Devoir surveillé — Modélisation quadratique

On considère la fonction $f$ définie sur $[-5;3]$ par :

$$f(x)=\mathrm{0,5}(x+3)(x-1)$$

Sa courbe représentative est donnée ci-dessous.

1. (2 pts) Par lecture graphique, donner :

   a. l'orientation de la parabole (tournée vers le haut ou vers le bas) ;

   b. les racines de $f$ ;

   c. les coordonnées du sommet $S$ de la parabole ;

   d. l'équation de l'axe de symétrie de la parabole.

2. (1 pt) Retrouver les racines de $f$ par le calcul, en résolvant l'équation $f(x)=0$.

3. (1 pt) Vérifier par le calcul que l'abscisse du sommet est le milieu des deux racines, puis calculer $f(-1)$. Comparer avec la lecture de la question 1.

4. (1 pt) Calculer $f(0)$ et interpréter graphiquement le résultat.

5. (1 pt) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-5;3]$. On calculera $f(-5)$ et $f(3)$.

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$g(x)=(2x-4)(x+3)$$

1. (1 pt) Déterminer les racines de $g$.

2. (1,5 pt) Développer $g(x)$. En déduire les valeurs des coefficients $a$, $b$ et $c$ tels que $g(x)=a{x}^2+bx+c$, puis l'orientation de la parabole représentant $g$.

3. (0,5 pt) Calculer $g(0)$.

4. (2 pts) Dresser le tableau de signes de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$ (on fera figurer une ligne par facteur).

5. (1 pt) En déduire les solutions de l'inéquation $g(x)>0$.

6. (1 pt) Bonus de réflexion. Donner l'abscisse du sommet de la parabole, puis préciser si $g$ admet un maximum ou un minimum. Justifier.

Un jardinier dispose de $20$ mètres de bordure pour délimiter un potager rectangulaire. On note $x$ la largeur du potager, en mètres, avec $0⩽x⩽10$.

1. (1,5 pt) Justifier que la longueur du potager vaut $10-x$ mètres, puis que son aire, en m${}^2$, vaut $A(x)=x(10-x)$.

2. (1 pt) Déterminer les racines de $A$ et interpréter concrètement le résultat pour le potager.

3. (1,5 pt) En utilisant la symétrie de la parabole, déterminer l'abscisse du sommet. En déduire les dimensions du potager d'aire maximale et la valeur de cette aire maximale.

4. (1 pt) Dresser le tableau de variations de $A$ sur $[0;10]$.

5. (2 pts) Le jardinier souhaite que le potager ait une aire d'au moins $21$ m${}^2$.

   a. Vérifier que $A(x)-21=-(x-3)(x-7)$.

   b. Dresser le tableau de signes de $A(x)-21$ sur $[0;10]$, puis conclure : pour quelles largeurs $x$ l'aire du potager est-elle d'au moins $21$ m${}^2$ ?