Exercices — Probabilités : chaînes de Markov, densités et estimation

Un opérateur téléphonique propose deux forfaits : le forfait « Essentiel », qui sera l'état $1$, et le forfait « Confort », qui sera l'état $2$. D'un mois sur l'autre, un client qui a le forfait Essentiel passe au forfait Confort avec la probabilité $\mathrm{0,3}$, et un client qui a le forfait Confort passe au forfait Essentiel avec la probabilité $\mathrm{0,2}$. Aucun client ne résilie son abonnement.

On note $X_n$ le forfait détenu par un client au mois $n$. La situation est résumée par le graphe probabiliste suivant.

1. Les deux probabilités données par le texte sont portées par le graphe ; les deux boucles, elles, sont marquées d'un point d'interrogation. Déterminer leurs valeurs en justifiant le raisonnement.

2. Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe probabiliste.

3. Vérifier que la somme des coefficients de chaque ligne de $M$ vaut $1$, et expliquer pourquoi il en est toujours ainsi.

4. Interpréter en une phrase, dans le contexte de l'exercice, le coefficient $m_{2,1}$.

5. Que vaut $m_{1,1}+m_{1,2}$ ? Calculer ensuite $m_{1,1}+m_{2,1}$, puis $m_{1,2}+m_{2,2}$, et expliquer pourquoi rien n'oblige la somme des coefficients d'une colonne à valoir $1$.

Dans un centre de tri, un chariot automatique circule entre deux zones : la zone de réception, qui sera l'état $1$, et la zone d'expédition, qui sera l'état $2$. Toutes les heures, le chariot change de zone ou reste dans celle où il se trouve. On note $X_n$ la zone occupée par le chariot au bout de $n$ heures. La suite ${\left(X_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une chaîne de Markov de matrice de transition

$$M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,25}& \mathrm{0,75}\end{array}\right)$$

Au départ, le chariot se trouve à coup sûr en zone de réception, de sorte que l'état initial de la chaîne est $V_0=(1,0)$.

1. Rappeler ce que représente le vecteur ligne $V_n$, et vérifier que $V_0=(1,0)$ traduit bien l'énoncé.

2. Calculer $V_1$, puis $V_2$, en détaillant à chaque fois le produit du vecteur ligne par la matrice $M$.

3. Vérifier que la somme des deux coefficients de $V_2$ vaut $1$. Pourquoi était-ce prévisible ?

4. Retrouver $P(X_2=1)$ par la formule des probabilités totales, sans aucun produit matriciel.

1. Rappeler les trois conditions qu'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ doit vérifier pour être une densité de probabilité.

2. Pour chacune des fonctions suivantes, nulle en dehors de l'intervalle indiqué, dire si c'est une densité de probabilité. On vérifiera les trois conditions et on rédigera le calcul de l'intégrale.

3. Deux de ces fonctions sont des densités de lois usuelles du cours. Lesquelles, et de quelles lois s'agit-il ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}$ si $x\in [0,2]$, et $f(x)=0$ sinon. On admet qu'il existe une variable aléatoire $X$ admettant $f$ pour densité, et on note $F$ sa fonction de répartition.

1. Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité.

2. Déterminer $F(x)$ successivement pour $x\in ]-\mathrm{\infty },0[$, pour $x\in [0,2]$, puis pour $x\in ]2,+\mathrm{\infty }[$.

3. Vérifier que $F$ est continue en $0$ et en $2$.

4. Calculer $P(X⩽1)$, $P(X>\mathrm{1,5})$ et $P(\mathrm{0,5}⩽X⩽\mathrm{1,5})$.

5. Justifier que $P(X=1)=0$. Cela signifie-t-il que $X$ ne peut pas prendre la valeur $1$ ?

Une navette d'aéroport passe très exactement toutes les $20$ minutes. Un voyageur se présente à l'arrêt à un instant quelconque, sans connaître les horaires. On note $T$ son temps d'attente, exprimé en minutes, et on admet que $T\hookrightarrow \mathcal{U}([0,20])$.

1. Donner une densité $f$ de $T$, puis sa fonction de répartition $F$.

2. Calculer $P(T⩽5)$, $P(T⩾15)$ et $P(8⩽T⩽12)$.

3. Donner $E(T)$ et $V(T)$ en citant les formules du cours, puis interpréter $E(T)$.

4. Calculer $\sigma (T)$ : valeur exacte, puis valeur approchée à ${10}^{-2}$ près.

La durée de vie, exprimée en années, d'un composant électronique est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,25}$, autrement dit $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\mathrm{0,25})$.

1. Donner une densité $f$ de $X$, puis sa fonction de répartition $F$.

2. Calculer $P(X⩽4)$, $P(X>8)$ et $P(2⩽X⩽6)$ : valeurs exactes, puis valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près.

3. Donner $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$, puis interpréter $E(X)$ dans le contexte de l'exercice.

4. Déterminer le réel $t$ tel que $P(X>t)=\mathrm{0,5}$, appelé durée de vie médiane. Le comparer à $E(X)$ et commenter.

Soit $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, c'est-à-dire $Z\hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)$. On note $\mathrm{\Phi }$ sa fonction de répartition et on dispose du tableau de valeurs suivant.

1. Rappeler la relation de symétrie vérifiée par $\mathrm{\Phi }$ et expliquer d'où elle vient.

2. Calculer $P(Z⩽1)$, puis $P(Z>\mathrm{1,5})$.

3. Calculer $P(Z⩽-1)$, en justifiant le passage utilisé.

4. Calculer $P(-\mathrm{1,96}⩽Z⩽\mathrm{1,96})$, puis $P(\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }>\mathrm{2,5})$.

5. Commenter la valeur obtenue pour $P(\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }⩽\mathrm{1,96})$.

Une machine remplit des sachets. On note $X$ la masse, en grammes, du contenu d'un sachet. On sait seulement que $X$ admet une espérance et une variance, avec

$$E(X)=50\text{et}V(X)=4$$

Aucune hypothèse n'est faite sur la loi de $X$.

1. Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

2. Majorer $P(\mathrm{\mid }X-50\mathrm{\mid }⩾5)$.

3. En déduire une minoration de $P(45<X<55)$ et l'interpréter.

4. Majorer $P(\mathrm{\mid }X-50\mathrm{\mid }⩾10)$.

5. On apprend finalement que $X$ suit la loi normale d'espérance $50$ et d'écart-type $2$, et que dans ce cas $P(\mathrm{\mid }X-50\mathrm{\mid }⩾5)\approx \mathrm{0,0124}$. Que penser alors de la majoration obtenue à la question 2. ?

Soit $X$ une variable aléatoire admettant une espérance $m$ et une variance ${\sigma }^2$, et soit $(X_1,\dots ,X_n)$ un $n$-échantillon de $X$. On pose

$$\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n{X}_k$$

1. Rappeler ce qu'est un $n$-échantillon de $X$, puis ce qu'est un estimateur de $m$.

2. Calculer $E\left(\overline{X_n}\right)$.

3. Calculer $V\left(\overline{X_n}\right)$, en précisant à quel endroit exact l'indépendance est utilisée.

4. En déduire $\sigma \left(\overline{X_n}\right)$.

5. Application numérique avec $m=12$ et $\sigma =3$. Calculer $E\left(\overline{X_n}\right)$, $V\left(\overline{X_n}\right)$ et $\sigma \left(\overline{X_n}\right)$ pour $n=100$, puis pour $n=900$. Que faut-il faire à $n$ pour diviser $\sigma \left(\overline{X_n}\right)$ par $3$ ?

Deux fournisseurs d'électricité se partagent un marché local. Chaque année, un client donné est soit chez le fournisseur historique, soit chez le fournisseur alternatif. On note $1$ l'état « le client est chez le fournisseur historique » et $2$ l'état « le client est chez le fournisseur alternatif », et on note $X_n$ l'état du client l'année $n$.

On admet que $\left(X_n\right)$ est une chaîne de Markov de matrice de transition

$$M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$$

L'état de la chaîne l'année $n$ est la matrice ligne $V_n=(P(X_n=1),P(X_n=2))$, et on rappelle que $V_n=V_{n-1}M$ pour tout $n⩾1$.

1. Traduire en français chacun des quatre coefficients de $M$.

2. Soit $V=(x,y)$ une matrice ligne. Écrire le système d'équations traduisant $V=VM$.

3. Résoudre ce système. Expliquer pourquoi il ne suffit pas à déterminer $V$, et quelle équation supplémentaire le fait de chercher un état impose.

4. En déduire l'unique état stable $V$, puis vérifier le résultat obtenu en calculant $VM$.

5. Interpréter cet état stable en termes de parts de marché.

6. On suppose qu'à l'année $0$ tous les clients sont chez le fournisseur historique, c'est-à-dire $V_0=(1,0)$. Calculer $V_1$ et $V_2$, et commenter.

Les trois situations sont indépendantes. Dans chacune, $c$ désigne un réel que l'on cherche à déterminer pour que la fonction proposée soit une densité de probabilité.

1. Rappeler les conditions qu'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ doit vérifier pour être une densité de probabilité.

2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=c(4-x^2)$ si $x\in [-2,2]$, et $f(x)=0$ sinon. Déterminer $c$.

3. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=c{\mathrm{e}}^{-2x}$ si $x\in [1,+\mathrm{\infty }[$, et $g(x)=0$ sinon. Déterminer $c$, puis en donner une valeur approchée à ${10}^{-4}$.

4. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)={\displaystyle \frac{c}{x^3}}$ si $x\in [1,+\mathrm{\infty }[$, et $h(x)=0$ sinon. Déterminer $c$.

5. Dans les questions 3. et 4., l'intégrale porte sur le même intervalle non borné. Expliquer en une phrase pourquoi elle converge dans les deux cas, et ce qui aurait changé si l'exposant $3$ de la question 4. avait été remplacé par $1$.

Soit $X$ une variable aléatoire à densité, de densité $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)={\displaystyle \frac{2x}{9}}\text{ si }x\in [0,3],f(x)=0\text{ sinon}$$

1. Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité.

2. Montrer que $X$ admet une espérance et calculer $E(X)$.

3. Calculer $E\left(X^2\right)$ à l'aide du théorème de transfert.

4. En déduire $V(X)$ par la formule de Kœnig-Huygens, puis $\sigma (X)$, dont on donnera une valeur approchée à ${10}^{-4}$.

5. Déterminer la variable centrée réduite $X^{\ast }$ associée à $X$, et vérifier par le calcul que $E\left(X^{\ast }\right)=0$ et $V\left(X^{\ast }\right)=1$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0,1]$, c'est-à-dire $X\hookrightarrow \mathcal{U}([0,1])$. On pose

$$Y=5-3X$$

1. Déterminer l'ensemble $Y(\mathrm{\Omega })$ des valeurs prises par $Y$.

2. Exprimer, pour tout réel $y$, la fonction de répartition $F_Y(y)$ en fonction de la fonction de répartition $F_X$ de $X$. On justifiera avec soin le changement de sens de l'inégalité.

3. Expliciter $F_Y$ sur $\mathbb{R}$, puis en déduire une densité de $Y$.

4. Reconnaître la loi de $Y$.

5. Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$ de deux façons : d'abord à partir de la loi trouvée à la question 4., puis à partir de la loi de $X$ à l'aide de la linéarité de l'espérance et de la formule $V(aX+b)=a^{2}V(X)$. Vérifier que les deux méthodes donnent le même résultat.

La durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'une ampoule est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda >0$. On rappelle qu'une densité de $X$ est la fonction nulle sur $]-\mathrm{\infty },0[$ et égale à $\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

1. Montrer que, pour tout réel $t⩾0$, $P(X>t)={\mathrm{e}}^{-\lambda t}$.

2. Démontrer que, pour tous réels $s⩾0$ et $t⩾0$, $P_{(X>s)}(X>s+t)=P(X>t)$.

3. Énoncer en français ce que cette égalité signifie pour l'ampoule.

4. On prend désormais $\lambda =\mathrm{0,001}$. Calculer la probabilité qu'une ampoule allumée depuis $2000$ heures fonctionne encore $500$ heures. On donnera une valeur approchée à ${10}^{-4}$.

5. Que devient cette probabilité si l'ampoule est allumée depuis $10000$ heures au lieu de $2000$ ? Commenter.

6. Cette propriété rend-elle la loi exponentielle réaliste pour modéliser l'usure d'une pièce mécanique ? Répondre en une phrase.

La taille, en centimètres, d'un homme adulte choisi au hasard dans une population est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $m=170$ et d'écart-type $\sigma =8$, c'est-à-dire $X\hookrightarrow \mathcal{N}(170,8^2)$.

On note $\mathrm{\Phi }$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. On rappelle que $\mathrm{\Phi }(-u)=1-\mathrm{\Phi }(u)$ pour tout réel $u$, et on donne :

1. Écrire la variable centrée réduite $X^{\ast }$ associée à $X$ et préciser sa loi.

2. Calculer $P(X⩽180)$.

3. Calculer $P(X>185)$.

4. Calculer $P(160⩽X⩽180)$.

5. Déterminer, à l'aide du tableau, le réel $t$ tel que $P(X⩽t)=\mathrm{0,9938}$, et interpréter.

6. Expliquer pourquoi $P(X=170)=0$, alors que $170$ est pourtant la taille « la plus probable ». On pourra calculer $P(165⩽X⩽175)$.

Soit $X$ une variable aléatoire à densité, de densité $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)={\displaystyle \frac{2}{x^3}}\text{ si }x\in [1,+\mathrm{\infty }[,f(x)=0\text{ sinon}$$

1. Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité.

2. Énoncer le théorème de transfert pour une variable aléatoire à densité.

3. Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.

4. Étudier l'existence de $E\left(X^2\right)$ et conclure quant à l'existence de $V(X)$.

5. Montrer que ${\displaystyle \frac{1}{X}}$ admet une espérance et calculer $E\left({\displaystyle \frac{1}{X}}\right)$.

6. Comparer $E\left({\displaystyle \frac{1}{X}}\right)$ et ${\displaystyle \frac{1}{E(X)}}$, et conclure en une phrase.

Les variables $X$ et $Y$ sont définies sur un même espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$. La variable $X$ suit la loi uniforme sur $[0,4]$, la variable $Y$ suit la loi exponentielle de paramètre $2$, et $X$ et $Y$ sont indépendantes.

On pose $S=X+Y$ et $D=3X-2Y+1$.

1. Donner $E(X)$, $V(X)$, $E(Y)$ et $V(Y)$.

2. Calculer $E(S)$ et $V(S)$. Pour chacun des deux calculs, préciser si l'hypothèse d'indépendance est utilisée ou non.

3. Calculer $E(D)$ et $V(D)$.

4. Calculer $E(XY)$.

5. Expliquer pourquoi les outils de ce chapitre ne permettent pas de déterminer la loi de $S$, alors qu'ils en donnent l'espérance et la variance.

6. On abandonne provisoirement l'hypothèse « $Y$ suit la loi exponentielle de paramètre $2$ » et l'on suppose maintenant que $Y=X$. Calculer $E(XY)$ et $V(X+Y)$, puis dire lesquelles des formules utilisées aux questions 2. et 4. restent valables.

Le nombre $X$ de connexions simultanées à un serveur, relevé sur un intervalle d'une minute, est une variable aléatoire positive admettant une espérance $E(X)=40$. Sa loi est inconnue.

1. Énoncer l'inégalité de Markov en précisant soigneusement ses hypothèses.

2. Majorer $P(X⩾100)$, puis $P(X⩾200)$.

3. On apprend de plus que $X$ admet une variance $V(X)=40$. Après avoir justifié l'inclusion d'événements $(X⩾100)\subset (\mid X-40\mid ⩾60)$, majorer $P(X⩾100)$ à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

4. Comparer les deux majorations obtenues pour $P(X⩾100)$ et expliquer en une phrase pourquoi Bienaymé-Tchebychev fait nettement mieux ici.

5. On admet enfin que $Y=X^2$ admet une espérance $E(Y)=1640$. Appliquer l'inégalité de Markov à $Y$ pour majorer $P(X⩾100)$, et comparer aux deux majorations précédentes.

On lance $n$ fois de suite un dé équilibré à six faces, les lancers étant indépendants. Pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, on note $X_i$ le résultat du $i$-ème lancer, et l'on pose

$$\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

1. Donner la loi de $X_1$, puis calculer $E(X_1)$ et $V(X_1)$.

2. En déduire $E\left(\overline{X_n}\right)$ et $V\left(\overline{X_n}\right)$.

3. Énoncer la loi faible des grands nombres et vérifier que ses hypothèses sont réunies ici.

4. Majorer $P(\mid \overline{X_n}-\mathrm{3,5}\mid ⩾\mathrm{0,1})$ pour $n=1000$.

5. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel cette majoration garantit $P(\mid \overline{X_n}-\mathrm{3,5}\mid ⩾\mathrm{0,1})⩽\mathrm{0,05}$.

6. Commenter en une phrase le fait que la loi faible donne une convergence en probabilité, et non la certitude que la moyenne observée sera proche de $\mathrm{3,5}$.

Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $10$, la variable aléatoire $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et ${\displaystyle \frac{3}{n}}$.

On rappelle que ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1-{\displaystyle \frac{3}{n}})}^n={\mathrm{e}}^{-3}}$.

1. Donner $E(X_n)$ et $V(X_n)$, puis leurs limites quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

2. Rappeler la caractérisation de la convergence en loi pour une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{Z}$.

3. Soit $k$ un entier naturel fixé. Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $\max (k,10)$,

$$P(X_n=k)=\left(\prod _{j=0}^{k-1}(1-{\displaystyle \frac{j}{n}})\right)\times {\displaystyle \frac{3^k}{k!}}\times {(1-{\displaystyle \frac{3}{n}})}^n\times {(1-{\displaystyle \frac{3}{n}})}^{-k}$$

puis en déduire que $P(X_n=k)$ tend vers ${\displaystyle \frac{3^k{\mathrm{e}}^{-3}}{k!}}$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

4. Conclure quant à la convergence en loi de la suite $\left(X_n\right)$.

5. Application numérique pour $n=500$ : comparer $P(X_{500}=2)$ et la valeur approchée fournie par la loi limite. On donne ${\left(\mathrm{0,994}\right)}^{498}\approx \mathrm{0,04994}$ et ${\mathrm{e}}^{-3}\approx \mathrm{0,049787}$.

Un site marchand enregistre $n=2500$ visites, indépendantes les unes des autres. Chaque visite donne lieu à un achat avec la probabilité $p=\mathrm{0,2}$. On note $X$ le nombre total d'achats.

On admet que, $n$ étant grand et $np$ ainsi que $n(1-p)$ étant tous deux supérieurs à $5$, la loi de $X$ peut être approchée par la loi normale d'espérance $np$ et de variance $np(1-p)$.

On note $\mathrm{\Phi }$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et l'on donne :

1. Donner la loi exacte de $X$, son espérance, sa variance et son écart-type.

2. Vérifier que les conditions d'utilisation de l'approximation rappelées ci-dessus sont réunies, et préciser la loi normale utilisée ainsi que la variable centrée réduite associée.

3. Calculer une valeur approchée de $P(X⩽520)$.

4. Calculer une valeur approchée de $P(X>540)$.

5. Calculer une valeur approchée de $P(480⩽X⩽525)$.

6. Expliquer le lien entre cette approximation et le théorème limite central, en écrivant $X$ comme une somme de variables de Bernoulli indépendantes.

Un institut de sondage interroge $n=400$ personnes, tirées au hasard et indépendamment les unes des autres. Chaque personne interrogée répond « oui » avec la probabilité inconnue $p$, élément de $[0,1]$.

Pour $i$ compris entre $1$ et $n$, on note $X_i$ la variable valant $1$ si la $i$-ème personne répond « oui » et $0$ sinon : les $X_i$ sont indépendantes et suivent la loi de Bernoulli de paramètre $p$. La proportion de « oui » observée est la moyenne empirique

$$\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

1. Donner $E\left(\overline{X_n}\right)$ et $V\left(\overline{X_n}\right)$ en fonction de $p$ et de $n$.

2. Démontrer que pour tout réel $p$ de $[0,1]$ on a $p(1-p)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$, et en déduire une majoration de $V\left(\overline{X_n}\right)$ ne dépendant que de $n$.

3. En déduire que pour tout réel $\epsilon >0$,

$$P(\mid \overline{X_n}-p\mid ⩾\epsilon )⩽{\displaystyle \frac{1}{4n{\epsilon }^2}}$$

4. En déduire un intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance $\mathrm{0,95}$, puis son amplitude pour $n=400$.

5. Le sondage a donné $228$ réponses « oui ». Donner l'intervalle obtenu.

6. Commenter en une phrase la largeur de cet intervalle.

Une étude démographique répartit les habitants d'un département en trois zones : l'état $1$ « centre-ville », l'état $2$ « périphérie » et l'état $3$ « campagne ». Chaque année, un habitant peut déménager d'une zone vers une autre.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $X_n$ la zone habitée au bout de $n$ années par une personne choisie au hasard dans la population, et

$$V_n=(P(X_n=1),P(X_n=2),P(X_n=3))$$

l'état de la chaîne à l'année $n$. On admet que $\left(X_n\right)$ est une chaîne de Markov de matrice de transition

$$M=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,15}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,8}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,05}& \mathrm{0,15}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$$

1. Vérifier que $M$ est bien une matrice de transition.

2. Interpréter concrètement les coefficients $m_{1,3}$ et $m_{3,1}$.

3. L'année $0$, la répartition observée est $V_0=(\mathrm{0,5};\mathrm{0,3};\mathrm{0,2})$. Calculer $V_1$, puis contrôler la cohérence du résultat obtenu.

4. On cherche un état stable $V=(x,y,z)$, c'est-à-dire un état vérifiant $V=VM$ et $x+y+z=1$. Écrire le système d'équations traduisant l'égalité $V=VM$.

5. Résoudre par la méthode du pivot le système formé de ces équations et de $x+y+z=1$.

6. Vérifier le résultat obtenu en calculant $VM$.

7. Interpréter le résultat en termes de répartition de la population à long terme.

Pour aller travailler, Nora utilise soit sa voiture (état $1$), soit son vélo (état $2$). Chaque jour, son choix ne dépend que de celui de la veille : si elle a pris la voiture, elle la reprend le lendemain avec la probabilité $\mathrm{0,6}$ ; si elle a pris le vélo, elle le reprend le lendemain avec la probabilité $\mathrm{0,9}$.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $X_n$ le mode de transport utilisé le jour $n$ et $V_n=(P(X_n=1),P(X_n=2))$. On admet que $\left(X_n\right)$ est une chaîne de Markov de matrice de transition

$$M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)$$

Le jour $0$, Nora prend sa voiture, donc $V_0=(1,0)$.

1. Déterminer l'état stable $V=(x,y)$ de cette chaîne.

2. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $W_n=V_n-V$. Montrer que $W_n=W_{n-1}M$ pour tout $n⩾1$, puis que la somme des deux coefficients de $W_n$ est nulle.

3. On écrit donc $W_n=(a_n,-a_n)$. Montrer que $a_n=\mathrm{0,5}{a}_{n-1}$ pour tout $n⩾1$, puis donner l'expression de $a_n$ en fonction de $n$.

4. En déduire l'expression explicite de $V_n$ en fonction de $n$.

5. Déterminer la limite de $V_n$ et commenter le lien avec l'état stable.

6. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que la première coordonnée de $V_n$ soit strictement inférieure à $\mathrm{0,21}$.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A. Le carré d'une variable positive

On suppose que $X\hookrightarrow \mathcal{U}([0,2])$ et on pose $Y=X^2$.

1. Déterminer $Y(\mathrm{\Omega })$.

2. Soit $y\in [0,4]$. Justifier l'équivalence entre les événements $[Y⩽y]$ et $[X⩽\sqrt{y}]$, puis en déduire $F_Y(y)$. Donner ensuite $F_Y(y)$ pour $y<0$ et pour $y>4$.

3. En déduire une densité de $Y$.

4. Calculer $E(Y)$ de deux façons : d'abord à partir de la densité de $Y$, puis par le théorème de transfert appliqué à $X$. Vérifier la concordance.

Partie B. Le carré d'une variable de signe quelconque

On suppose maintenant que $Z\hookrightarrow \mathcal{U}([-1,2])$ et on pose $T=Z^2$.

5. Déterminer $T(\mathrm{\Omega })$ et expliquer pourquoi l'équivalence de la question 2. n'est plus valable.

6. Déterminer $F_T(t)$ pour tout réel $t$, en distinguant les cas $0⩽t⩽1$ et $1<t⩽4$.

7. Expliquer d'où vient la différence avec la partie A.

Soit $\lambda$ un réel strictement positif et soit $U$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0,1[$. On pose

$$X=-{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\ln (1-U)$$

1. Justifier que $X$ est bien définie.

2. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $X$.

3. Soit $x$ un réel positif. Calculer $P(X⩽x)$ en revenant à la définition de $X$, en justifiant chaque changement de sens d'inégalité. Donner ensuite $P(X⩽x)$ pour $x<0$ et reconnaître la loi de $X$.

4. Expliquer en une phrase pourquoi ce résultat est exactement ce qu'il faut pour simuler une loi exponentielle à partir d'un générateur de nombres aléatoires uniformes.

5. Réciproquement, on suppose que $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$ et on pose $V=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda X}$. Déterminer la loi de $V$ et démontrer le résultat.

6. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$, et soit $U\hookrightarrow \mathcal{U}([0,1])$. Montrer que $a+(b-a)U\hookrightarrow \mathcal{U}([a,b])$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)=0\text{ si }x<1,f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}\text{ si }x⩾1$$

On admet qu'il existe une variable aléatoire $X$ admettant $f$ pour densité.

1. Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité.

2. Déterminer la fonction de répartition $F_X$ de $X$.

3. Montrer que $X$ n'admet pas d'espérance, en rédigeant soigneusement l'étude de la convergence de l'intégrale.

4. Calculer $P(X⩾a)$ pour tout réel $a⩾1$, puis déterminer la limite de cette probabilité quand $a$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

5. Expliquer pourquoi l'inégalité de Markov ne peut pas être appliquée à cette variable.

6. On pose $Y=\ln X$. Montrer que $Y$ suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre, et en déduire que $Y$ admet une espérance, que l'on calculera.

7. Conclure en une phrase sur ce que cet exemple apprend.

Soit $Z\hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)$. On note $\phi$ sa densité, définie pour tout réel $t$ par $\phi (t)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}$, et $\mathrm{\Phi }$ sa fonction de répartition.

On donne les valeurs approchées suivantes :

$$\mathrm{\Phi }(1)\approx \mathrm{0,8413},\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,645})\approx \mathrm{0,9500},\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,96})\approx \mathrm{0,9750},\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,576})\approx \mathrm{0,9950}$$

1. Démontrer que $\mathrm{\Phi }(-x)=1-\mathrm{\Phi }(x)$ pour tout réel $x$, en partant de la parité de $\phi$ et en rédigeant le changement de variable sur un segment.

2. En déduire la valeur de $\mathrm{\Phi }(0)$.

3. Démontrer que $P(\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }⩽a)=2\mathrm{\Phi }(a)-1$ pour tout réel positif $a$, puis calculer $P(\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }⩽1)$.

4. Déterminer le réel positif $a$ tel que $P(\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }⩽a)=\mathrm{0,95}$, puis celui tel que $P(\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }⩽a)=\mathrm{0,99}$.

5. Un élève propose $a=\mathrm{1,645}$ à la première question du 4., au motif que $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,645})\approx \mathrm{0,95}$. Expliquer son erreur et dire à quelle probabilité correspond réellement cette valeur.

6. Soit $X\hookrightarrow \mathcal{N}(m,{\sigma }^2)$, avec $\sigma >0$. Exprimer en fonction de $m$ et de $\sigma$ l'intervalle centré en $m$ qui contient $X$ avec la probabilité $\mathrm{0,95}$, puis l'appliquer au cas $m=250$ et $\sigma =12$.

Soient $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$ quatre variables aléatoires indépendantes, toutes de loi exponentielle de paramètre $1$. On rappelle que si $X\hookrightarrow \mathcal{E}(1)$, alors $E(X)=1$, $V(X)=1$ et $E\left(X^2\right)=2$.

On pose

$$A=X_1+X_2\text{et}B=X_3{X}_4$$

1. Énoncer précisément le lemme des coalitions.

2. Justifier que les variables $A$ et $B$ sont indépendantes.

3. Calculer $E(A)$, $V(A)$ et $E(B)$, en citant à chaque fois le résultat utilisé.

4. En déduire $E(AB)$. Justifier chaque étape du calcul.

5. Peut-on calculer $V(AB)$ avec les outils de ce chapitre ? Justifier la réponse de façon complète.

6. On pose maintenant $C=X_1+X_2$ et $D=X_2+X_3$.

a. Le lemme des coalitions s'applique-t-il à $C$ et $D$ ? Expliquer.

b. Calculer $E(C)$, $E(D)$, puis $E(CD)$. Vérifier que $E(CD)$ diffère de $E(C)E(D)$ et conclure.

Partie A. Loi de Bernoulli

Soit $(X_1,\dots ,X_n)$ un $n$-échantillon d'une loi de Bernoulli de paramètre $p$ inconnu, avec $p$ dans $]0,1[$ : les variables $X_1,\dots ,X_n$ sont indépendantes et suivent toutes la loi de $X$, où $X$ prend la valeur $1$ avec la probabilité $p$ et la valeur $0$ avec la probabilité $1-p$.

On observe une réalisation $(x_1,\dots ,x_n)$ de cet échantillon, formée de $0$ et de $1$, et on note $s=x_1+\cdots +x_n$ le nombre de $1$ observés. On suppose $0<s<n$.

1. Écrire la vraisemblance $L(p)={\displaystyle \prod _{k=1}^{n}P(X_k=x_k)}$ et montrer que $L(p)=p^s(1-p{)}^{n-s}$.

2. Expliquer pourquoi on étudie plutôt la fonction $p⟼\ln L(p)$.

3. Étudier les variations de $\ln L$ sur $]0,1[$ et montrer que cette fonction admet un maximum, atteint en $p={\displaystyle \frac{s}{n}}$.

4. En déduire l'estimateur du maximum de vraisemblance de $p$, puis calculer son espérance.

Partie B. Loi de Poisson

Soit $(X_1,\dots ,X_n)$ un $n$-échantillon d'une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda )$, de paramètre $\lambda >0$ inconnu. On observe $(x_1,\dots ,x_n)$, entiers naturels, de somme $s=x_1+\cdots +x_n$, et on suppose $s>0$.

5. Écrire la vraisemblance $L(\lambda )$, puis la log-vraisemblance $\ln L(\lambda )$.

6. Étudier les variations de $\ln L$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et en déduire l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\lambda$.

7. Un service d'urgences a enregistré $310$ arrivées au total sur $n=50$ jours. Donner l'estimation de $\lambda$ ainsi obtenue.

Un fabricant veut estimer la proportion $p$ de pièces défectueuses de sa production, proportion qu'il ne connaît pas. Il prélève au hasard et de façon indépendante $n$ pièces. Pour $k$ allant de $1$ à $n$, on note $X_k$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la $k$-ième pièce est défectueuse et $0$ sinon : $(X_1,\dots ,X_n)$ est un $n$-échantillon d'une loi de Bernoulli de paramètre $p$.

La proportion de pièces défectueuses observée est la moyenne empirique

$$\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n{X}_k$$

1. Donner $E\left(\overline{X_n}\right)$ et $V\left(\overline{X_n}\right)$ en fonction de $p$ et de $n$.

2. a. Par une étude de fonction, montrer que $p(1-p)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$ pour tout $p$ de $[0,1]$.

b. En déduire, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que pour tout $\epsilon >0$,

$$P(\mid \overline{X_n}-p\mid ⩾\epsilon )⩽{\displaystyle \frac{1}{4n{\epsilon }^2}}$$

3. Le fabricant veut une précision $\epsilon =\mathrm{0,02}$ avec un niveau de confiance d'au moins $\mathrm{0,95}$. Déterminer le plus petit entier $n$ qui le garantit.

4. Refaire le calcul pour un niveau de confiance d'au moins $\mathrm{0,99}$, et commenter le prix à payer.

5. Le fabricant sait maintenant, par son expérience passée, que $p⩽\mathrm{0,05}$. Améliorer la majoration de $p(1-p)$, puis recalculer le plus petit entier $n$ pour $\epsilon =\mathrm{0,02}$ et un niveau de confiance d'au moins $\mathrm{0,95}$.

6. Conclure en une phrase sur l'intérêt d'une information préalable sur le paramètre.

Une chaîne de production remplit des sachets. La masse d'un sachet, en grammes, est une variable aléatoire $X$ d'espérance inconnue $m$ et d'écart-type $\sigma$. On prélève $n=100$ sachets de façon indépendante : $(X_1,\dots ,X_n)$ est un $n$-échantillon de la loi de $X$, de moyenne empirique $\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{X}_k}$.

On admet les deux résultats suivants, qui ne sont pas exigibles en l'état. On note $t_{\alpha }$ le quantile d'ordre $1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ de la loi normale centrée réduite, c'est-à-dire l'unique réel tel que $\mathrm{\Phi }\left(t_{\alpha }\right)=1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$.

Résultat 1. Si $\sigma$ est connu, alors

$$P(\overline{X_n}-t_{\alpha }{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}⩽m⩽\overline{X_n}+t_{\alpha }{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1-\alpha$$

Résultat 2. La même convergence a lieu en remplaçant $\sigma$ par $\sqrt{S_n}$, où $S_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{(X_k-\overline{X_n})}^2}$ est la variance empirique.

On donne $t_{\mathrm{0,05}}\approx \mathrm{1,96}$ et $t_{\mathrm{0,01}}\approx \mathrm{2,576}$.

1. Rappeler l'énoncé du théorème limite central, et expliquer en trois lignes d'où vient la formule du Résultat 1, sans la redémontrer.

2. On suppose d'abord $\sigma =5$ grammes connu, et on observe une moyenne de $\mathrm{248,4}$ grammes. Donner l'intervalle de confiance asymptotique de $m$ au niveau de confiance $\mathrm{0,95}$.

3. Donner l'intervalle au niveau $\mathrm{0,99}$, et comparer les amplitudes des deux intervalles.

4. On suppose maintenant $\sigma$ inconnu, et on observe sur le même échantillon une variance empirique égale à $36$. Donner l'intervalle de confiance asymptotique de $m$ au niveau $\mathrm{0,95}$.

5. Quel intervalle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev aurait-elle donné, au même niveau $\mathrm{0,95}$, en prenant $\sigma =6$ ? Commenter l'écart de largeur.

6. Que signifie exactement « au niveau de confiance $\mathrm{0,95}$ » ? Pourquoi l'intervalle obtenu est-il seulement asymptotique ?

Une chaîne de Markov ${\left(X_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ prend ses valeurs dans l'ensemble des deux états $\{1,2\}$. Sa matrice de transition dépend de deux paramètres $a$ et $b$ appartenant à $[0,1]$ :

$$M=\left(\begin{array}{cc}1-a& a\\ b& 1-b\end{array}\right)$$

On note $V_n=(u_n,v_n)$ l'état de la chaîne à l'instant $n$, où $u_n=P(X_n=1)$ et $v_n=P(X_n=2)$. On suppose $V_0=(u_0,1-u_0)$ avec $u_0\in [0,1]$, et on rappelle que $V_{n+1}=V_{n}M$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Vérifier que $M$ est une matrice de transition, et ceci pour toutes les valeurs de $a$ et de $b$ dans $[0,1]$.

2. Montrer par récurrence que $u_n+v_n=1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. En déduire que $u_{n+1}=(1-a-b)u_n+b$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Dans les questions 4. et 5., on suppose $a+b\mathrm{\ne }0$ et on pose $q=1-a-b$.

4. a. Montrer qu'il existe un unique réel $\mathrm{\ell }$ vérifiant $\mathrm{\ell }=q\mathrm{\ell }+b$, et que $\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{b}{a+b}}$.

b. Montrer que $u_n-\mathrm{\ell }=q^n(u_0-\mathrm{\ell })$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis donner l'expression explicite de $u_n$ et de $v_n$.

5. Encadrer $q$, puis discuter la convergence de la suite $\left(V_n\right)$ selon la valeur de $a+b$, en distinguant le cas $0<a+b<2$ (on précisera ce qui se passe lorsque $a+b=1$) et le cas $a+b=2$.

6. On suppose dans cette question $a=b=0$. Décrire l'évolution de la chaîne, déterminer tous les états stables et dire pourquoi l'état stable n'est pas unique.

7. Récapituler dans un tableau les comportements possibles de la suite $\left(u_n\right)$.

8. On suppose $a>0$, $b>0$, et $a$ et $b$ non tous les deux égaux à $1$. Justifier que $\left(X_n\right)$ converge en loi vers une variable aléatoire $X$ dont on précisera la loi.

Un appareil est constitué de $n$ composants, où $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$. On note $X_k$ la durée de fonctionnement, en heures, du composant numéro $k$ avant sa panne, et on suppose que $X_1,\dots ,X_n$ sont indépendantes et suivent toutes la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda >0$. On pose

$$M_n=\max (X_1,\dots ,X_n)\text{et}{I}_n=\min (X_1,\dots ,X_n)$$

On admet que $M_n$ et $I_n$ sont des variables aléatoires. On donne ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}\approx \mathrm{0,0821}$.

1. Rappeler la fonction de répartition $F$ commune aux variables $X_k$, et donner, pour $x⩾0$, la valeur de $P(X_k>x)$.

2. Justifier l'égalité d'événements $[M_n⩽x]={\bigcap }_{k=1}^n[X_k⩽x]$, puis déterminer la fonction de répartition de $M_n$.

3. En déduire que $M_n$ est une variable à densité et en donner une densité.

4. Justifier l'égalité d'événements $[I_n>x]={\bigcap }_{k=1}^n[X_k>x]$, puis déterminer la fonction de répartition de $I_n$.

5. Reconnaître la loi de $I_n$ et en déduire directement $E\left(I_n\right)$ et $V\left(I_n\right)$.

6. Un système est dit en série lorsqu'il tombe en panne dès la panne d'un de ses composants, et en parallèle lorsqu'il fonctionne tant qu'au moins un composant fonctionne. Interpréter $I_n$ et $M_n$ à l'aide de ce vocabulaire, et commenter le paramètre trouvé à la question 5.

7. Dans cette question, $n=2$.

a. Calculer $E\left(M_2\right)$ à partir d'une densité de $M_2$.

b. Justifier sans calcul l'identité $E\left(M_2\right)=E\left(X_1\right)+E\left(X_2\right)-E\left(I_2\right)$, et vérifier qu'elle redonne le résultat de la question a.

8. Application numérique : $\lambda =\mathrm{0,01}$ et $n=5$.

a. Calculer la durée moyenne de fonctionnement de l'appareil avant la première panne d'un composant.

b. Calculer la probabilité que les cinq composants tiennent tous plus de $50$ heures.

Un loueur exploite une flotte de véhicules identiques. Pour un véhicule donné, la durée $T$, exprimée en années, avant sa première panne majeure suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,4}$. Le coût total de maintenance de ce véhicule, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la variable aléatoire

$$C=2+3{\mathrm{e}}^{-T}$$

On donne ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,2}}\approx \mathrm{0,3012}$ et ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}}\approx \mathrm{0,4493}$.

Partie A — un véhicule

1. Donner une densité de $T$, sa fonction de répartition, puis $E(T)$ et $\sigma (T)$.

2. a. Calculer la probabilité qu'un véhicule dépasse trois ans sans panne majeure.

b. Calculer la probabilité qu'il dépasse cinq ans sachant qu'il a déjà dépassé trois ans, et commenter le résultat.

3. Calculer $E\left({\mathrm{e}}^{-T}\right)$ à l'aide du théorème de transfert, puis en déduire $E(C)$.

4. Calculer $E\left({\mathrm{e}}^{-2T}\right)$, puis en déduire $V(C)$ et $\sigma (C)$.

Partie B — la flotte

La flotte compte $n$ véhicules dont les durées $T_1,\dots ,T_n$ avant la première panne majeure sont indépendantes et de même loi que $T$. On note $C_i=2+3{\mathrm{e}}^{-T_i}$ le coût de maintenance du véhicule numéro $i$, et

$$\overline{C_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{C}_i$$

le coût moyen de maintenance par véhicule. On admet que $C_1,\dots ,C_n$ sont indépendantes et de même loi que $C$.

5. Donner $E\left(\overline{C_n}\right)$ et $V\left(\overline{C_n}\right)$.

6. Pour $n=250$, majorer à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev la probabilité que le coût moyen s'écarte de son espérance de plus de $\mathrm{0,1}$ millier d'euros.

7. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel cette majoration est inférieure ou égale à $\mathrm{0,05}$.

8. Conclure par une phrase reliant ces calculs à la loi faible des grands nombres et à la logique d'un loueur.

Une usine produit en très grande série des composants électroniques, dont une proportion inconnue $p$ est défectueuse. On prélève au hasard $n=400$ composants de façon indépendante, et on note $X$ le nombre de composants défectueux obtenus.

On donne ${\mathrm{e}}^{-4}\approx \mathrm{0,018316}$, $\sqrt{75}\approx \mathrm{8,66}$, $\sqrt{\mathrm{0,1716}}\approx \mathrm{0,4142}$, $\sqrt{5}\approx \mathrm{2,236}$, ainsi que $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,15})\approx \mathrm{0,8749}$ et $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,73})\approx \mathrm{0,9582}$, où $\mathrm{\Phi }$ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Partie A — la loi exacte et l'approximation de Poisson

1. Déterminer la loi de $X$, ainsi que $E(X)$ et $V(X)$ en fonction de $p$.

2. Dans cette question uniquement, $p=\mathrm{0,01}$. L'entier $n$ étant grand, $p$ petit et $np=4$, on admet que l'on peut approcher la loi de $X$ par la loi de Poisson de paramètre $4$. Calculer, à ${10}^{-4}$ près et par cette approximation :

a. $P(X=0)$ ; b. $P(X⩽2)$ ; c. $P(X⩾5)$.

3. Énoncer le résultat de convergence en loi du cours qui justifie cette approximation, et vérifier que les conditions d'emploi sont réunies.

Partie B — l'approximation normale

Dans toute cette partie, $p=\mathrm{0,25}$.

4. Vérifier que $np⩾5$ et $n(1-p)⩾5$. On admet qu'alors la loi de $X$ peut être approchée par la loi normale d'espérance $np$ et de variance $np(1-p)$ ; préciser ces deux paramètres ainsi que l'écart-type correspondant.

5. En déduire une valeur approchée de : a. $P(X⩽110)$ ; b. $P(85⩽X⩽115)$.

6. Expliquer le lien entre cette approximation et le théorème limite central.

Partie C — estimer $p$

La proportion $p$ redevient inconnue. On pose $X_i=1$ si le $i$-ième composant prélevé est défectueux et $X_i=0$ sinon : $X_1,\dots ,X_n$ est un échantillon de loi de Bernoulli de paramètre $p$, et $\overline{X_n}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ est la proportion observée de défectueux.

7. Rappeler quel est l'estimateur du maximum de vraisemblance de $p$ pour un tel échantillon (la démonstration n'est pas demandée), et calculer son espérance.

8. On observe $88$ composants défectueux parmi les $400$ prélevés. Donner l'estimation ponctuelle de $p$. On admet que

$$[\overline{X_n}-t_{\alpha }{\displaystyle \frac{\sqrt{\overline{X_n}(1-\overline{X_n})}}{\sqrt{n}}};\overline{X_n}+t_{\alpha }{\displaystyle \frac{\sqrt{\overline{X_n}(1-\overline{X_n})}}{\sqrt{n}}}]$$

est un intervalle de confiance asymptotique de $p$ au niveau de confiance $1-\alpha$, avec $t_{\mathrm{0,05}}\approx \mathrm{1,96}$. Calculer cet intervalle au niveau $\mathrm{0,95}$, en arrondissant les bornes à ${10}^{-3}$.

9. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et de la majoration $p(1-p)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$, déterminer un autre intervalle de confiance de $p$ au niveau $\mathrm{0,95}$. Comparer les deux amplitudes, puis expliquer en deux phrases d'où vient l'écart et ce que chacun des deux intervalles garantit réellement.