Devoir surveillé — Suites géométriques

Les trois questions sont indépendantes.

1. Voici les premiers termes de quatre suites. Pour chacune, dire si elle peut être géométrique. Si oui, préciser sa raison ; si non, justifier brièvement.

   a. $5$ ; $10$ ; $20$ ; $40$

   b. $12$ ; $9$ ; $6$ ; $3$

   c. $80$ ; $40$ ; $20$ ; $10$

   d. $2$ ; $6$ ; $12$ ; $24$

2. La suite $(u(n))$ est géométrique de premier terme $u(0)=6$ et de raison $\mathrm{1,5}$.

   a. Calculer $u(1)$ et $u(2)$.

   b. Exprimer $u(n)$ en fonction de $n$.

   c. Calculer $u(5)$.

3. Une suite géométrique a un premier terme strictement positif et une raison égale à $\mathrm{0,92}$. Quel est son sens de variation ? Justifier.

On a représenté ci-dessous le nuage de points des cinq premiers termes d'une suite géométrique $(v(n))$, aussi notée $(v_n)$.

1. Lire graphiquement $v(0)$ et $v(1)$.
2. Calculer la raison de la suite $(v(n))$, puis vérifier la cohérence du résultat avec la valeur de $v(2)$ lue sur le graphique.
3. Quel est le taux d'évolution du nombre $v(n)$ d'un rang au suivant ?
4. Quel est le sens de variation de la suite $(v(n))$ ? Justifier.
5. Exprimer $v(n)$ en fonction de $n$, puis calculer $v(8)$ (arrondir au dixième).
6. Un élève affirme : « Si on continue assez longtemps, les termes de la suite finiront par devenir négatifs. » A-t-il raison ? Expliquer.

Une chaîne de vidéos en ligne compte aujourd'hui $8000$ abonnés. Grâce à des publications régulières, le nombre d'abonnés augmente de $5\mathrm{\%}$ chaque mois. On note $a(n)$ le nombre d'abonnés au bout de $n$ mois ; ainsi $a(0)=8000$.

1. Justifier que la suite $(a(n))$ est géométrique et préciser sa raison.

2. Écrire la relation de récurrence liant $a(n+1)$ et $a(n)$.

3. Exprimer $a(n)$ en fonction de $n$.

4. Calculer le nombre d'abonnés au bout de $6$ mois (arrondir à l'unité).

5. On souhaite suivre l'évolution du nombre d'abonnés dans une feuille de calcul dont voici un extrait.

   	A	B
   1	Mois	Abonnés
   2	0	8000
   3	1	8400
   4	2	8820

   Quelle formule faut-il saisir dans la cellule B3, destinée à être recopiée vers le bas ?

6. À l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien de mois le nombre d'abonnés dépassera $12000$. Présenter les calculs qui justifient la réponse.

7. Un partenaire commercial promet une prime si la chaîne atteint $20000$ abonnés dans un an. Cet objectif sera-t-il atteint ? Justifier.

Une voiture neuve est achetée $24000$ €. Elle perd $15\mathrm{\%}$ de sa valeur chaque année. On note $V(n)$ sa valeur, en euros, au bout de $n$ années ; ainsi $V(0)=24000$.

1. Justifier que la suite $(V(n))$ est géométrique de raison $\mathrm{0,85}$, puis exprimer $V(n)$ en fonction de $n$.
2. Calculer la valeur de la voiture au bout de $3$ ans.
3. Quel est le sens de variation de la suite $(V(n))$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
4. À l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'années la valeur de la voiture devient inférieure à la moitié de son prix d'achat. Présenter les calculs qui justifient la réponse.
5. Vrai ou faux, en justifiant : « Perdre $15\mathrm{\%}$ par an pendant $2$ ans, c'est perdre $30\mathrm{\%}$ en tout. »