Exercices — Phénomènes aléatoires

Dans un lycée, on choisit un élève au hasard et on considère les deux événements suivants :

• $E$ : « l'élève est en première » ;
• $D$ : « l'élève est demi-pensionnaire ».

Cet exercice ne demande aucun calcul : il s'agit de bien comprendre ce que chaque notation veut dire.

1. Voici trois phrases, données dans le désordre :

   a. « la proportion de demi-pensionnaires parmi les élèves de première » ;

   b. « la proportion d'élèves qui sont à la fois en première et demi-pensionnaires » ;

   c. « la proportion d'élèves de première parmi les demi-pensionnaires ».

   Associer chacune des trois probabilités $P(E\cap D)$, $P_E(D)$ et $P_D(E)$ à la phrase qui lui correspond.

2. Écrire en notation symbolique la probabilité suivante : « parmi les demi-pensionnaires, la proportion d'élèves qui ne sont pas en première ».

3. Vrai ou faux : « on a toujours $P_E(D)=P_D(E)$ ». Justifier la réponse à l'aide d'un exemple concret.

Un lycée compte $200$ élèves de première. Le tableau croisé ci-dessous donne leur répartition selon le sexe et le régime (interne ou externe).

On interroge un élève de première au hasard et on considère les événements :

• $F$ : « l'élève est une fille » ;
• $I$ : « l'élève est interne ».

1. Calculer chacune des probabilités suivantes, en donnant le résultat sous forme de fraction puis en écriture décimale, et interpréter chaque résultat par une phrase.

   a. $P(I)$

   b. $P(F\cap I)$

   c. $P_F(I)$

   d. $P_I(F)$

2. L'effectif « filles internes » ($25$ élèves) intervient au numérateur dans le calcul de $P_F(I)$ comme dans celui de $P_I(F)$. Expliquer en une phrase pourquoi on trouve pourtant $P_F(I)\mathrm{\ne }{P}_I(F)$.

Une association sportive compte des adhérents adultes et des adhérents mineurs. On choisit un adhérent au hasard et on considère les événements :

• $A$ : « l'adhérent est un adulte », avec $P(A)=\mathrm{0,65}$ (les autres adhérents sont mineurs, événement $\bar{A}$) ;
• $C$ : « l'adhérent est inscrit en compétition ».

On sait que $P_A(C)=\mathrm{0,4}$ et $P_{\bar{A}}(C)=\mathrm{0,7}$. La situation est décrite par l'arbre pondéré ci-dessous.

1. Que représente la pondération $\mathrm{0,65}$ portée par la première branche de l'arbre ?

2. La pondération $\mathrm{0,7}$ est une probabilité conditionnelle : l'écrire en notation symbolique, puis la formuler par une phrase en français.

3. Expliquer pourquoi la branche qui va de $A$ vers $\bar{C}$ porte la pondération $\mathrm{0,6}$.

4. Calculer $P(A\cap C)$ et interpréter le résultat par une phrase.

5. Calculer $P(\bar{A}\cap C)$, puis en déduire $P(C)$ en additionnant les probabilités des chemins qui mènent à $C$.

Une médiathèque compte $300$ abonnés, qui sont soit adultes, soit mineurs. Chaque abonné emprunte soit sur support papier, soit sur support numérique. On considère les événements :

• $A$ : « l'abonné est un adulte » ;
• $P$ : « l'abonné emprunte sur support papier » ;
• $N$ : « l'abonné emprunte sur support numérique ».

On sait que la médiathèque compte $180$ abonnés adultes, que $210$ abonnés empruntent sur support papier, et que $60$ adultes empruntent sur support numérique.

1. Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs ci-dessous.

   	Papier	Numérique	Total
   Adultes		$60$	$180$
   Mineurs
   Total	$210$		$300$

2. On interroge un abonné au hasard. Calculer, sous forme de fraction simplifiée :

   a. $P_A(N)$

   b. $P_N(A)$

3. Écrire une phrase d'interprétation pour chacune de ces deux probabilités, puis expliquer en quoi elles sont différentes.

Dans un théâtre, $30\mathrm{\%}$ des billets vendus le sont à des abonnés. Le soir de la représentation, $90\mathrm{\%}$ des abonnés sont effectivement présents dans la salle, contre $40\mathrm{\%}$ des non-abonnés seulement.

On choisit un billet vendu au hasard et on considère les événements :

• $B$ : « le billet a été vendu à un abonné » ;
• $V$ : « le spectateur est venu à la représentation ».

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation, en indiquant la pondération portée par chacune des branches.

2. Traduire en notation symbolique la donnée « $90\mathrm{\%}$ des abonnés sont présents ».

3. Calculer $P(B\cap V)$ et interpréter le résultat par une phrase.

4. Calculer $P(\bar{B}\cap V)$, puis en déduire $P(V)$ en additionnant les probabilités des chemins qui mènent à $V$.

5. Le directeur du théâtre affirme : « un peu plus d'un billet vendu sur deux donne lieu à une venue effective ». A-t-il raison ? Justifier.

Un site de vente en ligne livre ses colis de deux façons : $80\mathrm{\%}$ des colis sont livrés à domicile (événement $D$), les autres sont déposés en point relais. Un colis peut arriver en retard (événement $R$) : c'est le cas de $10\mathrm{\%}$ des colis livrés à domicile, tandis que $75\mathrm{\%}$ des colis déposés en point relais arrivent à l'heure.

On choisit un colis au hasard. La situation est décrite par l'arbre pondéré ci-dessous, dans lequel trois pondérations ont été remplacées par un « ? ».

1. Reproduire l'arbre et compléter les trois pondérations manquantes, en justifiant chacune d'elles.

2. Calculer la probabilité que le colis soit livré à domicile et arrive en retard.

3. Calculer la probabilité que le colis arrive en retard, en expliquant la démarche utilisée.

4. Interpréter ce dernier résultat par une phrase en français.

Partie A. $A$ et $B$ sont deux événements indépendants tels que $P(A)=\mathrm{0,5}$ et $P(B)=\mathrm{0,4}$.

1. Calculer $P(A\cap B)$.

2. Donner, sans calcul, la valeur de $P_B(A)$, en justifiant la réponse.

Partie B. Une maison est équipée de deux détecteurs de fumée qui fonctionnent indépendamment l'un de l'autre. En cas de départ de feu, le premier détecteur se déclenche avec la probabilité $\mathrm{0,9}$ et le second avec la probabilité $\mathrm{0,8}$.

Un départ de feu se produit.

1. Justifier que la probabilité qu'aucun des deux détecteurs ne se déclenche vaut $\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,02}$.

2. En déduire la probabilité qu'au moins un des deux détecteurs se déclenche.

3. À la lumière de ces résultats, expliquer en une ou deux phrases pourquoi il est plus sûr d'installer deux détecteurs plutôt qu'un seul.

Une enquête est menée auprès de $400$ clients d'un supermarché. On interroge un client au hasard et on considère les événements :

• $B$ : « le client achète des produits bio » ;
• $L$ : « le client achète des produits locaux ».

L'enquête donne les résultats suivants : $100$ clients achètent des produits bio, $160$ achètent des produits locaux, et $40$ achètent à la fois des produits bio et des produits locaux.

1. Calculer $P(B)$ puis $P_L(B)$. Que constate-t-on ? En déduire que les événements $B$ et $L$ sont indépendants.

2. Vérifier la cohérence de ce résultat avec la caractérisation de l'indépendance par le produit, en comparant $P(B)\times P(L)$ et $P(B\cap L)$.

3. Dans le même magasin, on note $G$ l'événement « le client est un homme ». L'enquête compte $200$ hommes, dont $60$ achètent des produits bio. Les événements $G$ et $B$ sont-ils indépendants ? Interpréter la réponse par une phrase en français.

4. Vrai ou faux, en justifiant : « deux événements incompatibles de probabilités non nulles peuvent être indépendants ».

1. Pour chacune des expériences aléatoires suivantes, dire s'il s'agit d'une épreuve de Bernoulli. Si oui, préciser le succès choisi et sa probabilité ; sinon, expliquer pourquoi.

   a. Lancer un dé équilibré et regarder si l'on obtient un $6$.

   b. Lancer un dé équilibré et noter le numéro obtenu.

   c. Tirer une carte au hasard dans un jeu de $52$ cartes et regarder si c'est un cœur.

   d. Demander à un passant son mois de naissance.

2. Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $3$ boules gagnantes et $7$ boules perdantes. On tire une boule au hasard, on note si elle est gagnante, puis on la remet dans l'urne et on tire une seconde boule.

   a. Justifier que cette expérience est la répétition de deux épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

   b. Représenter la situation par un arbre pondéré.

   c. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules gagnantes, puis la probabilité d'obtenir exactement une boule gagnante.

   d. En déduire la probabilité d'obtenir au moins une boule gagnante, de deux façons différentes.

Au basket, une joueuse réussit chaque lancer franc avec la probabilité $\mathrm{0,8}$, indépendamment des lancers précédents. En fin de match, elle doit tirer trois lancers francs. Pour chaque lancer, on note $S$ le succès « le lancer est réussi ».

1. Justifier que cette situation est la répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

2. Représenter la situation par un arbre pondéré.

3. Calculer la probabilité que la joueuse réussisse les trois lancers.

4. Calculer la probabilité qu'elle ne réussisse aucun lancer.

5. En déduire la probabilité qu'elle réussisse au moins un lancer.

6. Montrer que la probabilité qu'elle réussisse exactement deux lancers vaut $\mathrm{0,384}$.

Une urne contient $4$ boules indiscernables au toucher : $1$ boule rouge et $3$ boules blanches. On effectue $2000$ tirages d'une boule avec remise : après chaque tirage, on note la couleur obtenue puis on remet la boule dans l'urne avant le tirage suivant.

Une simulation réalisée en Python a produit le graphique ci-dessous : il représente la fréquence de boules rouges obtenue au fil des tirages (par exemple, si au bout de $200$ tirages on a obtenu $54$ boules rouges, le point d'abscisse $200$ a pour ordonnée ${\displaystyle \frac{54}{200}}=\mathrm{0,27}$).

1. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge lors d'un tirage ? Expliquer pourquoi cette probabilité est la même à chaque tirage.

2. Décrire en quelques phrases le comportement de la courbe : que se passe-t-il lors des premiers tirages ? Et lorsque le nombre de tirages devient grand ? Quel résultat du cours ce graphique illustre-t-il ?

3. Vers le ${100}^{\text{e}}$ tirage, la fréquence observée sur le graphique s'écarte nettement de $\mathrm{0,25}$. Est-ce contradictoire avec le résultat cité à la question précédente ? Justifier.

4. Vrai ou faux, en justifiant : « si l'on vient de tirer $10$ boules blanches d'affilée, la probabilité de tirer une boule rouge au tirage suivant est supérieure à ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ ».

5. Calculer la probabilité de tirer deux boules rouges lors de deux tirages consécutifs, en justifiant soigneusement le calcul.

Dans l'article « Croix ou pile » de l'Encyclopédie (1754), le mathématicien Jean le Rond d'Alembert étudie le jeu suivant : on lance une pièce équilibrée au plus deux fois, et on gagne dès que CROIX apparaît. Si croix sort au premier lancer, le jeu s'arrête immédiatement ; sinon, on relance la pièce une seule fois.

D'Alembert raisonne ainsi : « il y a trois issues possibles — croix au premier coup, croix au second coup, ou pas de croix du tout — donc la probabilité de gagner est ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ». Ce raisonnement, publié dans l'ouvrage le plus prestigieux de son époque, est pourtant faux. À vous de le démontrer.

1. Représenter le jeu par un arbre pondéré. Attention : si croix sort au premier lancer, le jeu s'arrête — l'arbre n'est donc pas « complet », l'une de ses branches s'arrête dès le premier niveau.

2. Calculer la probabilité de chacune des trois issues décrites par d'Alembert. Ces trois issues sont-elles équiprobables ?

3. En déduire la véritable probabilité de gagner à ce jeu.

4. Expliquer en une ou deux phrases l'erreur commise par d'Alembert.

5. Retrouver le résultat de la question 3 par un autre raisonnement : on imagine que l'on décide de lancer la pièce deux fois dans tous les cas, même si croix sort au premier lancer. Justifier que la probabilité qu'aucun croix n'apparaisse est ${\displaystyle \frac{1}{4}}$, puis conclure.

En période d'épidémie de grippe, $10\mathrm{\%}$ d'une population est malade. On note $M$ l'événement « la personne est malade ». Un test rapide de dépistage donne :

• un résultat positif pour $90\mathrm{\%}$ des personnes malades ;
• un résultat positif — à tort, on parle de « faux positif » — pour $10\mathrm{\%}$ des personnes non malades.

On note $T$ l'événement « le test est positif ». On teste une personne prise au hasard dans la population.

1. Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs ci-dessous, construit sur une population fictive de $10000$ personnes (méthode du cours).

   	Test positif	Test négatif	Total
   Malades
   Non malades
   Total			$10000$

2. Décrire en français, dans ce contexte, ce qu'est un « faux positif » et ce qu'est un « faux négatif », puis donner l'effectif de chacun dans le tableau.

3. La personne testée obtient un résultat positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ? On donnera le résultat sous forme de fraction simplifiée.

4. Le test détecte pourtant $90\mathrm{\%}$ des malades : comment expliquer qu'un résultat positif ne donne qu'une chance sur deux d'être réellement malade ? Répondre par une phrase en s'appuyant sur les effectifs du tableau.

5. Après le pic épidémique, seulement $2\mathrm{\%}$ de la population est malade, et les performances du test sont inchangées. Reprendre les questions 1 et 3 dans cette nouvelle situation, puis conclure par une phrase : que faut-il retenir sur l'interprétation d'un test de dépistage selon que la maladie est fréquente ou rare ?

Une usine assemble des trottinettes électriques avec des batteries provenant de deux fournisseurs : $60\mathrm{\%}$ des batteries viennent du fournisseur $A$, le reste du fournisseur $B$. Une batterie peut être défectueuse : c'est le cas de $3\mathrm{\%}$ des batteries de $A$ et de $8\mathrm{\%}$ de celles de $B$.

On prélève une batterie au hasard dans le stock. On note $A$ l'événement « la batterie provient du fournisseur $A$ », $B$ l'événement « la batterie provient du fournisseur $B$ » et $D$ l'événement « la batterie est défectueuse ».

1. Construire l'arbre pondéré décrivant la situation.

2. Calculer $P(A\cap D)$ et $P(B\cap D)$.

3. En déduire $P(D)$ et interpréter ce résultat par une phrase.

4. La batterie prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne du fournisseur $B$ ? Commenter le résultat en une phrase, en le comparant à la part de $B$ dans le stock.

5. Les événements « provenir du fournisseur $A$ » et « être défectueuse » sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul, puis interpréter la réponse en une phrase.

6. Le stock est très grand : on peut assimiler le prélèvement successif de deux batteries à une répétition de deux épreuves identiques et indépendantes. Calculer la probabilité qu'aucune des deux batteries prélevées ne soit défectueuse.

Dans un célèbre jeu télévisé américain animé par Monty Hall, le candidat fait face à trois portes fermées : derrière l'une se trouve une voiture, derrière chacune des deux autres une chèvre. Le candidat choisit une porte. Le présentateur — qui sait où se trouve la voiture — ouvre alors une autre porte, derrière laquelle il y a toujours une chèvre, puis propose au candidat de changer de porte avant l'ouverture finale. Faut-il changer ?

1. Le candidat décide de garder sa porte initiale quoi qu'il arrive. Expliquer pourquoi, avec cette stratégie, il gagne exactement lorsque son premier choix était la bonne porte, et en déduire sa probabilité de gagner.

2. Le candidat décide maintenant de changer de porte quoi qu'il arrive. On note $V$ l'événement « le premier choix est la porte de la voiture », de probabilité $P(V)={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Représenter la situation par un arbre pondéré : si $V$ est réalisé, que devient le candidat qui change ? Si $\bar{V}$ est réalisé, expliquer pourquoi le présentateur est forcé d'ouvrir l'unique autre porte à chèvre, et ce qui arrive alors au candidat qui change. Indiquer sur chaque branche la probabilité conditionnelle de gagner ($0$ ou $1$).

3. En déduire, par le calcul sur l'arbre, la probabilité de gagner en changeant de porte. Conclure : quelle stratégie le candidat doit-il adopter ?

4. Beaucoup de gens raisonnent ainsi : « après l'ouverture, il ne reste que deux portes, donc c'est du 50-50 ». Expliquer en français pourquoi cette intuition est fausse.

5. Question bonus. Vers 1990, la chroniqueuse Marilyn vos Savant a donné la bonne réponse à ce problème dans un magazine et a reçu des milliers de lettres de contestation, y compris de la part de mathématiciens. Proposer une expérience simple (simulation informatique, ou jeu de cartes répété un grand nombre de fois) permettant de convaincre un sceptique. Quel résultat du chapitre garantit que la fréquence observée finirait par trancher le débat ?