Devoir surveillé — Primitives et équations différentielles

1. On considère les fonctions $F$ et $f$ définies sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=(2x-1){\mathrm{e}}^x$ et $f(x)=(2x+1){\mathrm{e}}^x$. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (1 pt)

2. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. (0,5 pt par réponse)

   a. $f(x)=3x^2-4x+2$ sur $\mathbb{R}$

   b. $f(x)={\displaystyle \frac{5}{x^2}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   c. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   d. $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

3. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur $\mathbb{R}$, en précisant la forme reconnue (${\mathrm{e}}^u{u}^{\mathrm{\prime }}$, ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$ ou $2u^{\mathrm{\prime }}u$). Pour l'item b., on vérifiera d'abord que $x^2+x+3>0$ pour tout réel $x$. (2 pts)

   a. $f(x)=x{\mathrm{e}}^{x^2}$

   b. $f(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x+3}}$

   c. $f(x)=2x(x^2+1)$

L'iode 131 est un élément radioactif utilisé en médecine nucléaire. L'activité d'un échantillon, notée $N(t)$ et exprimée en mégabecquerels (MBq), décroît au cours du temps $t$, exprimé en jours, selon l'équation différentielle :

À l'instant $t=0$, l'activité de l'échantillon vaut $N(0)=N_0=200$ MBq.

1. Résoudre l'équation différentielle et en déduire l'expression de $N(t)$ pour $t⩾0$. (1 pt)
2. Calculer l'activité de l'échantillon au bout de $7$ jours, arrondie à l'unité. (1 pt)
3. La demi-vie $t_{1\mathrm{/}2}$ est la durée au bout de laquelle l'activité a été divisée par deux. Déterminer $t_{1\mathrm{/}2}$ par le calcul ; on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième de jour. (1 pt)
4. L'échantillon est considéré comme inoffensif lorsque son activité devient strictement inférieure à $5\mathrm{\%}$ de sa valeur initiale. Au bout de combien de jours entiers cela se produit-il ? Justifier par la résolution d'une inéquation. (1 pt)

Un boulanger sort un pain du four : sa température vaut alors $80$ °C. Il le pose sur une grille dans le fournil, où la température ambiante est constante, égale à $20$ °C. On note $\theta (t)$ la température du pain, en degrés Celsius, à l'instant $t$ exprimé en minutes ($t=0$ à la sortie du four). D'après la loi de refroidissement de Newton, la fonction $\theta$ vérifie l'équation différentielle :

La courbe représentative de $\theta$ est donnée en figure ci-dessus.

1. Montrer que cette équation s'écrit ${\theta }^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,25}\theta +5$. Déterminer sa solution constante et l'interpréter dans le contexte de l'exercice. (1,5 pt)
2. Résoudre l'équation différentielle, c'est-à-dire en donner la solution générale sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. (1,5 pt)
3. En utilisant la condition initiale $\theta (0)=80$, montrer que pour tout $t⩾0$ : $\theta (t)=20+60{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}t}$. (1 pt)
4. Calculer la température du pain au bout de $4$ minutes, arrondie au dixième de degré. (1 pt)
5. Le pain se tranche sans s'écraser dès que sa température devient strictement inférieure à $30$ °C. Déterminer par le calcul le temps nécessaire ; on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième de minute. (1,5 pt)
6. Déterminer la limite de $\theta$ en $+\mathrm{\infty }$. Quel élément de la figure retrouve-t-on ainsi ? (0,5 pt)

On considère l'équation différentielle

avec la condition initiale $y(0)=0$. On cherche à approcher la solution de ce problème par la méthode d'Euler, avec le pas $h=1$. On note $y_k$ la valeur approchée de $y(t_k)$, où $t_k=k$, en partant de $y_0=0$.

1. Rappeler l'approximation sur laquelle repose la méthode d'Euler et en déduire que les valeurs approchées vérifient $y_{k+1}=y_k+h(-\mathrm{0,5}{y}_k+3)$, puis que, pour $h=1$ : $y_{k+1}=\mathrm{0,5}{y}_k+3$. (1 pt)

2. Calculer à la main $y_1$, $y_2$ et $y_3$, puis recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. (1,5 pt)

   $k$	$0$	$1$	$2$	$3$
   $t_k$	$0$	$1$	$2$	$3$
   $y_k$	$0$

3. On admet que la solution exacte de $(E)$ vérifiant $y(0)=0$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $y(t)=6-6{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}$. Vérifier que cette fonction est bien une solution de $(E)$, puis comparer $y_3$ (valeur d'Euler) à la valeur exacte $y(3)$ arrondie au centième. Commenter le signe de l'écart. (1 pt)

4. On automatise la méthode en Python. Recopier et compléter le script suivant, qui renvoie la valeur approchée obtenue au bout de $n$ pas de longueur $h$, puis indiquer ce que renvoie l'appel euler(1, 3). (0,5 pt)

def euler(h, n):
    y = 0
    for k in range(n):
        y = y + h * (...)
    return y