Exercices — Dérivation : applications et variations

Pour chacune des fonctions suivantes, donner l'expression de la fonction dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, en précisant l'ensemble sur lequel la fonction est dérivable.

a) $f(x)=5$ pour tout $x\in \mathbb{R}$

b) $f(x)=3x-7$ pour tout $x\in \mathbb{R}$

c) $f(x)=x^2$ pour tout $x\in \mathbb{R}$

d) $f(x)=x^3$ pour tout $x\in \mathbb{R}$

e) $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ pour tout $x\in ]0;+\mathrm{\infty }[$

f) $f(x)=\sqrt{x}$ pour tout $x\in [0;+\mathrm{\infty }[$

g) $f(x)=x^5$ pour tout $x\in \mathbb{R}$

h) $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ pour tout $x\in ]-\mathrm{\infty };0[$

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, en détaillant les étapes. On utilisera uniquement les dérivées des fonctions de référence et les règles de dérivation d'une somme et du produit par un réel.

a) $f(x)=3x^2-5x+1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$

b) $g(x)=x^3+{\displaystyle \frac{2}{x}}$ pour tout $x\in ]0;+\mathrm{\infty }[$

c) $h(x)=4\sqrt{x}-x^2$ pour tout $x\in ]0;+\mathrm{\infty }[$

d) $k(x)=-2x^3+7x-4$ pour tout $x\in \mathbb{R}$

e) $m(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^4+3x^2$ pour tout $x\in \mathbb{R}$

f) $p(x)={\displaystyle \frac{5}{x}}+\sqrt{x}$ pour tout $x\in ]0;+\mathrm{\infty }[$

Une fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[-4;4]$. Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est donnée ci-dessous. Les tangentes à la courbe aux points d'abscisses $-2$ et $2$ sont horizontales (tracées en pointillés).

Toutes les lectures se font graphiquement.

1. Décrire les variations de $f$ sur $[-4;4]$ (préciser les intervalles de croissance et de décroissance).
2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-4;4]$, en y reportant les valeurs lues sur le graphique.
3. En déduire le tableau de signes de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[-4;4]$.
4. Que valent $f^{\mathrm{\prime }}(-2)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(2)$ ? Justifier.
5. Donner, en justifiant, le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(0)$ et celui de $f^{\mathrm{\prime }}(3)$.

Cas 1 — La dérivée est donnée par une formule. Une fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, et sa dérivée est donnée sous forme factorisée :

On donne de plus $f(-1)={\displaystyle \frac{5}{2}}$ et $f(2)=-2$.

1. Dresser le tableau de signes de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$.
2. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Cas 2 — La dérivée est donnée par sa courbe. Une fonction $g$ est définie et dérivable sur $[-3;3]$. La courbe ci-dessous est celle de sa dérivée $g^{\mathrm{\prime }}$ (et non celle de $g$).

3. Par lecture graphique, donner le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ selon les valeurs de $x$ dans $[-3;3]$.
4. En déduire les variations de $g$ sur $[-3;3]$, et les présenter dans un tableau (signe de $g^{\mathrm{\prime }}$ et flèches de variation).
5. Vrai ou faux, justifier : « La courbe atteint son point le plus bas en $x=0$, donc $g$ admet un minimum en $x=0$. »

Une fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[-4;4]$. Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est donnée ci-dessous. Les tangentes à la courbe aux points d'abscisses $-2$ et $1$ sont horizontales (tracées en pointillés).

Toutes les lectures se font graphiquement.

1. Donner les extremums locaux de $f$ sur $[-4;4]$ : pour chacun, préciser s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum, la valeur de $x$ en laquelle il est atteint et sa valeur.
2. Quel est le maximum global de $f$ sur $[-4;4]$ ? En quelle valeur de $x$ est-il atteint ? Est-ce un des extremums trouvés à la question 1 ?
3. Quel est le minimum global de $f$ sur $[-4;4]$ ?
4. Que valent $f^{\mathrm{\prime }}(-2)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(1)$ ? Justifier.
5. Peut-on affirmer que $f^{\mathrm{\prime }}(4)=0$ ? Expliquer.

Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre. On vérifiera d'abord que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$, puis on calculera $f(-x)$ en rédigeant la conclusion.

a) $f(x)=x^4-3x^2$ pour tout $x\in \mathbb{R}$

b) $g(x)=x^3+x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$

c) $h(x)=x^2+x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$

d) $k(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ pour tout $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$

e) $m(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ pour tout $x\in \mathbb{R}$

Dériver chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. On identifiera à chaque fois les fonctions $u$ et $v$ utilisées, puis on appliquera la formule adaptée (produit, inverse ou quotient).

1. $f(x)=(2x+1)(x^2-3)$ sur $\mathbb{R}$.

2. $g(x)=x\sqrt{x}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ (on dérivera le produit $x\times \sqrt{x}$).

3. $h(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$ sur $\mathbb{R}$.

4. $k(x)={\displaystyle \frac{3x-2}{x+1}}$ sur $]-1;+\mathrm{\infty }[$.

5. $m(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x-1}}$ sur $]1;+\mathrm{\infty }[$.

6. $n(x)=(x^2+1)(3-x)$ sur $\mathbb{R}$.

On rappelle que pour tout entier relatif $n$ (avec $n\mathrm{\ne }0$), la fonction $x\mapsto x^n$ a pour dérivée $x\mapsto n{x}^{n-1}$ : sur $\mathbb{R}$ si $n⩾1$, et sur $]-\mathrm{\infty };0[$ et $]0;+\mathrm{\infty }[$ si $n⩽-1$.

1. Dériver les fonctions suivantes sur $\mathbb{R}$ :

   a. $f(x)=x^5$ ;

   b. $g(x)=4x^7$.

2. Écrire chaque fonction sous la forme $x^n$ avec $n$ entier relatif, puis la dériver sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ :

   a. $h(x)={\displaystyle \frac{1}{x^3}}$ ;

   b. $k(x)={\displaystyle \frac{1}{x^4}}$.

3. Dériver la fonction $m$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $m(x)=2x^4-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}$.

4. Soit $p$ la fonction définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $p(x)={\displaystyle \frac{x^5+2x^3}{x^2}}$. Simplifier l'expression de $p(x)$, puis dériver $p$.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2-9x+4$.

   a. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

   b. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$.

   c. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$, en précisant les valeurs de $f$ aux points où $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule.

2. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^3+3x^2+6x-1$. Étudier les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$.

   a. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$.

   b. Dresser le tableau de variations de $f$, puis donner les extremums locaux de $f$ en justifiant leur nature (maximum ou minimum local).

   c. On restreint maintenant $f$ à l'intervalle $[-1;5]$. Déterminer le maximum et le minimum de $f$ sur $[-1;5]$, en précisant en quelles valeurs de $x$ ils sont atteints.

2. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^4-8x^2+3$. Déterminer les extremums locaux de $g$ et préciser leur nature.

On rappelle que la tangente à la courbe d'une fonction $f$ au point d'abscisse $a$ est horizontale si et seulement si $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x+1$, et ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative.

   a. Déterminer les abscisses des points de ${\mathcal{C}}_f$ en lesquels la tangente est horizontale.

   b. Donner les coordonnées de ces points.

   c. En étudiant le signe de $f^{\mathrm{\prime }}$, dire si ces points correspondent à des extremums locaux de $f$, et préciser leur nature.

2. Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)={\displaystyle \frac{x^2+4}{x}}$, et ${\mathcal{C}}_g$ sa courbe représentative.

   a. Montrer que pour tout $x>0$, $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^2-4}{x^2}}$.

   b. Déterminer le point de ${\mathcal{C}}_g$ en lequel la tangente est horizontale, et préciser la nature de l'extremum correspondant.

On rappelle qu'une fonction $f$ définie sur un ensemble $D$ symétrique par rapport à $0$ est :

• paire si pour tout $x\in D$, $f(-x)=f(x)$ — sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ;
• impaire si pour tout $x\in D$, $f(-x)=-f(x)$ — sa courbe est alors symétrique par rapport à l'origine du repère.

Les courbes ${\mathcal{C}}_1$ et ${\mathcal{C}}_2$ ci-dessous représentent deux fonctions définies sur $[-3;3]$.

1. Pour chacune des deux courbes, conjecturer la parité de la fonction représentée, en précisant la symétrie observée.
2. La courbe ${\mathcal{C}}_1$ est celle de la fonction $f$ définie sur $[-3;3]$ par $f(x)={\displaystyle \frac{x^4}{8}}-x^2$. Démontrer la conjecture faite pour ${\mathcal{C}}_1$.
3. La courbe ${\mathcal{C}}_2$ est celle d'une fonction $g$ dont on ne connaît pas l'expression, mais dont on admet qu'elle est impaire. Le point $A(3;\mathrm{7,5})$ appartient à ${\mathcal{C}}_2$. Déterminer, en justifiant, les coordonnées d'un autre point de ${\mathcal{C}}_2$.
4. Soit $h$ une fonction paire définie sur $[-4;4]$. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

5. Soit $k$ une fonction impaire définie sur $\mathbb{R}$ (elle est donc définie en $0$). Démontrer que $k(0)=0$. Quelle propriété de la courbe de $k$ retrouve-t-on ?

Soit $f$ la fonction trinôme définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=a{x}^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\mathrm{\ne }0$.

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

2. Résoudre l'équation $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ et retrouver ainsi l'abscisse du sommet de la parabole.

3. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ dans chacun des deux cas $a>0$ et $a<0$. Préciser à chaque fois la nature de l'extremum.

4. Application numérique. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2x^2-8x+3$. Étudier les variations de $g$ par la dérivation et préciser son extremum. Vérifier la cohérence avec la forme canonique vue au chapitre sur le second degré.

Partie A — De la fonction vers sa dérivée.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est donnée ci-dessous ; les tangentes aux points d'abscisses $-1$ et $2$ sont horizontales.

Les trois courbes ci-dessous représentent trois fonctions $d_1$, $d_2$ et $d_3$. Une seule représente la dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$.

1. Par lecture de ${\mathcal{C}}_f$, donner les variations de $f$, puis le signe attendu de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ selon les valeurs de $x$.
2. En déduire laquelle des courbes $d_1$, $d_2$, $d_3$ représente $f^{\mathrm{\prime }}$, en expliquant pourquoi les deux autres sont impossibles.
3. Contrôler par le calcul : calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, vérifier que $f^{\mathrm{\prime }}(-1)=f^{\mathrm{\prime }}(2)=0$ et que le signe obtenu confirme la réponse.

Partie B — De la dérivée vers la fonction.

La droite ci-dessous est la courbe représentative de la dérivée $g^{\mathrm{\prime }}$ d'une fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$.

Les trois courbes ci-dessous représentent trois fonctions. Une seule peut représenter $g$.

4. Par lecture de la courbe de $g^{\mathrm{\prime }}$, donner le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ puis les variations de $g$.
5. En déduire laquelle des courbes ${\mathrm{\Gamma }}_1$, ${\mathrm{\Gamma }}_2$, ${\mathrm{\Gamma }}_3$ peut représenter $g$. Justifier en éliminant les deux autres.
6. L'une des trois courbes proposées est en réalité la courbe de $g^{\mathrm{\prime }}$ elle-même. Laquelle ? Quel piège classique cette question illustre-t-elle ?

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x\mathrm{\ne }2$ par :

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-4x+5}{x-2}}$.

1. Montrer que, pour tout $x\mathrm{\ne }2$ :

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}}$.

2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur l'intervalle $]2;+\mathrm{\infty }[$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. Préciser la nature et la valeur de l'extremum local obtenu.
3. Reprendre la même étude sur l'intervalle $]-\mathrm{\infty };2[$.
4. Comparer la valeur du maximum local de $f$ sur $]-\mathrm{\infty };2[$ et celle du minimum local de $f$ sur $]2;+\mathrm{\infty }[$. Ce résultat contredit-il la définition d'un extremum local ? Expliquer.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement : une affirmation vraie doit être démontrée, une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple explicite.

Dans tout l'exercice, les fonctions considérées sont dérivables sur les intervalles indiqués.

1. Si $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et si $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$, alors $f$ admet un extremum local en $a$.
2. Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et admet un maximum local en un point $a$ de $I$, alors $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$.
3. Si $f$ est croissante sur $[1;3]$ et croissante sur $[3;5]$, alors $f$ est croissante sur $[1;5]$.
4. Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, si $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ pour tout $x$ de $I$ sauf en un point isolé où $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
5. Si $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et si $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ pour tout réel $x$, alors $f$ est la fonction nulle.
6. Si $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et admet un minimum local en $a$, alors $f(a)$ est la plus petite valeur prise par $f$ sur $\mathbb{R}$.

On considère la fonction valeur absolue $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, c'est-à-dire :

$f(x)=x$ si $x⩾0$ et $f(x)=-x$ si $x<0$.

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Rappeler la définition du nombre dérivé de $f$ en $0$ à l'aide du taux de variation.
2. Pour $h\mathrm{\ne }0$, exprimer le taux de variation $\tau (h)={\displaystyle \frac{f(0+h)-f(0)}{h}}$ en fonction de $h$.
3. Calculer $\tau (h)$ lorsque $h>0$, puis lorsque $h<0$.
4. En déduire que $f$ n'est pas dérivable en $0$.
5. Interpréter graphiquement ce résultat : que peut-on dire de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$ ?
6. La fonction $f$ est-elle dérivable sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ ? sur $]-\mathrm{\infty };0[$ ? Si oui, préciser $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ dans chaque cas.

On rappelle qu'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est paire lorsque, pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$, et impaire lorsque, pour tout réel $x$, $f(-x)=-f(x)$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : démonstration complète si l'affirmation est vraie, contre-exemple explicite si elle est fausse.

1. La somme de deux fonctions paires définies sur $\mathbb{R}$ est une fonction paire.
2. Le produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire, toutes deux définies sur $\mathbb{R}$, est une fonction impaire.
3. Toute fonction définie sur $\mathbb{R}$ est soit paire, soit impaire.
4. Si $f$ est une fonction impaire définie sur $\mathbb{R}$, alors $f(0)=0$.
5. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4-3x^2$ est paire, et sa dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$ est impaire.

On dispose d'une feuille cartonnée carrée de $12$ cm de côté. Aux quatre coins de la feuille, on découpe quatre carrés identiques de côté $x$ cm, puis on replie les quatre bords vers le haut pour former une boîte parallélépipédique sans couvercle.

La boîte obtenue a alors pour base un carré de côté $(12-2x)$ cm et pour hauteur $x$ cm.

1. Justifier que $x$ doit appartenir à l'intervalle $[0;6]$ pour que la construction soit possible (les valeurs $0$ et $6$ correspondant à des boîtes « aplaties » de volume nul).
2. Montrer que le volume de la boîte, en ${\text{cm}}^3$, est donné par :

$V(x)=4x^3-48x^2+144x$.

3. Calculer $V^{\mathrm{\prime }}(x)$ et montrer que $V^{\mathrm{\prime }}(x)=12(x-2)(x-6)$.
4. Étudier le signe de $V^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[0;6]$ et dresser le tableau de variations de $V$ sur cet intervalle.
5. En déduire la valeur de $x$ pour laquelle le volume de la boîte est maximal, ainsi que ce volume maximal. Préciser alors les dimensions de la boîte.

Partie A — Enclos adossé à un mur.

Un éleveur dispose de $40$ mètres de grillage pour construire un enclos rectangulaire adossé à un mur rectiligne. Le mur constitue entièrement l'un des côtés de l'enclos : le grillage ne ferme donc que les trois autres côtés (les deux côtés perpendiculaires au mur, de même longueur, et le côté parallèle au mur).

On note $x$ la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. Exprimer, en fonction de $x$, la longueur du côté parallèle au mur, puis justifier que $x$ appartient à l'intervalle $[0;20]$.
2. Montrer que l'aire de l'enclos, en ${\text{m}}^2$, est donnée par $A(x)=40x-2x^2$.
3. Étudier les variations de $A$ sur $[0;20]$ et en déduire les dimensions de l'enclos d'aire maximale, ainsi que cette aire maximale.

Partie B — Sans mur : le carré est optimal.

Le même éleveur veut maintenant construire, ailleurs, un enclos rectangulaire complètement fermé (sans mur), toujours avec $40$ mètres de grillage : le grillage constitue cette fois les quatre côtés.

On note $x$ la longueur, en mètres, de l'un des côtés du rectangle.

4. Exprimer, en fonction de $x$, la longueur de l'autre côté, puis justifier que $x\in [0;20]$.
5. Montrer que l'aire de l'enclos est $B(x)=20x-x^2$, puis déterminer les dimensions de l'enclos d'aire maximale. Quelle est la forme de cet enclos optimal ?
6. Comparer les aires maximales des parties A et B. Commenter.

Partie A — Par factorisation.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3$, de courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$, et la droite $\mathrm{\Delta }$ d'équation $y=x$.

1. On pose, pour tout réel $x$, $d(x)=f(x)-x$. Montrer que $d(x)=x(x-1)(x+1)$.
2. Étudier le signe de $d(x)$ sur $\mathbb{R}$ à l'aide d'un tableau de signes.
3. En déduire la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et de $\mathrm{\Delta }$, en précisant les coordonnées de leurs points d'intersection.

Partie B — Par étude des variations.

On considère maintenant la fonction $g$ définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)=x^3+3$, de courbe représentative ${\mathcal{C}}_g$, et la droite $D$ d'équation $y=3x$.

On pose, pour tout $x⩾0$, $e(x)=g(x)-3x=x^3-3x+3$.

4. Vérifier que $e(1)\mathrm{\ne }0$ et $e(3)\mathrm{\ne }0$. (On admet que $e$ n'admet aucune racine « évidente » : la méthode de factorisation de la partie A ne s'applique pas directement.)
5. Calculer $e^{\mathrm{\prime }}(x)$, étudier son signe sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ et dresser le tableau de variations de $e$ sur cet intervalle.
6. En déduire que, pour tout $x⩾0$, $e(x)⩾1$. Que peut-on en conclure sur la position relative de ${\mathcal{C}}_g$ et de $D$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ ? Les deux courbes se coupent-elles ?

Partie A — Une inégalité polynomiale.

On souhaite démontrer que pour tout réel $x⩾0$ :

1. Expliquer pourquoi il suffit d'étudier le signe de la fonction $d$ définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par $d(x)=x^3-x^2-x+1$.
2. Calculer $d^{\mathrm{\prime }}(x)$, étudier son signe sur $[0;+\mathrm{\infty }[$, puis dresser le tableau de variations de $d$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.
3. En déduire que $d(x)⩾0$ pour tout $x⩾0$, et conclure.
4. Contrôle. Vérifier que pour tout réel $x$ : $d(x)=(x-1{)}^2(x+1)$. Retrouver alors directement le signe de $d$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ sans étude de variations.

Partie B — Une inégalité avec un quotient.

5. Démontrer que pour tout réel $x>0$ :

On précisera la fonction étudiée, son ensemble d'étude et on rédigera une démonstration complète.

Partie C — Interprétation graphique.

6. On note $\mathcal{C}$ la courbe d'équation $y=x^3+1$ et $\mathcal{P}$ la courbe d'équation $y=x^2+x$. Que peut-on dire des positions relatives de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ ? Les deux courbes ont-elles des points communs d'abscisse positive ? Répondre à la même question pour la courbe de $g:x⟼x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$ et la droite d'équation $y=2$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Une entreprise fabrique chaque jour $x$ objets, où $x$ est un réel de l'intervalle $[1;50]$ (la production peut être fractionnée). Le coût total de production de $x$ objets, exprimé en euros, est donné par :

1. Justifier que la fonction $C$ est strictement croissante sur $[1;50]$. Ce résultat était-il prévisible dans le contexte ?

2. Coût marginal. En économie, le coût marginal $C_m(x)$ est le coût supplémentaire engendré par la production d'un objet de plus lorsqu'on en produit déjà $x$. On le modélise par la dérivée du coût total : $C_m(x)=C^{\mathrm{\prime }}(x)$. a. Donner l'expression de $C_m(x)$. b. Calculer $C_m(3)$ et interpréter ce nombre dans le contexte de l'énoncé.

3. Coût moyen. Le coût moyen est le coût de production par objet fabriqué : $C_M(x)={\displaystyle \frac{C(x)}{x}}$ pour $x\in [1;50]$. a. Vérifier que pour tout $x\in [1;50]$ : $C_M(x)=x^2+16+{\displaystyle \frac{16}{x}}$. b. Calculer $C_M^{\mathrm{\prime }}(x)$ à l'aide de la formule de dérivation d'un quotient appliquée à ${\displaystyle \frac{C(x)}{x}}$, et vérifier que l'on obtient le même résultat en dérivant l'expression du a. c. Montrer que pour tout $x\in [1;50]$ : $C_M^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(x-2)(x^2+2x+4)}{x^2}}$. d. Étudier le signe de $C_M^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[1;50]$, dresser le tableau de variations de $C_M$, et en déduire la production $x_0$ qui rend le coût moyen minimal ainsi que la valeur de ce coût moyen minimal.

4. Une propriété remarquable. a. Calculer $C_m(x_0)$ et comparer avec $C_M(x_0)$. b. Démontrer que cette coïncidence n'en est pas une : montrer que pour tout $x\in [1;50]$, $C_M^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ équivaut à $C_m(x)=C_M(x)$. c. Proposer une interprétation économique de cette propriété.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$ et le point $P(3;0)$.

Le but de l'exercice est de déterminer le ou les points de $\mathcal{P}$ les plus proches de $P$, ainsi que la distance de $P$ à la parabole (c'est-à-dire la plus petite distance entre $P$ et un point de $\mathcal{P}$).

1. Un point $M$ de la parabole $\mathcal{P}$ a pour coordonnées $(x;x^2)$, où $x$ décrit $\mathbb{R}$. Exprimer $P{M}^2$ en fonction de $x$, et vérifier qu'en posant $g(x)=P{M}^2$ on obtient :

2. Justifier soigneusement que minimiser la distance $PM$ revient à minimiser $g(x)$. Pourquoi est-il préférable d'étudier $P{M}^2$ plutôt que $PM$ ?

3. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ et vérifier que pour tout réel $x$ :

4. Étudier le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$ et dresser le tableau de variations de $g$.

5. En déduire le point $M_0$ de $\mathcal{P}$ le plus proche de $P$, et montrer que la distance de $P$ à la parabole vaut $\sqrt{5}$.

6. Pour aller plus loin. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{P}$ au point $M_0$, puis calculer le coefficient directeur de la droite $(P{M}_0)$. Que remarque-t-on ? Ce résultat était-il prévisible ?

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

Partie A — Étude complète de $f$.

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et vérifier que pour tout réel $x$ : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x-1)(x+1)$.
2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$ et dresser le tableau de variations complet de $f$ (on calculera les valeurs de $f$ aux points remarquables).
3. Préciser les extremums locaux de $f$ : en quelles valeurs de $x$ sont-ils atteints, et que valent-ils ? S'agit-il d'extremums globaux sur $\mathbb{R}$ ?
4. Calculer $f(\mathrm{1,5})$ et $f(2)$. En s'appuyant sur les variations de $f$, justifier que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[\mathrm{1,5};2]$.

Partie B — Méthode de Newton.

On souhaite obtenir une valeur approchée de $\alpha$ avec une bonne précision. La méthode de Newton consiste à remplacer la courbe de $f$ par sa tangente : partant d'une valeur $x_0$ proche de $\alpha$, on trace la tangente à la courbe au point d'abscisse $x_0$, et on prend pour nouvelle valeur $x_1$ l'abscisse du point où cette tangente coupe l'axe des abscisses. On recommence ensuite à partir de $x_1$, et ainsi de suite.

5. Soit $x_0$ un réel tel que $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\mathrm{\ne }0$. Rappeler l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$, puis démontrer que cette tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse :

6. On part de $x_0=2$. Calculer à la main $f(2)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(2)$, puis montrer que $x_1={\displaystyle \frac{17}{9}}$. En donner une valeur approchée à ${10}^{-4}$ près.
7. Calculer à la main $f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{17}{9}}\right)$ et $f^{\mathrm{\prime }}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{17}{9}}\right)$ sous forme de fractions, puis en déduire $x_2$ sous forme de fraction et une valeur approchée à ${10}^{-5}$ près.
8. Écrire une fonction Python newton(f, fprime, x0, n) qui calcule et affiche les $n$ premières valeurs $x_1,x_2,\dots ,x_n$ obtenues par la méthode de Newton à partir de $x_0$, puis l'utiliser pour la fonction $f$ de l'exercice avec $x_0=2$ et $n=4$.
9. Présenter dans un tableau les valeurs $x_0$ à $x_4$ (arrondies à ${10}^{-5}$ près). Que constate-t-on ? En déduire une valeur approchée de $\alpha$ à ${10}^{-4}$ près.