Devoir surveillé — Étude élémentaire des séries

Dans cet exercice, on ne donne jamais le terme général d'une série : on donne la suite de ses sommes partielles, et tout doit s'en déduire.

Partie A. Pour tout entier $n⩾0$, on pose $S_n={\displaystyle \frac{3n+2}{n+4}}$, et l'on note $\sum u_n$ la série dont $(S_n{)}_{n⩾0}$ est la suite des sommes partielles, c'est-à-dire la série de terme général $u_n$ vérifiant $S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k}$ pour tout $n⩾0$.

1. Déterminer la nature de la série $\sum u_n$ et, en cas de convergence, sa somme $S$. (0,5 point)

2. Démontrer que, pour tout entier $n⩾1$, $u_n={\displaystyle \frac{10}{(n+3)(n+4)}}$. (0,75 point)

3. Calculer $u_0$. La formule de la question 2 est-elle encore valable au rang $0$ ? Expliquer pourquoi. (0,25 point)

4. Contrôle par télescopage. Décomposer ${\displaystyle \frac{10}{(n+3)(n+4)}}$ en une différence de deux fractions, calculer ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{u}_k}$ par télescopage, et retrouver ainsi l'expression de $S_n$ donnée dans l'énoncé. (0,5 point)

5. Exprimer le reste $R_n$ en fonction de $n$, puis déterminer le plus petit entier $N$ tel que $S_N$ soit une valeur approchée de $S$ à ${10}^{-2}$ près. (0,5 point)

Partie B. Pour tout entier $n⩾0$, on pose maintenant $T_n=\sqrt[3]{n+1}$, et l'on note $\sum v_n$ la série dont $(T_n{)}_{n⩾0}$ est la suite des sommes partielles. On rappelle l'identité $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, valable pour tous réels $a$ et $b$.

6. Déterminer la nature de la série $\sum v_n$. (0,25 point)

7. Calculer $v_0$, puis démontrer que $v_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{(n+1{)}^2}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^2}}}$ pour tout entier $n⩾1$, et en déduire la limite de $v_n$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. (0,5 point)

8. Qu'établit la partie B ? Comparer avec les deux contre-exemples démontrés dans le cours. (0,25 point)

Un atelier a besoin en permanence d'une machine d'un certain type. Une machine achetée aujourd'hui sert pendant $T$ années, où $T$ est un entier supérieur ou égal à $1$, puis elle est remplacée par une machine identique, et ainsi de suite sans limite de durée. Les achats ont donc lieu aux dates $0$, $T$, $2T$, $3T$, et ainsi de suite.

Le prix d'achat d'une machine est $C>0$ euros, payé le jour de l'achat. Le taux d'actualisation annuel est $r>0$ : une somme dépensée dans $n$ années coûte aujourd'hui ${\displaystyle \frac{1}{(1+r{)}^n}}$ fois son montant. On appelle coût actualisé total de cette politique de renouvellement, et l'on note $K$, la somme de la série des prix d'achat actualisés, lorsque cette série converge.

Données numériques, au taux $r=5\mathrm{\%}$ :

$$\frac{1}{{\mathrm{1,05}}^4}\approx \mathrm{0,822702},\frac{1}{{\mathrm{1,05}}^7}\approx \mathrm{0,710681},\frac{1}{{\mathrm{1,05}}^{20}}\approx \mathrm{0,376889.}$$

1. Pour $k\in \mathbb{N}$, exprimer en fonction de $C$, $r$, $T$ et $k$ le coût actualisé de l'achat effectué à la date $kT$. En déduire que la série des coûts actualisés est géométrique, préciser sa raison $q$, démontrer que $0<q<1$, et établir que

$$K=\frac{C}{1-(1+r{)}^{-T}}\mathrm{.}$$

(1 point)

2. Le prix $C$ étant fixé, démontrer que $K$ décroît lorsque la durée de vie $T$ augmente. Commenter en une phrase. (0,5 point)

3. L'atelier hésite entre deux modèles : la machine A coûte $12000$ euros et dure $4$ ans, la machine B coûte $18000$ euros et dure $7$ ans. En notant $C_A$ et $C_B$ leurs prix, démontrer que A est préférable à B si et seulement si

$$C_A(1-(1+r{)}^{-7})<C_B(1-(1+r{)}^{-4}),$$

puis conclure au taux $r=5\mathrm{\%}$ sans calculer $K_A$ ni $K_B$. (0,75 point)

4. Le fabricant de la machine B accepte de négocier son prix. Au-delà de quel prix, arrondi à l'euro, la machine B devient-elle le mauvais choix ? (0,75 point)

5. L'atelier retient la machine A. Quelle part de son coût actualisé total supporte-t-il au cours des vingt premières années, c'est-à-dire lors des achats des dates $0$, $4$, $8$, $12$ et $16$ ? On exprimera cette part à l'aide du reste de la série, et l'on commentera le résultat. (0,5 point)

On rappelle deux résultats établis dans le cours, qui pourront être utilisés sans démonstration :

• pour tout entier $n⩾1$, ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}}$ ;
• la série harmonique diverge : $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}⟶+\mathrm{\infty }}$.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

$$a_n=\frac{1}{n^2+n+1}\text{et}{b}_n=\frac{n}{n^2+n+1}\mathrm{.}$$

1. Démontrer que, pour tout $n⩾1$, $0<a_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$. En déduire que la série $\sum a_n$ converge et que sa somme $A$ vérifie $A⩽1$. (0,75 point)

2. Démontrer que, pour tout $n⩾1$, $a_n⩾{\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}}$, puis en déduire que $A⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$. (0,75 point)

3. Démontrer que, pour tout $n⩾1$, $b_n⩾{\displaystyle \frac{1}{n+2}}$, puis déterminer la nature de la série $\sum b_n$. (0,75 point)

4. Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ tendent toutes deux vers $0$. Que montre alors la comparaison des questions 1 et 3 ? (0,25 point)

5. Déterminer la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}(-1{)}^n{a}_n}$. Peut-on conclure de la même façon pour ${\displaystyle \sum _{n⩾1}(-1{)}^n{b}_n}$ ? (0,5 point)

On rappelle le résultat du cours : pour tout réel $q$ tel que $\mid q\mid <1$, la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}n{q}^{n-1}}$ converge et

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{q}^{n-1}=\frac{1}{(1-q{)}^2}\mathrm{.}$$

Pour tout $q\in ]-1,1[$, on note $f(q)={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{q}^n}$.

1. Justifier que $f(q)$ est bien défini pour tout $q\in ]-1,1[$ et démontrer que $f(q)={\displaystyle \frac{q}{(1-q{)}^2}}$. (0,5 point)

2. Déterminer tous les réels $q\in ]-1,1[$ tels que $f(q)=12$. (1 point)

3. Démontrer que $f$ est strictement croissante sur $]-1,1[$ et calculer $f(0)$. Qu'en déduit-on sur le nombre de solutions de l'équation $f(q)=12$, sans la résoudre ? (0,75 point)

4. Démontrer qu'aucun réel $q$ de $]-1,1[$ ne vérifie $f(q)=-1$. Interpréter ce résultat à l'aide de la question 3. (0,75 point)

On rappelle le résultat admis du cours : pour tout réel $x$, la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{x^n}{n!}}$ converge et sa somme vaut ${\mathrm{e}}^x$.

Ce problème étudie ce que devient cette série lorsqu'on n'en garde que les termes de rang pair, puis que ceux de rang impair. Les deux sommes obtenues, notées $f(x)$ et $g(x)$, seront construites en partie A ; elles vérifient une identité remarquable, démontrée en partie B, qui permettra en partie C de calculer l'une à partir de l'autre.

Partie A — Séparer les rangs pairs des rangs impairs

Dans toute cette partie, $x$ désigne un réel fixé. Pour tout entier $n⩾0$, on pose

$$c_n=\frac{x^n+(-x{)}^n}{2\times n!}\text{et}{d}_n=\frac{x^n-(-x{)}^n}{2\times n!}\mathrm{.}$$

A1. Justifier que les séries ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{x^n}{n!}}$ et ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{(-x{)}^n}{n!}}$ convergent, et préciser leurs sommes. (0,5 point)

A2. Démontrer que $c_n={\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$ si $n$ est pair et $c_n=0$ si $n$ est impair, puis écrire de même $d_n$ selon la parité de $n$. Démontrer ensuite, en utilisant la question A1 et la linéarité, que les séries $\sum c_n$ et $\sum d_n$ convergent, de sommes respectives ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}}$ et ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}}$. (0,75 point)

A3. Pour tout entier $K⩾0$, on pose

$$F_K=\sum _{k=0}^K\frac{x^{2k}}{(2k)!}\text{et}{C}_N=\sum _{n=0}^N{c}_n(N⩾0)\mathrm{.}$$

Démontrer que $F_K=C_{2K+1}$ pour tout $K⩾0$. En déduire que la série ${\displaystyle \sum _{k⩾0}\frac{x^{2k}}{(2k)!}}$ converge et que sa somme, notée $f(x)$, vaut ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}}$. On rappelle que toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite. (1 point)

A4. Démontrer, par la même méthode, que la série ${\displaystyle \sum _{k⩾0}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$ converge et que sa somme, notée $g(x)$, vaut ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}}$. (0,5 point)

A5. Vérifier que $f(x)+g(x)={\mathrm{e}}^x$ et $f(x)-g(x)={\mathrm{e}}^{-x}$, puis calculer $f(0)$ et $g(0)$. (0,25 point)

Partie B — Une identité remarquable

B1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f(x{)}^2-g(x{)}^2=1$. (0,5 point)

B2. Démontrer de deux façons différentes que $f(x)⩾1$ pour tout réel $x$ : d'abord à partir de la série qui définit $f$, puis à partir de l'identité de la question B1. Préciser dans quel cas $f(x)=1$. (0,75 point)

B3. Démontrer, en raisonnant directement sur les séries, que $f(-x)=f(x)$ et $g(-x)=-g(x)$ pour tout réel $x$. (0,5 point)

B4. Démontrer que, pour tout réel $x$,

$$g(2x)=2f(x)g(x)\text{et}f(2x)=2f(x{)}^2-1.$$

(0,75 point)

Partie C — Calcul approché de $f(1)$

Données numériques. $\mathrm{e}\approx \mathrm{2,718282}$ et ${\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,367879}$.

C1. Donner les valeurs exactes de $f(1)$ et $g(1)$, puis leurs valeurs approchées à ${10}^{-5}$ près. Vérifier numériquement l'identité de la question B1. (0,25 point)

C2. On admet l'encadrement $\mathrm{1,17520}⩽g(1)⩽\mathrm{1,17521}$, et l'on veut en déduire $f(1)$ sans utiliser la valeur de $\mathrm{e}$.

a. Démontrer, à l'aide des questions B1 et B2, que $f(1)=\sqrt{1+g(1{)}^2}$. (0,25 point)

b. En déduire un encadrement de $f(1)$ dont l'amplitude est inférieure ou égale à ${10}^{-4}$. On veillera au sens des arrondis. (0,5 point)

C3. À l'aide des formules de la question B4 et des valeurs approchées de C1, calculer $f(2)$ et $g(2)$. Comparer avec les valeurs obtenues directement par les formules de A3 et A4, sachant que ${\mathrm{e}}^2\approx \mathrm{7,389056}$ et ${\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{0,135335}$. (0,5 point)