Exercices — L'espace Rⁿ, sous-espaces vectoriels et applications linéaires

On travaille dans ${\mathbb{R}}^3$, muni de sa base canonique $(e_1,e_2,e_3)$. On pose

$$u=(1,-2,3),v=(4,0,-1),w=(-2,5,1)$$

1. Calculer les vecteurs suivants.

2. Écrire $w$, puis $2u+v$, comme combinaison linéaire de $e_1$, $e_2$ et $e_3$.

3. On note $U$, $V$ et $W$ les matrices colonnes de ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$ associées à $u$, $v$ et $w$. Écrire ces trois matrices, calculer $3U-V+2W$, puis donner le vecteur de ${\mathbb{R}}^3$ correspondant.

4. Dans ${\mathbb{R}}^4$, on pose $a=(1,0,-1,2)$ et $b=(3,-2,1,0)$. Calculer $a+b$, puis déterminer les réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\lambda a+\mu b=(-1,2,-3,4)$.

5. On pose

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& -2\\ -2& 0& 5\\ 3& -1& 1\end{array}\right)\text{et}X=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$$

Calculer $AX$, puis comparer le résultat à celui de la question 3. Expliquer.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on considère les deux vecteurs

$$u=(1,2,-1)\text{et}v=(2,-1,3)$$

et le sous-espace vectoriel $F=\mathrm{Vect}(u,v)$.

1. Montrer que $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires.

2. Pour chacun des vecteurs suivants, déterminer s'il appartient à $F$ en résolvant le système correspondant. Lorsque la réponse est positive, écrire le vecteur comme combinaison linéaire de $u$ et $v$.

3. Le vecteur nul de ${\mathbb{R}}^3$ appartient-il à $F$ ? Justifier.

4. Démontrer que $\mathrm{Vect}(u,v,w_1)=\mathrm{Vect}(u,v)$.

On considère les six parties de ${\mathbb{R}}^3$ suivantes.

1. Pour chacune de ces parties, dire si c'est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$, en justifiant soigneusement.

2. Pour chaque partie qui est un sous-espace vectoriel, l'écrire sous la forme $\mathrm{Vect}(\dots )$.

On considère le système linéaire homogène d'inconnues réelles $x$, $y$, $z$ :

$$(S)\{\begin{array}{l}x+2y-z=0\\ 2x-y+3z=0\end{array}$$

et on note $\mathcal{S}$ l'ensemble de ses solutions, vu comme une partie de ${\mathbb{R}}^3$.

1. Écrire $(S)$ sous la forme matricielle $AX=0$, en précisant la matrice $A$ et son format.

2. Résoudre $(S)$ par la méthode du pivot de Gauss, en exprimant les solutions en fonction de l'inconnue restée libre.

3. En déduire un vecteur $u$ tel que $\mathcal{S}=\mathrm{Vect}(u)$. Justifier que $\mathcal{S}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$, donner une base de $\mathcal{S}$ et sa dimension. Quelle est sa nature géométrique ?

4. Vérifier que le vecteur $u$ trouvé est bien solution de $(S)$.

5. Les vecteurs $(1,1,1)$ et $(2,-2,-2)$ appartiennent-ils à $\mathcal{S}$ ?

6. La base trouvée à la question 3. est-elle la seule possible ? Donner deux autres bases de $\mathcal{S}$.

Dans ${\mathbb{R}}^4$, on pose

$$u=(1,0,2,-1)\text{et}v=(0,1,-1,3)$$

et on considère le sous-espace vectoriel $F=\mathrm{Vect}(u,v)$.

1. Montrer que tout élément de $F$ s'écrit $(\lambda ,\mu ,2\lambda -\mu ,-\lambda +3\mu )$, où $\lambda$ et $\mu$ sont des réels.

2. Donner trois éléments de $F$ deux à deux distincts. Le vecteur nul de ${\mathbb{R}}^4$ appartient-il à $F$ ?

3. Pour chacun des vecteurs suivants, dire s'il appartient à $F$.

4. Déterminer le réel $m$ pour que le vecteur $(2,-1,5,m)$ appartienne à $F$.

5. Démontrer que, pour tous réels $a$, $b$, $c$, $d$ :

$$(a,b,c,d)\in F⟺(c=2a-b\text{ et }d=-a+3b)$$

On considère les cinq familles de vecteurs suivantes.

1. Pour chacune de ces familles, dire si elle est libre ou liée. Lorsqu'elle est liée, donner explicitement une relation de dépendance entre ses vecteurs.

2. Parmi les familles liées, lesquelles pouvait-on reconnaître comme telles sans résoudre aucun système ? Justifier.

3. Une famille de $4$ vecteurs de ${\mathbb{R}}^3$ peut-elle être libre ? Et une famille de $2$ vecteurs ?

On considère les cinq matrices suivantes.

1. Pour chacune de ces matrices, donner son format, puis un majorant de son rang avant tout calcul.

2. Déterminer le rang de chacune de ces matrices en l'échelonnant par la méthode du pivot de Gauss.

3. Parmi les matrices carrées de la liste, dire lesquelles sont inversibles.

4. Sans aucun nouveau calcul, donner le rang de ${}^{t}C$ et celui de ${}^{t}E$, ainsi que leurs formats.

On identifie tout vecteur de ${\mathbb{R}}^n$ à sa matrice colonne de coordonnées dans la base canonique. On pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 1\\ 1& 3& 4\end{array}\right)$$

et on note $f$ l'application de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^2$ définie par $f(X)=AX$, ainsi que $g$ l'application de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ définie par $g(X)=BX$.

1. Expliciter $f(x,y)$, puis justifier que $f$ est linéaire.

2. Déterminer $\mathrm{Ker}f$, en donner une base et la dimension.

3. Déterminer $\mathrm{Im}f$, en donner une base et la dimension, puis vérifier le théorème du rang pour $f$.

4. Déterminer $\mathrm{rg}(B)$ par échelonnement.

5. Déterminer $\mathrm{Ker}g$, en donner une base et la dimension.

6. Déterminer $\mathrm{Im}g$, en donner une base et la dimension, puis vérifier le théorème du rang pour $g$.

7. Interpréter le vecteur de base de $\mathrm{Ker}g$ comme une relation entre les colonnes de $B$.

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^2$. Les questions 1. à 5. établissent qu'il n'existe que trois formes possibles pour $F$. On utilise la caractérisation suivante : une partie de ${\mathbb{R}}^2$ en est un sous-espace vectoriel lorsqu'elle est non vide, stable par addition et stable par multiplication par un réel.

1. Démontrer que $(0,0)\in F$. Vérifier ensuite que la partie $\{(0,0)\}$ est bien un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^2$ et donner sa dimension.

2. Soient $u=(a,b)$ et $v=(c,d)$ deux vecteurs de ${\mathbb{R}}^2$, avec $u\mathrm{\ne }(0,0)$. Démontrer que $v$ est colinéaire à $u$, c'est-à-dire qu'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $v=\lambda u$, si et seulement si $ad-bc=0$.

3. On suppose que $F$ contient un vecteur $u\mathrm{\ne }(0,0)$ et que tout vecteur de $F$ est colinéaire à $u$. Démontrer que $F=\mathrm{Vect}(u)$, puis donner une base et la dimension de $F$.

4. On suppose maintenant que $F$ contient deux vecteurs $u=(a,b)$ et $v=(c,d)$ non colinéaires, et l'on se donne un vecteur quelconque $w=(x,y)$ de ${\mathbb{R}}^2$. Résoudre le système d'inconnues $(\lambda ,\mu )$ traduisant l'égalité $\lambda u+\mu v=w$, puis en déduire que $F={\mathbb{R}}^2$.

5. Conclure : dresser la liste des sous-espaces vectoriels de ${\mathbb{R}}^2$, avec leur dimension.

6. Pour chacune des parties suivantes de ${\mathbb{R}}^2$, dire si c'est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^2$ et, dans l'affirmative, préciser son type et sa dimension.

On travaille dans ${\mathbb{R}}^4$, dont les vecteurs sont notés $(x,y,z,t)$, et on pose

$$F=\{(x,y,z,t)\in {\mathbb{R}}^4;x+y-z+2t=0\text{ et }2x+3y-z+t=0\}$$

1. Écrire la matrice $A\in {\mathcal{M}}_{2,4}(\mathbb{R})$ telle que $F$ soit l'ensemble des vecteurs dont la colonne de coordonnées $X$ vérifie $AX=0$. En déduire que $F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$.

2. Résoudre le système par le pivot de Gauss : échelonner, préciser les inconnues principales et les inconnues secondaires, puis exprimer le vecteur général de $F$ en fonction de deux paramètres.

3. En déduire deux vecteurs $u$ et $v$ tels que $F=\mathrm{Vect}(u,v)$. Vérifier que $u$ et $v$ appartiennent bien à $F$.

4. Démontrer que la famille $(u,v)$ est libre.

5. Conclure : donner une base de $F$ et la dimension de $F$.

6. Les vecteurs $w_1=(1,0,3,1)$ et $w_2=(1,1,1,1)$ appartiennent-ils à $F$ ? Pour celui qui y appartient, donner ses coordonnées dans la base obtenue à la question 5.

Partie A. Dans ${\mathbb{R}}^3$. On pose $u=(1,2,-1)$, $v=(2,-1,3)$ et $F=\mathrm{Vect}(u,v)$.

1. Démontrer que $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires, puis en déduire la dimension de $F$.

2. Soit $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$. Écrire le système d'inconnues $(\lambda ,\mu )$ qui traduit l'appartenance $(x,y,z)\in F$.

3. Échelonner ce système par le pivot de Gauss, puis déterminer à quelle condition portant sur $x$, $y$ et $z$ il admet au moins une solution.

4. En déduire une équation cartésienne de $F$, c'est-à-dire une équation homogène dont $F$ est exactement l'ensemble des solutions.

5. Vérifier que $u$ et $v$ satisfont cette équation. Les vecteurs $w_1=(3,1,2)$ et $w_2=(1,1,1)$ appartiennent-ils à $F$ ? Décomposer sur $(u,v)$ celui qui y appartient.

Partie B. Dans ${\mathbb{R}}^4$. On pose $a=(1,1,0,1)$, $b=(2,1,1,0)$ et $G=\mathrm{Vect}(a,b)$.

6. Par la même méthode, déterminer un système de deux équations cartésiennes de $G$. Vérifier le résultat sur $a$, sur $b$, puis sur le vecteur $2a-b$.

Pour chacune des trois familles des questions 1. à 3., on demande d'écrire le système linéaire homogène traduisant qu'une combinaison linéaire des vecteurs est nulle, de l'échelonner par le pivot de Gauss, de conclure sur la liberté de la famille en donnant une relation de dépendance explicite lorsqu'elle est liée, puis de donner le rang de la famille.

1. Dans ${\mathbb{R}}^3$ : $u_1=(1,2,1)$, $u_2=(2,1,-1)$, $u_3=(1,-1,3)$.

2. Dans ${\mathbb{R}}^3$ : $v_1=(1,-1,2)$, $v_2=(2,1,1)$, $v_3=(4,-1,5)$.

3. Dans ${\mathbb{R}}^4$ : $w_1=(1,0,1,1)$, $w_2=(2,1,0,1)$, $w_3=(0,1,-2,-1)$.

4. On pose enfin $u_4=(4,2,3)$.

a. Sans aucun calcul, expliquer pourquoi la famille $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ est liée.

b. Déterminer une relation de dépendance explicite entre ces quatre vecteurs.

c. En déduire le rang de la famille $(u_1,u_2,u_3,u_4)$.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on pose

$$f_1=(1,1,0),f_2=(0,1,1),f_3=(1,0,1)$$

et on note $\mathcal{B}=(f_1,f_2,f_3)$.

1. Démontrer que la famille $\mathcal{B}$ est libre.

2. En déduire que $\mathcal{B}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, sans avoir à démontrer qu'elle est génératrice. Quel résultat du cours utilise-t-on ?

3. Déterminer les coordonnées du vecteur $w_1=(2,3,3)$ dans la base $\mathcal{B}$, en résolvant le système correspondant.

4. Faire de même pour le vecteur $w_2=(0,1,3)$.

5. On note $P$ la matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ dont les colonnes sont, dans l'ordre, les coordonnées de $f_1$, $f_2$ et $f_3$ dans la base canonique. Écrire $P$, puis démontrer que $P$ est inversible en résolvant le système $PX=Y$ pour une colonne quelconque $Y=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$, et donner $P^{-1}$.

6. Retrouver les résultats des questions 3. et 4. en calculant $P^{-1}{X}_1$ et $P^{-1}{X}_2$, où $X_1$ et $X_2$ désignent les colonnes de coordonnées de $w_1$ et $w_2$ dans la base canonique.

Dans ${\mathbb{R}}^4$, on pose

$$u_1=(1,0,1,2),u_2=(0,1,-1,1),u_3=(1,1,0,3),u_4=(2,-1,3,3)$$

et $F=\mathrm{Vect}(u_1,u_2,u_3,u_4)$.

1. Justifier que la famille $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ est génératrice de $F$.

2. Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $u_3=\alpha u_1+\beta u_2$, puis deux réels ${\alpha }^{\mathrm{\prime }}$ et ${\beta }^{\mathrm{\prime }}$ tels que $u_4={\alpha }^{\mathrm{\prime }}{u}_1+{\beta }^{\mathrm{\prime }}{u}_2$. Qu'en déduit-on quant à la liberté de la famille $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ ?

3. Démontrer, par double inclusion, que $F=\mathrm{Vect}(u_1,u_2)$.

4. Démontrer que la famille $(u_1,u_2)$ est libre.

5. Conclure : donner une base de $F$, la dimension de $F$, puis le rang de la famille $(u_1,u_2,u_3,u_4)$.

6. Les vecteurs $w_1=(3,-1,4,5)$ et $w_2=(1,1,1,1)$ appartiennent-ils à $F$ ? Décomposer sur la base obtenue celui qui y appartient.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on considère les quatre vecteurs

$$u_1=(1,2,3),u_2=(0,1,-1),v_1=(1,3,2),v_2=(1,4,1)$$

ainsi que les deux sous-espaces vectoriels $F=\mathrm{Vect}(u_1,u_2)$ et $G=\mathrm{Vect}(v_1,v_2)$.

1. Montrer que la famille $(u_1,u_2)$ est libre, puis que la famille $(v_1,v_2)$ l'est aussi. En déduire $\dim F$ et $\dim G$.

2. Écrire $v_1$ et $v_2$ comme combinaisons linéaires de $u_1$ et $u_2$. En déduire l'inclusion $G\subset F$.

3. Écrire $u_1$ et $u_2$ comme combinaisons linéaires de $v_1$ et $v_2$. En déduire l'inclusion $F\subset G$, puis conclure que $F=G$.

4. Retrouver l'égalité $F=G$ en n'utilisant que l'inclusion de la question 2. et les dimensions, sans refaire le calcul de la question 3.

5. Calculer le rang de la famille $(u_1,u_2,v_1,v_2)$. Expliquer ce que ce rang confirme.

6. On pose $H=\mathrm{Vect}(u_1,e_1)$, où $e_1=(1,0,0)$ est le premier vecteur de la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$. Montrer que $\dim H=\dim F$, puis que $F\mathrm{\ne }H$. Que faut-il en retenir ?

Dans ${\mathbb{R}}^4$, on considère la famille $\mathcal{F}=(u_1,u_2,u_3,u_4)$ définie par

$$u_1=(1,2,0,1),u_2=(0,1,1,1),u_3=(1,0,-1,2),u_4=(0,3,2,0)$$

et on note $F=\mathrm{Vect}(u_1,u_2,u_3,u_4)$.

1. Écrire la matrice $A\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ dont les colonnes sont les coordonnées de $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ dans la base canonique de ${\mathbb{R}}^4$.

2. Déterminer $\mathrm{rg}(A)$ par la méthode du pivot de Gauss.

3. En déduire que la famille $\mathcal{F}$ est liée.

4. Résoudre le système $AX=0$ et en déduire une relation de dépendance linéaire explicite entre $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$. Vérifier cette relation par un calcul direct.

5. Donner une base de $F$ et préciser $\dim F$. A-t-on $F={\mathbb{R}}^4$ ?

6. Le vecteur $w=(1,1,1,1)$ appartient-il à $F$ ?

On considère les trois applications suivantes :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f}& {\displaystyle :{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2,f(x,y,z)=(2x-y+3z,x+4y-z)}\\ {\displaystyle g}& {\displaystyle :{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3,g(x,y)=(x+y,2x-y,-x+3y)}\\ {\displaystyle h}& {\displaystyle :{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2,h(x,y,z)=(x+y^2,z)}\end{array}$$

1. Démontrer que $f$ est linéaire, en revenant à la définition.

2. Calculer $f(e_1)$, $f(e_2)$ et $f(e_3)$, où $(e_1,e_2,e_3)$ est la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$. En déduire la matrice $A$ canoniquement associée à $f$, et préciser sa taille.

3. Soit $u=(1,2,-1)$ et $X$ sa matrice colonne de coordonnées. Calculer $f(u)$ d'une part, $AX$ d'autre part, et comparer.

4. Déterminer de même la matrice $B$ canoniquement associée à $g$, préciser sa taille, puis vérifier l'égalité sur le vecteur $v=(2,-1)$.

5. Montrer que $h$ n'est pas linéaire à l'aide d'un contre-exemple explicite.

6. Soit $k$ l'application de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^2$ définie par $k(x,y)=(x-y+1,2y)$. Donner en une ligne la raison pour laquelle $k$ n'est pas linéaire.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 1& 1\\ 3& 3& 0\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

et l'application linéaire $f$ de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ définie par $f(X)=AX$, où $X$ désigne la matrice colonne des coordonnées d'un vecteur de ${\mathbb{R}}^3$ dans la base canonique.

1. Déterminer $\mathrm{Ker}f$ en résolvant le système homogène $AX=0$. En donner une base et préciser sa dimension.

2. On note $C_1$, $C_2$, $C_3$ les colonnes de $A$. Vérifier que $C_3=C_1-C_2$, puis en déduire une base de $\mathrm{Im}f$ et sa dimension.

3. Vérifier le théorème du rang.

4. La matrice $A$ est-elle inversible ? Justifier de deux façons.

5. Le vecteur $b=(1,5,6)$ appartient-il à $\mathrm{Im}f$ ? Si oui, résoudre $AX=b$ et donner l'ensemble de toutes les solutions.

6. Même question pour $b^{\mathrm{\prime }}=(1,1,1)$.

Soit $f$ l'application linéaire de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^2$ de matrice canoniquement associée $A$, et $g$ l'application linéaire de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^3$ de matrice canoniquement associée $B$, avec

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$$

1. Préciser la taille de $A$ et celle de $B$. Justifier que $g\circ f$ et $f\circ g$ sont toutes deux définies, et donner leur espace de départ et leur espace d'arrivée.

2. Déterminer la matrice canoniquement associée à $g\circ f$.

3. Déterminer la matrice canoniquement associée à $f\circ g$.

4. Calculer le rang de chacune de ces deux matrices.

5. Laquelle des deux composées est bijective ? Justifier.

6. Démontrer que $g\circ f$ ne peut JAMAIS être bijective, quelles que soient les applications linéaires $f$ de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^2$ et $g$ de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^3$ choisies.

7. Déterminer $\mathrm{Ker}(g\circ f)$ et vérifier le théorème du rang pour $g\circ f$.

On considère trois applications linéaires données par leurs matrices canoniquement associées :

• $f$ de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^3$, de matrice $A$ ;
• $g$ de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^2$, de matrice $B$ ;
• $h$ de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$, de matrice $C$ ;

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\\ 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 3& 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$$

1. Déterminer $\mathrm{Ker}f$ et $\mathrm{rg}(f)$. $f$ est-elle injective ? surjective ?

2. Montrer que le vecteur $(1,0,0)$ n'appartient pas à $\mathrm{Im}f$.

3. Déterminer $\mathrm{Ker}g$ (base et dimension) et $\mathrm{rg}(g)$. $g$ est-elle injective ? surjective ?

4. Déterminer $\mathrm{Ker}h$ et $\mathrm{rg}(h)$, puis conclure que $h$ est bijective.

5. Déterminer $C^{-1}$ en résolvant le système $CX=Y$, puis vérifier le résultat par un produit matriciel.

6. Démontrer qu'une application linéaire de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^2$ n'est jamais injective, et qu'une application linéaire de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^3$ n'est jamais surjective.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on considère la famille $\mathcal{F}=(u_1,u_2,u_3,u_4)$ définie par

$$u_1=(1,2,0),u_2=(0,1,1),u_3=(2,0,1),u_4=(-1,3,0)$$

et on note $F=\mathrm{Vect}(u_1,u_2,u_3,u_4)$.

1. Sans aucun calcul, démontrer que la famille $\mathcal{F}$ est liée.

2. Calculer $\mathrm{rg}(\mathcal{F})$ par la méthode du pivot de Gauss.

3. Déterminer une relation de dépendance linéaire entre $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$, et la vérifier par un calcul direct.

4. Extraire de $\mathcal{F}$ une base de $F$. Préciser $\dim F$, puis déterminer si $F={\mathbb{R}}^3$.

5. L'extraction de la question 4. est-elle unique ? On étudiera la famille $(u_1,u_2,u_4)$.

6. Deux vecteurs de ${\mathbb{R}}^3$ peuvent-ils former une famille génératrice de ${\mathbb{R}}^3$ ? Justifier.

On travaille dans ${\mathbb{R}}^3$, muni de sa base canonique $(e_1,e_2,e_3)$. On pose $u=(1,2,0)$ et $v=(0,1,1)$, puis

$$F=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;x+y-2z=0\}\text{et}G=\mathrm{Vect}(u,v)$$

1. Justifier que $F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$, en donner une base et préciser $\dim F$.

2. Montrer que la famille $(u,v)$ est libre. En déduire $\dim G$.

3. Déterminer une équation cartésienne de $G$, c'est-à-dire une équation de la forme $ax+by+cz=0$ dont les solutions sont exactement les éléments de $G$.

4. En déduire que $F\cap G$ est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène de deux équations à trois inconnues. Résoudre ce système, puis donner une base et la dimension de $F\cap G$.

5. Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

6. On pose maintenant $w_1=(1,1,1)$, $w_2=(2,0,1)$ et $H=\mathrm{Vect}(w_1,w_2)$. Déterminer une équation cartésienne de $H$, puis $F\cap H$ et sa dimension. Que faut-il en conclure sur la dimension de l'intersection de deux plans ?

Pour tout réel $m$, on considère la matrice

$$A_m=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

On note $\mathrm{Ker}{A}_m=\{X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R});A_{m}X=0\}$ et $\mathrm{Im}{A}_m=\{A_{m}X;X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})\}$, noyau et image de l'application linéaire $f_m$ de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ définie par $f_m(X)=A_{m}X$.

1. Échelonner $A_m$ par la méthode du pivot. On commencera par échanger les lignes $L_1$ et $L_3$, afin de disposer d'un pivot égal à $1$ sans avoir à diviser par $m$.

2. En déduire $\mathrm{rg}(A_m)$ en discutant selon les valeurs de $m$.

3. Pour quelles valeurs de $m$ la matrice $A_m$ est-elle inversible ?

4. Cas $m=1$. Déterminer $\mathrm{Ker}{A}_1$, en donner une base et la dimension, puis vérifier le théorème du rang.

5. Cas $m=-2$. Mêmes questions pour $\mathrm{Ker}{A}_{-2}$.

6. Pour $m=-2$, écrire une relation de dépendance linéaire entre les trois colonnes de $A_{-2}$. La famille de ces colonnes est-elle libre ? Est-elle génératrice de ${\mathbb{R}}^3$ ?

7. Pour $m=-2$, montrer que $\mathrm{Im}{A}_{-2}$ est le plan d'équation $x+y+z=0$.

On considère les deux matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\\ 3& 3& 6\end{array}\right)$$

Pour $M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, on note $\mathrm{Ker}M=\{X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R});MX=0\}$ et $\mathrm{Im}M=\{MX;X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})\}$.

Partie A.

1. Résoudre le système $AX=0$ et en déduire $\mathrm{Ker}A$, puis $\mathrm{rg}(A)$ à l'aide du théorème du rang.

2. En déduire que $A$ est inversible, en énonçant les trois caractérisations équivalentes utilisées. Que peut-on dire de la famille des colonnes de $A$ ?

3. Calculer $A^{-1}$ en résolvant le système $AX=Y$ par la méthode du pivot, où $Y$ est une colonne quelconque de coordonnées $a$, $b$, $c$. Vérifier le résultat en calculant $A{A}^{-1}$.

Partie B.

4. Déterminer $\mathrm{rg}(B)$ par la méthode du pivot, puis $\mathrm{Ker}B$ et une base de ce noyau.

5. Donner une base de $\mathrm{Im}B$, puis montrer que $\mathrm{Im}B$ est le plan d'équation $x+y-z=0$. Vérifier le théorème du rang. La matrice $B$ est-elle inversible ?

6. On pose $b_1=(1,5,6)$. Vérifier que $b_1$ appartient à $\mathrm{Im}B$, résoudre $BX=b_1$ et décrire l'ensemble des solutions.

7. On pose $b_2=(1,1,1)$. Résoudre $BX=b_2$. Commenter alors le nombre de solutions de $MX=b$ selon que $M$ est inversible ou non.

On considère la matrice et la colonne

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 4& 2& 2\\ -2& -1& -1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\text{et}C=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$$

On note $\mathrm{Ker}A=\{X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R});AX=0\}$ et $\mathrm{Im}A=\{AX;X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})\}$.

1. Vérifier que les trois colonnes de $A$ sont proportionnelles à $C$ et en déduire $\mathrm{rg}(A)$.

2. Déterminer $\mathrm{Im}A$ et en donner une base.

3. Montrer que $AX=0$ équivaut à une seule équation linéaire. En déduire $\mathrm{Ker}A$, une base et sa dimension, puis vérifier le théorème du rang.

4. On pose $L=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{1,3}(\mathbb{R})$. Vérifier que $A=CL$, puis calculer le produit $LC$ : c'est une matrice à un seul coefficient, que l'on notera $\alpha$.

5. En déduire, sans calculer le produit terme à terme, que $A^2=3A$. Retrouver ce résultat par un calcul direct sur la première colonne.

6. Démontrer par récurrence que $A^k=3^{k-1}A$ pour tout entier $k\ge 1$. La matrice $A$ est-elle inversible ?

7. Soit $B=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& -2\\ -1& 1& 1\\ 3& -3& -3\end{array}\right)$. Montrer que $\mathrm{rg}(B)=1$, écrire $B$ comme le produit d'une colonne par une ligne, et en déduire $B^2$. Commenter.

On travaille dans ${\mathbb{R}}^4$, dont les vecteurs sont notés $(x,y,z,t)$. On pose

$$F=\{(x,y,z,t)\in {\mathbb{R}}^4;x+y-z=0\text{ et }y+z-t=0\}$$

puis $u=(1,1,2,3)$, $v=(1,-1,0,-1)$ et $G=\mathrm{Vect}(u,v)$.

1. Justifier que $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de ${\mathbb{R}}^4$.

2. Montrer que $G\subset F$.

3. Résoudre le système qui définit $F$. En déduire une base de $F$ et $\dim F$.

4. Montrer que la famille $(u,v)$ est libre et en déduire $\dim G$.

5. Conclure que $F=G$. Quel résultat du cours a-t-on utilisé, et pourquoi les questions 2., 3. et 4. étaient-elles toutes les trois nécessaires ?

6. On pose maintenant $a=(1,2,3,5)$, $b=(2,4,6,10)$ et $H=\mathrm{Vect}(a,b)$. Montrer que $H\subset F$, déterminer $\dim H$, puis dire si $H=F$ en justifiant précisément.

7. Pour établir $F=G$ à la question 5., on aurait pu procéder par double inclusion. Écrire ce qu'il aurait fallu démontrer en plus, et le faire. Commenter la longueur des deux méthodes.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ -2& 3& 4\\ 1& -1& -1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

et l'application linéaire $f$ de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ définie par $f(X)=AX$. On note $\mathrm{Ker}A=\{X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R});AX=0\}$ et $\mathrm{Im}A=\{AX;X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})\}$.

1. Calculer $A^2$ et vérifier que $A^2=A$.

2. Montrer que pour toute colonne $X$ de ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$, la colonne $AX$ appartient à $\mathrm{Ker}(A-I_3)$. En déduire que $\mathrm{Im}A\subset \mathrm{Ker}(A-I_3)$.

3. Montrer l'inclusion réciproque et conclure que $\mathrm{Im}A=\mathrm{Ker}(A-I_3)$.

4. Déterminer $\mathrm{Ker}A$, en donner une base et la dimension.

5. Déterminer $\mathrm{Ker}(A-I_3)$ et en donner une base. En déduire une base de $\mathrm{Im}A$ et la valeur de $\mathrm{rg}(A)$, puis vérifier le théorème du rang.

6. Calculer $A^k$ pour tout entier $k\ge 1$.

7. Montrer que si une matrice $M$ de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ vérifie $M^2=M$ et est inversible, alors $M=I_3$. Qu'en déduit-on pour $A$ ?

Un groupe industriel exploite trois usines, numérotées $1$, $2$ et $3$, qui s'échangent chaque mois une même matière première. Au cours d'un mois :

• l'usine $1$ conserve $40\mathrm{\%}$ de son stock, envoie $30\mathrm{\%}$ à l'usine $2$ et $30\mathrm{\%}$ à l'usine $3$ ;
• l'usine $2$ conserve $60\mathrm{\%}$ de son stock, envoie $20\mathrm{\%}$ à l'usine $1$ et $20\mathrm{\%}$ à l'usine $3$ ;
• l'usine $3$ conserve $80\mathrm{\%}$ de son stock, envoie $10\mathrm{\%}$ à l'usine $1$ et $10\mathrm{\%}$ à l'usine $2$.

On note $X=(x,y,z)$ la répartition des stocks en début de mois, $x$, $y$ et $z$ désignant les quantités (en tonnes) détenues par les usines $1$, $2$ et $3$, et on pose

$$M={\displaystyle \frac{1}{10}}\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 1\\ 3& 6& 1\\ 3& 2& 8\end{array}\right)$$

de sorte que $MX$ est la répartition en fin de mois. On note $f$ l'application de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ définie par $f(X)=MX$.

1. Justifier que $f$ est linéaire. Vérifier que la somme des coefficients de chaque colonne de $M$ vaut $1$, et en déduire que le stock total est le même en début et en fin de mois.

2. Le mois de janvier démarre avec la répartition $(30,50,30)$. Calculer la répartition en fin de mois et contrôler le total.

3. Une répartition est dite à l'équilibre lorsqu'elle est inchangée au bout d'un mois. Montrer que l'ensemble $F$ des répartitions à l'équilibre est $\mathrm{Ker}(M-I_3)$, puis que $F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$.

4. Résoudre le système $(M-I_3)X=0$. En déduire une base de $F$ et $\dim F$.

5. Déterminer $\mathrm{rg}(M-I_3)$ et vérifier le théorème du rang. La matrice $M-I_3$ est-elle inversible ?

6. Interpréter économiquement la dimension obtenue. Déterminer la répartition à l'équilibre correspondant à un stock total de $110$ tonnes.

On considère la matrice de ${\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 5& 6\end{array}\right)$$

On note $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ ses colonnes, vues comme vecteurs de ${\mathbb{R}}^3$, et $L_1$, $L_2$, $L_3$ ses lignes, vues comme vecteurs de ${\mathbb{R}}^4$.

1. Sans aucun calcul, justifier que la famille $(C_1,C_2,C_3,C_4)$ est liée.

2. Montrer que $(C_1,C_2)$ est libre, puis exprimer $C_3$ et $C_4$ comme combinaisons linéaires de $C_1$ et $C_2$. En déduire $\mathrm{rg}(A)$.

3. Donner une base de $\mathrm{Vect}(C_1,C_2,C_3,C_4)$, puis une équation caractérisant ce sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$.

4. Déterminer $\mathrm{rg}({}^{t}A)$ en travaillant sur la famille $(L_1,L_2,L_3)$ de ${\mathbb{R}}^4$. Comparer avec le résultat de la question 2. au regard du résultat admis $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^{t}A)$. Quel côté était le plus économique ?

5. Soit $B\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$. Justifier l'encadrement $0⩽\mathrm{rg}(B)⩽\min (n,p)$, et préciser le cas $\mathrm{rg}(B)=0$.

6. Donner une matrice de ${\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$ de rang $3$, puis une matrice de ${\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$ de rang $1$, en justifiant à chaque fois.

On considère la matrice de ${\mathcal{M}}_{2,4}(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4\end{array}\right)$$

et l'application $f$ de ${\mathbb{R}}^4$ dans ${\mathbb{R}}^2$ définie par $f(X)=AX$, où le vecteur $X=(x,y,z,t)$ est identifié à la colonne correspondante de ${\mathcal{M}}_{4,1}(\mathbb{R})$.

1. Expliciter $f(x,y,z,t)$, justifier que $f$ est linéaire, et donner les images des quatre vecteurs de la base canonique de ${\mathbb{R}}^4$.

2. Déterminer $\mathrm{rg}(A)$, puis en déduire que $f$ est surjective.

3. Que donne le théorème du rang pour $\dim \mathrm{Ker}f$ ?

4. Résoudre le système $AX=0$ et donner une base de $\mathrm{Ker}f$. La dimension obtenue confirme-t-elle la question 3. ?

5. L'application $f$ est-elle injective ? Exhiber deux vecteurs distincts de ${\mathbb{R}}^4$ ayant la même image, et vérifier par le calcul.

6. On pose $b=(2,5)$.

a. Trouver une solution particulière $X_0$ de $AX=b$ dont les deux dernières coordonnées sont nulles.

b. Montrer que $X$ est solution de $AX=b$ si et seulement si $X-X_0\in \mathrm{Ker}f$, puis décrire l'ensemble $S$ des solutions par une formule paramétrée.

c. L'ensemble $S$ est-il un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$ ?

Dans tout l'exercice, $A$ est une matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ et $f$ est l'application de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ définie par $f(X)=AX$.

Partie A — le résultat général.

1. On suppose $f$ injective et $(u,v,w)$ libre. Démontrer que la famille $(f(u),f(v),f(w))$ est libre.

2. En déduire : si $f$ transforme une certaine famille libre en une famille liée, alors $f$ n'est pas injective.

3. Justifier les équivalences : $f$ est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}f=\{0\}$, si et seulement si $\mathrm{rg}(A)=3$, si et seulement si $A$ est inversible.

Partie B — un exemple. On prend désormais

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$$

4. Déterminer $\mathrm{Ker}f$ (base et dimension) et en déduire que $f$ n'est pas injective. Préciser $\mathrm{rg}(A)$.

5. Vérifier que la base canonique $(e_1,e_2,e_3)$ est une famille libre dont l'image par $f$ est liée, et écrire une relation de dépendance explicite entre $f(e_1)$, $f(e_2)$ et $f(e_3)$. Exhiber ensuite deux vecteurs distincts de ${\mathbb{R}}^3$ ayant la même image.

6. Revenons au cas général. Comparer $\mathrm{rg}(f(u),f(v),f(w))$ et $\mathrm{rg}(u,v,w)$. Que devient cette comparaison lorsque $f$ est injective ?

On considère la matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Pour une matrice carrée $M$ d'ordre $3$, on note $\mathrm{Ker}M=\{X\in {\mathbb{R}}^3;MX=0\}$ et $\mathrm{Im}M$ l'ensemble des $MX$ lorsque $X$ décrit ${\mathbb{R}}^3$.

1. Calculer $A^2$ puis $A^3$. Vérifier que $A^3=0$ et que $A^2\mathrm{\ne }0$.

2. Montrer de deux façons différentes que $A$ n'est pas inversible.

3. Déterminer $\mathrm{Ker}A$, $\mathrm{Ker}{A}^2$ et $\mathrm{Ker}{A}^3$ : pour chacun, une base et sa dimension.

4. Démontrer les inclusions $\mathrm{Ker}A\subset \mathrm{Ker}{A}^2\subset \mathrm{Ker}{A}^3$, puis montrer qu'elles sont toutes les deux strictes.

5. En déduire $\mathrm{rg}(A)$, $\mathrm{rg}(A^2)$ et $\mathrm{rg}(A^3)$ par le théorème du rang, puis retrouver ces trois valeurs directement sur les colonnes.

6. Montrer que $\mathrm{Im}(A^2)\subset \mathrm{Ker}A$, d'abord par un argument valable pour toute matrice vérifiant $A^3=0$, puis en explicitant les deux sous-espaces dans le cas présent.

7. Montrer que $I_3-A$ est inversible, donner son inverse explicitement et vérifier le résultat par un produit matriciel.

Dans la partie A, $A$ et $B$ désignent deux matrices quelconques de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, et on note $f(X)=AX$ et $g(X)=BX$ pour $X$ dans ${\mathbb{R}}^3$. Pour une matrice carrée $M$ d'ordre $3$, on note $\mathrm{Ker}M=\{X\in {\mathbb{R}}^3;MX=0\}$ et $\mathrm{Im}M$ l'ensemble des $MX$ lorsque $X$ décrit ${\mathbb{R}}^3$.

Partie A — le résultat général.

1. Montrer que $\mathrm{Im}(AB)\subset \mathrm{Im}(A)$, puis en déduire $\mathrm{rg}(AB)⩽\mathrm{rg}(A)$.

2. Montrer que $\mathrm{Ker}(B)\subset \mathrm{Ker}(AB)$, puis en déduire, à l'aide du théorème du rang, $\mathrm{rg}(AB)⩽\mathrm{rg}(B)$.

3. Conclure par un encadrement de $\mathrm{rg}(AB)$.

Partie B — trois exemples. On pose

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$ $$C=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& -1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$

4. Calculer $AB$, puis $\mathrm{rg}(A)$, $\mathrm{rg}(B)$ et $\mathrm{rg}(AB)$. Que constate-t-on ?

5. Vérifier que $C\mathrm{\ne }0$, $D\mathrm{\ne }0$ et $CD=0$. Qu'en déduit-on sur l'encadrement de la question 3. ? Calculer $DC$ et commenter.

6. On suppose $A$ inversible. Démontrer que $\mathrm{rg}(AB)=\mathrm{rg}(B)$. Illustrer ce résultat avec les matrices $A^{\mathrm{\prime }}$ et $B$ ci-dessus.