Exercices — Modélisation quadratique

On rappelle qu'une fonction polynôme de degré 2 est une fonction qui peut s'écrire sous la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels avec $a\mathrm{\ne }0$.

Les fonctions suivantes sont définies pour tout nombre réel $x$ (sauf e., définie pour $x\mathrm{\ne }0$) :

1. Parmi ces fonctions, lesquelles sont des polynômes de degré 2 ? Justifier chaque réponse (on développera l'expression lorsque c'est nécessaire).
2. Pour chaque polynôme de degré 2 trouvé, donner les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

Quatre paraboles ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$, ${\mathcal{C}}_3$ et ${\mathcal{C}}_4$ sont tracées ci-dessous, chacune dans son propre repère.

Elles représentent les quatre fonctions suivantes, données dans le désordre :

Associer chaque courbe à la fonction qu'elle représente. Justifier chaque association en s'appuyant sur l'orientation de la parabole, les coordonnées de son sommet ou ses points d'intersection avec les axes.

Dans le repère ci-dessous, quatre paraboles ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$, ${\mathcal{C}}_3$ et ${\mathcal{C}}_4$ ont chacune une équation de la forme $y=a{x}^2$.

1. Les quatre valeurs de $a$ sont, dans le désordre : $1$, $3$, ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ et $-1$. Associer chaque courbe à la valeur de $a$ correspondante, en justifiant.
2. Une parabole d'équation $y=a{x}^2$ passe par le point $A(2;6)$. Déterminer la valeur de $a$.
3. Une parabole d'équation $y=a{x}^2+c$ a pour sommet le point $S(0;-1)$ et passe par le point $B(2;7)$. Déterminer la valeur de $c$, puis celle de $a$.

Pour trouver l'axe de symétrie d'une parabole d'équation $y=a{x}^2+bx+c$, on peut utiliser la méthode suivante : on résout l'équation $f(x)=c$ (où $c$ est l'ordonnée du point de la courbe sur l'axe des ordonnées). Les deux solutions trouvées correspondent à deux points de la parabole de même hauteur : l'axe de symétrie passe exactement au milieu.

Partie A. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-6x+4$.

1. Vérifier que $f(0)=4$.
2. Résoudre l'équation $f(x)=4$. On pourra remarquer que cette équation s'écrit $x^2-6x=0$ et factoriser.
3. En déduire l'équation de l'axe de symétrie de la parabole représentant $f$.
4. En déduire les coordonnées du sommet de la parabole.
5. Ce sommet correspond-il à un maximum ou à un minimum de $f$ ? Justifier à l'aide du signe de $a$.

Partie B. Reprendre les questions 2 à 5 avec la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=-2x^2+8x+1$, en résolvant cette fois l'équation $g(x)=1$.

Une fonction polynôme de degré 2, notée $f$, est représentée ci-dessous sur l'intervalle $[-\mathrm{0,5};\mathrm{4,5}]$.

Toutes les réponses s'obtiennent par lecture graphique.

1. La parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Qu'en déduit-on sur le signe du coefficient $a$ de l'expression $f(x)=a{x}^2+bx+c$ ?
2. Lire les coordonnées du sommet $S$ de la parabole.
3. En déduire l'équation de l'axe de symétrie de la parabole.
4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-\mathrm{0,5};\mathrm{4,5}]$.
5. Quel est le maximum de $f$ sur cet intervalle ? En quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
6. Donner, par lecture graphique, le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$ dans $[-\mathrm{0,5};\mathrm{4,5}]$.

1. Une parabole tournée vers le haut a pour sommet le point $S(1;-4)$.

   Dresser le tableau de variations sur $\mathbb{R}$ de la fonction qu'elle représente, puis préciser le minimum de cette fonction et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^2+5$.

   a. Identifier les coefficients $a$ et $c$ de cette expression. La parabole représentant $f$ est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ?

   b. Justifier que le sommet de cette parabole est le point $S(0;5)$.

   c. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et préciser le maximum de $f$.

3. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(x-2{)}^2$.

   a. Justifier que $g(x)⩾0$ pour tout réel $x$, et déterminer la seule valeur de $x$ pour laquelle $g(x)=0$.

   b. En déduire les coordonnées du sommet de la parabole représentant $g$.

   c. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}$ et préciser le minimum de $g$.

On rappelle qu'une racine d'un polynôme est une valeur de $x$ pour laquelle le polynôme s'annule, et qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

1. Déterminer les racines de chacun des polynômes suivants :

   a. $(x-2)(x+5)$

   b. $3(x-1)(x-4)$

   c. $-2x(x+3)$

   d. $(2x-6)(x+1)$

   e. $(x+7{)}^2$

   f. $5(x-\mathrm{0,5})(x+\mathrm{0,5})$

2. Parmi les polynômes de la question 1, lesquels admettent $0$ pour racine ?

3. Donner un polynôme de degré 2, sous forme factorisée, dont les racines sont $3$ et $-2$.

Pour chacune des expressions suivantes : la factoriser (à l'aide d'un facteur commun ou d'une identité remarquable), puis donner les racines du polynôme, c'est-à-dire les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression s'annule.

On rappelle les identités remarquables vues en seconde : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ et $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$.

Pour l'expression f., on pourra reconnaître une différence de deux carrés.

On considère les deux fonctions polynômes du second degré définies sur $\mathbb{R}$ par :

1. Donner les racines de $f$, puis dresser le tableau de signes de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$ (une ligne par facteur, puis la ligne du produit).
2. En déduire l'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)⩾0$.
3. Faire de même pour $g$ : racines, tableau de signes (sans oublier la ligne du facteur constant $-3$), puis ensemble des réels $x$ tels que $g(x)⩾0$.
4. Cohérence graphique. Pour chacune des deux fonctions, préciser si la parabole qui la représente est tournée vers le haut ou vers le bas, et expliquer en quoi cela confirme le signe trouvé dans le tableau.

Résoudre chacune des inéquations suivantes à l'aide d'un tableau de signes. On donnera l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.

1. $(x-3)(x+2)⩽0$

2. $-2(x+1)(x-4)>0$

3. $x^2⩾16$

   Indication : on se ramènera à une inéquation de la forme « expression $⩾0$ », puis on factorisera à l'aide d'une identité remarquable.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : une affirmation vraie se démontre en quelques lignes ; une affirmation fausse se réfute par un contre-exemple ou un argument précis.

1. « La parabole d'équation $y=-3x^2+5$ est tournée vers le bas. »
2. « Le sommet de la parabole d'équation $y=(x-2)(x-6)$ a pour abscisse $4$. »
3. « $(x-1)(x+5)$ est positif pour tout $x$ compris entre $-5$ et $1$. »
4. « Toute parabole coupe l'axe des abscisses. »
5. « Si une fonction polynôme de degré 2 admet un maximum, alors sa parabole est tournée vers le bas. »

Un vendeur doit fixer le prix unitaire d'un article. On note $x$ ce prix (en euros, avec $0⩽x⩽50$). Une étude de marché montre que le nombre d'articles vendus dépend du prix : il est modélisé par $200-4x$.

La recette (en euros) est le produit du prix unitaire par le nombre d'articles vendus : $R(x)=x(200-4x)$.

1. Vérifier que, pour tout $x$ de $[0;50]$, on a $R(x)=4x(50-x)$.

2. Déterminer les racines de $R$, et interpréter concrètement chacune d'elles.

3. En utilisant la symétrie de la parabole, déterminer le prix $x$ pour lequel la recette est maximale.

4. Calculer la recette maximale.

5. Dresser le tableau de variations de $R$ sur $[0;50]$.

6. Pour quels prix la recette est-elle d'au moins $2100$ € ?

   a. Vérifier, en développant le membre de droite, que $R(x)-2100=-4(x-15)(x-35)$.

   b. Étudier le signe de $R(x)-2100$ à l'aide d'un tableau de signes, puis conclure.

Un ballon est lancé. Sa hauteur (en mètres) en fonction de la distance horizontale $x$ (en mètres) parcourue depuis le lanceur est modélisée par :

1. Calculer $h(0)$. Que représente cette valeur concrètement ?
2. Résoudre l'équation $h(x)=0$. À quelle distance du lanceur le ballon retombe-t-il au sol ? On expliquera pourquoi l'une des solutions de l'équation doit être écartée.
3. En utilisant la symétrie de la parabole, déterminer à quelle distance du lanceur le ballon atteint sa hauteur maximale, puis calculer cette hauteur.
4. Un obstacle de $3$ m de haut est placé à $7$ m du lanceur. Le ballon passe-t-il au-dessus ? Justifier par un calcul.

L'arche d'un viaduc au-dessus d'un fleuve a la forme d'une parabole. En prenant pour axe des abscisses la ligne d'eau et pour origine le pied de la première pile, la hauteur de l'arche (en mètres) au-dessus de l'eau, à la distance horizontale $x$ (en mètres), est modélisée par :

1. Déterminer les racines de $f$. Que représentent-elles sur le viaduc ?

2. Quelle est la largeur de l'arche au niveau de l'eau ?

3. En utilisant la symétrie de la parabole, déterminer la hauteur maximale de l'arche.

4. Un bateau de $10$ m de large et de $15$ m de haut se présente centré sous l'arche : sa coque occupe la zone comprise entre $x=15$ et $x=25$. Peut-il passer sous le viaduc ? Justifier par un calcul.

5. Synthèse. On cherche toutes les positions $x$ où la hauteur de l'arche est d'au moins $15$ m.

   a. Vérifier, en développant $(x-10)(x-30)$, que $f(x)-15=-{\displaystyle \frac{(x-10)(x-30)}{20}}$.

   b. Étudier le signe de $f(x)-15$ à l'aide d'un tableau de signes, puis répondre à la question.

   c. En déduire la largeur maximale d'un bateau de $15$ m de haut pouvant passer sous ce viaduc.