Devoir surveillé — Phénomènes aléatoires

Calculatrice interdite pour l'ensemble du devoir. La qualité de la rédaction et les interprétations rédigées en français sont prises en compte dans la notation.

Répondre directement sur la copie, sans justification. Chaque question rapporte $\mathrm{0,5}$ point. Pour les questions à choix multiples, recopier la lettre de la réponse choisie.

1. Dans un lycée, on choisit un élève au hasard. On note $D$ l'événement « l'élève est demi-pensionnaire » et $E$ l'événement « l'élève suit l'option théâtre ». La phrase « parmi les élèves demi-pensionnaires, $20\mathrm{\%}$ suivent l'option théâtre » se traduit par :

   a. $P_D(E)=\mathrm{0,2}$ b. $P(E\cap D)=\mathrm{0,2}$ c. $P_E(D)=\mathrm{0,2}$

2. Dans un arbre pondéré, la branche menant de $A$ à $B$ porte la probabilité $\mathrm{0,3}$. Quelle probabilité porte la branche menant de $A$ à $\bar{B}$ ?

3. On a interrogé $100$ personnes. On note $L$ l'événement « la personne aime la lecture » et $C$ l'événement « la personne aime le cinéma ». Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous. Donner $P_L(C)$.

   	$C$	$\bar{C}$	Total
   $L$	$30$	$20$	$50$
   $\bar{L}$	$10$	$40$	$50$
   Total	$40$	$60$	$100$

4. On sait que $P(A)=\mathrm{0,6}$ et $P_A(B)=\mathrm{0,5}$. Que vaut $P(A\cap B)$ ?

5. Les événements $A$ et $B$ sont indépendants, avec $P(A)=\mathrm{0,2}$ et $P(B)=\mathrm{0,5}$. Que vaut $P(A\cap B)$ ?

6. Vrai ou faux : « deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont toujours indépendants ».

7. Parmi les trois expériences aléatoires suivantes, laquelle est une épreuve de Bernoulli ?

   a. tirer une carte d'un jeu de $32$ cartes et regarder si c'est un as b. tirer une boule d'une urne et noter sa couleur parmi quatre couleurs possibles c. lancer un dé à six faces et noter le numéro obtenu

8. On répète deux fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès vaut $\mathrm{0,5}$. Quelle est la probabilité d'obtenir deux succès ?

Une enquête est menée auprès des $200$ élèves de première d'un lycée. On s'intéresse aux événements suivants, pour un élève pris au hasard :

• $S$ : « l'élève pratique un sport en club » ;
• $M$ : « l'élève est majeur ».

L'enquête révèle que $120$ élèves pratiquent un sport en club, que $50$ élèves sont majeurs et que $36$ élèves sont à la fois majeurs et sportifs en club.

1. ($\mathrm{1,5}$ pt) Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs ci-dessous.

   	$M$	$\bar{M}$	Total
   $S$	$36$		$120$
   $\bar{S}$
   Total	$50$		$200$

2. ($1$ pt) On interroge un élève au hasard. Calculer $P(S)$ et $P(S\cap M)$.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Calculer $P_M(S)$ et interpréter ce résultat par une phrase.

4. ($\mathrm{1,5}$ pt) Les événements $S$ et $M$ sont-ils indépendants ? Justifier.

5. ($\mathrm{0,5}$ pt) Formuler par une phrase en français ce que le résultat de la question 4 signifie pour les élèves de ce lycée.

Une maladie touche $10\mathrm{\%}$ de la population d'un pays. Un laboratoire met au point un test de dépistage :

• le test est positif pour $90\mathrm{\%}$ des personnes malades ;
• le test est positif à tort pour $5\mathrm{\%}$ des personnes non malades (on parle de « faux positifs »).

On choisit une personne au hasard dans la population et on lui fait passer le test. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

1. ($\mathrm{1,5}$ pt) Construire l'arbre pondéré décrivant la situation.

2. ($1$ pt) Calculer $P(M\cap T)$ et interpréter ce résultat par une phrase.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Montrer que $P(T)=\mathrm{0,135}$.

4. ($\mathrm{1,5}$ pt) La personne testée obtient un résultat positif. En recopiant et en complétant le tableau d'effectifs ci-dessous, portant sur une population de $10000$ personnes, montrer que la probabilité que cette personne soit réellement malade vaut $P_T(M)={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

   	$T$	$\bar{T}$	Total
   $M$
   $\bar{M}$
   Total			$10000$

5. ($\mathrm{0,5}$ pt) Expliquer en une phrase pourquoi $P_T(M)\mathrm{\ne }{P}_M(T)$.

Un joueur de fléchettes atteint la cible avec la probabilité $\mathrm{0,7}$ à chaque lancer, indépendamment des autres lancers. Il lance trois fléchettes.

1. ($\mathrm{0,5}$ pt) Justifier que cette situation est une répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
2. ($\mathrm{1,5}$ pt) Représenter la situation par un arbre pondéré.
3. ($1$ pt) Calculer la probabilité que le joueur atteigne la cible trois fois.
4. ($1$ pt) Calculer la probabilité que le joueur atteigne la cible au moins une fois, en expliquant la méthode utilisée.