Devoir surveillé — Compléments d'analyse

Les six affirmations ci-dessous sont extraites d'une copie rendue par un élève de la classe. Elles ne sont pas toutes fausses.

Pour chacune d'elles :

• indiquer si l'affirmation, telle qu'elle est rédigée, est correcte ;
• si elle est correcte, nommer en une ligne le résultat du cours qui la justifie ;
• si elle est fausse ou si sa rédaction est irrecevable, expliquer précisément l'erreur commise puis rédiger la réponse juste.

Une réponse qui se contente de dire « faux » sans expliquer ni corriger ne rapporte aucun point.

a. (0,5 point) « Comme $\sqrt{n^2+n}\sim n$ et $-n\sim -n$, on obtient par somme $\sqrt{n^2+n}-n\sim n-n=0$. La suite $(\sqrt{n^2+n}-n)$ tend donc vers $0$. »

b. (0,5 point) « Comme $n^2+n\sim n^2$, on a ${\mathrm{e}}^{n^2+n}\sim {\mathrm{e}}^{n^2}$. »

c. (0,5 point) « Le terme général de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{2}{3n+1}}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Cette série converge donc. »

d. (0,5 point) « Pour tout $t⩾0$, on a ${\displaystyle \frac{1-t}{(1+t{)}^2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{(1+t{)}^2}}$, et l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{dt}{(1+t{)}^2}}$ converge. Par la règle de comparaison, ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1-t}{(1+t{)}^2}dt}$ converge. »

e. (0,5 point) « Calculons ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t}{(1+t{)}^3}dt}$ par une intégration par parties, avec $u(t)=t$ et $v(t)=-{\displaystyle \frac{1}{2(1+t{)}^2}}$ :

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t}{(1+t{)}^3}dt={[-\frac{t}{2(1+t{)}^2}]}_0^{+\mathrm{\infty }}+\frac{1}{2}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{dt}{(1+t{)}^2}=0+\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}\mathrm{.}\text{ »}$$

f. (0,5 point) « Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}={\displaystyle \frac{u_n}{2}}+1$. Elle est croissante et majorée par $2$, donc elle converge. En notant $\mathrm{\ell }$ sa limite et $f(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}+1$, la fonction $f$ est continue en $\mathrm{\ell }$, donc $\mathrm{\ell }=f(\mathrm{\ell })$, ce qui donne $\mathrm{\ell }=2$. »

Deux opérateurs de fibre optique, notés $A$ et $B$, se partagent les abonnés d'une même zone. On note $t$ le temps, exprimé en années, et l'on suppose que les effectifs d'abonnés varient de façon continue. Pour $t⩾0$, on note $x(t)$ le nombre d'abonnés de $A$ et $y(t)$ celui de $B$, exprimés en milliers, et l'on pose

$$X(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Les fonctions $x$ et $y$ sont supposées dérivables sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. Le modèle retenu par le cabinet d'études est le suivant.

• À chaque instant, l'opérateur $A$ perd des abonnés à un rythme proportionnel à son effectif, de coefficient $2$ : la moitié de ces départs (coefficient $1$) rejoint $B$, l'autre moitié (coefficient $1$) résilie sans se réabonner ailleurs.
• À chaque instant, l'opérateur $B$ perd des abonnés à un rythme proportionnel à son effectif, de coefficient $3$ : deux tiers de ces départs (coefficient $2$) rejoignent $A$, le tiers restant (coefficient $1$) résilie sans se réabonner ailleurs.
• Aucun nouvel abonné n'entre sur cette zone.

À l'instant initial, $A$ compte $5000$ abonnés et $B$ en compte $1000$.

Données numériques. ${\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,367879}$, ${\mathrm{e}}^{-3}\approx \mathrm{0,049787}$, ${\mathrm{e}}^{-4}\approx \mathrm{0,018316}$.

1. Traduire les trois hypothèses du modèle en un système de deux équations différentielles, et montrer qu'il s'écrit $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ avec une matrice $A$ que l'on précisera. (0,75 point)

2. Calculer le polynôme caractéristique de $A$, en déduire ses valeurs propres ${\lambda }_1$ et ${\lambda }_2$, et justifier que $A$ est diagonalisable. (0,5 point)

3. Déterminer un vecteur propre associé à chaque valeur propre. En déduire une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{-1}$. Calculer $P^{-1}$, puis vérifier par le calcul que $P{P}^{-1}=I_2$ et que $PD{P}^{-1}=A$. (1 point)

4. On pose $Y=P^{-1}X$. Montrer que $X$ est solution de $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ si et seulement si $Y$ est solution de $Y^{\mathrm{\prime }}=DY$, puis résoudre le système et donner l'expression générale de $x(t)$ et $y(t)$ à l'aide de deux constantes $C_1$ et $C_2$. (0,75 point)

5. Déterminer la solution du problème de Cauchy correspondant aux effectifs initiaux, puis vérifier que les fonctions obtenues satisfont bien le système et les conditions initiales. (0,5 point)

6. Montrer que $x(t)+y(t)=6{\mathrm{e}}^{-t}$ pour tout $t⩾0$, et donner le comportement de $x$ et de $y$ en $+\mathrm{\infty }$. (0,25 point)

7. On appelle part de marché de l'opérateur $A$ à l'instant $t$ le quotient $p(t)={\displaystyle \frac{x(t)}{x(t)+y(t)}}$. Déterminer $p(t)$, sa limite en $+\mathrm{\infty }$, et interpréter. (0,25 point)

Pour calculer une valeur approchée de $\sqrt{3}$, on utilise l'algorithme suivant, connu depuis l'Antiquité sous le nom de méthode de Héron : on part d'un réel $u_0>0$, et l'on remplace à chaque étape le nombre courant par la moyenne de ce nombre et de ${\displaystyle \frac{3}{\text{ce nombre}}}$.

Autrement dit, on considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n⩾0$,

$$u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{3}{u_n})\mathrm{.}$$

On note $f$ la fonction définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x+{\displaystyle \frac{3}{x}})$, de sorte que $u_{n+1}=f(u_n)$.

Donnée numérique. $\sqrt{3}\approx \mathrm{1,7320508}$.

1. Démontrer par récurrence que $u_n>0$ pour tout entier naturel $n$. (0,5 point)

2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,

$$u_{n+1}-\sqrt{3}=\frac{{(u_n-\sqrt{3})}^2}{2u_n},$$

puis en déduire que $u_n⩾\sqrt{3}$ pour tout entier $n⩾1$. (0,75 point)

3. Démontrer que la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ est décroissante. (0,5 point)

4. En déduire que la suite $(u_n)$ converge. On note $\mathrm{\ell }$ sa limite ; justifier que $\mathrm{\ell }⩾\sqrt{3}$. (0,5 point)

5. Déterminer $\mathrm{\ell }$ en appliquant le théorème du point fixe, dont on vérifiera soigneusement les hypothèses. (0,5 point)

6. Démontrer que, pour tout entier $n⩾1$,

$$0⩽u_{n+1}-\sqrt{3}⩽\frac{{(u_n-\sqrt{3})}^2}{2\sqrt{3}},$$

puis expliquer, en une ou deux phrases, pourquoi cette majoration rend la méthode extrêmement rapide. (0,75 point)

7. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fractions irréductibles, puis majorer successivement $u_2-\sqrt{3}$ et $u_3-\sqrt{3}$ à l'aide de la question 6. Combien de décimales exactes de $\sqrt{3}$ obtient-on après trois itérations ? (0,5 point)

En calcul approché, on remplace couramment $\sqrt{1+h}$ par $1+{\displaystyle \frac{h}{2}}$ lorsque $h$ est petit. On veut mesurer ce que coûte cette approximation. Pour tout entier $n⩾1$, on pose donc

$$u_n=\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1-\frac{1}{2n}\text{et}{v}_n=\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1.$$

La suite $(u_n)$ est le terme correctif : c'est l'écart entre la vraie valeur et son approximation, tandis que $(v_n)$ est l'accroissement complet.

1. Justifier que $u_n$ et $v_n$ sont bien définis pour tout entier $n⩾1$. (0,25 point)

2. Démontrer que $u_n<0$ pour tout entier $n⩾1$. (0,5 point)

3. À l'aide de la formule de Taylor-Young, établir le développement limité d'ordre $2$ en $0$ de la fonction $x\mapsto (1+x{)}^{1\mathrm{/}2}$. (0,5 point)

4. En déduire que $u_n\sim -{\displaystyle \frac{1}{8n^2}}$. (0,75 point)

5. Déterminer la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{u}_n}$. On prendra garde au signe des termes. (0,5 point)

6. Déterminer la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{v}_n}$, puis expliquer en quelques lignes pourquoi les deux séries n'ont pas la même nature alors que $u_n$ et $v_n$ tendent tous deux vers $0$. (1 point)

7. Déterminer la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}(-1{)}^n{u}_n}$. (0,5 point)

Un projet produit un revenu continu : à l'instant $t$ (exprimé en années, $t⩾0$), il rapporte ${\displaystyle \frac{1}{1+t}}$ euro par an, un flux qui s'essouffle avec le temps. Pour un taux d'actualisation continu $n$, un euro reçu à l'instant $t$ vaut ${\mathrm{e}}^{-nt}$ euro aujourd'hui. La valeur actualisée du projet, au taux $n$, est donc

$$I_n={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-nt}}{1+t}dt\mathrm{.}$$

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier supérieur ou égal à $1$, et l'on note $f_n$ la fonction définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par $f_n(t)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-nt}}{1+t}}$.

1. Justifier que $f_n$ est continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, puis démontrer que $0⩽f_n(t)⩽{\mathrm{e}}^{-nt}$ pour tout $t⩾0$. (0,5 point)

2. Démontrer que l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-nt}dt}$ converge et calculer sa valeur. (0,5 point)

3. En déduire que $I_n$ converge, puis que $0⩽I_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}$. Quelle est la limite de la suite $(I_n)$ ? (0,75 point)

4. Démontrer que la suite $(I_n{)}_{n⩾1}$ est décroissante. (0,5 point)

5. Pour $n⩾1$, on pose $J_n={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t{\mathrm{e}}^{-nt}dt}$. En intégrant par parties sur le segment $[0,x]$ puis en faisant tendre $x$ vers $+\mathrm{\infty }$, démontrer que $J_n$ converge et que $J_n={\displaystyle \frac{1}{n^2}}$. (1 point)

6. a. Démontrer que ${\displaystyle \frac{1}{n}}-I_n={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-nt}\frac{t}{1+t}dt}$. b. En majorant convenablement ${\displaystyle \frac{t}{1+t}}$, en déduire que $0⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}-I_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$, puis que $n{I}_n\to 1$, c'est-à-dire $I_n\sim {\displaystyle \frac{1}{n}}$. (1 point)

7. Déterminer la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{I}_n}$. (0,5 point)

8. Interpréter le résultat $I_n\sim {\displaystyle \frac{1}{n}}$ en termes de valeur actualisée. (0,25 point)