Devoir surveillé — Calcul matriciel et résolution de systèmes linéaires

Consignes valables pour tout le sujet. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La calculatrice n'est pas autorisée : tous les calculs numériques du sujet se font à la main. La qualité de la rédaction, la clarté des justifications et le soin apporté aux calculs interviennent dans l'appréciation des copies ; une affirmation non justifiée ne rapporte aucun point.

Chacune des cinq affirmations suivantes est soit vraie, soit fausse. Dire dans chaque cas laquelle des deux réponses est la bonne, puis la justifier : par une démonstration si l'affirmation est vraie, par un contre-exemple explicite si elle est fausse. Un contre-exemple doit être entièrement vérifié par le calcul.

1. (0,5 pt) Si $A$ et $B$ sont deux matrices de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telles que $AB=0_2$, alors $A=0_2$ ou $B=0_2$.

2. (0,5 pt) Si $A$ est une matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ telle que $A^3=0_3$, alors $A$ n'est pas inversible.

3. (0,5 pt) Si $A$ est une matrice inversible de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, alors ${}^{t}A$ est inversible et ${\left({}^{t}A\right)}^{-1}={}^t\left(A^{-1}\right)$.

4. (0,5 pt) Un système linéaire de deux équations à trois inconnues admet toujours une infinité de solutions.

5. (0,5 pt) Pour toute matrice $A\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R})$, le produit $A{}^{t}A$ est une matrice symétrique d'ordre $3$.

Un traiteur propose trois menus, notés $M_1$, $M_2$ et $M_3$. Chaque menu est préparé à partir de quatre ingrédients, notés $I_1$, $I_2$, $I_3$ et $I_4$. Le tableau des recettes donne, pour chaque menu, la quantité de chaque ingrédient nécessaire à la préparation de cent couverts, en kilogrammes :

Les quatre ingrédients peuvent être achetés chez deux fournisseurs, $F_1$ et $F_2$. Le tableau des prix donne le prix d'un kilogramme de chaque ingrédient chez chaque fournisseur, en euros :

Le traiteur doit servir deux réceptions, notées $E_1$ et $E_2$. Le tableau des commandes donne, pour chaque réception, le nombre de centaines de couverts de chaque menu :

On note $R$, $P$ et $N$ les trois matrices obtenues en recopiant ces tableaux, dans le même ordre de lignes et de colonnes, sans les en-têtes.

1. (0,5 pt) Donner le format de $R$, de $P$ et de $N$. Parmi les cinq produits $RP$, $PR$, $NR$, $RN$ et $NP$, dire lesquels sont définis et donner le format de ceux qui le sont.

2. (0,75 pt) Calculer la matrice $RP$. Interpréter en une phrase, dans le contexte du traiteur, le coefficient situé à la ligne $3$ et à la colonne $2$.

3. (0,75 pt) Calculer la matrice $NR$. Interpréter en une phrase le coefficient situé à la ligne $2$ et à la colonne $3$.

4. (0,75 pt) Calculer le produit $N\times \left(RP\right)$ à partir du résultat de la question 2, puis retrouver son coefficient d'indice $(1,1)$ en calculant à la place le coefficient d'indice $(1,1)$ de $\left(NR\right)\times P$. Quelle propriété du produit matriciel garantit que ces deux façons de facturer donnent le même résultat ?

5. (0,25 pt) Le traiteur commande la totalité des ingrédients d'une réception chez un seul fournisseur, mais il peut changer de fournisseur d'une réception à l'autre. Quel fournisseur doit-il choisir pour chacune des deux réceptions, et quelle est alors la dépense totale ?

6. (0,5 pt) Le service comptable range ses tableaux dans l'autre sens : il écrit les ingrédients en lignes dans le tableau des recettes, et les fournisseurs en lignes dans le tableau des prix. Il travaille donc avec ${}^{t}R$, ${}^{t}P$ et ${}^{t}N$. Exprimer ${}^t\left(NRP\right)$ à l'aide de ces trois matrices, en justifiant l'ordre des facteurs, puis vérifier la formule obtenue sur le coefficient d'indice $(2,1)$.

Dans tout l'exercice, les matrices considérées appartiennent à ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. On rappelle que le déterminant de $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ est le réel $\det (M)=ad-bc$, et que $M$ est inversible si et seulement si $\det (M)\mathrm{\ne }0$.

1. (1 pt) Soient $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}{a}^{\mathrm{\prime }}& b^{\mathrm{\prime }}\\ c^{\mathrm{\prime }}& d^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)$ deux matrices quelconques de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Calculer le produit $AB$, puis démontrer par le calcul que

$$\det (AB)=\det (A)\times \det (B)\mathrm{.}$$

2. (0,5 pt) En déduire que si $A$ est inversible, alors $\det \left(A^{-1}\right)={\displaystyle \frac{1}{\det (A)}}$.

3. (0,5 pt) Démontrer par récurrence que $\det \left(A^n\right)={(\det (A))}^n$ pour tout entier $n⩾1$.

4. (0,5 pt) On pose $Q=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 2\end{array}\right)$ et $S=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 6\end{array}\right)$. Sans calculer aucune puissance, dire si $Q^7$ est inversible, et démontrer qu'aucune puissance $S^n$, avec $n⩾1$, ne l'est.

5. (0,5 pt) Soient $A$ et $B$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telles que le produit $AB$ soit inversible. Démontrer que $A$ et $B$ sont toutes les deux inversibles.

Un producteur de granulés de bois conditionne sa production dans des sacs de trois formats : des sacs de $200$ kilogrammes, des sacs de $300$ kilogrammes et des sacs de $500$ kilogrammes. Il charge un camion et doit respecter deux contraintes en même temps :

• le camion emporte exactement $30$ sacs, quel que soit leur format, car il ne dispose que de $30$ emplacements ;
• la masse totale chargée doit être exactement de $11$ tonnes, soit $11000$ kilogrammes.

On note $x$, $y$ et $z$ les nombres de sacs de $200$, $300$ et $500$ kilogrammes chargés.

1. (0,5 pt) Traduire les deux contraintes par un système linéaire $(S)$ d'inconnue $(x,y,z)$, puis écrire $(S)$ sous la forme matricielle $AX=B$ en précisant $A$, $X$, $B$ et leurs formats. Expliquer en une phrase pourquoi la question « la matrice $A$ est-elle inversible ? » n'a ici aucun sens.

2. (1 pt) Résoudre $(S)$ dans ${\mathbb{R}}^3$ par la méthode du pivot de Gauss, en écrivant l'opération élémentaire utilisée. Décrire l'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions à l'aide d'un paramètre réel, puis vérifier le résultat dans les deux équations de départ.

3. (0,75 pt) Un nombre de sacs est un entier naturel. Déterminer tous les chargements possibles et dire combien il y en a.

4. (0,75 pt) Le client impose une contrainte supplémentaire : le camion doit contenir au moins deux fois plus de sacs de $500$ kilogrammes que de sacs de $200$ kilogrammes. Combien de chargements restent-ils possibles ? Les donner tous.

5. (0,5 pt) La marge du producteur est de $400$ euros par sac de $200$ kilogrammes, $250$ euros par sac de $300$ kilogrammes et $600$ euros par sac de $500$ kilogrammes. Exprimer la marge totale en fonction du seul paramètre choisi à la question 2, puis déterminer, parmi les chargements de la question 4, celui qui rapporte le plus.

6. (0,5 pt) Un commercial affirme : « le système $(S)$ a une infinité de solutions, donc le producteur dispose d'une infinité de chargements possibles ». Expliquer précisément où est l'erreur.

Le pivot de Gauss transforme une matrice carrée en une matrice triangulaire supérieure. Ce problème montre que cette transformation garde la trace de tout ce qu'elle a fait, sous la forme d'une seconde matrice triangulaire, et que le produit des deux redonne la matrice de départ. On obtient ainsi une écriture $A=LU$, où $L$ est triangulaire inférieure et $U$ triangulaire supérieure, qui permet ensuite de résoudre très vite le système $AX=B$ pour autant de seconds membres $B$ que l'on veut.

Pour tout triplet de réels $(a,b,c)$, on note

$$L(a,b,c)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a& 1& 0\\ b& c& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

Ce sont exactement les matrices triangulaires inférieures d'ordre $3$ dont les trois coefficients diagonaux valent $1$. On remarquera en particulier que $L(0,0,0)=I_3$.

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment les unes des autres, à condition d'admettre les résultats des parties précédentes.

Partie A — les matrices $L(a,b,c)$.

1. (0,75 pt) Soient $(a,b,c)$ et $(a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }},c^{\mathrm{\prime }})$ deux triplets de réels. Calculer le produit $L(a,b,c)\times L(a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }},c^{\mathrm{\prime }})$ et vérifier qu'il est encore de la forme $L(a^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }},c^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})$, en donnant $a^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, $b^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ et $c^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ en fonction de $a$, $b$, $c$, $a^{\mathrm{\prime }}$, $b^{\mathrm{\prime }}$ et $c^{\mathrm{\prime }}$.

2. (0,75 pt) En déduire que $L(a,b,c)$ est inversible et que son inverse est encore de cette forme, en précisant lequel. On vérifiera les deux produits.

3. (0,5 pt) Démontrer que la seule matrice qui soit à la fois de la forme $L(a,b,c)$ et triangulaire supérieure est $I_3$.

Partie B — la décomposition d'une matrice. On considère désormais

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 4& 5& 0\\ -2& 8& 11\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

4. (1 pt) Échelonner $A$ par la méthode du pivot de Gauss, sans jamais échanger deux lignes, en écrivant chaque opération sous la forme $L_i\leftarrow L_i-m{L}_j$. On note $U$ la matrice triangulaire supérieure obtenue, et $m_{2,1}$, $m_{3,1}$, $m_{3,2}$ les trois multiplicateurs utilisés, dans cet ordre.

5. (0,75 pt) Calculer le produit $L\text{\hspace{0.17em}⁣}(m_{2,1},m_{3,1},m_{3,2})\times U$ et constater le résultat.

6. (0,75 pt) Retrouver ce résultat par identification, sans utiliser le pivot : on cherche des réels $a$, $b$, $c$ et une matrice triangulaire supérieure $V=\left(\begin{array}{ccc}p& q& r\\ 0& s& u\\ 0& 0& w\end{array}\right)$ tels que $L(a,b,c)V=A$. Écrire les neuf équations obtenues et les résoudre dans un ordre bien choisi, en expliquant pourquoi cet ordre s'impose.

Partie C — à quoi cette écriture sert. On pose $L=L\text{\hspace{0.17em}⁣}(m_{2,1},m_{3,1},m_{3,2})$, de sorte que $A=LU$.

7. (0,75 pt) On veut résoudre $AX=B_1$, où $B_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 14\\ 47\end{array}\right)$. Justifier que ce système équivaut à la résolution successive de $LY=B_1$, d'inconnue la colonne $Y$, puis de $UX=Y$, d'inconnue $X$. Effectuer ces deux résolutions et vérifier la solution obtenue dans le système de départ.

8. (0,5 pt) Reprendre la question 7 avec le second membre $B_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$.

9. (0,25 pt) Expliquer en deux ou trois phrases l'intérêt de cette méthode lorsqu'on doit résoudre $AX=B$ pour un grand nombre de seconds membres $B$ différents.

10. (0,75 pt) Démontrer l'unicité de l'écriture : si $A=L(a,b,c)U_1=L(a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }},c^{\mathrm{\prime }})U_2$ où $U_1$ et $U_2$ sont deux matrices triangulaires supérieures inversibles, alors $L(a,b,c)=L(a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }},c^{\mathrm{\prime }})$ et $U_1=U_2$. On admettra les deux résultats du cours suivants : le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure, et l'inverse d'une matrice triangulaire supérieure inversible est triangulaire supérieure.

11. (0,25 pt) Une telle écriture n'existe pas toujours. En raisonnant sur les coefficients, démontrer qu'il n'existe aucun réel $a$ ni aucune matrice triangulaire supérieure $V$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ tels que

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ a& 1\end{array}\right)V\mathrm{.}$$