Devoir surveillé — Probabilités : chaînes de Markov, densités et estimation

Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La calculatrice n'est pas autorisée : toutes les valeurs numériques utiles sont fournies dans les énoncés. La qualité de la rédaction, la justification des hypothèses avant l'emploi d'un théorème et la précision des interprétations entrent pour une part importante dans la notation.

Un observatoire de montagne classe chaque journée dans exactement l'une des trois catégories suivantes : l'état $1$ « ciel dégagé », l'état $2$ « ciel couvert sans pluie » et l'état $3$ « précipitations ». Pour tout entier naturel $n$, on note $X_n$ l'état du jour $n$, et on admet que la suite $(X_n)$ est une chaîne de Markov de matrice de transition $M$.

Le carnet de l'observatoire ne conserve que les six probabilités de changement d'état, reportées sur le graphe ci-dessous. Les trois probabilités de rester dans le même état, portées par les boucles, ont été effacées.

On note $V_n=(P(X_n=1),P(X_n=2),P(X_n=3))$ l'état de la chaîne au jour $n$.

1. Retrouver les trois coefficients effacés et écrire la matrice $M$. Interpréter en une phrase le coefficient $m_{3,1}$. (0,5 point)

2. Le jour $0$, le ciel est dégagé, de sorte que $V_0=(1,0,0)$. Calculer $V_1$ et $V_2$. (0,5 point)

3. On cherche un état stable, c'est-à-dire une matrice ligne $V=(a,b,c)$ à coefficients positifs vérifiant $V=VM$ et $a+b+c=1$. Écrire le système traduisant $V=VM$, dire pourquoi il ne suffit pas à déterminer $V$, puis déterminer $V$. (1,25 point)

4. Dans cette question, on suppose que l'observatoire a atteint le régime stable, c'est-à-dire que $V_n=V$ pour tout $n$.

a. Calculer la probabilité que deux jours consécutifs soient tous les deux des jours de précipitations. (0,25 point)

b. Calculer la probabilité que la veille d'un jour de ciel dégagé ait été un jour de précipitations, c'est-à-dire $P_{[X_{n+1}=1]}(X_n=3)$. (0,5 point)

5. En régime stable, combien de jours de précipitations par année de $365$ jours le modèle prévoit-il ? Un randonneur en déduit que ces journées sont réparties au hasard dans l'année, sans tendance à se suivre. En comparant deux coefficients déjà calculés, expliquer pourquoi le modèle dit le contraire. (0,5 point)

On appelle facteur de charge d'une éolienne, sur une journée, le rapport entre l'énergie qu'elle a réellement produite et l'énergie qu'elle aurait produite en tournant à pleine puissance toute la journée. C'est donc un nombre compris entre $0$ et $1$.

Pour une éolienne donnée et une journée prise au hasard dans l'année, on note $X$ ce facteur de charge, et on admet que $X$ est une variable aléatoire dont la fonction de répartition $F$ est définie sur $\mathbb{R}$ par

$$F(x)=0\text{ si }x<0,F(x)=1-(1-x{)}^3\text{ si }0⩽x⩽1,F(x)=1\text{ si }x>1$$

La calculatrice n'est pas autorisée. On donne $\sqrt{15}\approx \mathrm{3,873}$.

1. Montrer que $F$ est bien la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité. (0,75 point)

2. En déduire une densité $f$ de $X$, et vérifier directement que $f$ est positive et d'intégrale égale à $1$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 point)

3. Calculer $P(X⩽\frac{1}{2})$, $P(X>\frac{3}{4})$ et $P(\frac{1}{4}⩽X⩽\frac{1}{2})$, sous forme de fractions irréductibles. (0,5 point)

4. Déterminer le réel $t$ de $[0,1]$ tel que $P(X>t)=\frac{1}{8}$. (0,25 point)

5. Calculer $E(X)$, puis $E(X^2)$ à l'aide du théorème de transfert. En déduire $V(X)$ et $\sigma (X)$, cette dernière sous forme exacte puis arrondie à ${10}^{-3}$. (1 point)

6. Le contrat de rachat de l'électricité ne rémunère l'exploitant que sur la part du facteur de charge qui dépasse $\frac{1}{4}$ : le revenu de la journée, exprimé en milliers d'euros, est la variable aléatoire

$$R=6\max (X-{\displaystyle \frac{1}{4}},0)$$

Un exploitant affirme : « le facteur de charge vaut en moyenne $\frac{1}{4}$, donc en moyenne je ne touche rien ». Calculer $E(R)$ à l'aide du théorème de transfert, puis expliquer où se trouve l'erreur de raisonnement. (1 point)

Une course d'orientation se déroule en deux parcours successifs, séparés par un pointage obligatoire. Pour un concurrent tiré au hasard dans le peloton, on note $T_1$ la durée du premier parcours et $T_2$ celle du second, toutes deux exprimées en minutes. On admet que

$$T_1\hookrightarrow \mathcal{N}(48,6^2),T_2\hookrightarrow \mathcal{N}(37,8^2)$$

et que $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes. La durée totale de la course est $T=T_1+T_2$.

La calculatrice n'est pas autorisée. On note $\mathrm{\Phi }$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on rappelle que $\mathrm{\Phi }(-u)=1-\mathrm{\Phi }(u)$ pour tout réel $u$, et on donne :

1. Justifier que $T$ suit une loi normale et préciser ses paramètres. (0,5 point)

2. Calculer $P(T⩽100)$ et $P(T>105)$, arrondies à ${10}^{-4}$. (0,5 point)

3. Calculer $P(75⩽T⩽95)$, arrondie à ${10}^{-4}$. (0,5 point)

4. L'organisateur veut afficher un temps $t$ tel que $90\mathrm{\%}$ des concurrents terminent en moins de $t$. Déterminer $t$ à l'aide du tableau. (0,5 point)

5. On pose $D=T_1-T_2$. Justifier que $D$ suit une loi normale, préciser ses paramètres, puis calculer la probabilité qu'un concurrent mette plus de temps sur le premier parcours que sur le second. (1 point)

Les deux inégalités de ce chapitre majorent une probabilité sans rien connaître de la loi. Cet exercice examine leur portée exacte : d'abord le lien qui les unit, ensuite ce qu'elles permettent de réfuter, enfin la question de savoir si elles pourraient être améliorées.

1. Énoncer l'inégalité de Markov, en précisant soigneusement ses hypothèses. (0,5 point)

2. Soit $X$ une variable aléatoire admettant une espérance $m$ et une variance. En appliquant l'inégalité de Markov à une variable bien choisie, démontrer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout réel $\epsilon >0$,

$$P(\mid X-m\mid ⩾\epsilon )⩽{\displaystyle \frac{V(X)}{{\epsilon }^2}}$$

(1 point)

3. Une variable aléatoire $Y$ est positive et admet pour espérance $E(Y)=6$. Un logiciel de simulation annonce $P(Y⩾15)=\mathrm{0,45}$.

a. Montrer que cette annonce est nécessairement fausse. (0,25 point)

b. Déterminer la plus grande valeur que $P(Y⩾15)$ puisse prendre, et donner une variable aléatoire positive d'espérance $6$ qui l'atteint. (0,5 point)

4. Soit $a$ un réel strictement positif et $k$ un réel supérieur ou égal à $1$. On considère une variable aléatoire $W$ prenant ses valeurs dans $\{-a,0,a\}$, avec

$$P(W=-a)=P(W=a)={\displaystyle \frac{1}{2k^2}}$$

a. Vérifier que ces données définissent bien une loi de probabilité, et donner $P(W=0)$. (0,25 point)

b. Calculer $E(W)$, puis $V(W)$. (0,5 point)

c. Calculer $P(\mathrm{\mid }W-E(W)\mathrm{\mid }⩾a)$ et le comparer à la majoration que fournit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $\epsilon =a$. (0,25 point)

d. Que peut-on en conclure sur la possibilité d'améliorer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ? (0,25 point)

Un réseau de détection surveille les impacts de foudre sur un massif. Sur une zone donnée, la durée $X$ séparant deux impacts successifs, exprimée en heures, est modélisée par une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda >0$.

Le boîtier installé sur ce massif est ancien : il n'enregistre pas la durée $X$, mais seulement le nombre d'heures entières écoulées entre les deux impacts, c'est-à-dire la partie entière

$$N=\lfloor X\rfloor$$

L'objet du problème est de déterminer ce que ces relevés arrondis permettent encore de dire du paramètre $\lambda$, que l'on cherche à estimer.

La calculatrice n'est pas autorisée. On donne $\ln (\frac{5}{3})\approx \mathrm{0,5108}$, $\ln (\frac{4}{3})\approx \mathrm{0,2877}$ et $\ln 2\approx \mathrm{0,6931}$.

Partie A — La loi de la durée arrondie

1. Rappeler la fonction de répartition de $X$, puis montrer que $P(X>x)={\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ pour tout réel $x⩾0$. (0,25 point)

2. Soit $k$ un entier naturel. Justifier l'égalité d'événements $[N=k]=[k⩽X<k+1]$, puis montrer que

$$P(N=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda k}(1-{\mathrm{e}}^{-\lambda })$$

(0,5 point)

3. Vérifier par le calcul que ${\displaystyle \sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}P(N=k)=1}$. (0,25 point)

4. On pose $p=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda }$. Vérifier que $p$ appartient à $]0,1[$, montrer que $N+1$ suit la loi géométrique de paramètre $p$, puis en déduire $E(N)$ et $V(N)$ en fonction de $p$. (0,5 point)

5. On rappelle l'encadrement $x-1<\lfloor x\rfloor ⩽x$, valable pour tout réel $x$. En déduire un encadrement de $E(X)-E(N)$, puis interpréter le résultat pour l'exploitant du réseau. (0,5 point)

Partie B — Estimer le paramètre à partir des relevés arrondis

Le boîtier a enregistré $n$ durées arrondies, correspondant à des intervalles entre impacts indépendants les uns des autres : on dispose donc d'un $n$-échantillon $(N_1,\dots ,N_n)$ de la loi de $N$. On en observe une réalisation $(k_1,\dots ,k_n)$, formée d'entiers naturels, dont on note $s=k_1+\cdots +k_n$ la somme. On suppose $s>0$.

6. On appelle vraisemblance de cette observation la quantité $L(p)={\displaystyle \prod _{i=1}^{n}P(N_i=k_i)}$, considérée comme fonction du paramètre $p$ de la partie A. Montrer que $L(p)=p^n(1-p{)}^s$. (0,75 point)

7. Étudier les variations de la fonction $p⟼\ln (L(p))$ sur $]0,1[$, et en déduire que $L$ admet un maximum, atteint en un point $\widehat{p}$ que l'on déterminera. (0,75 point)

8. En déduire une estimation $\widehat{\lambda }$ du paramètre $\lambda$ en fonction de $n$ et de $s$. (0,25 point)

9. Le boîtier a enregistré $n=320$ durées, de somme $s=480$ heures. Donner les estimations $\widehat{p}$ et $\widehat{\lambda }$. Vérifier la cohérence de $\widehat{p}$ avec la moyenne des relevés et le résultat de la question 4. (0,25 point)

Partie C — Un intervalle de confiance pour $\lambda$

On s'intéresse maintenant aux seuls relevés nuls, c'est-à-dire aux intervalles entre impacts qui ont duré moins d'une heure. On note $Z$ leur nombre parmi les $n$ relevés, et on pose $\tilde{p}=\frac{Z}{n}$.

10. Justifier que $Z$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, puis donner $E(\tilde{p})$ et $V(\tilde{p})$. (0,5 point)

11. On rappelle que $p(1-p)⩽\frac{1}{4}$ pour tout $p$ de $]0,1[$. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que

$$P(\mid \tilde{p}-p\mid ⩾\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{n}}})⩽\mathrm{0,05}$$

puis en déduire un intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance $\mathrm{0,95}$. (0,75 point)

12. Soit $\phi$ la fonction définie sur $]0,1[$ par $\phi (u)=-\ln (1-u)$.

a. Étudier le sens de variation de $\phi$, et vérifier que $\lambda =\phi (p)$. (0,25 point)

b. On note $A=\tilde{p}-\sqrt{\frac{5}{n}}$ et $B=\tilde{p}+\sqrt{\frac{5}{n}}$, et on suppose que $0<A$ et $B<1$. Montrer que les événements $[A⩽p⩽B]$ et $[\phi (A)⩽\lambda ⩽\phi (B)]$ sont égaux, et en déduire un intervalle de confiance de $\lambda$ au niveau de confiance $\mathrm{0,95}$. (0,25 point)

c. Sur les $n=320$ relevés de la question 9., exactement $120$ sont nuls. Donner l'intervalle de confiance numérique obtenu pour $p$, puis pour $\lambda$. Situer l'estimation $\widehat{\lambda }$ de la question 9. par rapport à cet intervalle et commenter la largeur obtenue. (0,25 point)