Devoir surveillé — Algèbre linéaire

On note $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$. On considère un endomorphisme $f$ de ${\mathbb{R}}^3$ dont on ne connaît pas la matrice : on sait seulement comment il agit sur trois directions particulières.

$$f(1,2,0)=(2,4,0),f(1,2,1)=(-1,-2,-1),f(1,3,0)=(3,9,0)$$

On pose $v_1=(1,2,0)$, $v_2=(1,2,1)$, $v_3=(1,3,0)$ et ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(v_1,v_2,v_3)$.

1. Démontrer que $v_1$, $v_2$ et $v_3$ sont des vecteurs propres de $f$, en précisant la valeur propre associée à chacun. En déduire, sans aucun calcul de rang ni de système, que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, et donner $D={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(f)$. (0,5 point)

2. Écrire la matrice de passage $P=P_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$ et justifier qu'elle est inversible. (0,5 point)

3. Calculer $P^{-1}$ en résolvant, par la méthode du pivot, le système $PX=Y$ d'inconnue $X$ et de second membre quelconque. (0,5 point)

4. En déduire la matrice $A={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(f)$, puis l'expression de $f(x,y,z)$ pour un vecteur quelconque. (1 point)

5. Calculer $f(1,0,0)$ de deux façons différentes. (0,5 point)

Une scierie sèche ses planches dans un séchoir où elles sont empilées sur trois niveaux, numérotés $0$ (le bas), $1$ (le milieu) et $2$ (le haut). Le modèle du fabricant affirme que le taux d'humidité varie linéairement avec la hauteur : si l'on note $x$ le taux d'humidité au niveau $0$ et $y$ l'écart d'humidité d'un niveau au suivant (les deux exprimés en pourcentages, éventuellement négatifs), alors le taux d'humidité au niveau $k$ vaut $x+ky$.

Trois sondes, une par niveau, renvoient un relevé $(s_0,s_1,s_2)$. Le modèle définit donc une application

$$g:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3,(x,y)⟼(x,x+y,x+2y)$$

et l'on note $M$ sa matrice dans les bases canoniques de ${\mathbb{R}}^2$ et de ${\mathbb{R}}^3$.

1. Démontrer que $g$ est linéaire et écrire $M$ en précisant son format. (0,5 point)

2. Déterminer $\mathrm{Ker}g$. L'application $g$ est-elle injective ? Traduire cette réponse en une phrase pour le technicien du séchoir. (0,5 point)

3. En déduire $\mathrm{rg}(g)$ par le théorème du rang. L'application $g$ est-elle surjective ? (0,5 point)

4. Démontrer que

$$\mathrm{Im}g=\{(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3;a-2b+c=0\}$$

et en donner une base. (1 point)

5. La sonde du séchoir renvoie le relevé $(12,15,18)$. Est-il compatible avec le modèle ? Si oui, déterminer $x$ et $y$. (0,75 point)

6. Le lendemain, le relevé est $(12,15,20)$. Montrer qu'il est incompatible avec le modèle. Le service de maintenance affirme qu'une seule sonde est déréglée, et que c'est celle du niveau $1$. Quelle valeur aurait-elle dû afficher ? (0,75 point)

Un atelier comporte trois postes de travail, notés $1$, $2$ et $3$. Chaque lundi, l'encours de production (le nombre de pièces en attente de traitement) est intégralement déplacé d'un poste au suivant : ce qui se trouve au poste $1$ part au poste $2$, ce qui se trouve au poste $2$ part au poste $3$, et ce qui se trouve au poste $3$ revient au poste $1$. Rien n'est produit ni évacué pendant l'opération.

Pour tout entier naturel $n$, on note $x_n$, $y_n$ et $z_n$ les encours des postes $1$, $2$ et $3$ au début de la semaine $n$, et $X_n$ la colonne correspondante.

1. Justifier que $X_{n+1}=C{X}_n$ pour tout $n$, où $C$ est une matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ que l'on écrira, puis calculer $C^2$ et $C^3$. (0,5 point)

2. En déduire un polynôme annulateur de $C$, puis que $C$ est inversible en donnant $C^{-1}$. Exprimer enfin $C^n$ pour tout entier naturel $n$, en discutant selon le reste de la division euclidienne de $n$ par $3$. (0,5 point)

3. Soit $\lambda$ un réel. Résoudre le système $(C-\lambda I_3)X=0$ et en déduire $\mathrm{Sp}(C)$. (0,75 point)

4. Déterminer le sous-espace propre associé, puis démontrer que $C$ n'est pas diagonalisable. (0,5 point)

5. Une copie rédige le raisonnement suivant : « le polynôme $X^3-1$ annule $C$ et sa seule racine réelle est $1$, donc $\mathrm{Sp}(C)=\{1\}$ ; une matrice dont le spectre se réduit à $\{1\}$ est semblable à $I_3$, donc $C=I_3$. » La conclusion est manifestement fausse. Identifier précisément l'étape qui n'est justifiée par aucun résultat du cours. Déterminer enfin les répartitions d'encours qui sont inchangées d'une semaine sur l'autre, et les interpréter. (0,75 point)

Une imprimerie suit son parc de machines, réparti en deux états : les machines en service et celles qui sont à l'atelier de révision. Le suivi est annuel et le modèle retenu est le suivant. D'une année sur l'autre, parmi les machines en service au $1^{\text{er}}$ janvier

• $70\mathrm{\%}$ sont encore en service l'année suivante, $10\mathrm{\%}$ partent en révision, et $20\mathrm{\%}$ sont réformées ;

et parmi les machines en révision

• $50\mathrm{\%}$ reviennent en service, $30\mathrm{\%}$ restent en révision, et $20\mathrm{\%}$ sont réformées.

Enfin, l'imprimerie achète chaque année $40$ machines neuves, qui entrent directement en service.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de machines en service et $r_n$ le nombre de machines en révision au $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $n$, et l'on pose

$$X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ r_n\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$$

Le parc initial compte $120$ machines en service et $20$ en révision, soit $X_0=(120,20)$. Le modèle est continu : les effectifs obtenus ne sont pas nécessairement entiers.

Données numériques. ${\mathrm{0,8}}^{10}\approx \mathrm{0,1074}$ et ${\mathrm{0,8}}^{11}\approx \mathrm{0,0859}$. Par ailleurs ${\mathrm{0,2}}^{10}<{10}^{-6}$.

1. Traduire le modèle et justifier que $X_{n+1}=A{X}_n+B$ pour tout $n$, où $A$ et $B$ sont à préciser. (0,5 point)

2. Déterminer l'unique colonne $X^{\star }$ vérifiant $X^{\star }=A{X}^{\star }+B$, et interpréter. (0,75 point)

3. Soit $\lambda$ un réel. Résoudre le système $(A-\lambda I_2)X=0$, en déduire $\mathrm{Sp}(A)$ et une base de chaque sous-espace propre, puis justifier que $A$ est diagonalisable. (1 point)

4. On pose $Y_n=X_n-X^{\star }$. Démontrer que $Y_{n+1}=A{Y}_n$ pour tout $n$, puis que $Y_n=A^n{Y}_0$. (0,5 point)

5. Décomposer $Y_0$ sur la base de vecteurs propres, en déduire $u_n$ et $r_n$ en fonction de $n$, et vérifier le résultat pour $n=1$. (0,75 point)

6. Déterminer les limites de $(u_n)$ et de $(r_n)$. Le directeur souhaite disposer de plus de $170$ machines en service : à partir de quelle année y parvient-il ? (0,5 point)

Soit $A$ une matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. On appelle racine carrée de $A$ toute matrice $M$ de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ vérifiant

$$M^2=A$$

Le but du problème est de compter et de déterminer les racines carrées d'une matrice donnée. Pour $\lambda$ réel, on note $E_{\lambda }(A)=\mathrm{Ker}(A-\lambda I_3)$.

Partie A — ce qu'une racine carrée ne peut pas éviter. Dans cette partie, $A$ désigne une matrice quelconque de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Dans les questions 1 à 3, on suppose de plus que $A$ admet une racine carrée, et l'on en note $M$ une : tout ce qui y est démontré est donc valable pour peu qu'une telle matrice existe, question que la question 4 tranchera.

1. Démontrer que $AM=MA$. (0,25 point)

2. Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ et soit $X$ une colonne de $E_{\lambda }(A)$. Démontrer que $MX$ appartient encore à $E_{\lambda }(A)$. (0,5 point)

3. On suppose dans cette question que $A$ admet trois valeurs propres deux à deux distinctes ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$, ${\lambda }_3$, et l'on note $v_1$, $v_2$, $v_3$ des vecteurs propres associés. Démontrer d'abord que chaque sous-espace propre de $A$ est une droite vectorielle, puis que chaque $v_i$ est un vecteur propre de $M$, associé à une valeur propre ${\mu }_i$ vérifiant ${\mu }_i^2={\lambda }_i$. (0,5 point)

4. On garde l'hypothèse de la question 3. Démontrer que si l'une des valeurs propres de $A$ est strictement négative, alors $A$ n'admet aucune racine carrée ; et que si elles sont toutes strictement positives, alors $A$ en admet exactement huit, que l'on décrira. (0,75 point)

Partie B — un exemple complet. On considère désormais

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& -4& 4\\ -12& 13& 12\\ -8& 8& 17\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

ainsi que les trois vecteurs $u_1=(1,1,0)$, $u_2=(1,0,1)$ et $u_3=(0,1,1)$.

5. Vérifier que $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sont des vecteurs propres de $A$ et préciser les valeurs propres associées. (0,75 point)

6. Démontrer que $(u_1,u_2,u_3)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, en déduire $\mathrm{Sp}(A)$ et que $A$ est diagonalisable. Donner une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{-1}$. (0,5 point)

7. Calculer $P^{-1}$. (0,75 point)

8. Combien $A$ admet-elle de racines carrées ? Justifier à partir de la Partie A. (0,25 point)

9. Déterminer explicitement la racine carrée $R$ de $A$ dont les trois valeurs propres sont positives, puis vérifier par le calcul que $R^2=A$. (0,75 point)

Partie C — l'hypothèse ne se retire pas. Pour tout réel $t$, on pose

$$M_t=\left(\begin{array}{ccc}1& t& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

10. Calculer $M_t^2$. Combien la matrice $I_3$ admet-elle de racines carrées ? (0,5 point)

11. Le résultat de la question 10 contredit-il celui de la question 4 ? Identifier précisément l'étape du raisonnement de la Partie A qui cesse de fonctionner pour $A=I_3$. (0,5 point)