Exercices — Compléments d'analyse

Dans tout l'exercice, les fonctions inconnues sont dérivables sur $\mathbb{R}$.

1. Écrire chacun des systèmes différentiels suivants sous la forme matricielle $X^{\mathrm{\prime }}=AX$, en précisant la colonne $X$ et la matrice $A$.

2. Réciproquement, on pose $X(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$ et $A=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 3& 5\end{array}\right)$. Écrire le système $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ sous la forme de deux équations différentielles.

3. On considère le système $(S):\{\begin{array}{l}{x}^{\mathrm{\prime }}=x+2y\\ y^{\mathrm{\prime }}=2x+y\end{array}$.

a. Vérifier que le couple de fonctions défini pour tout réel $t$ par $x(t)={\mathrm{e}}^{3t}$ et $y(t)={\mathrm{e}}^{3t}$ est solution de $(S)$.

b. Montrer que le couple défini par $x(t)={\mathrm{e}}^{-t}$ et $y(t)={\mathrm{e}}^{-t}$ n'est pas solution de $(S)$.

On considère le système différentiel

$$(S):\{\begin{array}{l}{x}^{\mathrm{\prime }}=x+y\\ y^{\mathrm{\prime }}=2x\end{array}$$

d'inconnues deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$. On admet que les solutions de $(S)$ sont exactement les couples de fonctions de la forme

$$\{\begin{array}{l}x(t)=C_1{\mathrm{e}}^{2t}+C_2{\mathrm{e}}^{-t}\\ y(t)=C_1{\mathrm{e}}^{2t}-2C_2{\mathrm{e}}^{-t}\end{array}$$

où $C_1$ et $C_2$ sont deux constantes réelles quelconques.

1. Vérifier par le calcul que, quelles que soient les constantes $C_1$ et $C_2$, ce couple est bien solution de $(S)$.

2. Déterminer les constantes $C_1$ et $C_2$ pour lesquelles la solution vérifie $x(0)=3$ et $y(0)=0$, puis écrire cette solution.

3. Reprendre la question précédente avec la condition initiale $x(0)=0$ et $y(0)=6$.

4. Justifier, en citant le théorème du cours, que la solution obtenue à la question 2. est la seule solution de $(S)$ vérifiant $x(0)=3$ et $y(0)=0$.

1. On considère le système découplé

$$(S_1):\{\begin{array}{l}{x}^{\mathrm{\prime }}=3x\\ y^{\mathrm{\prime }}=-2y\end{array}$$

a. Donner l'ensemble des solutions de $(S_1)$.

b. Déterminer la solution vérifiant $x(0)=1$ et $y(0)=4$.

2. On considère maintenant le système $(S_2):X^{\mathrm{\prime }}=AX$, où $X(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$ et $A=\left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ -6& 5\end{array}\right)$. On admet que $A=PD{P}^{-1}$ avec

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right),P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

a. Vérifier que $P{P}^{-1}=I_2$.

b. On pose $Y=P^{-1}X$, dont on note $u$ et $v$ les deux fonctions coordonnées. Montrer que $X$ est solution de $(S_2)$ si et seulement si $Y^{\mathrm{\prime }}=DY$, puis résoudre ce dernier système.

c. En revenant à $X=PY$, donner l'ensemble des solutions de $(S_2)$.

d. Déterminer la solution de $(S_2)$ vérifiant $x(0)=1$ et $y(0)=0$.

On rappelle les croissances comparées du cours : pour tous réels $a>0$ et $b>0$ et tout réel $q>1$,

$$(\ln n{)}^b=o\left(n^a\right),n^a=o\left(q^n\right),q^n=o(n!),n!=o\left(n^n\right)\mathrm{.}$$

1. Pour chacun des couples suivants, définis pour $n⩾2$, dire si $u_n=o(v_n)$, si $v_n=o(u_n)$, ou si aucune des deux relations n'a lieu. On justifiera à chaque fois par l'étude d'un quotient.

2. Montrer, à l'aide d'un contre-exemple, que la relation $u_n=o(v_n)$ n'entraîne pas l'inégalité $u_n⩽v_n$ pour tout $n$.

On rappelle que, pour deux suites qui ne s'annulent pas à partir d'un certain rang, $u_n\sim v_n$ signifie ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1$.

1. Donner un équivalent simple, de la forme $C{n}^a$, $C{q}^n$ ou $C$ (où $C$ est une constante réelle non nulle), de chacune des suites suivantes, définies pour $n⩾1$.

2. En déduire la limite de chacune des quatre premières suites.

On rappelle trois résultats du cours.

La série géométrique ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{q}^n}$ converge si et seulement si $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$, et sa somme vaut alors ${\displaystyle \frac{1}{1-q}}$.

La série de Riemann ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}}$ converge si et seulement si $\alpha >1$.

Pour tout réel $x$, la série exponentielle ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}}$ converge et sa somme vaut ${\mathrm{e}}^x$.

1. Déterminer la nature de chacune des séries suivantes, en nommant l'outil utilisé.

2. Calculer la somme des trois séries convergentes de la question 1. dont la somme relève d'un résultat du cours.

On rappelle les équivalents usuels du cours, valables au voisinage de $0$ :

On rappelle également que l'équivalence est compatible avec le produit, le quotient et la composition par une puissance entière, mais pas avec l'addition.

1. Donner un équivalent simple, au voisinage de $0$, de chacune des fonctions suivantes.

2. Donner un équivalent simple, au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, de chacune des fonctions suivantes.

3. On pose, pour $x>0$, $f(x)=x^2+x$ et $g(x)=-x^2$. Donner un équivalent de $f$ et un équivalent de $g$ en $+\mathrm{\infty }$, puis montrer par un calcul chiffré que l'on ne peut pas en déduire un équivalent de $f+g$.

On rappelle les trois développements limités de référence à l'ordre $2$ au voisinage de $0$ :

$${\mathrm{e}}^u=1+u+{\displaystyle \frac{u^2}{2}}+o\left(u^2\right),\ln (1+u)=u-{\displaystyle \frac{u^2}{2}}+o\left(u^2\right),(1+u{)}^{\alpha }=1+\alpha u+{\displaystyle \frac{\alpha (\alpha -1)}{2}}{u}^2+o\left(u^2\right)\mathrm{.}$$

1. En substituant dans l'un de ces trois développements une quantité qui tend vers $0$, écrire le développement limité à l'ordre $2$ au voisinage de $0$ de chacune des fonctions suivantes.

2. Retrouver le développement limité de la question 1. c. par la formule de Taylor-Young, en calculant les dérivées de $x\mapsto \sqrt{1+x}$ en $0$.

3. En déduire une valeur approchée de $\sqrt{\mathrm{1,04}}$, puis la comparer à la valeur donnée par la calculatrice, $\sqrt{\mathrm{1,04}}\approx \mathrm{1,019804}$.

On rappelle les deux familles de référence du cours.

Pour $a>0$, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{dt}{t^{\alpha }}}}$ converge si et seulement si $\alpha >1$.

Pour tout réel $\lambda >0$ et tout réel $a$, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}dt}$ converge.

1. Pour chacune des intégrales suivantes, dire si elle converge en précisant la famille de référence et la valeur du paramètre, puis en donner la valeur lorsqu'elle converge.

2. Rédiger entièrement, à la manière attendue dans une copie, l'étude de ${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{dt}{t^3}}}$ : continuité de la fonction intégrée, intégrale sur le segment $[1,x]$, calcul de la primitive, passage à la limite et conclusion.

On cherche les couples $(x,y)$ de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ vérifiant, pour tout $t\in \mathbb{R}$,

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\mathrm{\prime }}(t)=x(t)+2y(t)\\ y^{\mathrm{\prime }}(t)=3x(t)+2y(t)\end{array}$$

On pose $X(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$.

1. Écrire le système sous la forme $X^{\mathrm{\prime }}=AX$, puis déterminer les valeurs propres de $A$.

2. Déterminer les sous-espaces propres de $A$. En déduire une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D=P^{-1}AP$, puis calculer $P^{-1}$.

3. Résoudre le système à l'aide du changement d'inconnues $Y=P^{-1}X$.

4. Déterminer l'unique solution vérifiant $x(0)=1$ et $y(0)=4$.

5. Déterminer les limites de $x(t)$ et de $y(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ pour cette solution.

On considère la matrice et le système différentiel

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right),X^{\mathrm{\prime }}=AX\text{o}\grave{\text{u}}X(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\\ z(t)\end{array}\right)$$

les fonctions $x$, $y$ et $z$ étant dérivables sur $\mathbb{R}$. On pose

$$V_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),V_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right),V_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$$

1. Vérifier que $V_1$, $V_2$ et $V_3$ sont des vecteurs propres de $A$ et préciser les valeurs propres associées. En déduire que $A$ est diagonalisable, et écrire une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D=P^{-1}AP$.

2. Vérifier que $Q={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1& -2\end{array}\right)$ est l'inverse de $P$.

3. Résoudre le système $X^{\mathrm{\prime }}=AX$.

4. Étudier le comportement des solutions en $+\mathrm{\infty }$. Pour quelles conditions initiales $X(0)$ la trajectoire tend-elle vers le vecteur nul ?

On considère les trois matrices

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -2\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right),A_3=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

et, pour $k\in \{1,2,3\}$, le système différentiel $(S_k):X^{\mathrm{\prime }}=A_{k}X$, où $X(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$. On pose

$$V_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{et}{V}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$

1. Vérifier que $V_1$ et $V_2$ sont des vecteurs propres de chacune des trois matrices, et préciser à chaque fois les valeurs propres associées. En déduire, pour chaque $k$, la solution générale de $(S_k)$.

2. Pour chaque système, la fonction constante nulle est-elle solution ? Toute trajectoire tend-elle vers le vecteur nul en $+\mathrm{\infty }$ ? Décrire dans chaque cas le comportement en $+\mathrm{\infty }$.

3. Pour le système $(S_2)$, déterminer toutes les conditions initiales $X(0)$ pour lesquelles la trajectoire tend malgré tout vers le vecteur nul.

4. Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $2$ diagonalisable, de valeurs propres réelles ${\lambda }_1$ et ${\lambda }_2$. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur ${\lambda }_1$ et ${\lambda }_2$ pour que toute solution de $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ tende vers le vecteur nul en $+\mathrm{\infty }$, et la démontrer.

On considère l'équation différentielle

$$(E):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-y^{\mathrm{\prime }}-6y=0$$

d'inconnue $y$, fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour une telle fonction $y$, on pose

$$x_1=y,x_2=y^{\mathrm{\prime }},X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$

1. Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $X$ est solution du système $X^{\mathrm{\prime }}=AX$, où l'on précisera la matrice $A$.

2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $A$. En déduire $P$, $D$ et $P^{-1}$.

3. Résoudre le système $X^{\mathrm{\prime }}=AX$, puis en déduire l'ensemble des solutions de $(E)$.

4. Comparer le polynôme obtenu à la question 2. et l'équation caractéristique $r^2-r-6=0$ associée à $(E)$ en première année. Commenter.

5. Résoudre le problème de Cauchy $y(0)=1$ et $y^{\mathrm{\prime }}(0)=0$.

Deux biens substituables sont vendus sur un même marché. On note $p(t)$ et $q(t)$ leurs prix respectifs, en euros, à l'instant $t⩾0$. Ces prix sont supposés dérivables et s'ajustent selon le modèle

$$\{\begin{array}{l}{p}^{\mathrm{\prime }}(t)=-3p(t)+q(t)+4\\ q^{\mathrm{\prime }}(t)=p(t)-3q(t)+12\end{array}$$

Chaque prix baisse d'autant plus vite qu'il est élevé, mais est tiré vers le haut par le prix du bien concurrent et par un terme constant d'inflation propre au bien. On pose $X(t)=\left(\begin{array}{c}p(t)\\ q(t)\end{array}\right)$.

1. Écrire le système sous la forme $X^{\mathrm{\prime }}=AX+B$, où $A$ et $B$ sont à préciser. Justifier que $A$ est inversible.

2. Déterminer l'unique colonne constante $X_e$ telle que $A{X}_e+B=0$. On l'appelle état d'équilibre du marché.

3. On pose $Z=X-X_e$. Montrer que $X$ est solution de $X^{\mathrm{\prime }}=AX+B$ si et seulement si $Z$ est solution de $Z^{\mathrm{\prime }}=AZ$.

4. Diagonaliser $A$, résoudre $Z^{\mathrm{\prime }}=AZ$, puis en déduire toutes les solutions du modèle. Montrer que toute trajectoire converge vers $X_e$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$.

5. Interpréter économiquement le résultat en une ou deux phrases.

1. Pour chacune des suites suivantes, définies pour $n⩾2$, déterminer un équivalent simple, puis en déduire la limite quand $n\to +\mathrm{\infty }$.

2. On pose, pour $n⩾1$, $s_n={\displaystyle \frac{n!}{n^n}}$ et $t_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$. Montrer que pour tout $n⩾2$,

$$0<{\displaystyle \frac{n!}{n^n}}⩽{\displaystyle \frac{2}{n^2}}$$

puis en déduire lequel des deux, $s_n$ ou $t_n$, est négligeable devant l'autre.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=\sqrt{3x+4}$, et la suite $(u_n)$ définie par

$$u_0=0\text{et}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{n+1}=f(u_n)$$

1. Justifier que $f$ est bien définie et dérivable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et en déduire les variations de $f$. Montrer que l'intervalle $I=[0,4]$ est stable par $f$, c'est-à-dire que $f(I)\subset I$.

2. Montrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\in I$. Justifier au passage que la suite $(u_n)$ est bien définie.

3. Résoudre l'équation $f(x)=x$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Étudier le signe de $f(x)-x$ sur $I$, puis en déduire la monotonie de $(u_n)$.

5. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=\sqrt{3x+4}$. On admet que $f$ est continue et strictement croissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, et que $4$ est son unique point fixe sur cet intervalle.

1. Montrer que, pour tout $x\in [0,+\mathrm{\infty }[$, la quantité $f(x)-x$ a le même signe que $4-x$.

2. On pose $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. Montrer que $[0,4]$ est stable par $f$, puis que $u_n\in [0,4]$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.

4. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

5. On pose maintenant $v_0=12$ et $v_{n+1}=f(v_n)$. Montrer que $[4,+\mathrm{\infty }[$ est stable par $f$, que $v_n⩾4$ pour tout $n$, puis que $(v_n)$ est décroissante.

6. Montrer que $(v_n)$ converge et déterminer sa limite.

7. Que se passe-t-il si l'on part de $w_0=4$, avec $w_{n+1}=f(w_n)$ ?

On rappelle que la série de Riemann ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}}$ converge si et seulement si $\alpha >1$.

1. Déterminer la nature des séries de termes généraux suivants, tous définis pour $n⩾2$.

2. On pose, pour $n⩾1$, $u_n={\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$ et $v_n={\displaystyle \frac{1}{n^2}}$. Montrer que $u_n\sim v_n$, calculer ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n}$, puis montrer que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{v}_n}$ est différente de cette valeur. Que faut-il en retenir ?

1. Pour chacune des séries suivantes, étudier la convergence absolue, puis conclure sur la nature de la série lorsque c'est possible.

2. Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que la série $\sum u_n$ converge absolument.

a. Justifier qu'il existe un rang $N$ à partir duquel $\mid u_n\mid ⩽1$.

b. En déduire que la série $\sum u_n^2$ converge.

c. La réciproque est-elle vraie ? On justifiera la réponse par un exemple.

1. Déterminer les limites suivantes en utilisant les équivalents usuels.

2. On cherche à calculer $L={\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x-1-x}{x^2}}}$.

a. Un élève rédige : « on sait que ${\mathrm{e}}^x-1\sim x$, donc ${\mathrm{e}}^x-1-x\sim x-x=0$, donc $L=0$ ». Expliquer précisément pourquoi ce raisonnement n'a aucune valeur.

b. Écrire le développement limité d'ordre $2$ de $x\mapsto {\mathrm{e}}^x$ en $0$, puis en déduire $L$.

c. En déduire un équivalent de ${\mathrm{e}}^x-1-x$ au voisinage de $0$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x{\mathrm{e}}^{-x}$, et on note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$, calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout réel $x$, puis donner les valeurs de $f(0)$, $f^{\mathrm{\prime }}(0)$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$.

2. Écrire le développement limité d'ordre $2$ de $f$ en $0$ à l'aide de la formule de Taylor-Young.

3. En déduire une équation de la tangente $T_0$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$.

4. Déterminer la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $T_0$ au voisinage de $0$, en justifiant par le signe du coefficient d'ordre $2$.

5. Reprendre les questions 2., 3. et 4. au point d'abscisse $x_0=3$. Que se passe-t-il si l'on tente le même travail en $x_0=2$ ?

Dans tout l'exercice, on revient à la définition : on intègre d'abord sur un segment, puis on fait tendre la borne vers l'infini. Aucune intégration par parties ne doit être écrite directement entre une borne finie et l'infini.

1. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t{\mathrm{e}}^{-t}dt}$ converge et la calculer, à l'aide d'une intégration par parties sur le segment $[0,x]$.

2. Vérifier que, pour tout $t⩾1$, ${\displaystyle \frac{1}{t(t+1)}}={\displaystyle \frac{1}{t}}-{\displaystyle \frac{1}{t+1}}$, puis étudier la convergence de ${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{dt}{t(t+1)}}}$ et la calculer.

3. Même travail pour ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}t{\mathrm{e}}^{t}dt}$.

4. Montrer que ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-\mid t\mid }dt}$ converge et la calculer, en découpant l'intervalle en deux morceaux.

1. Pour chacune des intégrales suivantes, vérifier que la fonction intégrée est continue et positive sur l'intervalle d'intégration, puis déterminer la nature de l'intégrale par comparaison, sans calculer de primitive.

2. On pose, pour $t⩾1$, $f(t)={\displaystyle \frac{1-\ln t}{t^2}}$.

a. Montrer que $f$ n'est pas de signe constant sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ et préciser son signe au voisinage de $+\mathrm{\infty }$.

b. Les règles de comparaison de la question 1. s'appliquent-elles à $f$ ? Montrer que ${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(t)dt}$ converge.

c. Expliquer pourquoi la positivité est indispensable dans ces règles, et rappeler quel outil prend le relais lorsqu'une fonction change de signe indéfiniment.

Sur le marché d'un bien, on note $p(t)$ son prix à l'instant $t⩾0$ et $q(t)$ la quantité offerte par les producteurs, toutes deux supposées dérivables sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. Le modèle repose sur trois hypothèses.

Demande. La quantité demandée à l'instant $t$ vaut $D(t)=22-3p(t)$ : elle décroît avec le prix.

Ajustement du prix. Le prix augmente lorsque la demande excède l'offre, et diminue dans le cas contraire, proportionnellement à l'excès de demande, avec un coefficient d'ajustement égal à $1$ :

$$p^{\mathrm{\prime }}(t)=D(t)-q(t)\mathrm{.}$$

Ajustement de l'offre. Les producteurs accroissent leur production lorsque le prix dépasse le prix de référence $\bar{p}=4$ à partir duquel ils jugent la production rentable, et la réduisent sinon, avec un coefficient égal à $2$ :

$$q^{\mathrm{\prime }}(t)=2(p(t)-4)\mathrm{.}$$

À l'instant initial, $p(0)=6$ et $q(0)=10$.

1. Écrire le modèle sous la forme $X^{\mathrm{\prime }}=AX+B$, où $X(t)=\left(\begin{array}{c}p(t)\\ q(t)\end{array}\right)$, en explicitant la matrice $A$ et la colonne $B$.

2. Déterminer l'unique état d'équilibre $X_e$, c'est-à-dire l'unique solution constante du système. Interpréter économiquement.

3. Montrer que $A$ est diagonalisable et déterminer une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{-1}$. On vérifiera que $P{P}^{-1}=I_2$.

4. On pose $Z=X-X_e$. Montrer que $Z^{\mathrm{\prime }}=AZ$, résoudre ce système, puis déterminer l'unique solution du problème de Cauchy.

5. Montrer que le marché converge vers son équilibre, et préciser à quelle vitesse en donnant un équivalent de $p(t)-p_e$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$.

6. Interpréter le résultat en une phrase.

Pour $m\in \mathbb{R}$, on pose $A_m=\left(\begin{array}{cc}m& 1\\ 1& m\end{array}\right)$ et on étudie le système différentiel

$$X^{\mathrm{\prime }}=A_{m}X,\text{o}\grave{\text{u}}X(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Calculer le polynôme caractéristique de $A_m$ et le donner sous forme factorisée. En déduire les valeurs propres de $A_m$, justifier qu'elles sont réelles pour toute valeur de $m$, et que $A_m$ est diagonalisable.

2. Déterminer un vecteur propre associé à chaque valeur propre (on remarquera qu'ils ne dépendent pas de $m$), puis donner l'expression générale des solutions du système.

3. Discuter, selon la valeur de $m$, le comportement des trajectoires quand $t\to +\mathrm{\infty }$ : toutes tendent vers l'origine, certaines divergent, cas limite d'une valeur propre nulle.

4. En déduire l'ensemble des $m$ pour lesquels l'origine est un équilibre attractif.

5. Traiter complètement le cas $m=-3$ : diagonalisation explicite et résolution du problème de Cauchy $x(0)=2$, $y(0)=0$.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x+2}$ et la suite $(u_n)$ définie par

$$u_0=7\text{et}{u}_{n+1}=f(u_n)\text{pour tout }n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

1. a. Montrer que l'intervalle $I=[2,+\mathrm{\infty }[$ est stable par $f$, puis que $(u_n)$ est bien définie et que $u_n⩾2$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

b. Résoudre l'équation $f(x)=x$ sur $I$. On note $\mathrm{\ell }$ son unique solution.

c. Étudier le signe de $f(x)-x$ sur $I$, en déduire que $(u_n)$ est décroissante, puis qu'elle converge vers $\mathrm{\ell }$.

2. a. Montrer que, pour tout $x\in I$, $f(x)-2={\displaystyle \frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}}$.

b. En déduire que, pour tout $x\in I$, $0⩽f(x)-2⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}(x-2)$.

3. a. En déduire que $0⩽u_{n+1}-2⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}(u_n-2)$ pour tout $n$, puis, par récurrence, que

$$0⩽u_n-2⩽5{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n\mathrm{.}$$

b. Retrouver la convergence de $(u_n)$ vers $2$.

c. Déterminer un entier $N$ tel que, pour tout $n⩾N$, on ait $u_n-2⩽{10}^{-3}$.

4. Justifier l'expression « la convergence est géométrique ».

On définit la suite $(u_n)$ par

$$u_0=1\text{et}{u}_{n+1}=u_n+{\displaystyle \frac{1}{u_n}}\text{pour tout }n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

On admet la majoration suivante, utile à la question 5. : pour tout entier $n⩾1$,

$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{2k+1}}⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}(1+\ln n)\mathrm{.}$$

1. Montrer par récurrence que $u_n>0$ pour tout $n$, ce qui assure que la suite est bien définie, puis que $(u_n)$ est croissante.

2. Montrer que $(u_n)$ diverge vers $+\mathrm{\infty }$. On raisonnera par l'absurde : si $(u_n)$ convergeait vers un réel $\mathrm{\ell }$, on aurait $\mathrm{\ell }⩾1$, puis $\mathrm{\ell }=\mathrm{\ell }+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\ell }}}$.

3. On pose $v_n=u_n^2$. Calculer $v_0$ et montrer que, pour tout $n$, $v_{n+1}=v_n+2+{\displaystyle \frac{1}{v_n}}$.

4. En déduire par récurrence que $v_n⩾2n+1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

5. a. Par télescopage, montrer que, pour tout $n⩾1$,

$$v_n=1+2n+\sum _{k=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{v_k}}\mathrm{.}$$

b. À l'aide de la question 4. et de la majoration admise, montrer que, pour tout $n⩾2$,

$$0⩽\sum _{k=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{v_k}}⩽{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln n\mathrm{.}$$

c. En déduire que $v_n\sim 2n$.

6. En déduire que $u_n\sim \sqrt{2n}$.

Pour tout entier $n⩾1$, on note $f_n$ la fonction définie sur $[0,1]$ par

$$f_n(x)=x^n+x-1$$

1. Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution dans $[0,1]$. Cette solution est notée $u_n$.

2. Montrer que $u_n\in ]0,1[$, puis que $u_n^n=1-u_n$.

3. Calculer $f_{n+1}(u_n)$ et montrer que $f_{n+1}(u_n)<0$. En déduire que la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ est croissante.

4. Justifier que $(u_n)$ converge. On note $\mathrm{\ell }$ sa limite. En supposant $\mathrm{\ell }<1$ et en examinant la suite $\left(u_n^n\right)$, aboutir à une contradiction. Conclure que $\mathrm{\ell }=1$.

5. On pose ${\epsilon }_n=1-u_n$.

a. Justifier que ${\epsilon }_n\in ]0,1[$, que ${\epsilon }_n\to 0$, et établir la relation $n\ln (1-{\epsilon }_n)=\ln ({\epsilon }_n)$.

b. Justifier que $\ln (1-{\epsilon }_n)\sim -{\epsilon }_n$, puis en déduire que $n{\epsilon }_n\sim -\ln ({\epsilon }_n)$.

c. On admet que $\ln ({\epsilon }_n)\sim -\ln n$. En déduire un équivalent de ${\epsilon }_n$, puis le comportement asymptotique de $u_n$.

Pour $n⩾1$, on pose

$$H_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}\text{et}{a}_n=H_n-\ln n$$

1. Montrer que pour tout $n⩾1$, $a_{n+1}-a_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}-\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})$.

2. À l'aide du développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $\ln (1+x)$, montrer que

$$a_{n+1}-a_n\sim -{\displaystyle \frac{1}{2n^2}}$$

3. En déduire que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}(a_{n+1}-a_n)}$ converge absolument, donc converge.

4. En exprimant la somme partielle ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)}$ par télescopage, en déduire que la suite $(a_n)$ converge. Sa limite est notée $\gamma$ (constante d'Euler, $\gamma \approx \mathrm{0,577}$).

5. En déduire que $H_n\sim \ln n$.

6. Application. On admet l'inégalité $\ln (1+x)⩽x$, valable pour tout $x>-1$.

a. Montrer que pour tout $n⩾1$, $\ln (H_{n+1})-\ln (H_n)⩽{\displaystyle \frac{1}{(n+1)H_n}}$.

b. En sommant cette inégalité pour $k$ allant de $1$ à $n$, déterminer la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{(n+1)H_n}}}$, puis celle de ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{n{H}_n}}}$.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose, sous réserve de convergence,

$$I_n={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^n{\mathrm{e}}^{-t}dt$$

1. Soit $n\in \mathbb{N}$. Justifier que la fonction $t\mapsto t^n{\mathrm{e}}^{-t}$ est continue et positive sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, montrer par croissance comparée que $t^n{\mathrm{e}}^{-t}=o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}2}\right)$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, puis en déduire que $I_n$ converge.

2. Calculer $I_0$, puis $I_1$ (intégration par parties sur $[0,x]$, puis passage à la limite).

3. Soit $n\in \mathbb{N}$ et $x>0$. À l'aide d'une intégration par parties sur le segment $[0,x]$, montrer que

$${\int }_0^x{t}^{n+1}{\mathrm{e}}^{-t}dt=-x^{n+1}{\mathrm{e}}^{-x}+(n+1){\int }_0^x{t}^n{\mathrm{e}}^{-t}dt$$

puis, en faisant tendre $x$ vers $+\mathrm{\infty }$, en déduire que $I_{n+1}=(n+1)I_n$.

4. En déduire par récurrence que $I_n=n!$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

5. Application. En posant $u=2t$ sur le segment $[0,x]$ (changement de variable affine), puis en passant à la limite, calculer

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^3{\mathrm{e}}^{-2t}dt$$

Pour $\alpha >0$, on pose, sous réserve de convergence,

$$J(\alpha )={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\ln t}{t^{\alpha }}}dt$$

1. Justifier que la fonction $t\mapsto {\displaystyle \frac{\ln t}{t^{\alpha }}}$ est continue et positive sur $[1,+\mathrm{\infty }[$.

2. Cas $\alpha >1$. On pose $\beta ={\displaystyle \frac{1+\alpha }{2}}$.

a. Vérifier que $1<\beta <\alpha$.

b. Montrer, par croissance comparée, que ${\displaystyle \frac{\ln t}{t^{\alpha }}}=o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{t^{\beta }}}\right)$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, puis en déduire que $J(\alpha )$ converge.

3. Cas $0<\alpha ⩽1$. Montrer que pour tout $t⩾2$, ${\displaystyle \frac{\ln t}{t^{\alpha }}}⩾{\displaystyle \frac{\ln 2}{t}}$, puis en déduire que $J(\alpha )$ diverge.

4. Calculer $J(2)$ à l'aide d'une intégration par parties sur le segment $[1,x]$, suivie d'un passage à la limite.

5. Récapituler la nature de $J(\alpha )$ selon la valeur de $\alpha >0$.

Une entreprise modélise la durée de vie (en années) d'une machine à l'aide de la fonction $f$ définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par

$$f(t)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\text{o}\grave{\text{u}}\lambda >0$$

Une durée de vie étant positive, on ne travaille que sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

1. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)dt}$ converge et vaut $1$.

2. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}tf(t)dt}$ converge (comparaison avec ${\mathrm{e}}^{-\lambda t\mathrm{/}2}$), puis la calculer par une intégration par parties sur $[0,x]$ suivie d'un passage à la limite. Cette valeur est la durée de vie moyenne de la machine.

3. Montrer de même que ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{2}f(t)dt}$ converge et la calculer.

4. On s'intéresse maintenant à un flux qui change de signe.

a. Soit $g$ une fonction continue et bornée sur $[1,+\mathrm{\infty }[$. Montrer que ${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{g(t)}{t^2}}dt}$ converge, en passant par la convergence absolue.

b. Le bénéfice net annuel dégagé par la machine à l'instant $t$ est modélisé par $g(t)={\displaystyle \frac{2-t}{2+t}}$ (en milliers d'euros). Vérifier que $g$ est continue, bornée, et de signe non constant sur $[1,+\mathrm{\infty }[$, puis conclure que ${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{g(t)}{t^2}}dt}$ converge.

5. Interpréter économiquement le résultat de la question 2.

Une région compte trois secteurs d'activité $S_1$, $S_2$, $S_3$, qui se partagent une main-d'œuvre totale de $12$ milliers de travailleurs. Pour $t⩾0$, on note $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ les effectifs (en milliers) des trois secteurs, supposés dérivables sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, et

$$X(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\\ z(t)\end{array}\right)$$

À chaque instant, les travailleurs changent de secteur ; les flux, exprimés dans l'unité de temps du modèle, sont proportionnels à l'effectif du secteur de départ :

de $S_1$ vers $S_2$ : $x(t)$ ; de $S_1$ vers $S_3$ : $x(t)$ ; de $S_2$ vers $S_1$ : $y(t)$ ; de $S_2$ vers $S_3$ : $2y(t)$ ; de $S_3$ vers $S_1$ : $z(t)$ ; de $S_3$ vers $S_2$ : $z(t)$.

1. En écrivant que la variation de chaque effectif est la différence entre ce qu'il reçoit et ce qu'il cède, montrer que $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ avec

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ 1& -3& 1\\ 1& 2& -2\end{array}\right)$$

2. Montrer que la fonction $t\mapsto x(t)+y(t)+z(t)$ est constante. Interpréter.

3. Vérifier que $\det (A-\lambda I_3)=-\lambda (\lambda +3)(\lambda +4)$, en déduire les valeurs propres de $A$ et justifier que $A$ est diagonalisable.

4. Déterminer un vecteur propre pour chaque valeur propre. On pose alors

$$P=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ 3& 0& 1\\ 5& -1& -1\end{array}\right)\text{et}Q={\displaystyle \frac{1}{12}}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 8& -4& -4\\ -3& 9& -3\end{array}\right)$$

Vérifier que $PQ=I_3$, et en déduire $P^{-1}$.

5. On pose $Y=P^{-1}X$. Montrer que $X$ est solution de $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ si et seulement si $Y^{\mathrm{\prime }}=DY$, où $D$ est diagonale à préciser. En déduire la solution générale du système, puis la solution vérifiant $x(0)=12$, $y(0)=0$, $z(0)=0$.

6. Déterminer les limites de $x$, $y$ et $z$ en $+\mathrm{\infty }$ et interpréter.