Exercices — Généralités sur les fonctions

On considère les trois fonctions suivantes :

$$f(x)=3x-5g(x)=x^2-4x+1h(t)=2t(10-t)$$

où $t$ désigne un temps exprimé en secondes.

1. Calculer les images suivantes par la fonction $f$ :

   a. $f(0)$

   b. $f(2)$

   c. $f(-1)$

   d. $f(4)$

2. Calculer les images suivantes par la fonction $g$ :

   a. $g(0)$

   b. $g(2)$

   c. $g(-1)$

   d. $g(3)$

3. Calculer $h(0)$, $h(3)$ et $h(10)$.

4. Traduire en notation mathématique la phrase : « l'image de $5$ par $f$ est $10$ », puis vérifier que cette affirmation est vraie pour la fonction $f$ ci-dessus.

   On rappelle que les écritures $f:x\mapsto 3x-5$ et $y=3x-5$ décrivent la même fonction.

La courbe ci-dessous représente une fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-3;5]$.

1. Lire graphiquement $g(-3)$, $g(0)$ et $g(5)$.

2. Lire les antécédents de $1$ par $g$.

3. Lire les antécédents de $3$ par $g$.

4. Combien le nombre $-2$ a-t-il d'antécédents par la fonction $g$ ?

On considère la fonction $f$ définie sur $[-1;4]$ par $f(x)=x^2-3x$.

1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, pour les valeurs entières de $x$ de $-1$ à $4$ :

   $x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
   $f(x)$	$4$

2. D'après le tableau, donner deux antécédents de $0$ par $f$.

3. Le tableau permet-il d'affirmer que $-2$ est le minimum de $f$ sur $[-1;4]$ ? Expliquer.

4. On définit en Python la fonction suivante :

   def f(x):
       return x**2 - 3*x
   

   Qu'affiche l'instruction print(f(5)) ?

Pour chaque affirmation ci-dessous, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, donner un argument ; si elle est fausse, donner un contre-exemple.

a. Si $f(3)=5$, alors l'image de $3$ par $f$ est $5$.

b. Si $f(3)=5$, alors $3$ est un antécédent de $5$ par $f$.

c. Un nombre peut avoir deux images différentes par une même fonction.

d. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une même fonction.

e. Les écritures $f:x\mapsto 2x+1$ et $y=2x+1$ définissent la même fonction.

La courbe ci-dessous représente une fonction $h$ définie sur l'intervalle $[-4;4]$.

Méthode. Pour résoudre graphiquement l'équation $h(x)=k$, on trace la droite horizontale d'équation $y=k$ et on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe.

1. Résoudre graphiquement l'équation $h(x)=0$.

2. Résoudre graphiquement l'équation $h(x)=2$.

3. Résoudre graphiquement l'équation $h(x)=-3$.

4. Pour quelles valeurs de $k$ l'équation $h(x)=k$ n'a-t-elle aucune solution ?

La courbe ci-dessous représente une fonction $p$ définie sur l'intervalle $[-3;4]$.

1. Résoudre graphiquement l'équation $p(x)=0$.

2. Dresser le tableau de signes de $p$ sur $[-3;4]$.

3. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $p(x)⩾0$.

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4;5]$.

1. Décrire les variations de $f$ sur $[-4;5]$ par des phrases, en précisant les intervalles.

2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-4;5]$.

3. Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[-4;5]$, en précisant pour chacun la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

4. Sans faire de lecture graphique supplémentaire, comparer $f(3)$ et $f(4)$. Justifier la réponse.

Une station météo a relevé la température, en degrés Celsius, tout au long d'une journée. La courbe ci-dessous donne la température $T(h)$ en fonction de l'heure $h$, pour $h$ appartenant à $[0;24]$.

1. Quelle est la température à minuit ($h=0$) ? Et à minuit le lendemain ($h=24$) ?

2. Dresser le tableau de variations de $T$ sur $[0;24]$.

3. Donner la température minimale et la température maximale de la journée, en précisant les heures auxquelles elles sont atteintes.

4. Résoudre graphiquement l'inéquation $T(h)⩾20$, puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Rappel. Le taux de variation d'une fonction $f$ entre deux nombres $x_1$ et $x_2$ (avec $x_1\mathrm{\ne }{x}_2$) est le nombre :

$${\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}$$

1. Calculer le taux de variation de chaque fonction entre les deux valeurs indiquées.

   a. $f(x)=2x+3$ entre $1$ et $4$

   b. $f(x)=x^2$ entre $2$ et $5$

   c. $f(x)=x^2-3x$ entre $0$ et $3$

   d. $f(x)={\displaystyle \frac{12}{x}}$ entre $2$ et $6$

   e. $f(x)=5-2x$ entre $-1$ et $3$

   f. $f(x)=x^3$ entre $0$ et $2$

2. Que remarque-t-on pour la fonction affine du a. ? Calculer son taux de variation entre $-2$ et $7$ pour confirmer.

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $[-2;\mathrm{3,5}]$. Les points $A(-1;1)$ et $B(3;3)$ appartiennent à la courbe, et la droite $(AB)$ est tracée.

1. Lire graphiquement $f(-1)$ et $f(3)$.

2. Calculer le taux de variation de $f$ entre $-1$ et $3$.

3. Que représente ce nombre pour la droite $(AB)$ ?

4. Calculer le taux de variation de $f$ entre $0$ et $3$, sachant que $f(0)=0$. La sécante correspondante est-elle plus « raide » ou moins « raide » que la droite $(AB)$ ? Justifier.

On considère la fonction carré $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$. Dans tout l'exercice, $x_1$ et $x_2$ désignent deux nombres réels distincts.

1. Calculer le taux de variation de $f$ entre $3$ et $5$, puis entre $-4$ et $-2$.

2. Démontrer que le taux de variation de $f$ entre $x_1$ et $x_2$ est égal à $x_1+x_2$.

3. Vérifier que ce résultat est cohérent avec les deux calculs de la question 1.

4. En déduire le signe du taux de variation de $f$ :

   a. lorsque $x_1$ et $x_2$ sont tous les deux positifs (l'un au moins étant non nul) ;

   b. lorsque $x_1$ et $x_2$ sont tous les deux négatifs (l'un au moins étant non nul).

   Que retrouve-t-on ainsi ?

Rappel. Si une fonction est croissante sur un intervalle, alors tous ses taux de variation entre deux valeurs de cet intervalle sont positifs ; si elle est décroissante, ils sont tous négatifs. On admet les réciproques : si tous les taux de variation entre deux valeurs de l'intervalle sont positifs (respectivement négatifs), alors la fonction est croissante (respectivement décroissante) sur cet intervalle.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x-7$.

   a. Calculer le taux de variation de $f$ entre deux réels distincts quelconques $x_1$ et $x_2$.

   b. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

2. Reprendre la même démarche pour la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=9-2x$.

3. On considère la fonction $h$ définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par $h(x)=x^2+1$.

   a. Montrer que le taux de variation de $h$ entre deux réels distincts $x_1$ et $x_2$ de $[0;+\mathrm{\infty }[$ vaut $x_1+x_2$.

   b. En déduire le sens de variation de $h$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

4. Léa a calculé le taux de variation d'une fonction $u$ entre $2$ et $6$ et a trouvé $-3$. Peut-elle affirmer que $u$ est décroissante sur $[2;6]$ ? Que peut-elle affirmer ?

Un imprimeur facture $30$ € de frais fixes de mise en route, plus $\mathrm{0,15}$ € par flyer imprimé. On note $C(x)$ le coût total, en euros, pour l'impression de $x$ flyers.

1. Justifier que $C(x)=\mathrm{0,15}x+30$, puis calculer $C(200)$ et $C(1000)$.

2. Une association dispose d'un budget de $90$ €. Combien de flyers peut-elle faire imprimer au maximum ?

3. Calculer le taux de variation de $C$ entre $200$ et $1000$. Que représente ce nombre dans le contexte de l'exercice ?

4. La fonction $C$ est-elle croissante ? Justifier à l'aide du taux de variation.

Une entreprise fabrique entre $0$ et $10$ centaines d'objets par jour. Son bénéfice quotidien, en milliers d'euros, est modélisé par une fonction $B$ de la quantité produite $q$ (en centaines d'objets), avec $q\in [0;10]$. La courbe de $B$ est donnée ci-dessous.

1. Lire $B(0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. Résoudre graphiquement l'équation $B(q)=0$ et interpréter les solutions.

3. Pour quelles quantités produites l'entreprise gagne-t-elle de l'argent ?

4. Dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0;10]$, puis donner le bénéfice maximal de l'entreprise et la quantité pour laquelle il est atteint.

5. Calculer le taux de variation de $B$ entre $0$ et $6$, puis interpréter ce nombre dans le contexte de l'exercice.

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $[-5;5]$.

1. Lire $f(-5)$, $f(0)$ et $f(3)$.

2. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=1$.

3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-5;5]$.

4. Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[-5;5]$, en précisant pour chacun la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

5. Calculer le taux de variation de $f$ entre $0$ et $3$, puis entre $3$ et $5$. Le signe de chaque taux est-il cohérent avec le tableau de variations ?

Un éleveur dispose de $20$ mètres de grillage pour construire un enclos rectangulaire adossé à un mur : le grillage ferme trois côtés seulement, les deux largeurs de $x$ mètres chacune et la longueur. On note $A(x)$ l'aire de l'enclos, en mètres carrés.

1. Justifier que la longueur de l'enclos vaut $20-2x$ mètres, puis que $A(x)=x(20-2x)$. Expliquer pourquoi $x\in [0;10]$.

2. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

   $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
   $A(x)$		$18$						$42$

3. À l'aide du tableau de valeurs et de la courbe ci-dessous, conjecturer la valeur de $x$ qui rend l'aire maximale, ainsi que la valeur de cette aire.

   

4. Calculer le taux de variation de $A$ entre $4$ et $5$, puis entre $5$ et $6$. Que confirment les signes de ces deux taux ?

5. Calculer $A(\mathrm{4,5})$ et $A(\mathrm{5,5})$. Ces valeurs confirment-elles la conjecture de la question 3 ?