Exercices — Dérivées

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-5x+1$. On note $y=f(x)$.

1. Calculer le taux de variation ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$ de $f$ entre $x=2$ et $x=\mathrm{2,5}$.

2. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(2)$, puis écrire ce résultat avec chacune des trois notations suivantes : $f^{\mathrm{\prime }}(2)$, ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}(2)$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}}(2)$.

3. Comparer les résultats des questions 1 et 2 : expliquer en une phrase la différence entre le taux de variation entre deux points et le nombre dérivé en un point.

Un mobile se déplace sur un axe. Sa position, en mètres, est donnée en fonction du temps $t$, en secondes, par

1. Calculer la vitesse moyenne du mobile entre les instants $t=1$ et $t=3$, c'est-à-dire le taux de variation ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}}$ sur cet intervalle.

2. Calculer $x^{\mathrm{\prime }}(t)$, puis en déduire la vitesse instantanée du mobile à l'instant $t=1$ et à l'instant $t=3$.

3. Écrire la vitesse instantanée à l'aide de la notation différentielle ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}$ et interpréter cette notation : que représente-t-elle physiquement ?

1. Dériver chacune des fonctions suivantes (on précisera l'ensemble de dérivation lorsqu'il n'est pas $\mathbb{R}$) :

   a. $f(x)=x^4$

   b. $g(x)=x^6$

   c. $h(x)=x^{10}$

   d. $k(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

   e. $m(x)=5$

   f. $p(x)=x$

2. La formule $(x^n{)}^{\mathrm{\prime }}=n{x}^{n-1}$ est valable pour tout entier $n\ge -1$.

   a. Écrire ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ sous la forme $x^n$ avec $n$ entier.

   b. Appliquer la formule $(x^n{)}^{\mathrm{\prime }}=n{x}^{n-1}$ avec cette valeur de $n$ et vérifier que l'on retrouve bien la dérivée de la question 1.d.

Dériver chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$.

Pour la fonction $p$, remarquer que $p(x)=x^5$ : dériver de deux façons (directement, puis avec la formule du produit) et vérifier que les deux méthodes donnent le même résultat.

Au voisinage d'un point $x_0$, on peut remplacer une fonction $f$ par son approximation affine :

1. On considère $f(x)=x^3$ et $x_0=2$. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(2)$, puis écrire l'approximation affine de $f(2+h)$.

2. En déduire, sans calculatrice, des valeurs approchées de $(\mathrm{2,01}{)}^3$ et de $(\mathrm{1,98}{)}^3$. Comparer ensuite avec les valeurs exactes données par la calculatrice : $\mathrm{8,120601}$ et $\mathrm{7,762392}$.

3. On considère maintenant $g(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ et $x_0=1$. Montrer que ${\displaystyle \frac{1}{1+h}}\approx 1-h$ pour $h$ proche de $0$, et en déduire une valeur approchée de ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,02}}}$.

On rappelle la formule de dérivation d'un produit : $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2+1)(3x-2)$.

   a. Dériver $f$ en utilisant la formule du produit, et réduire l'expression obtenue.

   b. Développer $f(x)$, puis dériver le polynôme obtenu.

   c. Vérifier que les deux méthodes donnent le même résultat.

2. Dans un circuit électrique, la puissance instantanée est le produit de la tension par l'intensité : $p(t)=u(t)\times i(t)$. Pendant une phase de démarrage, on a $u(t)=2t+1$ (en volts) et $i(t)=3t-1$ (en ampères), $t$ en secondes.

   a. Calculer $p^{\mathrm{\prime }}(t)$ avec la formule du produit.

   b. Vérifier le résultat en développant d'abord $p(t)$.

On rappelle que si $v$ est une fonction dérivable et ne s'annulant pas sur un intervalle $I$, alors la fonction ${\displaystyle \frac{1}{v}}$ est dérivable sur $I$ et :

1. Dériver chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. On précisera à chaque fois la fonction $v$ utilisée et sa dérivée $v^{\mathrm{\prime }}$.

   a. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2x+3}}$ sur $]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\mathrm{\infty }[$

   b. $g(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$ sur $\mathbb{R}$

   c. $h(x)={\displaystyle \frac{1}{x^3}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, en remarquant que $h={\displaystyle \frac{1}{v}}$ avec $v(x)=x^3$

   d. $k(x)={\displaystyle \frac{1}{4x-1}}$ sur $]{\displaystyle \frac{1}{4}};+\mathrm{\infty }[$

2. En appliquant la formule avec $v(x)=x$, retrouver la dérivée de la fonction $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

On rappelle que si $u$ et $v$ sont dérivables sur un intervalle $I$ et si $v$ ne s'annule pas sur $I$, alors la fonction ${\displaystyle \frac{u}{v}}$ est dérivable sur $I$ et :

1. Dériver chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. On précisera les fonctions $u$ et $v$ utilisées ainsi que leurs dérivées, et on simplifiera le numérateur.

   a. $f(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{x-3}}$ sur $]3;+\mathrm{\infty }[$

   b. $g(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x+2}}$ sur $]-2;+\mathrm{\infty }[$

2. Le rendement d'un circuit électrique alimentant une résistance de charge $R$ (en ohms, avec $R>0$) est modélisé par :

   $$\eta (R)={\displaystyle \frac{R}{R+10}}\mathrm{.}$$

   a. Calculer ${\eta }^{\mathrm{\prime }}(R)$.

   b. Justifier que le rendement $\eta$ est une fonction croissante de $R$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

On rappelle que $(\cos {)}^{\mathrm{\prime }}=-\sin$, $(\sin {)}^{\mathrm{\prime }}=\cos$, et que si $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, alors la fonction $x\mapsto f(ax+b)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée $x\mapsto a{f}^{\mathrm{\prime }}(ax+b)$.

1. Dériver chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

   a. $f_1(x)=\cos x$

   b. $f_2(x)=\sin x$

   c. $f_3(x)=3\cos x-2\sin x$

   d. $f_4(x)=x^2+\sin x$

   e. $f_5(x)=x\cos x$

   f. $f_6(x)=2x^3+\cos x$

2. Dériver chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$, en utilisant la formule de dérivation de $x\mapsto f(ax+b)$ :

   a. $g_1(x)=\cos (3x)$

   b. $g_2(x)=\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

   c. $g_3(x)=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(-x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

   d. $g_4(x)=\sin (\pi x)$

La tension délivrée par un générateur basse tension de travaux pratiques, synchronisé sur la fréquence du secteur, est modélisée par la fonction :

où $t$ est le temps en secondes et $u(t)$ la tension en volts.

1. Donner l'amplitude du signal, sa pulsation $\omega$ (en rad/s), puis calculer sa période $T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}$ en secondes et en millisecondes.

2. Calculer $u^{\mathrm{\prime }}(t)$. On rappelle que $(A\cos (\omega t+\phi ){)}^{\mathrm{\prime }}=-A\omega \sin (\omega t+\phi )$.

3. Calculer $u^{\mathrm{\prime }}(0)$, puis la valeur exacte et une valeur approchée à l'unité de $u^{\mathrm{\prime }}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{T}{4}}\right)$. Que représente concrètement $u^{\mathrm{\prime }}(t)$ ? À quel moment du signal la tension varie-t-elle le plus vite ?

4. La position d'un oscillateur mécanique est modélisée par $y(t)=2\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(4t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$, où $t$ est en secondes et $y(t)$ en centimètres. Calculer la vitesse $y^{\mathrm{\prime }}(t)$, puis la valeur exacte et une valeur approchée au centième de la vitesse à l'instant $t=0$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis vérifier que pour tout réel $x$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x-1)(x-3)$.

2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$.

3. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$. On calculera les valeurs de $f$ aux points où $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule.

4. En déduire les extremums locaux de $f$ : préciser leur nature (maximum ou minimum local), leur valeur et en quel réel ils sont atteints.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par :

1. À l'aide de la formule de dérivation d'un quotient, montrer que pour tout $x>0$ :

2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ (on ne demande pas les valeurs aux bornes). Préciser le minimum de $f$ et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

4. On considère tous les rectangles d'aire $4$ dont un côté mesure $x$ (l'autre mesure alors ${\displaystyle \frac{4}{x}}$).

a. Vérifier que le demi-périmètre d'un tel rectangle est égal à $f(x)$.

b. À l'aide de la question 3, en déduire que $f(x)⩾4$ pour tout $x>0$, puis déterminer le rectangle d'aire $4$ dont le demi-périmètre est minimal. Que remarque-t-on ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier : une preuve courte si elle est vraie, un contre-exemple ou un calcul si elle est fausse.

a. La dérivée d'un produit est le produit des dérivées.

b. Si $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$, alors $f$ admet un extremum local en $a$.

c. La fonction $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ est décroissante sur chacun des intervalles $]-\mathrm{\infty };0[$ et $]0;+\mathrm{\infty }[$.

d. La dérivée de la fonction $t\mapsto 3\sin (2t)$ est la fonction $t\mapsto 6\cos (2t)$.

e. Si $f$ est dérivable et croissante sur $[0;2]$ et croissante sur $[2;5]$, alors $f^{\mathrm{\prime }}(x)⩾0$ pour tout $x$ de $[0;5]$.

La courbe ${\mathcal{C}}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-4;5]$. On a tracé :

• les tangentes horizontales aux points de coordonnées $(-2;1)$ et $(1;-2)$ ;
• la tangente $T_3$ au point d'abscisse $3$, qui passe par les points $(3;0)$ et $(4;1)$.

1. Lire graphiquement les valeurs suivantes :

2. Déterminer, en justifiant à l'aide des tangentes tracées :

3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-4;5]$, sachant que $f(-4)=-3$ et $f(5)=2$.

4. Donner le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ selon les valeurs de $x$ dans $[-4;5]$.

5. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T_3$.

Un mobile se déplace le long d'un axe gradué. Sa position (en mètres) à l'instant $t$ (en secondes) est donnée, pour $t\in [0;5]$, par :

1. La vitesse instantanée du mobile est $v(t)={\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}$. Calculer $v(t)$ et vérifier que $v(t)=3(t-1)(t-3)$.

2. À quels instants le mobile s'arrête-t-il (c'est-à-dire $v(t)=0$) ?

3. Étudier le signe de $v(t)$ sur $[0;5]$ et en déduire le sens du mouvement du mobile (avance ou recule) selon les intervalles de temps.

4. L'accélération du mobile est $a(t)={\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}$. Calculer $a(t)$, puis l'accélération aux instants $t=1$ et $t=4$ (on précisera les unités).

5. Déterminer les positions extrêmes atteintes par le mobile sur l'intervalle $[0;3]$.

Un artisan fabrique une gouttière à partir d'une plaque de zinc de largeur $30$ cm. Il relève deux bords verticaux de même hauteur $x$ (en cm) : la section de la gouttière est alors un rectangle ouvert vers le haut, de hauteur $x$ et de fond de largeur $30-2x$. Pour que l'eau s'écoule le mieux possible, l'artisan cherche à rendre l'aire de la section maximale.

1. Justifier que l'aire de la section, en ${\text{cm}}^2$, est $A(x)=x(30-2x)$ et que $x$ doit appartenir à l'intervalle $]0;15[$.

2. Développer $A(x)$ puis calculer $A^{\mathrm{\prime }}(x)$.

3. Dresser le tableau de variations de $A$ sur $]0;15[$.

4. En déduire les dimensions de la gouttière d'aire de section maximale, et la valeur de cette aire.

5. Pour aller plus loin. Pour des raisons de fabrication, l'artisan impose désormais un fond d'au moins $20$ cm de largeur.

a. Montrer que cette contrainte équivaut à $x⩽5$.

b. Déterminer alors la hauteur $x$ qui rend l'aire de la section maximale, et la valeur de cette aire.