Exercices — Suites géométriques

Voici les premiers termes de six suites de nombres. Pour chaque liste, dire si ces nombres peuvent être les premiers termes d'une suite géométrique : justifier en calculant les quotients successifs et, lorsque la suite peut être géométrique, donner sa raison.

1. Les suites suivantes sont définies pour tout entier naturel $n$. Calculer les quatre premiers termes de chacune.

   a. $u(0)=4$ et $u(n+1)=2\times u(n)$

   b. $v(0)=80$ et $v(n+1)=\mathrm{0,5}\times v(n)$

   c. $w(0)=2$ et $w(n+1)=3\times w(n)$

2. La suite $t$ est définie ainsi : $t(0)=8$ et chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par $\mathrm{1,5}$.

   a. Écrire la relation de récurrence qui définit la suite $t$.

   b. Calculer les quatre premiers termes de la suite $t$.

3. La suite $a$ est géométrique, avec $a(0)=6$ et $a(1)=9$.

   a. Déterminer la raison de la suite $a$.

   b. Calculer $a(3)$.

1. Donner le coefficient multiplicateur associé à chaque évolution.

   a. Hausse de $5\mathrm{\%}$

   b. Baisse de $20\mathrm{\%}$

   c. Hausse de $12\mathrm{\%}$

   d. Baisse de $3\mathrm{\%}$

   e. Hausse de $100\mathrm{\%}$

2. Donner le taux d'évolution (hausse ou baisse, en pourcentage) associé à chaque coefficient multiplicateur.

   a. $\times \mathrm{1,3}$

   b. $\times \mathrm{0,93}$

   c. $\times \mathrm{1,015}$

   d. $\times \mathrm{0,5}$

3. En 2026, une ville compte $50000$ habitants. On suppose que sa population augmente de $2\mathrm{\%}$ par an. On note $P(n)$ la population de la ville $n$ années après 2026, de sorte que $P(0)=50000$.

   a. Exprimer $P(n+1)$ en fonction de $P(n)$.

   b. Quelle est la nature de la suite $P$ ? Donner sa raison.

   c. Calculer $P(1)$.

4. Un appareil électronique coûte $400$ € en 2026. Son prix baisse de $15\mathrm{\%}$ par an. On note $p(n)$ son prix, en euros, $n$ années après 2026.

   a. Exprimer $p(n+1)$ en fonction de $p(n)$.

   b. Quelle est la nature de la suite $p$ ? Donner sa raison.

   c. Calculer $p(1)$.

Calculatrice autorisée. Si le résultat n'est pas exact, arrondir au centième.

1. Chaque suite ci-dessous est géométrique ; on donne son premier terme $u(0)$ et sa raison $q$. Donner l'expression de $u(n)$ en fonction de $n$, puis calculer le terme demandé.

   a. $u(0)=5$, $q=2$ ; calculer $u(6)$.

   b. $u(0)=2000$, $q=\mathrm{1,1}$ ; calculer $u(4)$.

   c. $u(0)=640$, $q=\mathrm{0,5}$ ; calculer $u(7)$.

   d. $u(0)=10$, $q=3$ ; calculer $u(5)$.

   e. $u(0)=1$, $q=\mathrm{1,05}$ ; calculer $u(10)$.

   f. $u(0)=200$, $q=\mathrm{0,9}$ ; calculer $u(3)$.

2. La suite $v$ est géométrique de raison $2$, et l'on donne cette fois son terme de rang 1 : $v(1)=6$.

   a. Justifier que, pour tout entier $n⩾1$, on a $v(n)=6\times 2^{n-1}$.

   b. Calculer $v(5)$ et $v(8)$.

1. Chaque suite ci-dessous est géométrique ; on donne son premier terme et sa raison $q$. Donner son sens de variation (croissante, décroissante ou constante) en justifiant par la position de $q$ par rapport à $1$.

   a. $u(0)=3$, $q=\mathrm{1,02}$

   b. $v(0)=500$, $q=\mathrm{0,97}$

   c. $w(0)=12$, $q=1$

   d. $t(0)=2$, $q={\displaystyle \frac{4}{3}}$

   e. $a(0)=\mathrm{0,5}$, $q=\mathrm{0,5}$

   f. $b(0)=7$, $q=\mathrm{2,5}$

2. Une suite géométrique a un premier terme strictement positif et une raison égale à $\mathrm{0,9}$. Expliquer en une phrase pourquoi ses termes diminuent mais ne peuvent jamais devenir négatifs.

3. Léa hésite entre deux placements pour ses $1000$ € d'économies :

   • le placement A rapporte $3\mathrm{\%}$ d'intérêts par an ;
   • le placement B est plus risqué et, dans le scénario étudié, perd $1\mathrm{\%}$ de sa valeur par an.

   Pour chaque placement, on note la valeur du capital, en euros, au bout de $n$ années. Associer à chaque placement une suite géométrique (préciser son premier terme et sa raison), puis donner le sens de variation de chacune de ces deux suites.

Calculatrice autorisée. Arrondir à l'unité si nécessaire.

On étudie quatre situations. Dans chacune, on note $u(n)$ la grandeur étudiée au rang $n$ (le rang $0$ correspond à la valeur initiale).

a. Un abonnement de streaming coûte $120$ € par an la première année, puis son prix augmente de $3$ € chaque année.

b. Un podcast compte $10000$ auditeurs réguliers en 2026, et son audience augmente de $3\mathrm{\%}$ chaque année.

c. Un entrepôt contient $8000$ unités d'un produit, et le stock diminue de $250$ unités par mois.

d. Un jeton numérique (cryptomonnaie) vaut $1024$ €, et sa valeur diminue de $25\mathrm{\%}$ par mois.

1. Pour chaque situation, préciser si la suite $u$ est arithmétique ou géométrique, et donner sa raison.

2. Pour chaque situation, exprimer $u(n)$ en fonction de $n$.

3. Pour chaque situation, calculer la valeur au rang $5$.

4. On compare maintenant deux abonnements qui coûtent tous les deux $120$ € la première année : celui de la situation a. (qui augmente de $3$ € chaque année) et un abonnement concurrent qui augmente de $3\mathrm{\%}$ chaque année. À l'aide de la calculatrice, déterminer lequel des deux est le plus cher au bout de $10$ ans, en justifiant par un calcul.

À la naissance de Lina, ses grands-parents placent $1500$ € sur un livret d'épargne rémunéré à $4\mathrm{\%}$ par an, à intérêts composés : chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts l'année suivante.

On note $C(n)$ le capital, en euros, disponible au bout de $n$ années. Ainsi $C(0)=1500$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $C(n+1)=\mathrm{1,04}\times C(n)$. En déduire la nature de la suite $(C(n))$ et préciser sa raison.
2. Calculer $C(1)$ et $C(2)$.
3. Exprimer $C(n)$ en fonction de $n$.
4. Quel capital sera disponible au bout de $10$ ans ? Arrondir au centime d'euro.
5. À l'aide de la calculatrice (table de valeurs), déterminer au bout de combien d'années le capital initial aura doublé.

On a représenté ci-dessous les premiers termes d'une suite géométrique $(u(n))$ à termes strictement positifs.

1. Lire graphiquement $u(0)$ et $u(1)$.
2. En déduire la raison $q$ de la suite.
3. Vérifier la cohérence de cette valeur avec le point d'abscisse $2$ du nuage.
4. Quel est le sens de variation de la suite $(u(n))$ ? Justifier.
5. Exprimer $u(n)$ en fonction de $n$.
6. Calculer $u(6)$. Arrondir au dixième.
7. Un élève propose de relier les points du nuage entre eux. Expliquer pourquoi on ne le fait pas.

On considère les quatre suites définies ci-dessous.

On a représenté les cinq premiers termes de chacune de ces suites par les quatre nuages de points ci-dessous, étiquetés A, B, C et D.

Associer chaque suite à son nuage de points. On justifiera chaque association en s'appuyant sur la nature de la suite (arithmétique ou géométrique, donc points alignés ou non), son sens de variation et la valeur de son premier terme.

En 2026, une ville compte $50000$ habitants. Une étude démographique prévoit que sa population augmentera de $2\mathrm{\%}$ par an dans les années à venir.

On note $P(n)$ la population de la ville $n$ années après 2026, de sorte que $P(0)=50000$.

Pour étudier ce modèle, on a réalisé la feuille de tableur suivante, dans laquelle les populations sont arrondies à l'unité.

1. Justifier que la suite $(P(n))$ est géométrique et donner sa raison.
2. Quelle formule, recopiée ensuite vers le bas, peut-on saisir dans la cellule B3 ?
3. Que calcule la formule =50000*1,02^A9 ?
4. D'après ce modèle, quelle sera la population de la ville en 2036 ? Arrondir à l'unité.
5. À l'aide du tableur, déterminer au bout de combien d'années la population de la ville dépassera $60000$ habitants.

Partie A.

Soit $(u(n))$ une suite géométrique à termes strictement positifs, de raison $q$, telle que

1. Justifier que $q^2=\mathrm{2,25}$.
2. En déduire la valeur de $q$. On expliquera pourquoi une seule des deux solutions de l'équation $q^2=\mathrm{2,25}$ convient ici.
3. Calculer $u(0)$.
4. Calculer $u(6)$.

Partie B — En contexte.

L'audience hebdomadaire d'un podcast passe de $4000$ écoutes la semaine 1 à $5760$ écoutes la semaine 3. On suppose que l'audience augmente chaque semaine selon un même taux constant.

En s'inspirant de la partie A, déterminer la raison de la suite géométrique associée, puis le taux d'évolution hebdomadaire de l'audience.

À l'instant initial, un patient reçoit une dose de $500$ mg d'un médicament. On admet que le corps élimine $20\mathrm{\%}$ de la substance présente chaque heure.

On note $m(n)$ la masse de médicament, en mg, présente dans le corps du patient au bout de $n$ heures. Ainsi $m(0)=500$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $m(n+1)=\mathrm{0,8}\times m(n)$. Quelle est la nature de la suite $(m(n))$ ? Préciser sa raison.
2. Exprimer $m(n)$ en fonction de $n$.
3. Quelle masse de médicament reste-t-il dans le corps au bout de $5$ heures ? Arrondir au dixième de mg.
4. Déterminer le sens de variation de la suite $(m(n))$. Justifier.
5. Le médicament cesse d'être efficace lorsque la masse présente dans le corps devient inférieure à $50$ mg. À l'aide de la calculatrice (table de valeurs), déterminer au bout de combien d'heures le médicament cesse d'être efficace.
6. Critique du modèle. D'après ce modèle, le médicament disparaît-il totalement du corps du patient ? Commenter.

Le triangle de Sierpinski est un motif géométrique que l'on construit étape par étape. On part d'un triangle équilatéral entièrement colorié : c'est l'étape 0. À chaque étape, on partage chaque triangle colorié en $4$ triangles identiques et on retire (on décolorie) celui du centre. Les trois premières étapes sont représentées ci-dessous.

On note $t(n)$ le nombre de triangles coloriés à l'étape $n$.

1. En observant la figure, donner les valeurs de $t(0)$, $t(1)$ et $t(2)$.

2. À chaque étape, chaque triangle colorié est remplacé par $3$ triangles coloriés. En déduire une relation de récurrence liant $t(n+1)$ et $t(n)$. Quelle est la nature de la suite $(t(n))$ ? Préciser son premier terme et sa raison.

3. Donner l'expression du terme général $t(n)$ en fonction de $n$. Calculer $t(6)$, le nombre de triangles coloriés à l'étape $6$.

On s'intéresse maintenant à l'aire coloriée. On choisit comme unité l'aire du triangle de départ, de sorte que l'aire coloriée à l'étape 0 vaut $a(0)=1$. À chaque étape, on retire le quart de l'aire coloriée : il reste donc les trois quarts de l'aire précédente.

4. Justifier que $a(n+1)=\mathrm{0,75}\times a(n)$. Quelle est la nature de la suite $(a(n))$ ? Donner son terme général $a(n)$.

5. Préciser le sens de variation de chacune des deux suites $(t(n))$ et $(a(n))$, en justifiant à l'aide de la raison.

6. À partir de quelle étape l'aire coloriée devient-elle inférieure à $10\mathrm{\%}$ de l'aire initiale ? On procédera par exploration numérique (calculatrice ou table de valeurs) et on présentera les calculs utilisés pour conclure.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée : par une preuve courte si l'affirmation est vraie, par un contre-exemple chiffré si elle est fausse.

a. « Augmenter de $10\mathrm{\%}$ deux années de suite revient à augmenter de $20\mathrm{\%}$ en tout. »

b. « Si une suite géométrique a pour premier terme $100$ et pour raison $\mathrm{0,9}$, certains de ses termes sont négatifs. »

c. « Une quantité qui double chaque semaine est multipliée par plus de $1000$ en $10$ semaines. »

d. « La suite des nombres $2$ ; $3$ ; $\mathrm{4,5}$ ; $6$ est géométrique. »

e. « Si une suite géométrique de raison $q>1$ est croissante, elle augmente de la même quantité à chaque rang. »

Dans une boîte de Petri, on place une culture de $200$ bactéries. Chaque jour, la population est multipliée par $\mathrm{1,3}$. On note $u$ le nombre de bactéries et $n$ le nombre de jours écoulés.

Pour déterminer au bout de combien de jours la population dépasse $10000$ bactéries, on a écrit le script Python suivant, dans lequel une valeur a été effacée (les points de suspension ...) :

u = 200
n = 0
while u < 10000:
    u = ... * u
    n = n + 1
print(n)

1. Recopier et compléter la ligne u = ... * u pour que le script traduise bien l'énoncé.

2. Expliquer le rôle de la boucle while et celui de la variable n dans ce script.

3. En s'appuyant sur une table de valeurs, déterminer la valeur affichée par le script. On donnera aussi les deux calculs qui permettent de justifier cette valeur.

4. On veut maintenant savoir au bout de combien de jours la population dépasse $100000$ bactéries. Indiquer la (seule) modification à apporter au script, puis déterminer la valeur qu'il affiche. Justifier par les calculs correspondants.

5. Regard critique. Ce modèle prévoit une population multipliée par $\mathrm{1,3}$ chaque jour, sans jamais s'arrêter. Est-il réaliste sur une longue durée ? Justifier en une ou deux phrases.

En 1798, l'économiste Thomas Malthus avance l'idée suivante : une population tend à croître de façon géométrique (multipliée par un même facteur à chaque période), alors que les ressources alimentaires ne croissent que de façon arithmétique (augmentées d'une même quantité à chaque période). Il en conclut qu'à terme la population dépasse inévitablement ce que les ressources permettent de nourrir. On modélise ici cette idée sur une île.

• Population. En l'an $0$, l'île compte $P(0)=1000$ habitants. La population augmente de $3\mathrm{\%}$ chaque année.
• Ressources. En l'an $0$, les terres cultivées permettent de nourrir $R(0)=1200$ personnes. Chaque année, les progrès agricoles permettent de nourrir $25$ personnes de plus.

On note $P(n)$ le nombre d'habitants et $R(n)$ le nombre de personnes que les ressources permettent de nourrir, l'an $n$. Le graphique ci-dessous représente les deux nuages de points sur $25$ ans.

1. Préciser la nature de chacune des suites $(P(n))$ et $(R(n))$. Pour chacune, donner le premier terme et la raison (ou le coefficient multiplicateur).

2. Donner le terme général $P(n)$ puis le terme général $R(n)$ en fonction de $n$.

3. Calculer $P(10)$ (arrondi à l'unité) et $R(10)$. En l'an $10$, l'île peut-elle nourrir toute sa population ?

4. À l'aide du graphique, lire l'année à partir de laquelle la population dépasse les ressources.

5. Vérifier la lecture graphique par le calcul : comparer $P(n)$ et $R(n)$ pour les rangs qui encadrent ce croisement, et conclure sur l'année exacte.

6. Regard critique. Expliquer, à l'aide du comportement des deux suites, pourquoi une croissance géométrique finit toujours par dépasser une croissance arithmétique, quelles que soient les valeurs de départ. Ce raisonnement suffit-il à prédire une catastrophe dans la réalité ? Commenter en quelques lignes.

Lors d'une épidémie, on appelle nombre de reproduction $R_0$ le nombre moyen de personnes qu'un malade contamine. On raisonne par « générations » de malades : au tout début de l'épidémie, chaque génération est $R_0$ fois plus nombreuse que la précédente. On note $u(n)$ le nombre de cas de la génération $n$, avec $u(0)=50$ cas à la première génération, et on a donc

Partie A — Une épidémie qui s'emballe ($R_0=\mathrm{2,5}$)

1. Quelle est la nature de la suite $(u(n))$ ? Donner son premier terme et sa raison, puis son terme général $u(n)$ en fonction de $n$.

2. Calculer le nombre de cas à la génération $6$, arrondi à l'unité.

3. Au bout de combien de générations le nombre de cas dépasse-t-il $100000$ ? Répondre par exploration numérique en présentant les deux calculs qui encadrent le seuil.

Partie B — L'effet des mesures sanitaires ($R_0=\mathrm{0,8}$)

Des mesures sanitaires font chuter le nombre de reproduction à $R_0=\mathrm{0,8}$. On repart d'un pic de $v(0)=20000$ cas, et le nombre de cas de chaque génération vérifie $v(n+1)=\mathrm{0,8}\times v(n)$.

4. Préciser le sens de variation de la suite $(v(n))$ et le justifier à l'aide de la raison.

5. Calculer le nombre de cas après $10$ générations, arrondi à l'unité.

6. Au bout de combien de générations le nombre de cas passe-t-il sous $1000$ ? Justifier par les deux calculs qui encadrent le seuil.

Partie C — Bilan

7. Expliquer, en $2$ à $3$ lignes, pourquoi le fait que $R_0$ soit supérieur ou inférieur à $1$ change tout. On fera le lien avec le sens de variation d'une suite géométrique.