Exercices — Calcul matriciel et résolution de systèmes linéaires

On considère les cinq matrices suivantes.

1. Donner le format de chacune de ces cinq matrices, et préciser à quel ensemble ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$ elle appartient.

2. Dire lesquelles sont carrées, lesquelles sont des matrices lignes, des matrices colonnes, des matrices diagonales, des matrices triangulaires supérieures ou inférieures.

3. Lire le coefficient d'indice $(2,3)$ de $M_1$, puis le coefficient d'indice $(3,2)$ de $M_5$.

4. Écrire explicitement la matrice $A=(a_{i,j})$ de ${\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R})$ définie par $a_{i,j}=2i-j$ pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $3$ et tout entier $j$ compris entre $1$ et $2$.

5. Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que

$$\left(\begin{array}{cc}2x& 4\\ x+y& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ 1& -1\end{array}\right)$$

On considère les matrices

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 4\\ 0& 3& -2\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{ccc}4& 5& -2\\ 6& -3& 0\end{array}\right)$$

1. Calculer les matrices suivantes.

2. On pose $C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\\ 3& 4\end{array}\right)$. Expliquer pourquoi la somme $A+C$ n'a pas de sens.

3. Résoudre l'équation $2X+A=B$, d'inconnue la matrice $X$, puis vérifier le résultat obtenu.

4. Vérifier sur cet exemple l'égalité $(2+3)A=2A+3A$.

1. Soient $P\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, $Q\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R})$, $R\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ et $T\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Pour chacun des produits suivants, dire s'il est défini et, le cas échéant, donner le format du résultat.

On pose désormais

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ -1& 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\\ 3& 5\end{array}\right)$$ $$L=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\end{array}\right),U=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$$

2. Calculer $AB$, puis $BA$. Que remarque-t-on sur les formats des deux résultats ?

3. Calculer $LU$, puis $UL$, et comparer.

4. Calculer $A{I}_3$ et $I_{2}A$.

5. Conclure en une phrase sur le produit matriciel.

On considère les matrices

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 5\\ 0& 3& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 2\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ -1& 0\end{array}\right)$$

1. Calculer ${}^{t}A$, ${}^{t}B$ et ${}^{t}C$, en précisant à chaque fois le format de la transposée.

2. Parmi les quatre matrices suivantes, dire lesquelles sont symétriques, en justifiant par l'égalité ${}^{t}N=N$.

3. Déterminer le réel $x$ pour que la matrice $P=\left(\begin{array}{ccc}2& x-1& 4\\ 3& 0& -5\\ 4& -5& 1\end{array}\right)$ soit symétrique.

4. On pose $D=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -3\\ 4& -2& 6\end{array}\right)$. Vérifier sur cet exemple l'égalité ${}^t(A+D)={}^{t}A+{}^{t}D$.

5. On pose $E=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)$ et $F=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$. Calculer ${}^t(EF)$, puis ${}^{t}F{}^{t}E$ et ${}^{t}E{}^{t}F$. Que constate-t-on ?

On considère les matrices

$$D=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)\text{et}T=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$$

1. Calculer $D^2$ et $D^3$.

2. Conjecturer une expression de $D^n$ pour tout entier naturel $n$, puis démontrer cette conjecture par récurrence.

3. En déduire $D^{10}$.

4. Calculer $T^2$ et $T^3$. Vérifier que les coefficients diagonaux obéissent à la même règle que pour $D$. Que dire des coefficients situés au-dessus de la diagonale ?

5. La matrice $T^2$ est-elle encore triangulaire supérieure ? Justifier.

On considère les quatre matrices de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ suivantes.

1. Calculer les déterminants $\det (A)$, $\det (B)$, $\det (C)$ et $\det (D)$.

2. En déduire lesquelles de ces matrices sont inversibles.

3. Calculer l'inverse de chacune des matrices inversibles, et contrôler l'un de ces inverses par le produit.

4. Expliquer, sans utiliser le déterminant, pourquoi la matrice $C$ ne peut pas être inversible.

5. Soit $m$ un réel et $M=\left(\begin{array}{cc}m& 4\\ 1& m-3\end{array}\right)$. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $M$ est inversible, et donner alors $M^{-1}$ en fonction de $m$.

On considère le système suivant, d'inconnue $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$ :

$$(S)\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ 2x-y+3z=13\\ 3x+2y-z=-4\end{array}$$

1. Résoudre $(S)$ par la méthode du pivot de Gauss, en écrivant à chaque étape l'opération élémentaire utilisée, sous la forme $L_2\leftarrow L_2-2L_1$. Donner l'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions.

2. Vérifier la solution obtenue dans les trois équations de départ.

3. Justifier que $(S)$ est un système de Cramer.

4. Résoudre le système homogène associé $(S_0)$, obtenu en remplaçant les trois seconds membres par $0$.

5. Conclure en une phrase sur le lien entre les résultats des questions 1. et 4.

On considère le système suivant, d'inconnue $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$ :

$$(S)\{\begin{array}{l}2x+y-z=3\\ x-3y+2z=3\\ 4x+y+z=11\end{array}$$

1. Écrire $(S)$ sous la forme matricielle $AX=Y$, en précisant les matrices $A$, $X$ et $Y$ ainsi que leurs formats.

2. Faire l'opération inverse : écrire le système linéaire associé à l'égalité matricielle $BX=Z$, où

$$B=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 3& 1& -4\\ 0& 5& 2\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),Z=\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 1\end{array}\right)$$

3. On pose $X_0=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ et $X_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$. En calculant $A{X}_0$ et $A{X}_1$, dire lequel de ces deux triplets est solution de $(S)$.

4. Écrire le système homogène associé à $(S)$ sous forme matricielle, et vérifier que la matrice colonne nulle en est solution.

5. Expliquer en une phrase pourquoi un système homogène admet toujours au moins une solution.

On considère les deux matrices de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ 3& 6\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& 0\end{array}\right)$$

1. Déterminer la matrice $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telle que $3X-2A=B$, puis vérifier le résultat obtenu.

2. Déterminer les matrices $X$ et $Y$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ vérifiant simultanément $X+Y=A$ et $X-Y=B$. Vérifier le résultat obtenu.

3. Soit $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Démontrer que la matrice $M+{}^{t}M$ est symétrique.

4. On pose $S=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 6& -2\end{array}\right)$. Déterminer la matrice $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, triangulaire supérieure, telle que $X+{}^{t}X=S$.

5. Quelle méthode générale ces calculs mettent-ils en œuvre, et quelle opération licite sur les réels reste-t-elle interdite ici ?

On considère les deux matrices de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

1. Calculer $AB$ et $BA$. Que peut-on en conclure sur le produit matriciel ?

2. Déterminer deux matrices $C$ et $D$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, toutes deux non nulles, telles que $CD=0_2$. En quoi cela diffère-t-il du calcul sur les nombres réels ?

3. À l'aide de la matrice $C$ de la question 2., exhiber deux matrices $E$ et $F$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ différentes telles que $CE=CF$. Que devient la règle de simplification ?

4. Donner une matrice $M$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, non nulle, telle que $M^2=0_2$.

5. Soit $P\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. On suppose qu'il existe une matrice $Q\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, non nulle, telle que $PQ=0_2$. Démontrer que $P$ n'est pas inversible.

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$, et soient $A$ et $B$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

1. Développer $(A+B{)}^2$ en justifiant chaque étape par la distributivité du produit sur l'addition.

2. Démontrer que $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ si et seulement si $AB=BA$.

3. On prend $n=2$ et

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$$

Calculer $(A+B{)}^2$ d'une part, $A^2+2AB+B^2$ d'autre part, et comparer.

4. Démontrer de même que $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ si et seulement si $AB=BA$.

5. Vérifier sur les matrices de la question 3. que $(A+B)(A-B)$ et $A^2-B^2$ sont différentes.

6. Énoncer la règle à retenir.

On considère les deux matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

$$T=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 4& 5\\ 0& 0& 6\end{array}\right)\text{et}U=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 3& -1\\ 0& 0& 5\end{array}\right)$$

1. Calculer le produit $TU$ et constater qu'il est triangulaire supérieur.

2. On considère maintenant deux matrices triangulaires supérieures quelconques de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

$$T=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ 0& a_{2,2}& a_{2,3}\\ 0& 0& a_{3,3}\end{array}\right)\text{et}U=\left(\begin{array}{ccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& b_{1,3}\\ 0& b_{2,2}& b_{2,3}\\ 0& 0& b_{3,3}\end{array}\right)$$

Calculer les trois coefficients de $TU$ situés sous la diagonale et conclure.

3. Calculer les trois coefficients diagonaux de $TU$. Que remarque-t-on ?

4. En déduire par récurrence que, pour tout entier $n⩾1$, la matrice $T^n$ est triangulaire supérieure et que ses coefficients diagonaux valent $a_{1,1}^n$, $a_{2,2}^n$ et $a_{3,3}^n$.

5. Donner les coefficients diagonaux de $T^4$ pour la matrice $T$ de la question 1., après avoir contrôlé la formule sur $T^2$.

On considère la matrice de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$$

1. Calculer $A^2$ et $A^3$.

2. Conjecturer une expression de $A^n$ en fonction de l'entier $n⩾1$.

3. Démontrer cette conjecture par récurrence, en rédigeant l'initialisation, l'hérédité et la conclusion.

4. Contrôler la formule obtenue pour $n=3$.

5. En déduire $A^{10}$.

6. La formule reste-t-elle valable pour $n=0$ ?

On considère les matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

$$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\text{et}A=I_3+N$$

1. Calculer $N^2$ et $N^3$. En déduire $N^k$ pour tout entier $k⩾3$.

2. Calculer $A^2$ et $A^3$, exprimés en fonction de $I_3$, $N$ et $N^2$.

3. Conjecturer que, pour tout entier $n⩾1$,

$$A^n=I_3+nN+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{N}^2$$

4. Démontrer cette formule par récurrence.

5. Expliciter les neuf coefficients de $A^n$.

6. Contrôler le résultat pour $n=2$.

On considère la matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 3& 5\\ 3& 4& 8\end{array}\right)$$

Soient $y_1$, $y_2$, $y_3$ trois réels quelconques, et l'on pose

$$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$$

1. Écrire sous forme d'un système d'équations l'égalité matricielle $AX=Y$.

2. Résoudre ce système par la méthode du pivot de Gauss, en exprimant $x_1$, $x_2$ et $x_3$ en fonction de $y_1$, $y_2$ et $y_3$.

3. En déduire que $A$ est inversible et donner $A^{-1}$.

4. Contrôler le résultat en calculant le produit $A{A}^{-1}$ coefficient par coefficient.

5. Résoudre l'équation $AX=B$, où $B=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 3\end{array}\right)$, en utilisant $A^{-1}$, puis vérifier la solution obtenue.

On considère la matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$$

1. Calculer $A^2$ en détaillant le produit.

2. Vérifier que $A^2-5A+4I_3=0_3$.

3. En factorisant cette égalité, démontrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$ et $I_3$.

4. Expliciter les neuf coefficients de $A^{-1}$ et contrôler le résultat par le produit $A{A}^{-1}$.

5. Résoudre l'équation $AX=B$, où $B=\left(\begin{array}{c}7\\ 8\\ 9\end{array}\right)$, à l'aide de $A^{-1}$, et vérifier la solution.

6. Quel est l'intérêt de cette méthode par rapport à la méthode du pivot ?

Soit $m$ un nombre réel. On considère le système d'inconnue $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$

$$(S_m):\{\begin{array}{rl}{\displaystyle x+2y-z}& {\displaystyle =1}\\ {\displaystyle 3x+7y+z}& {\displaystyle =4}\\ {\displaystyle 2x+5y+mz}& {\displaystyle =5}\end{array}$$

1. Échelonner $(S_m)$ par la méthode du pivot de Gauss, en organisant le calcul de façon à ne jamais diviser par une quantité susceptible de s'annuler. En déduire la valeur critique de $m$.

2. Résoudre $(S_m)$ lorsque $m$ n'est pas cette valeur critique, et vérifier le résultat.

3. Résoudre $(S_m)$ pour la valeur critique de $m$.

4. On conserve cette valeur critique et on remplace le second membre $5$ de la troisième équation par un réel $b$. Pour quelle valeur de $b$ le système obtenu admet-il des solutions ? Décrire alors l'ensemble de ses solutions à l'aide d'un paramètre.

5. Récapituler : selon les valeurs de $m$, combien $(S_m)$ admet-il de solutions ?

On considère le système homogène

$$(H)\{\begin{array}{l}x+y+2z=0\\ 2x+3y+z=0\\ 3x+4y+3z=0\end{array}$$

ainsi que le système $(S)$, qui a exactement le même premier membre :

$$(S)\{\begin{array}{l}x+y+2z=4\\ 2x+3y+z=6\\ 3x+4y+3z=10\end{array}$$

Une solution est notée sous forme de colonne $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$.

1. Résoudre $(H)$ par le pivot de Gauss et décrire l'ensemble ${\mathcal{S}}_0$ de ses solutions à l'aide d'un paramètre réel $t$.

2. Écrire les solutions $X_1$ et $X_2$ de $(H)$ obtenues pour $t=1$ et pour $t=3$, vérifier que ce sont bien des solutions, puis vérifier que $X_1+X_2$ en est encore une.

3. Démontrer que si $X$ et $X^{\mathrm{\prime }}$ sont deux solutions de $(H)$, alors $X+X^{\mathrm{\prime }}$ est encore une solution de $(H)$.

4. Démontrer que si $X$ est une solution de $(H)$ et si $\lambda$ est un réel, alors $\lambda X$ est encore une solution de $(H)$.

5. Résoudre $(S)$ par le pivot de Gauss, décrire l'ensemble $\mathcal{S}$ de ses solutions et vérifier le résultat.

6. On note $X_p$ la solution de $(S)$ obtenue pour $t=0$. Observer que $\mathcal{S}$ est exactement l'ensemble des colonnes $X_p+Y$, où $Y$ décrit ${\mathcal{S}}_0$, puis le démontrer.

Une économie est décrite par deux secteurs : l'énergie et le transport. Toutes les valeurs sont exprimées en millions d'euros. Pour produire, chaque secteur consomme une partie de la production des deux secteurs : ces consommations sont rassemblées dans la matrice des coefficients techniques

$$A=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$$

où le coefficient $a_{i,j}$ est la valeur de la production du secteur $i$ nécessaire pour produire $1$ million d'euros dans le secteur $j$. Le secteur $1$ est l'énergie, le secteur $2$ le transport.

On note $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$ la colonne des productions totales des deux secteurs et $D=\left(\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\end{array}\right)$ la colonne des demandes finales, c'est-à-dire des quantités destinées aux consommateurs.

1. Interpréter en une phrase chacun des deux coefficients $a_{1,2}$ et $a_{2,1}$.

2. Justifier l'égalité $X=AX+D$, puis en déduire que $(I_2-A)X=D$.

3. Calculer $I_2-A$, puis $\det (I_2-A)$. En déduire que $I_2-A$ est inversible et calculer son inverse à l'aide de la formule d'ordre $2$. Contrôler le résultat par un produit.

4. Déterminer les productions totales des deux secteurs lorsque la demande finale est $D=\left(\begin{array}{c}20\\ 40\end{array}\right)$, puis vérifier le résultat en recalculant $AX+D$.

5. La demande finale d'énergie augmente de $10$ millions d'euros, celle de transport ne change pas. De combien chaque secteur doit-il augmenter sa production totale ?

6. Commenter en une phrase l'écart entre l'augmentation de la demande et celle de la production.

On considère les deux suites $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définies par $u_0=2$, $v_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$,

$$\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=3u_n+v_n\\ v_{n+1}=u_n+3v_n\end{array}$$

Aucune de ces deux suites ne peut être étudiée seule : chacune a besoin de l'autre. On pose donc, pour tout entier naturel $n$,

$$X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$$

1. Déterminer une matrice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, indépendante de $n$, telle que $X_{n+1}=A{X}_n$ pour tout entier naturel $n$.

2. Calculer $X_1$, $X_2$ et $X_3$.

3. Démontrer par récurrence que $X_n=A^n{X}_0$ pour tout entier naturel $n$, avec la convention $A^0=I_2$.

4. On pose $s_n=u_n+v_n$ et $d_n=u_n-v_n$.

a. Démontrer que $(s_n)$ est géométrique de raison $4$, puis donner $s_n$ en fonction de $n$.

b. Démontrer que $(d_n)$ est géométrique de raison $2$, puis donner $d_n$ en fonction de $n$.

5. En déduire les expressions de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.

6. Contrôler ces expressions pour $n=1$ et $n=2$.

On considère les deux matrices triangulaires supérieures

$$T=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\text{et}{T}^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

qui ne diffèrent que par leur deuxième coefficient diagonal. On note $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$ et $Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$ deux colonnes de ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$.

1. Écrire le système $TX=Y$ et le résoudre par remontée, en exprimant $x_1$, $x_2$ et $x_3$ en fonction de $y_1$, $y_2$ et $y_3$.

2. En déduire que $T$ est inversible et donner $T^{-1}$. Que remarque-t-on sur sa forme et sur ses coefficients diagonaux ?

3. Contrôler le résultat en calculant les produits $T{T}^{-1}$ et $T^{-1}T$.

4. Résoudre le système $TX=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ à l'aide de $T^{-1}$, puis vérifier la solution obtenue.

5. Exhiber une colonne $X_0$ non nulle telle que $T^{\mathrm{\prime }}{X}_0=0_{3,1}$, puis démontrer par l'absurde que $T^{\mathrm{\prime }}$ n'est pas inversible.

6. Énoncer la règle générale que ces calculs mettent en évidence pour une matrice triangulaire supérieure.

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. On rappelle qu'une matrice $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est dite symétrique lorsque ${}^{t}M=M$, et on dira dans cet exercice qu'elle est antisymétrique lorsque

$${}^{t}M=-M$$

On utilisera librement les deux propriétés du cours : pour toutes matrices $M$ et $N$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et tous réels $\lambda$ et $\mu$,

$${}^t(\lambda M+\mu N)=\lambda {}^{t}M+\mu {}^{t}N\text{et}{}^t\left({}^{t}M\right)=M$$

1. Démontrer que tous les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls.

2. On pose $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 5& -3\\ 1& 4& 2\\ 3& 0& 2\end{array}\right)$.

a. Calculer ${}^{t}M$, puis $S={\displaystyle \frac{1}{2}}(M+{}^{t}M)$ et $K={\displaystyle \frac{1}{2}}(M-{}^{t}M)$.

b. Vérifier que $S$ est symétrique, que $K$ est antisymétrique, et que $M=S+K$.

3. Démontrer que toute matrice $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ s'écrit comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.

4. Démontrer que cette écriture est unique.

5. Que donne cette décomposition lorsque $M$ est elle-même symétrique ? Lorsqu'elle est antisymétrique ?

6. Conclure en une phrase.

Le produit matriciel n'est pas commutatif : pour deux matrices $A$ et $M$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, les produits $AM$ et $MA$ sont en général différents. On se propose de déterminer, pour une matrice $A$ fixée, toutes celles qui font exception. On pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)\text{et}\mathcal{C}=\{M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R});AM=MA\}$$

1. Soit $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ une matrice quelconque de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Calculer $AM$ et $MA$.

2. Traduire l'égalité $AM=MA$ par un système de quatre équations d'inconnues $a$, $b$, $c$ et $d$.

3. Résoudre ce système, puis décrire $\mathcal{C}$ à l'aide de deux paramètres réels.

4. Vérifier le résultat sur deux exemples de matrices de $\mathcal{C}$.

5. Démontrer, sans utiliser la question 3., que la somme de deux matrices de $\mathcal{C}$ appartient encore à $\mathcal{C}$, et qu'il en va de même du produit d'une matrice de $\mathcal{C}$ par un réel.

6. Vérifier que $I_2$ et $A$ appartiennent à $\mathcal{C}$, et le justifier sans calcul.

Soit $p$ un entier supérieur ou égal à $2$ et soit $A\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$ une matrice vérifiant la relation

$$A^2=A+2I_p$$

1. Démontrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$ et de $I_p$.

2. Calculer $A^3$ puis $A^4$ en fonction de $A$ et de $I_p$.

3. Démontrer par récurrence qu'il existe deux suites réelles $(a_n{)}_{n⩾1}$ et $(b_n{)}_{n⩾1}$ telles que

$$A^n=a_{n}A+b_n{I}_p\text{pour tout entier }n⩾1$$

et que ces deux suites vérifient $a_1=1$, $b_1=0$ et, pour tout $n⩾1$,

$$a_{n+1}=a_n+b_n\text{et}{b}_{n+1}=2a_n$$

4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾1$,

$$a_n={\displaystyle \frac{2^n-(-1{)}^n}{3}}\text{et}{b}_n={\displaystyle \frac{2^n+2\times (-1{)}^n}{3}}$$

5. Contrôler ces formules pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$.

6. Donner un exemple de matrice de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2=A+2I_2$, puis vérifier la formule obtenue sur cet exemple pour $n=3$.

On considère la colonne et la ligne

$$C=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})\text{et}L=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{1,3}(\mathbb{R})$$

et on pose $A=CL$.

1. Calculer $A$ et préciser son format.

2. Calculer le produit $LC$. Observer que le résultat est une matrice d'ordre $1$, que l'on identifie au réel $\lambda$ qu'elle contient ; donner la valeur de $\lambda$.

3. Démontrer que $A^2=\lambda A$, en travaillant sur les matrices $C$ et $L$ et sans calculer de coefficients.

4. Démontrer par récurrence que $A^n={\lambda }^{n-1}A$ pour tout entier $n⩾1$.

5. Contrôler le cas $n=2$ par le calcul direct de $A^2$.

6. La matrice $A$ est-elle inversible ? Justifier.

Soit $m$ un réel. On considère le système d'inconnues $x$, $y$, $z$

$$(S_m)\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x+2y+mz=2\\ x+my+2z=2\end{array}$$

1. Écrire $(S_m)$ sous la forme $A_{m}X=B$ en précisant $A_m$, $X$ et $B$.

2. Échelonner le système par le pivot de Gauss et dégager les valeurs de $m$ pour lesquelles la discussion se sépare.

3. Donner l'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions dans le cas général, puis vérifier le résultat.

4. Traiter la première valeur critique de $m$.

5. Traiter la seconde valeur critique de $m$ et décrire l'ensemble des solutions à l'aide d'un paramètre.

6. Conclure en indiquant pour quelles valeurs de $m$ la matrice $A_m$ est inversible, et pourquoi.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& -1& 1\\ 3& 1& 4\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

ainsi que les colonnes $B_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ et $B_2=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$.

1. Vérifier que la troisième ligne de $A$ est la somme de ses deux premières lignes. Résoudre le système $AX=0_{3,1}$ et en déduire une colonne $X_0$ non nulle telle que $A{X}_0=0_{3,1}$.

2. En raisonnant par l'absurde, démontrer que $A$ n'est pas inversible.

3. Résoudre le système $AX=B_1$.

4. Résoudre le système $AX=B_2$ et décrire l'ensemble de ses solutions à l'aide d'un paramètre réel.

5. On pose $X_p=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$. Démontrer que les solutions de $AX=B_2$ sont exactement les colonnes de la forme $X_p+t{X}_0$, avec $t\in \mathbb{R}$.

6. Expliquer en une phrase ce qui change par rapport au cas où $A$ est inversible.

Une économie est décomposée en trois branches : l'agriculture, l'industrie et les services. Toutes les grandeurs sont exprimées en millions d'euros.

Pour produire une unité, chaque branche consomme des biens produits par les trois branches. Ces consommations sont données par la matrice des coefficients techniques

$$A=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,4}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$$

où le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ indique la quantité de biens de la branche $i$ nécessaire pour produire une unité de la branche $j$. On note $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ la colonne des productions totales des trois branches et $D$ la colonne des demandes finales.

1. Interpréter concrètement les coefficients $\mathrm{0,2}$ situé en ligne $1$, colonne $2$, et $\mathrm{0,3}$ situé en ligne $3$, colonne $1$.

2. Justifier l'égalité $X=AX+D$, puis en déduire que $(I_3-A)X=D$.

3. Écrire la matrice $I_3-A$. En résolvant le système $(I_3-A)X=Y$ d'inconnue $X$, où $Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$ est une colonne quelconque, démontrer que $I_3-A$ est inversible et déterminer son inverse.

4. Contrôler le résultat précédent par un produit matriciel.

5. Déterminer la production totale de chaque branche pour la demande finale $D=\left(\begin{array}{c}20\\ 40\\ 20\end{array}\right)$, puis vérifier le résultat.

6. La demande finale adressée à l'industrie augmente de $4$, les deux autres restant inchangées. Calculer la nouvelle production, la variation de production de chaque branche, et interpréter.

Une entreprise emploie $500$ salariés, qui viennent tous travailler soit en voiture, soit en transports en commun, soit à vélo. D'un mois sur l'autre, les changements observés sont les suivants.

Parmi les salariés qui viennent en voiture, $70\mathrm{\%}$ continuent en voiture, $20\mathrm{\%}$ passent aux transports en commun et $10\mathrm{\%}$ passent au vélo. Parmi ceux qui viennent en transports en commun, $20\mathrm{\%}$ passent à la voiture, $70\mathrm{\%}$ conservent les transports en commun et $10\mathrm{\%}$ passent au vélo. Parmi ceux qui viennent à vélo, $10\mathrm{\%}$ passent à la voiture, $30\mathrm{\%}$ passent aux transports en commun et $60\mathrm{\%}$ restent à vélo.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $v_n$, $t_n$ et $b_n$ les effectifs respectifs des trois modes après $n$ mois, et $X_n=\left(\begin{array}{c}{v}_n\\ t_n\\ b_n\end{array}\right)$. Au départ, $400$ salariés viennent en voiture, $100$ en transports en commun et aucun à vélo.

1. Exprimer $v_{n+1}$, $t_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $v_n$, $t_n$ et $b_n$, puis donner la matrice $T$ telle que $X_{n+1}=T{X}_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. Vérifier que la somme des coefficients de chaque colonne de $T$ vaut $1$ et interpréter ce fait.

3. Calculer $X_1$ et $X_2$.

4. Démontrer que $v_n+t_n+b_n=500$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

5. Déterminer la répartition qui ne change plus d'un mois à l'autre, c'est-à-dire la colonne $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ vérifiant à la fois $TX=X$ et $x+y+z=500$.

6. Vérifier le résultat obtenu, puis le commenter au vu des valeurs de $X_0$, $X_1$ et $X_2$.

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=1$, $u_1=5$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$$

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_{n+1}\\ u_n\end{array}\right)$.

1. Déterminer une matrice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telle que $X_{n+1}=A{X}_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis démontrer par récurrence que $X_n=A^n{X}_0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. Calculer $A^2$ et vérifier que $A^2=5A-6I_2$.

3. Démontrer qu'il existe deux suites réelles $(a_n{)}_{n⩾1}$ et $(b_n{)}_{n⩾1}$ telles que $A^n=a_{n}A+b_n{I}_2$ pour tout $n⩾1$, et préciser $a_1$, $b_1$ ainsi que les relations liant $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ à $a_n$ et $b_n$.

4. Vérifier par récurrence que, pour tout $n⩾1$,

$$a_n=3^n-2^n\text{et}{b}_n=-6(3^{n-1}-2^{n-1})$$

5. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

6. Contrôler cette expression pour $n=0$, $n=1$, $n=2$ et $n=3$.

On cherche toutes les matrices $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ vérifiant $M^2=0_2$. On pose

$$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),(a,b,c,d)\in {\mathbb{R}}^4$$

1. Calculer $M^2$.

2. En déduire que $M^2=0_2$ équivaut à un système de quatre équations d'inconnues $a$, $b$, $c$ et $d$, que l'on écrira.

3. En discutant selon la valeur de $a+d$, démontrer que

$$M^2=0_2⟺(a+d=0\text{et}{a}^2+bc=0)$$

4. En déduire une description complète de l'ensemble des matrices $M$ telles que $M^2=0_2$, et donner deux exemples de telles matrices, non nulles et différentes l'une de l'autre.

5. Démontrer qu'une matrice vérifiant $M^2=0_2$ n'est jamais inversible, en utilisant le déterminant.

6. Démontrer que si $M^2=0_2$, alors $I_2-M$ est inversible et $(I_2-M{)}^{-1}=I_2+M$. Vérifier ce résultat sur l'un des exemples de la question 4.

Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ une matrice vérifiant

$$A^2=A$$

1. Démontrer que $A(A-I_n)=0_n$.

2. Démontrer que si $A$ est inversible, alors $A=I_n$.

3. Démontrer par récurrence que $A^k=A$ pour tout entier $k⩾1$.

4. On pose $B=I_n-A$. Démontrer que $B^2=B$, puis calculer $A(I_n-A)$.

5. Démontrer que $2A-I_n$ est inversible et qu'elle est égale à son propre inverse.

6. Donner un exemple de matrice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, non nulle et différente de $I_2$, vérifiant $A^2=A$, puis contrôler sur cet exemple les résultats des questions 3., 4. et 5.

Une entreprise fabrique trois produits $P_1$, $P_2$ et $P_3$, en quantités respectives $x$, $y$ et $z$, exprimées en centaines de pièces. Chaque produit passe successivement par trois ateliers : usinage, assemblage et finition. Le nombre d'heures nécessaires pour cent pièces est donné ci-dessous.

L'usinage demande $1$ heure pour chacun des trois produits. L'assemblage demande $1$ heure pour $P_1$, $2$ heures pour $P_2$ et $3$ heures pour $P_3$. La finition demande $1$ heure pour $P_1$, $3$ heures pour $P_2$ et $m$ heures pour $P_3$, où $m$ est un réel strictement positif fixé par le réglage de la machine de finition.

L'entreprise veut utiliser complètement les capacités hebdomadaires de ses trois ateliers, qui sont de $60$ heures d'usinage, $140$ heures d'assemblage et $340$ heures de finition.

1. Mettre le problème en équations, puis l'écrire sous la forme $A_{m}X=B$ en précisant $A_m$, $X$ et $B$.

2. Résoudre le système par le pivot de Gauss en discutant selon les valeurs de $m$.

3. Donner le plan de production dans le cas où il est unique, et vérifier le résultat.

4. Traiter la valeur critique de $m$ et expliquer ce qu'elle signifie concrètement pour l'entreprise.

5. Les quantités produites doivent être positives ou nulles. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles le plan de production est réalisable, et donner le plan obtenu pour $m=9$.

6. Rédiger une phrase de conclusion à destination du gestionnaire de l'atelier.

Deux fournisseurs, $F_1$ et $F_2$, se partagent la totalité d'un marché. D'un mois sur l'autre, ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ des clients de $F_1$ lui restent fidèles et ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ passent chez $F_2$ ; parmi les clients de $F_2$, la moitié passe chez $F_1$ et la moitié reste chez $F_2$.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $x_n$ et $y_n$ les parts de marché des deux fournisseurs après $n$ mois, avec $x_n+y_n=1$, et $X_n=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$. On admet que $X_{n+1}=T{X}_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, où

$$T=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$

1. Justifier la place de chacun des quatre coefficients de $T$, et vérifier que la somme des coefficients de chaque colonne vaut $1$.

2. Calculer $\det (T)$ et en déduire que $T$ est inversible. Calculer $T^2$, puis vérifier que $T^2={\displaystyle \frac{5}{4}}T-{\displaystyle \frac{1}{4}}{I}_2$.

3. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$T^n=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)+{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& -{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)$$

4. Contrôler cette formule pour $n=1$ et $n=2$.

5. Les deux fournisseurs se partagent initialement le marché à parts égales. Déterminer $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$, puis leurs limites quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

6. Déterminer la répartition qui ne change plus d'un mois à l'autre, en résolvant $TX=X$ avec la contrainte $x+y=1$. Comparer au résultat de la question 5. et interpréter.