Exercices — Suites numériques

On considère les trois suites définies pour tout entier naturel $n$ par :

$$u(n)=3n+2v(n)=n^2-4w(n)={\displaystyle \frac{60}{n+1}}$$

1. Calculer les termes suivants de la suite $u$.

   a. $u(0)$

   b. $u(1)$

   c. $u(2)$

   d. $u(5)$

   e. $u(10)$

   f. $u(20)$

2. Calculer les termes suivants de la suite $v$.

   a. $v(0)$

   b. $v(1)$

   c. $v(2)$

   d. $v(3)$

   e. $v(5)$

   f. $v(10)$

3. Calculer les termes suivants de la suite $w$.

   a. $w(0)$

   b. $w(1)$

   c. $w(2)$

   d. $w(3)$

   e. $w(5)$

   f. $w(9)$

4. Lina souhaite connaître $u(50)$. A-t-elle besoin de calculer d'abord $u(3)$, $u(4)$, et ainsi de suite jusqu'à $u(49)$ ? Expliquer, puis donner la valeur de $u(50)$.

On considère les trois suites définies par une relation de récurrence :

• la suite $u$ telle que $u(0)=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u(n+1)=u(n)+4$ ;
• la suite $v$ telle que $v(0)=64$ et, pour tout entier naturel $n$, $v(n+1)={\displaystyle \frac{v(n)}{2}}$ ;
• la suite $w$ telle que $w(0)=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $w(n+1)=2\times w(n)+3$.

1. Calculer les quatre premiers termes de la suite $u$, c'est-à-dire $u(0)$, $u(1)$, $u(2)$ et $u(3)$.

2. Calculer les quatre premiers termes de la suite $v$.

3. Calculer les quatre premiers termes de la suite $w$.

4. Théo affirme : « Pour connaître $w(20)$, je suis obligé de calculer tous les termes de $w(1)$ jusqu'à $w(19)$ d'abord. » Est-ce exact ? Expliquer la différence avec une suite définie par une formule explicite.

Pour une suite $u$, on rencontre deux notations équivalentes : l'écriture fonctionnelle $u(n)$ et l'écriture indicielle $u_n$. Pour chaque affirmation ci-dessous, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant par une phrase ou un contre-exemple.

1. Pour une même suite $u$, les notations $u_3$ et $u(3)$ désignent le même nombre.

2. $u(n+1)$ désigne le terme qui vient juste après $u(n)$ dans la suite.

3. Pour toute suite $u$, on a $u(n+1)=u(n)+1$.

4. Pour la suite définie par $u(n)=n^2$, on a $u(2n)=2\times u(n)$ pour tout entier naturel $n$.

5. Le premier terme d'une suite est toujours $u(1)$.

6. Si $u(n)=4n+1$, alors $u(n+1)=4n+5$.

Une infirmière scolaire relève chaque jour, pendant une semaine, le nombre d'élèves venus à l'infirmerie. On note $w(n)$ le nombre d'élèves accueillis le jour $n$, pour $n$ allant de $0$ à $6$. Le nuage de points ci-dessous représente la suite $w$.

1. Lire graphiquement $w(0)$, $w(3)$ et $w(6)$.

2. Résoudre graphiquement l'inéquation $w(n)⩾5$ : pour quels rangs $n$ le nombre d'élèves accueillis est-il supérieur ou égal à $5$ ?

3. Quel est le plus grand terme de la suite ? Préciser son rang.

4. La suite $w$ est-elle croissante ? Décroissante ? Justifier la réponse en citant deux couples de termes consécutifs bien choisis.

On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

$$u(n)=n(6-n)$$

1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

   $n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
   $u(n)$

2. Dans un repère (en abscisse : $1$ cm pour $1$ rang ; en ordonnée : $1$ cm pour $1$ unité), placer les points de coordonnées $(n;u(n))$ pour $n$ allant de $0$ à $6$.

3. Faut-il relier les points entre eux ? Expliquer.

4. Le nuage obtenu semble-t-il avoir un axe de symétrie ? Si oui, le décrire.

Pour étudier le sens de variation d'une suite $u$, on calcule la différence $u(n+1)-u(n)$ puis on étudie son signe :

• si $u(n+1)-u(n)>0$ pour tout $n$, la suite est croissante ;
• si $u(n+1)-u(n)<0$ pour tout $n$, la suite est décroissante.

1. On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u(n)=5n-2$.

   a. Exprimer $u(n+1)$ en fonction de $n$, puis calculer $u(n+1)-u(n)$.

   b. En déduire le sens de variation de la suite $u$.

2. On considère la suite $v$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v(n)=40-3n$.

   a. Calculer $v(n+1)-v(n)$.

   b. En déduire le sens de variation de la suite $v$.

3. On considère la suite $w$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w(n)=n^2$.

   a. Montrer que $w(n+1)-w(n)=2n+1$.

   b. Quel est le signe de $2n+1$ lorsque $n$ est un entier naturel ? Conclure.

On considère la suite $u$ définie par $u(0)=10$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u(n+1)=u(n)+n-3$$

1. Calculer $u(1)$, $u(2)$, $u(3)$, $u(4)$, $u(5)$ et $u(6)$. Présenter les résultats dans un tableau de valeurs.

2. La suite $u$ est-elle monotone (c'est-à-dire toujours croissante ou toujours décroissante) ? Justifier à l'aide des valeurs calculées.

3. À partir de quel rang la suite semble-t-elle croissante ?

4. Justifier la conjecture de la question 3 : exprimer la différence $u(n+1)-u(n)$ en fonction de $n$, puis étudier son signe selon les valeurs de $n$.

On construit une rangée de carrés avec des allumettes, selon la règle suivante :

• à l'étape $0$, on pose une seule allumette verticale ;
• à chaque étape, on ajoute un carré au bout de la rangée : le nouveau carré s'appuie sur l'allumette verticale déjà posée, et on le ferme avec $3$ allumettes supplémentaires (une en haut, une en bas, une verticale à droite).

Ainsi, à l'étape $1$ la rangée compte $1$ carré, à l'étape $2$ elle compte $2$ carrés accolés, et ainsi de suite. On note $u(n)$ le nombre total d'allumettes utilisées à l'étape $n$, de sorte que $u(0)=1$.

1. Déterminer $u(1)$, $u(2)$ et $u(3)$ en comptant les allumettes.

2. Combien d'allumettes ajoute-t-on pour passer d'une étape à la suivante ? En déduire une relation de récurrence entre $u(n+1)$ et $u(n)$.

3. Proposer une formule explicite donnant $u(n)$ en fonction de $n$. Vérifier qu'elle redonne bien les valeurs de la question 1.

4. Calculer le nombre d'allumettes nécessaires à l'étape $25$. Quel mode de génération de la suite est le plus pratique pour ce calcul ?

Une salle de sport propose la formule suivante : $20$ € de frais d'inscription, puis $5$ € par séance.

On note $u(n)$ le coût total, en euros, payé après $n$ séances. Ainsi $u(0)=20$.

1. Calculer les termes suivants.

   a. $u(1)$

   b. $u(2)$

   c. $u(5)$

2. Exprimer $u(n+1)$ en fonction de $u(n)$, puis interpréter cette relation dans le contexte de l'exercice.

3. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u(n)=20+5n$.

4. Calculer le coût total payé pour $30$ séances.

5. Lucas dispose d'un budget de $100$ €. Combien de séances peut-il faire au maximum ?

Un loueur de vélos électriques propose deux offres pour une location de plusieurs jours :

• Offre A : $30$ € de frais de dossier, puis $4$ € par jour de location ;
• Offre B : aucun frais de dossier, mais $8$ € par jour de location.

Pour un entier naturel $n$, on note $a(n)$ le coût total, en euros, de $n$ jours de location avec l'offre A, et $b(n)$ le coût total avec l'offre B.

1. Justifier que $a(n)=30+4n$ et que $b(n)=8n$.

2. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

   $n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
   $a(n)$	$30$	$34$
   $b(n)$	$0$	$8$

3. À partir de combien de jours de location l'offre A devient-elle plus avantageuse que l'offre B ?

4. a. Calculer $a(n+1)-a(n)$ et $b(n+1)-b(n)$.

   b. Les suites $a$ et $b$ sont-elles croissantes ? Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.

On utilise une feuille de calcul pour afficher les termes d'une suite : la colonne A contient les rangs $n$ de $0$ à $20$ (cellules A2 à A22), et la colonne B contient les termes correspondants.

Cas 1. La suite $u$ est définie par la formule explicite $u(n)=2n+3$.

1. Quelle formule saisir dans la cellule B2, puis recopier vers le bas jusqu'en B22, pour afficher les termes de la suite ?

Cas 2. La suite $v$ est définie par $v(0)=500$ et, pour tout entier naturel $n$, $v(n+1)=v(n)\times \mathrm{0,8}+60$. On saisit la valeur $500$ dans la cellule B2.

2. Quelle formule saisir dans la cellule B3, puis recopier vers le bas jusqu'en B22, pour afficher les termes de la suite ?

3. Calculer $v(1)$ et $v(2)$ à la main, pour vérifier les valeurs affichées par le tableur.

4. Que permet de faire le tableur que le calcul à la main rend pénible ?

On considère la suite $u$ définie par $u(0)=12$ et, pour tout entier naturel $n$, $u(n+1)=\mathrm{0,9}\times u(n)+4$.

1. Calculer $u(1)$ et $u(2)$ à la main.

2. Recopier et compléter le script Python suivant pour qu'il affiche le terme $u(20)$.

   u = ...
   for i in range(...):
       u = ...
   print(u)
   

3. Une fois complété, le script affiche environ $\mathrm{36,60}$. Que représente ce nombre ?

4. Modifier le script pour qu'il affiche tous les termes de $u(0)$ à $u(20)$.

Une boisson à $80$ °C est posée dans une pièce dont la température est constante, égale à $20$ °C. On admet que, chaque minute, l'écart entre la température de la boisson et celle de la pièce diminue de $30\mathrm{\%}$.

On note $T(n)$ la température de la boisson, en degrés Celsius, au bout de $n$ minutes. Ainsi $T(0)=80$.

1. a. Vérifier que l'écart initial entre la température de la boisson et celle de la pièce est de $60$ °C, puis calculer cet écart au bout d'une minute.

   b. En déduire la valeur de $T(1)$.

   c. En raisonnant de la même façon sur l'écart $T(n)-20$, justifier que, pour tout entier naturel $n$ :

   $$T(n+1)=\mathrm{0,7}\times T(n)+6$$

2. Calculer $T(2)$ et $T(3)$.

3. La suite $T$ semble-t-elle croissante ou décroissante ? Interpréter dans le contexte de l'exercice.

4. On peut boire la boisson sans se brûler dès que sa température passe sous $45$ °C. Au bout de combien de minutes est-ce le cas ?

5. Vers quelle valeur les termes de la suite semblent-ils se rapprocher à long terme ? On pourra calculer quelques termes supplémentaires pour appuyer la conjecture.

On considère la suite $u$ définie par $u(0)=10$ et, pour tout entier naturel $n$, $u(n+1)=\mathrm{0,5}\times u(n)+8$.

On exécute le script Python suivant :

u = 10
L = [u]
for i in range(5):
    u = 0.5*u + 8
    L.append(u)
print(L)

1. Combien de termes la liste L contient-elle à la fin de l'exécution ? Quels termes de la suite contient-elle ?

2. Calculer à la main $u(1)$ et $u(2)$, puis vérifier la cohérence avec le contenu de la liste.

3. Que vaut L[3] ? À quel terme de la suite ce nombre correspond-il ?

4. Représenter le nuage de points $(n;u(n))$ pour $n$ allant de $0$ à $5$. De quelle valeur les termes semblent-ils se rapprocher ?

Sur un chantier, un réservoir d'eau de pluie contient $4000$ L au matin du premier jour. Chaque jour, $10\mathrm{\%}$ du volume présent est consommé par le chantier, puis $200$ L d'eau de pluie sont récupérés le soir.

On note $u(n)$ le volume d'eau, en litres, dans le réservoir au bout de $n$ jours. Ainsi $u(0)=4000$.

Le nuage de points ci-dessous représente les premiers termes de la suite.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ :

   $$u(n+1)=\mathrm{0,9}\times u(n)+200$$

2. Calculer $u(1)$ et $u(2)$ à la main.

3. Par lecture graphique, le volume du réservoir passe-t-il sous $3500$ L au cours des trois premiers jours ?

4. a. La suite $u$ semble-t-elle croissante ou décroissante ?

   b. Calculer les différences $u(1)-u(0)$, $u(2)-u(1)$ et $u(3)-u(2)$, sachant que $u(3)=3458$. Que peut-on dire de la vitesse de la baisse ?

5. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u(n+1)-u(n)=200-\mathrm{0,1}\times u(n)$.

   b. Pour quelle valeur de $u(n)$ cette différence serait-elle nulle ? Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement des termes à long terme ?

6. Le chantier a besoin d'au moins $2500$ L disponibles chaque matin. D'après ce modèle, le réservoir suffira-t-il longtemps ? On explorera en calculant les termes successifs de la suite (à la calculatrice, au tableur ou avec Python), et on conclura par une phrase.