,q_2)$ et démontrer qu'elle admet un maximum, atteint en un unique point que l'on notera

$$R_1(q_2)={\displaystyle \frac{30-q_2}{4}}$$

Interpréter : que représente $R_1(q_2)$ pour l'atelier $1$, et comment réagit-il à une augmentation de la production de son concurrent ? (0,75 point)

3. Par un raisonnement analogue, on admet que la meilleure quantité de l'atelier $2$ face à une production $q_1$ est $R_2(q_1)={\displaystyle \frac{30-q_1}{4}}$. On appelle équilibre un couple $(q_1^{\star },q_2^{\star })$ tel que chacun des deux ateliers produise la meilleure quantité possible face à celle de l'autre, c'est-à-dire tel que

$$q_1^{\star }=R_1\left(q_2^{\star }\right)\text{et}{q}_2^{\star }=R_2\left(q_1^{\star }\right)$$

Démontrer qu'il existe un unique équilibre et qu'il vaut $(6,6)$. (0,5 point)

4. Calculer, à l'équilibre, le prix de vente d'un sac dans chaque atelier, le profit de chaque atelier, et le profit total des deux ateliers réunis. (0,5 point)

Partie B — les deux ateliers fusionnent

Les deux ateliers fusionnent en une seule entreprise, qui choisit désormais $q_1$ et $q_2$ ensemble de façon à rendre maximal le profit total

$$\mathrm{\Pi }(q_1,q_2)={\pi }_1(q_1,q_2)+{\pi }_2(q_1,q_2)$$

5. Démontrer que, pour tout $(q_1,q_2)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$\mathrm{\Pi }(q_1,q_2)=30(q_1+q_2)-2{(q_1+q_2)}^2+2q_1{q}_2$$

Puis démontrer que, la somme $s=q_1+q_2$ étant fixée, la quantité $q_1{q}_2$ est maximale lorsque $q_1=q_2={\displaystyle \frac{s}{2}}$, et vaut alors ${\displaystyle \frac{s^2}{4}}$. (1 point)

6. En déduire que, pour tout $(q_1,q_2)\in {\mathbb{R}}^2$, en posant $s=q_1+q_2$,

$$\mathrm{\Pi }(q_1,q_2)⩽30s-{\displaystyle \frac{3}{2}}{s}^2$$

puis étudier la fonction $G:s⟼30s-{\displaystyle \frac{3}{2}}{s}^2$ sur $\mathbb{R}$ et conclure : $\mathrm{\Pi }$ admet un maximum global sur ${\mathbb{R}}^2$, dont on précisera la valeur et l'unique point où il est atteint. (0,75 point)

7. Retrouver ce point par le calcul différentiel : déterminer l'unique point critique de $\mathrm{\Pi }$, écrire ${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Pi }(q_1,q_2)$, déterminer ses valeurs propres et en déduire la nature du point critique. Quelle information la question 6 apporte-t-elle que ce calcul ne donne pas ? (1 point)

8. Calculer, après fusion, le prix de vente d'un sac et le profit de chacun des deux ateliers. (0,25 point)

Partie C — l'équilibre n'est pas l'optimum

9. Calculer $\mathrm{\Pi }(6,6)$ et comparer au résultat de la question 6. Calculer ensuite $\mathrm{\nabla }\mathrm{\Pi }(6,6)$ : que constate-t-on, et qu'est-ce que cela signifie pour les deux ateliers ? Qui, du client ou des ateliers, préfère la situation de la Partie A ? (0,75 point)

10. Les deux ateliers, sans fusionner, s'entendent pour produire $5$ milliers de sacs chacun. Calculer ${\pi }_1(5,5)$, puis le profit que réaliserait l'atelier $1$ s'il rompait seul l'accord en produisant $R_1(5)$ pendant que l'atelier $2$ s'y tient. Que peut-on en conclure sur la solidité d'un tel accord ? (0,5 point)

11. On remplace le modèle de prix par $p_1=42-2q_1-m{q}_2$ et $p_2=42-2q_2-m{q}_1$, où $m$ est un réel de $[0,1]$ qui mesure l'intensité de la concurrence entre les deux ateliers. Vérifier que le couple $(q^{\star },q^{\star })$ avec $q^{\star }={\displaystyle \frac{30}{4+m}}$ est un équilibre au sens de la question 3, et que le point critique du profit total vérifiant $q_1=q_2$ est $q={\displaystyle \frac{30}{4+2m}}$. Pour quelles valeurs de $m$ l'équilibre est-il l'optimum ? Commenter. (0,5 point)