Exercices — Algèbre linéaire

1. Donner la base canonique et la dimension de ${\mathbb{R}}^3$, puis décomposer le vecteur $u=(3,-1,4)$ dans cette base.

2. Donner la base canonique et la dimension de ${\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, puis décomposer dans cette base la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 3& 5& 0\end{array}\right)$$

3. Donner la base canonique et la dimension de ${\mathbb{R}}_2[X]$, puis les coordonnées dans cette base des polynômes suivants.

4. Donner la dimension de chacun des espaces suivants.

5. Vrai ou faux, en justifiant.

a. La famille $(1,X,X^2,X^3)$ est une base de ${\mathbb{R}}_2[X]$.

b. Les espaces ${\mathbb{R}}^3$ et ${\mathbb{R}}_2[X]$ ont la même dimension.

On travaille dans ${\mathbb{R}}^3$, dont on note $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique. On considère les familles suivantes.

1. La famille ${\mathcal{F}}_1$ est-elle libre ? Est-elle génératrice de ${\mathbb{R}}^3$ ?

2. Mêmes questions pour ${\mathcal{F}}_2$.

3. Mêmes questions pour ${\mathcal{F}}_3$. Si elle est liée, écrire une relation de dépendance linéaire entre ses vecteurs.

4. Mêmes questions pour ${\mathcal{F}}_4$.

5. On pose ${\mathcal{F}}_5=(e_1,e_2,e_3,(1,2,3))$. Sans aucun calcul, dire si ${\mathcal{F}}_5$ est libre, puis si elle est génératrice de ${\mathbb{R}}^3$.

6. Donner le rang de chacune des cinq familles.

On considère les cinq parties de ${\mathbb{R}}^3$ suivantes.

1. Pour chacune de ces parties, dire si c'est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$, en justifiant.

2. Pour chaque partie qui est un sous-espace vectoriel, en donner une base et la dimension.

3. A-t-on $F_2\subset F_1$ ?

4. Vrai ou faux : un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$ de dimension $3$ est nécessairement ${\mathbb{R}}^3$ tout entier.

On considère les applications suivantes.

1. Pour chacune de ces applications, dire si elle est linéaire, en justifiant.

2. Parmi les applications linéaires obtenues, lesquelles sont des endomorphismes ? Justifier par ailleurs que $f_1$ et $f_4$ ne peuvent pas être des isomorphismes.

3. Calculer $f_1(1,2,-1)$, puis $f_4(3,-2)$, puis $f_6(1,1,1)$.

4. Soit $g$ une application linéaire de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^2$ telle que

$$g(e_1)=(1,0),g(e_2)=(2,-1),g(e_3)=(0,3)$$

où $(e_1,e_2,e_3)$ désigne la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$. Calculer $g(2,-1,4)$, puis $g(x,y,z)$ pour un vecteur quelconque.

On considère l'application

$$f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2,(x,y,z)\mapsto (x+2y-z,2x+y+z)$$

On note $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$.

1. Montrer que $f$ est linéaire.

2. Déterminer $\mathrm{Ker}f$, en donner une base et la dimension.

3. L'application $f$ est-elle injective ?

4. Calculer $f(e_1)$, $f(e_2)$ et $f(e_3)$, en déduire $\mathrm{Im}f$, puis en donner une base et le rang de $f$.

5. Vérifier le théorème du rang sur cet exemple.

6. L'application $f$ est-elle surjective ? bijective ?

On note $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(e_1^{\mathrm{\prime }},e_2^{\mathrm{\prime }})$ celle de ${\mathbb{R}}^2$. On admet que les deux applications suivantes sont linéaires :

$$f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2,(x,y,z)\mapsto (2x-y+3z,x+4y-z)$$ $$g:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3,(s,t)\mapsto (s+t,2s-t,-s)$$

1. Écrire la matrice $A={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(f)$.

2. Calculer $f(1,-2,3)$ à partir de la formule, puis retrouver le résultat par un produit matriciel.

3. Écrire la matrice $B={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }},\mathcal{B}}(g)$.

4. Justifier que $f\circ g$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^2$, donner sa matrice dans la base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$, puis vérifier le résultat en calculant $(f\circ g)(s,t)$ directement.

5. Donner la taille, puis la matrice, de $g\circ f$ dans la base $\mathcal{B}$.

6. L'application $f$ peut-elle être un isomorphisme ? Justifier sans calcul.

On pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right),T=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& -1& 3\\ 0& 0& 5\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$$

1. Parmi les colonnes suivantes, déterminer lesquelles sont des vecteurs propres de $A$, et préciser la valeur propre associée.

2. Le réel $0$ est-il valeur propre de $A$ ?

3. Montrer que si $\lambda \mathrm{\notin }\{-1,2,5\}$, alors $\lambda$ n'est pas valeur propre de $T$.

4. Déterminer les sous-espaces propres de $T$ associés à $2$, à $-1$ et à $5$, en donner une base, puis conclure sur $\mathrm{Sp}(T)$.

5. Déterminer $\mathrm{Sp}(D)$ ainsi que les sous-espaces propres de $D$, avec leur dimension.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$$

1. Justifier qu'un réel $\lambda$ est valeur propre de $A$ si et seulement si la matrice $A-\lambda I_2$ n'est pas inversible. En déduire $\mathrm{Sp}(A)$.

2. Déterminer les sous-espaces propres de $A$, en donner une base et la dimension.

3. Montrer que $A$ est diagonalisable.

4. Écrire une matrice diagonale $D$ et une matrice inversible $P$ convenables, puis vérifier l'égalité $AP=PD$.

5. Calculer $P^{-1}$ et écrire la relation $D=P^{-1}AP$.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& 1& -2\\ 2& 2& -3\end{array}\right)$$

et on admet que $\mathrm{Sp}(A)=\{-1,1\}$.

1. Vérifier que $U=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ est un vecteur propre de $A$, et préciser la valeur propre associée.

2. Déterminer $E_1(A)$, en donner une base et la dimension.

3. Déterminer $E_{-1}(A)$, en donner une base et la dimension.

4. En déduire que $A$ est diagonalisable.

5. Écrire une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D=P^{-1}AP$, puis vérifier l'égalité $AP=PD$.

6. La matrice $A$ est-elle inversible ? Répondre à l'aide du spectre, sans nouveau calcul.

Dans ${\mathbb{R}}_3[X]$, on considère les quatre polynômes

et dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ les trois matrices

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right),A_3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$$

1. Rappeler la base canonique de ${\mathbb{R}}_3[X]$ et sa dimension, puis donner les coordonnées de $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ dans cette base.

2. La famille $(P_1,P_2,P_3)$ est-elle libre ?

3. Montrer que la famille $(P_1,P_2,P_3,P_4)$ est liée, en donnant une relation de dépendance explicite. En déduire son rang.

4. Rappeler la base canonique de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ et sa dimension, puis donner les coordonnées de $A_1$, $A_2$ et $A_3$ dans cette base.

5. La famille $(A_1,A_2,A_3)$ est-elle libre ? Est-elle génératrice de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ?

On note

$$F=\{P\in {\mathbb{R}}_3[X];P(1)=0\}$$

1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}_3[X]$.

2. Parmi les polynômes suivants, lesquels appartiennent à $F$ ?

3. Soit $P=a+bX+c{X}^2+d{X}^3$ un élément de ${\mathbb{R}}_3[X]$. Traduire l'appartenance $P\in F$ par une relation entre $a$, $b$, $c$ et $d$, puis montrer que

$$F=\mathrm{Vect}(X-1,X^2-1,X^3-1)$$

4. Montrer que la famille $(X-1,X^2-1,X^3-1)$ est libre. En déduire une base de $F$ et la dimension de $F$.

5. Donner les coordonnées de $Q_3$ dans cette base.

6. A-t-on $F={\mathbb{R}}_3[X]$ ?

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on considère les vecteurs

1. Montrer que $a$ et $b$ appartiennent à $\mathrm{Vect}(u,v)$, puis en déduire l'inclusion $\mathrm{Vect}(a,b)\subset \mathrm{Vect}(u,v)$.

2. Exprimer $u$ et $v$ en fonction de $a$ et $b$, et conclure que $\mathrm{Vect}(u,v)=\mathrm{Vect}(a,b)$.

3. Déterminer la dimension de ce sous-espace.

4. Le vecteur $w=(0,3,-3)$ appartient-il à $\mathrm{Vect}(u,v)$ ?

5. Même question pour le vecteur $t=(1,0,0)$.

6. En déduire le rang de la famille $(u,v,w,t)$. Cette famille est-elle génératrice de ${\mathbb{R}}^3$ ?

On considère l'application linéaire $f$ de ${\mathbb{R}}^4$ dans ${\mathbb{R}}^3$ définie par

$$f(x,y,z,t)=(x+2y+t,y+z+t,x+y-z+t)$$

et l'on note $A$ sa matrice dans les bases canoniques de ${\mathbb{R}}^4$ et de ${\mathbb{R}}^3$.

1. Écrire la matrice $A$ et préciser son format.

2. Déterminer $\mathrm{Ker}f$ en résolvant le système $AX=0$. En donner une base et préciser sa dimension.

3. En déduire $\mathrm{rg}f$ à l'aide du théorème du rang.

4. On note $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ les colonnes de $A$. Vérifier que $C_3=C_2-2C_1$, puis donner une base de $\mathrm{Im}f$. Que vaut $\mathrm{Im}f$ ?

5. L'application $f$ est-elle injective ? surjective ? bijective ?

6. Résoudre l'équation $f(x,y,z,t)=(1,2,0)$ et décrire l'ensemble de ses solutions.

On note $E={\mathbb{R}}_3[X]$, muni de sa base canonique $\mathcal{B}=(1,X,X^2,X^3)$, et l'on considère l'application

$$\phi :P⟼P^{\mathrm{\prime }}$$

qui à un polynôme associe son polynôme dérivé.

1. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$.

2. Déterminer $N={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(\phi )$.

3. Déterminer $\mathrm{Ker}\phi$, en donner une base et sa dimension.

4. Déterminer $\mathrm{Im}\phi$, en donner une base et le rang de $\phi$. Vérifier le théorème du rang.

5. L'endomorphisme $\phi$ est-il bijectif ? La matrice $N$ est-elle inversible ?

6. Calculer $N^2$, $N^3$ et $N^4$. Interpréter ces résultats en termes de dérivées successives.

On considère l'application $f$ de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ définie par

$$f(x,y,z)=(x+y+z,x+2y+3z,x+3y+6z)$$

et l'on note $\mathcal{B}$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$.

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ et écrire $A={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(f)$.

2. Déterminer $\mathrm{Ker}f$ et en déduire que $f$ est injective.

3. À l'aide du théorème du rang, montrer que $f$ est un isomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$.

4. Déterminer $f^{-1}$ en résolvant le système $f(x,y,z)=(a,b,c)$, où $(a,b,c)$ est un vecteur quelconque de ${\mathbb{R}}^3$.

5. En déduire $A^{-1}$, et vérifier le résultat en calculant le produit $A{A}^{-1}$.

On note $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et l'on pose

$$e_1^{\mathrm{\prime }}=(1,2,1),e_2^{\mathrm{\prime }}=(0,1,1),e_3^{\mathrm{\prime }}=(1,1,1)$$

1. Montrer que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(e_1^{\mathrm{\prime }},e_2^{\mathrm{\prime }},e_3^{\mathrm{\prime }})$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Écrire la matrice de passage $P=P_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$.

3. Calculer $P^{-1}$ par la méthode du pivot, puis vérifier le résultat.

4. Soit $u$ le vecteur de coordonnées $(2,3,4)$ dans la base $\mathcal{B}$. Déterminer ses coordonnées dans la base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$, et vérifier le résultat.

5. Soit $v$ le vecteur de coordonnées $(1,-1,2)$ dans la base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$. Déterminer ses coordonnées dans la base $\mathcal{B}$.

On note $\mathcal{B}$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et $f$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ de matrice

$$A={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -2& 1& 2\\ 4& -1& -2\end{array}\right)$$

On pose $v_1=(1,1,1)$, $v_2=(1,0,1)$, $v_3=(0,1,-1)$ et ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(v_1,v_2,v_3)$.

1. Montrer que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, puis écrire la matrice de passage $P=P_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$ et calculer $P^{-1}$.

2. Calculer $f(v_1)$, $f(v_2)$ et $f(v_3)$, puis en déduire $D={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(f)$.

3. Vérifier par le calcul matriciel que $D=P^{-1}AP$.

4. Que peut-on dire des matrices $A$ et $D$ ?

5. En déduire, sans aucun nouveau calcul, que $A$ est inversible.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 3& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

1. Soit $\lambda$ un réel. Écrire le système linéaire $(A-\lambda I_3)X=0$, d'inconnue $X={}^t(x,y,z)$.

2. Résoudre ce système par la méthode du pivot et en déduire que $\mathrm{Sp}(A)=\{1,2,4\}$.

3. Déterminer une base et la dimension de chacun des trois sous-espaces propres de $A$.

4. Justifier que $A$ est diagonalisable, puis donner une matrice diagonale $D$ et une matrice inversible $P$ telles que $D=P^{-1}AP$.

5. Vérifier l'égalité $AP=PD$.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 4& -2\\ 1& 2& -1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

ainsi que la colonne $C$ et la ligne $L$ définies par

$$C=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})\text{et}L=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{1,3}(\mathbb{R})$$

Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, on note $E_{\lambda }=\mathrm{Ker}(A-\lambda I_3)$.

1. Vérifier que $A=CL$, puis calculer le produit $LC$ : c'est une matrice à un seul coefficient, que l'on identifie au réel qu'elle contient.

2. En déduire, sans calculer de produit terme à terme, que $A^2=4A$. Donner un polynôme annulateur de $A$ et en déduire que $\mathrm{Sp}(A)\subset \{0,4\}$.

3. Déterminer $E_0=\mathrm{Ker}(A)$ : en donner une base et la dimension.

4. Montrer que $AC=4C$ sans effectuer de produit terme à terme, puis déterminer $E_4$ en résolvant le système $(A-4I_3)X=0$. Conclure sur $\mathrm{Sp}(A)$.

5. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ? Donner une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D=P^{-1}AP$.

6. Démontrer par récurrence que $A^n=4^{n-1}A$ pour tout entier $n⩾1$, puis écrire $A^n$ explicitement. Retrouver ce résultat à partir de la diagonalisation.

7. La matrice $A$ est-elle inversible ? Justifier de deux façons différentes.

On note $J$ la matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients valent $1$ :

$$J=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$$

Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, on note $E_{\lambda }(M)=\mathrm{Ker}(M-\lambda I_3)$ le sous-espace propre éventuel d'une matrice $M$.

1. Calculer $J^2$ et vérifier que $J^2=3J$. En déduire un polynôme annulateur de $J$, puis que $\mathrm{Sp}(J)\subset \{0,3\}$.

2. Déterminer $E_0(J)$ et $E_3(J)$ : bases et dimensions. En déduire $\mathrm{Sp}(J)$.

3. Montrer de deux façons que $J$ est diagonalisable, puis donner une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D=P^{-1}JP$.

4. On pose $A=2I_3+J$. Écrire $A$, puis montrer que pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, $\mathrm{Ker}(A-\lambda I_3)=\mathrm{Ker}(J-(\lambda -2)I_3)$. En déduire $\mathrm{Sp}(A)$, les sous-espaces propres de $A$, et une diagonalisation de $A$ utilisant la même matrice $P$. La matrice $A$ est-elle inversible ?

5. Démontrer par récurrence que $J^k=3^{k-1}J$ pour tout entier $k⩾1$.

6. Justifier que $2I_3$ et $J$ commutent, puis établir, pour tout entier $n⩾1$,

$$A^n=2^n{I}_3+\frac{5^n-2^n}{3}J$$

7. Vérifier cette formule pour $n=2$ par un calcul direct de $A^2$.

Soit $p$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ est

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)$$

autrement dit $p(x,y,z)=(2x-y-z,x-z,x-y)$.

1. Calculer $A^2$ et vérifier que $A^2=A$, c'est-à-dire $p\circ p=p$.

2. Déterminer $\mathrm{Ker}(p)$ : une base et sa dimension. En déduire $\mathrm{rg}(p)$ par le théorème du rang, puis une base de $\mathrm{Im}(p)$ à l'aide des colonnes de $A$.

3. Montrer que pour tout $u\in {\mathbb{R}}^3$, le vecteur $u-p(u)$ appartient à $\mathrm{Ker}(p)$. En déduire que tout vecteur de ${\mathbb{R}}^3$ est somme d'un vecteur de $\mathrm{Im}(p)$ et d'un vecteur de $\mathrm{Ker}(p)$.

4. Montrer que $\mathrm{Im}(p)=\mathrm{Ker}(p-\mathrm{i}\mathrm{d})$, puis déterminer ce sous-espace par le calcul.

5. Donner un polynôme annulateur de $A$ et en déduire que $\mathrm{Sp}(p)\subset \{0,1\}$. Montrer que $0$ et $1$ sont effectivement valeurs propres de $p$.

6. Montrer que $p$ est diagonalisable. Donner une base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ de ${\mathbb{R}}^3$ formée de vecteurs propres, la matrice $D={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(p)$ et une matrice inversible $P$ telle que $D=P^{-1}AP$.

7. En déduire $A^n$ pour tout entier $n⩾1$.

Dans les questions 1. à 3., $A$ désigne une matrice quelconque de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ vérifiant

$$A^2-5A+6I_3=0$$

1. Montrer que $A$ est inversible et que $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{6}}(5I_3-A)$.

2. Montrer que $\mathrm{Sp}(A)\subset \{2,3\}$.

3. On suppose de plus $A\mathrm{\ne }2I_3$ et $A\mathrm{\ne }3I_3$. Montrer que $2$ et $3$ sont alors effectivement des valeurs propres de $A$. Indication : partir de l'égalité $(A-2I_3)(A-3I_3)=0$ et choisir une colonne $X_0$ telle que $(A-3I_3)X_0\mathrm{\ne }0$.

Dans les questions 4. à 7., on considère la matrice

$$B=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ -1& 2& 1\\ -1& -1& 4\end{array}\right)$$

4. Calculer $B^2$ et vérifier que $B^2-5B+6I_3=0$.

5. Déterminer les sous-espaces propres $E_2=\mathrm{Ker}(B-2I_3)$ et $E_3=\mathrm{Ker}(B-3I_3)$ : bases et dimensions. En déduire $\mathrm{Sp}(B)$.

6. Montrer que $B$ est diagonalisable et donner une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D=P^{-1}BP$.

7. Donner $B^{-1}$ explicitement et vérifier le résultat par un produit.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

et l'on pose $N=A-2I_3$.

1. Écrire la matrice $N$, puis calculer $N^2$ et $N^3$.

2. Justifier que les matrices $2I_3$ et $N$ commutent. Quelle formule cela autorise-t-il à utiliser pour développer $A^n=(2I_3+N{)}^n$ ?

3. En déduire que, pour tout entier $n⩾2$,

$$A^n=2^n{I}_3+n{2}^{n-1}N+\frac{n(n-1)}{2}{2}^{n-2}{N}^2$$

puis écrire la matrice $A^n$ explicitement.

4. Vérifier la formule pour $n=2$ en calculant $A^2$ directement.

5. Montrer que si $\lambda \mathrm{\ne }2$, le système $(A-\lambda I_3)X=0$ n'a que la solution nulle. En déduire $\mathrm{Sp}(A)$, puis déterminer le sous-espace propre $E_2=\mathrm{Ker}(A-2I_3)$.

6. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ? Donner deux justifications.

7. La matrice $A$ est-elle inversible ?

On considère les deux matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -1& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$$

Pour une matrice $M$ et un réel $\lambda$, on note $E_{\lambda }(M)=\mathrm{Ker}(M-\lambda I_3)$.

1. Calculer $(B-I_3)(B-2I_3)$. En déduire un polynôme annulateur de $B$, puis que $\mathrm{Sp}(B)\subset \{1,2\}$.

2. Déterminer $E_1(B)$ et $E_2(B)$ : bases et dimensions. En déduire $\mathrm{Sp}(B)$, puis que $B$ est diagonalisable ; donner une matrice inversible $R$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D=R^{-1}BR$.

3. Calculer $C=(A-I_3)(A-2I_3)$, constater que $C\mathrm{\ne }0$, puis calculer $C(A-2I_3)$. En déduire que $(X-1)(X-2{)}^2$ est un polynôme annulateur de $A$, et que $\mathrm{Sp}(A)\subset \{1,2\}$.

4. Déterminer $E_1(A)$ et $E_2(A)$ : bases et dimensions. En déduire $\mathrm{Sp}(A)$, puis que $A$ n'est pas diagonalisable.

5. Montrer que si deux matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ sont semblables et si l'une est diagonalisable, alors l'autre l'est aussi.

6. Conclure que $A$ et $B$ ne sont pas semblables, bien qu'elles aient le même spectre.

7. Vérifier que $A$ et $B$ sont toutes deux inversibles. Le spectre et le rang suffisent-ils à décider si deux matrices sont semblables ?

On considère les deux suites $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définies par $u_0=2$, $v_0=5$ et, pour tout entier $n⩾0$,

$$\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=3u_n+v_n\\ v_{n+1}=2u_n+2v_n\end{array}$$

On pose, pour tout entier $n⩾0$,

$$X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})\text{et}A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$$

1. Calculer $u_1$, $v_1$, $u_2$, $v_2$. Vérifier que $X_{n+1}=A{X}_n$ pour tout $n$, puis démontrer par récurrence que $X_n=A^n{X}_0$.

2. Vérifier que $w_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ et $w_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ sont des vecteurs propres de $A$ et préciser les valeurs propres associées.

3. Montrer que $(w_1,w_2)$ est une base de ${\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$. En déduire que $A$ est diagonalisable, donner $P$ et $D$ telles que $D=P^{-1}AP$, et calculer $P^{-1}$.

4. Décomposer $X_0$ sur la famille $(w_1,w_2)$, puis en déduire $X_n$ sans calculer $A^n$.

5. Donner les expressions explicites de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$, et vérifier le résultat pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$.

6. Calculer $A^n$ et retrouver le résultat de la question 5.

7. Déterminer les limites de $(u_n)$, de $(v_n)$ et du rapport ${\displaystyle \frac{v_n}{u_n}}$.

On note $\mathcal{B}=(1,X,X^2)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}_2[X]$, et l'on définit l'application $\phi$ par

$$\phi (P)=(X+1)P^{\mathrm{\prime }}-P\text{pour tout }P\in {\mathbb{R}}_2[X]$$

1. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}_2[X]$.

2. Calculer $\phi (1)$, $\phi (X)$ et $\phi (X^2)$, puis écrire la matrice $M={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(\phi )$.

3. Déterminer $\mathrm{Ker}(\phi )$ et en donner une base. L'endomorphisme $\phi$ est-il un isomorphisme ? Que vaut $\mathrm{rg}(\phi )$ ?

4. Montrer que si $\lambda \mathrm{\notin }\{-1,0,1\}$, le système $(M-\lambda I_3)X=0$ n'a que la solution nulle. En déduire $\mathrm{Sp}(\phi )\subset \{-1,0,1\}$.

5. Déterminer les sous-espaces propres $E_{-1}$, $E_0$ et $E_1$ de $\phi$, en donnant à chaque fois une base formée de polynômes. Conclure sur $\mathrm{Sp}(\phi )$.

6. Montrer que $\phi$ est diagonalisable. Donner la base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ de vecteurs propres obtenue, la matrice $D={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(\phi )$, la matrice de passage $Q=P_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$ et son inverse, puis vérifier que $MQ=QD$.

7. Vérifier directement que $\phi ((X+1{)}^k)=(k-1)(X+1{)}^k$ pour $k\in \{0,1,2\}$ et commenter.

On note $\mathcal{B}=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})$ la base canonique de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, où

$$E_{11}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),E_{12}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),E_{21}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),E_{22}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

On pose $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$ et l'on définit $\mathrm{\Phi }$ par $\mathrm{\Phi }(M)=AM$ pour toute matrice $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

1. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Quelle est la dimension de cet espace ?

2. Calculer $\mathrm{\Phi }(E_{11})$, $\mathrm{\Phi }(E_{12})$, $\mathrm{\Phi }(E_{21})$ et $\mathrm{\Phi }(E_{22})$, puis écrire la matrice $B={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(\mathrm{\Phi })\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$.

3. Montrer que si $\lambda \mathrm{\notin }\{1,3\}$, le système $(B-\lambda I_4)X=0$ n'a que la solution nulle. En déduire $\mathrm{Sp}(\mathrm{\Phi })\subset \{1,3\}$.

4. Déterminer les sous-espaces propres $E_1(\mathrm{\Phi })$ et $E_3(\mathrm{\Phi })$, décrits comme ensembles de matrices, avec une base et la dimension de chacun. Conclure sur $\mathrm{Sp}(\mathrm{\Phi })$.

5. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est diagonalisable. Donner une base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ formée de vecteurs propres et la matrice ${\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(\mathrm{\Phi })$.

6. Montrer que, pour $\lambda$ réel et $M$ non nulle, $M$ est vecteur propre de $\mathrm{\Phi }$ associé à $\lambda$ si et seulement si les deux colonnes de $M$ appartiennent à $\mathrm{Ker}(A-\lambda I_2)$. Retrouver ainsi les résultats des questions 3. et 4.

7. L'endomorphisme $\mathrm{\Phi }$ est-il un isomorphisme ? Si oui, expliciter ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$.

Deux matrices $M$ et $N$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ sont dites semblables s'il existe une matrice inversible $P\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $N=P^{-1}MP$.

Partie A — deux propriétés générales. Dans cette partie, $M$ et $N$ sont deux matrices semblables de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, et $P$ est une matrice inversible telle que $N=P^{-1}MP$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout $k\in \mathbb{N}$, $N^k=P^{-1}{M}^{k}P$.

2. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. Montrer que si $\lambda$ est valeur propre de $N$, alors $\lambda$ est valeur propre de $M$. En déduire que $\mathrm{Sp}(M)=\mathrm{Sp}(N)$.

3. En déduire que si $M^2=0$, alors $N^2=0$.

Partie B — trois situations concrètes.

4. On pose $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$ et $D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$. Déterminer les valeurs propres de $A$ et un vecteur propre associé à chacune d'elles, puis exhiber une matrice inversible $P$ telle que $D=P^{-1}AP$. Vérifier l'égalité $AP=PD$.

5. On pose $C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Déterminer $\mathrm{Sp}(C)$ et $\mathrm{Sp}(I_2)$. Les matrices $C$ et $I_2$ sont-elles semblables ? Qu'en conclut-on sur la réciproque de la question 2. ?

6. On pose $U=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ et $V=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$. Montrer que $\mathrm{Sp}(U)=\mathrm{Sp}(V)=\{0\}$, puis que $U$ et $V$ ne sont pas semblables.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 3& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$$

1. Justifier, sans aucun calcul, que $A$ est diagonalisable.

2. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. Écrire le système $(A-\lambda I_3)X=0$, puis montrer que $\mathrm{Sp}(A)=\{-1,3\}$.

3. Déterminer les sous-espaces propres $E_3$ et $E_{-1}$ : une base et la dimension de chacun.

4. En déduire une matrice diagonale $D$ et une matrice inversible $P$ telles que $A=PD{P}^{-1}$, et vérifier l'égalité $AP=PD$.

5. Calculer $P^{-1}$, puis en déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Vérifier le résultat pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$.

6. Vérifier que $A^2-2A-3I_3=0$. En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$ et de $I_3$.

Deux marques de café en grains, Rivéa et Solano, se partagent l'intégralité d'un marché local. On observe que, d'un mois sur l'autre :

• $20\mathrm{\%}$ des clients de Rivéa passent à Solano, les autres restent fidèles à Rivéa ;
• $30\mathrm{\%}$ des clients de Solano passent à Rivéa, les autres restent fidèles à Solano.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $r_n$ la part de marché de Rivéa au mois $n$ et $s_n$ celle de Solano, et on pose $X_n=\left(\begin{array}{c}{r}_n\\ s_n\end{array}\right)$. Au mois $0$, Rivéa détient $40\mathrm{\%}$ du marché, donc $X_0=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,6}\end{array}\right)$.

1. Justifier que $X_{n+1}=A{X}_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, où $A=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$, puis montrer par récurrence que $X_n=A^n{X}_0$.

2. Montrer que $r_n+s_n=1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. Montrer que $1$ et $\mathrm{0,5}$ sont valeurs propres de $A$, et déterminer un vecteur propre associé à chacune. En déduire que $A$ est diagonalisable et donner une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{-1}$.

4. Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $X_0=\alpha V_1+\beta V_2$, où $V_1$ et $V_2$ sont les vecteurs propres choisis à la question précédente.

5. En déduire les expressions de $r_n$ et $s_n$ en fonction de $n$. Vérifier le résultat pour $n=0$ et $n=1$.

6. Déterminer les limites de $r_n$ et $s_n$, et interpréter. À partir de quel mois la part de Rivéa dépasse-t-elle $59\mathrm{\%}$ ?

On considère l'application $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^3$ par

$$f(x,y,z)=(-y+z,-2x+2z,-2x-y+3z)$$

On note $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$.

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Écrire la matrice $A={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(f)$.

3. Déterminer $\mathrm{Ker}f$ : en donner une base et la dimension. En déduire $\mathrm{rg}(f)$ par le théorème du rang, puis une base de $\mathrm{Im}f$.

4. L'endomorphisme $f$ est-il bijectif ? La matrice $A$ est-elle inversible ?

5. Montrer que $1$ et $2$ sont valeurs propres de $f$, et déterminer une base de chacun des sous-espaces propres $E_1$ et $E_2$.

6. Montrer que $f$ est diagonalisable. Donner une base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ de ${\mathbb{R}}^3$ formée de vecteurs propres, la matrice $D={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(f)$ et la matrice de passage $P=P_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$, puis vérifier l'égalité $AP=PD$.

7. En déduire $\mathrm{Sp}(f)$.

On travaille dans l'espace vectoriel ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, dont on rappelle que la base canonique est

$$E_{11}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),E_{12}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),E_{21}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),E_{22}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

On note $U=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ et on considère l'ensemble

$$\mathcal{F}=\{M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R});\text{il existe un r}\acute{\text{e}}\text{el }s\text{ tel que }MU=sU\}$$

Lorsque $M$ appartient à $\mathcal{F}$, le réel $s$ correspondant est appelé le coefficient de $M$.

1. Soit $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$. Calculer la colonne $MU$, puis démontrer que $M$ appartient à $\mathcal{F}$ si et seulement si $a+b=c+d$. Justifier le titre de l'exercice et donner le coefficient de $M$ en fonction de $a$ et $b$.

2. Démontrer que $\mathcal{F}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

3. Déterminer une base de $\mathcal{F}$ et en déduire sa dimension.

4. Parmi les trois matrices suivantes, dire lesquelles appartiennent à $\mathcal{F}$ et donner alors leur coefficient.

5. Soient $M$ et $N$ deux éléments de $\mathcal{F}$, de coefficients respectifs $s$ et $t$. Démontrer que le produit $MN$ appartient encore à $\mathcal{F}$ et préciser son coefficient. Vérifier ce résultat sur $M=J$ et $N=J$.

6. Soit $M$ un élément de $\mathcal{F}$, de coefficient $s$, et on suppose de plus $M$ inversible. Démontrer que $s\mathrm{\ne }0$, puis que $M^{-1}$ appartient à $\mathcal{F}$ et préciser son coefficient.

7. Que dit l'appartenance $M\in \mathcal{F}$ à propos du spectre de $M$ ? En déduire, sans résoudre aucun système, une valeur propre de

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 5& -3\end{array}\right)$$

ainsi qu'un vecteur propre associé.