Devoir surveillé — L'espace Rⁿ, sous-espaces vectoriels et applications linéaires

Consignes valables pour tout le sujet. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La calculatrice n'est pas autorisée. Toute réponse doit être justifiée : un objet exhibé sans vérification ne rapporte aucun point, et une impossibilité affirmée sans démonstration non plus. La qualité de la rédaction intervient dans l'appréciation des copies.

Dans cet exercice, chaque question demande de construire un objet vérifiant des contraintes imposées, puis de démontrer qu'il convient. On note $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^4$.

1. (0,75 pt) Construire une matrice $B\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ telle que $\mathrm{Ker}B=\mathrm{Im}B$, et démontrer cette égalité. Démontrer ensuite qu'aucune matrice $A$ de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ ne vérifie $\mathrm{Ker}A=\mathrm{Im}A$.

2. (0,5 pt) Construire quatre vecteurs de ${\mathbb{R}}^4$, tous non nuls, deux à deux non colinéaires, dont la somme est le vecteur nul et dont la famille est de rang $2$. Justifier ce rang.

3. (0,5 pt) Construire une famille libre de trois vecteurs de ${\mathbb{R}}^4$ dont les douze coordonnées sont toutes non nulles, et démontrer qu'elle est libre.

4. (0,75 pt) Construire deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de ${\mathbb{R}}^4$, tous deux de dimension $2$, tels que $F\cap G=\mathrm{Vect}(k)$ où $k=(1,1,1,1)$. On donnera une base de $F$ et une base de $G$, et l'on démontrera l'égalité demandée.

5. (0,5 pt) Construire deux sous-espaces vectoriels distincts $H_1$ et $H_2$ de ${\mathbb{R}}^4$, tous deux de dimension $3$, contenant chacun les deux vecteurs $(1,1,0,0)$ et $(0,0,1,1)$. On donnera une équation cartésienne de chacun et l'on justifiera les deux dimensions.

Pour tout réel $t$, on pose

$$v_t=(1,t,t^2)\in {\mathbb{R}}^3\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Expliciter $v_0$, $v_1$ et $v_2$. Déterminer ensuite l'ensemble des réels $t$ pour lesquels $v_t$ appartient au plan $P$ d'équation $x-2y+z=0$, puis l'ensemble des réels $t$ pour lesquels $v_t$ appartient à $\mathrm{Vect}(v_0,v_1)$.

2. (0,75 pt) Soient $a$, $b$, $c$ trois réels deux à deux distincts. Démontrer que la famille $(v_a,v_b,v_c)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

3. (0,75 pt) On note $M$ la matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ dont les colonnes sont, dans cet ordre, $v_a$, $v_b$, $v_c$. Déduire de la question 2 que $\mathrm{rg}({}^{t}M)=3$, puis que, pour tous réels $y_1$, $y_2$, $y_3$, le système d'inconnue $(\lambda ,\mu ,\nu )$

$$\{\begin{array}{l}\lambda +\mu a+\nu a^2=y_1\\ \lambda +\mu b+\nu b^2=y_2\\ \lambda +\mu c+\nu c^2=y_3\end{array}$$

admet une solution et une seule. Traduire ce résultat en une phrase portant sur les courbes d'équation $y=\lambda +\mu x+\nu x^2$.

4. (0,5 pt) Déterminer les réels $\lambda$, $\mu$, $\nu$ tels que la courbe d'équation $y=\lambda +\mu x+\nu x^2$ passe par les trois points de coordonnées $(0,1)$, $(1,0)$ et $(2,3)$.

5. (0,5 pt) Soient $a$, $b$, $c$, $d$ quatre réels deux à deux distincts. Démontrer que la famille $(v_a,v_b,v_c,v_d)$ est liée. Donner ensuite quatre points d'abscisses deux à deux distinctes par lesquels ne passe aucune courbe d'équation $y=\lambda +\mu x+\nu x^2$.

Un relevé de quatre valeurs mensuelles est un vecteur $X=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ de ${\mathbb{R}}^4$. On s'intéresse à ses variations successives, et l'on définit pour cela deux applications :

$$\mathrm{\Delta }:{\mathbb{R}}^4\to {\mathbb{R}}^3,\mathrm{\Delta }(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_2-x_1,x_3-x_2,x_4-x_3),$$ $$\mathrm{\Sigma }:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^4,\mathrm{\Sigma }(y_1,y_2,y_3)=(0,y_1,y_1+y_2,y_1+y_2+y_3)\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Démontrer que $\mathrm{\Delta }$ est linéaire, puis écrire sa matrice canoniquement associée $D$ en précisant son format. Écrire de même la matrice $S$ de $\mathrm{\Sigma }$.

2. (0,5 pt) Déterminer $\mathrm{Ker}\mathrm{\Delta }$ : en donner une base et la dimension, et dire en une phrase quels relevés le composent.

3. (0,5 pt) En déduire $\mathrm{rg}(D)$ par le théorème du rang. L'application $\mathrm{\Delta }$ est-elle surjective ? Interpréter.

4. (0,5 pt) Calculer le produit $DS$. Qu'en déduit-on pour l'application $\mathrm{\Delta }\circ \mathrm{\Sigma }$ ?

5. (0,5 pt) Un relevé a pour variations successives $(2,-1,3)$ et sa première valeur vaut $10$. Le déterminer. Décrire ensuite l'ensemble de tous les relevés ayant ces mêmes variations.

6. (0,5 pt) Calculer le produit $SD$ et vérifier que $SD\mathrm{\ne }{I}_4$. Décrire en une phrase ce que fait l'application $\mathrm{\Sigma }\circ \mathrm{\Delta }$, puis donner son noyau et son rang.

7. (0,5 pt) Soit ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$ l'application linéaire de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^2$ définie par ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}(y_1,y_2,y_3)=(y_2-y_1,y_3-y_2)$. Déterminer $\mathrm{Ker}({\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}\circ \mathrm{\Delta })$, en donner une base, et décrire en français les relevés qui le composent.

Un cabinet d'audit doit reconstituer la répartition d'une enveloppe entre quatre postes de dépense. Il note $X=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ le vecteur de ${\mathbb{R}}^4$ des montants engagés sur chaque poste, exprimés en milliers d'euros, et il ne dispose que de trois totaux, arrêtés par le service comptable :

$$m_1=x_1+x_2+x_3+x_4,m_2=x_1+x_2,m_3=x_2+x_3\mathrm{.}$$

On note $A\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$ la matrice telle que la colonne des trois totaux soit $AX$, et $\phi$ l'application linéaire de ${\mathbb{R}}^4$ dans ${\mathbb{R}}^3$ définie par $\phi (X)=AX$. Les lignes de $A$, vues comme des vecteurs de ${\mathbb{R}}^4$, sont notées $L_1$, $L_2$ et $L_3$.

1. (0,5 pt) Écrire $A$, puis déterminer $\mathrm{rg}(A)$ par la méthode du pivot de Gauss.

2. (0,5 pt) Déterminer $\mathrm{Ker}\phi$ : en donner une base et la dimension. Exhiber deux répartitions distinctes, à coordonnées toutes positives, donnant les trois mêmes totaux.

3. (0,75 pt) Le cabinet obtient une quatrième mesure, de la forme $m_4=a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+a_4{x}_4$, où $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ est un quadruplet de réels. On dit qu'elle conclut l'audit lorsque deux répartitions ayant les mêmes quatre mesures sont nécessairement égales. Démontrer qu'elle conclut l'audit si et seulement si $a_1-a_2+a_3-a_4\mathrm{\ne }0$.

4. (0,5 pt) Parmi les trois mesures suivantes, dire lesquelles concluent l'audit : le montant $x_1$ du premier poste, la somme $x_3+x_4$, la somme $x_1+x_4$.

5. (0,75 pt) On note $R$ l'ensemble des quadruplets $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ dont la mesure associée ne conclut pas l'audit. Démontrer que $R$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$ et donner sa dimension, puis démontrer que $R=\mathrm{Vect}(L_1,L_2,L_3)$.

6. (0,5 pt) Énoncer en une phrase le critère obtenu, puis l'illustrer en écrivant la mesure $x_1+x_4$ comme combinaison linéaire de $m_1$, $m_2$ et $m_3$.

Dans tout le problème, un vecteur de ${\mathbb{R}}^3$ est identifié à la matrice colonne de ses coordonnées dans la base canonique $(e_1,e_2,e_3)$, et l'on note, pour $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$,

$$\mathrm{Ker}A=\{X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R});AX=0\},\mathrm{Im}A=\{AX;X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})\}\mathrm{.}$$

Étant donné en outre un sous-espace vectoriel $F$ de ${\mathbb{R}}^3$, on note

$$A\cdot F=\{AX;X\in F\}$$

l'ensemble des images des vecteurs de $F$. Le problème mesure la dimension de $A\cdot F$, puis en tire une minoration du rang d'un produit de deux matrices. Les trois parties s'enchaînent, mais les parties B et C peuvent être traitées en admettant les résultats des parties précédentes.

Partie A — Deux exemples

On pose dans cette partie

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 2& 1& -3\\ 1& -2& -4\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Déterminer $\mathrm{Ker}A$ par la méthode du pivot de Gauss : en donner une base, formée d'un vecteur noté $k$, et la dimension. En déduire $\mathrm{rg}(A)$.

2. (0,5 pt) On pose $F_1=\mathrm{Vect}(e_1,e_2)$. Démontrer que $A\cdot F_1=\mathrm{Vect}(A{e}_1,A{e}_2)$, puis donner une base et la dimension de $A\cdot F_1$. Déterminer enfin $F_1\cap \mathrm{Ker}A$.

3. (0,5 pt) On pose $F_2=\mathrm{Vect}(k,e_1)$. Donner $\dim F_2$, une base et la dimension de $A\cdot F_2$, puis $F_2\cap \mathrm{Ker}A$. Au vu des deux exemples, conjecturer une formule reliant $\dim (A\cdot F)$, $\dim F$ et $\dim (F\cap \mathrm{Ker}A)$.

Partie B — La formule

Dans toute cette partie, $A$ désigne une matrice quelconque de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, et $F$ un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$ de dimension $2$, dont on fixe une base $(u_1,u_2)$.

4. a. (0,25 pt) Démontrer que $A\cdot F=\mathrm{Vect}(A{u}_1,A{u}_2)$. En déduire que $A\cdot F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$ et que $\dim (A\cdot F)⩽2$.

4. b. (0,25 pt) Démontrer que le vecteur $\alpha u_1+\beta u_2$ appartient à $\mathrm{Ker}A$ si et seulement si le couple $(\alpha ,\beta )$ est solution d'un système linéaire homogène de trois équations que l'on précisera. En déduire que $F\cap \mathrm{Ker}A$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$, de dimension au plus $2$. (Le cours ne dit rien de l'intersection de deux sous-espaces : c'est cette question qui autorise à parler de la dimension de $F\cap \mathrm{Ker}A$ dans toute la suite.)

5. (0,75 pt) On suppose dans cette question que $F\cap \mathrm{Ker}A=\{0\}$. Démontrer que la famille $(A{u}_1,A{u}_2)$ est libre, puis conclure que $\dim (A\cdot F)=2$.

6. On suppose dans cette question que $\dim (F\cap \mathrm{Ker}A)=1$, et l'on note $k$ un vecteur non nul de $F\cap \mathrm{Ker}A$.

a. (0,5 pt) Démontrer qu'il existe un vecteur $u$ de $F$ tel que la famille $(k,u)$ soit une base de $F$.

b. (0,5 pt) Démontrer que $A\cdot F=\mathrm{Vect}(Au)$ et que $Au\mathrm{\ne }0$. Conclure que $\dim (A\cdot F)=1$.

7. (0,75 pt) Justifier que $\dim (F\cap \mathrm{Ker}A)$ ne peut valoir que $0$, $1$ ou $2$, traiter le cas restant, puis énoncer la formule valable dans les trois cas.

Partie C — Une minoration du rang d'un produit

Dans toute cette partie, $A$ et $B$ désignent deux matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

8. (0,5 pt) Démontrer que $\mathrm{Im}(AB)=A\cdot \mathrm{Im}B$.

9. (0,75 pt) On suppose $\mathrm{rg}(B)=2$. Démontrer que

$$\mathrm{rg}(AB)=2-\dim (\mathrm{Im}B\cap \mathrm{Ker}A),$$

puis que $\mathrm{rg}(AB)⩾\mathrm{rg}(A)-1$.

10. (0,5 pt) En déduire que si $\mathrm{rg}(A)=2$ et $\mathrm{rg}(B)=2$, alors $AB\mathrm{\ne }0$. Commenter en une phrase, en comparant avec le cas de deux matrices de rang $1$.

11. (0,75 pt) Donner deux matrices $A$ et $B$ de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, toutes deux de rang $2$, telles que $\mathrm{rg}(AB)=1$. Vérifier sur cet exemple la formule de la question 9.